Kähler 微分と滑らかさの入口：導分・基本完全列・エタール代数・Jacobi 判定法

0. この記事の要点

微分積分学では、関数を少しだけずらしたときの変化を、一次の項だけで捉えます。この記事は、その「一次の変化」を、極限を使わず、積の微分の規則（Leibniz 則）だけで環の上に作り直します。そうすると、方程式で切り取った図形がなめらかか、とがった点（特異点）をもつかが偏微分の計算で調べられ、体の拡大が「分離的」かどうかも同じ道具で判定できます。以下の箇条書きは、その結果の一覧です。

• $A$ 代数 $B$ の導分 $D\colon B \to M$（Leibniz 則を満たす $A$ 線形写像）は、ただ一つの $B$ 加群 $\Omega_{B/A}$ と普遍導分 $d$ で $\operatorname{Der}_A(B, M) \cong \operatorname{Hom}_B(\Omega_{B/A}, M)$ と表現されます。$\Omega_{B/A}$ は乗法 $B \otimes_A B \to B$ の核 $I$ について $I/I^2$ として作れます。
• 導分は平方零拡大（イデアル $J$ の元どうしの積がすべて $0$ になる拡大）の持ち上げの「差」です。この見方から、多項式環では $dx_i$ が基底、局所化と基底変換は $\Omega$ と交換、$A \to B \to C$ と剰余 $C = B/I$ について二つの基本完全列が出ます。とくに $B = A[x]/(f_1, \ldots, f_m)$ の $\Omega$ は Jacobi 行列で表示されます。
• 有限次拡大 $L/K$ が分離的であることと $\Omega_{L/K} = 0$ は同値です。体上の有限次代数が有限次分離拡大の積であること（エタール代数）は、$\Omega = 0$ とも、平方零拡大に沿って一意に持ち上がること（形式的にエタール）とも同値です。
• 剰余体が $k$ 上有限次分離的な極大イデアル $\mathfrak{m}$ では $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 \cong \Omega_{B/k} \otimes k(\mathfrak{m})$ です。ここから Jacobi 判定法（完全体上の有限型代数の極大イデアルでの正則性は、Jacobi 行列の階数が余次元に等しいことと同値）が出ます。
• 多項式環は形式的に滑らか、局所化は形式的にエタールで、形式的に滑らかなら $\Omega_{B/A}$ は射影加群です。正標数の Kunz の定理（正則 ⇔ Frobenius が平坦）は主張のみとし、F 有限な正則局所環で Frobenius が自由になる部分だけを証明します。最後に優秀環を定義します。

この記事で使う事前知識

• テンソル積: 双線形な写像を線形写像として扱うために、二つの加群から作る加群 $M \otimes_A N$。→ テンソル積と平坦性
• 局所化: 積閉集合の元を分母に使って、割り算できるようにした環 $S^{-1}B$。→ 局所化
• 剰余体: 局所環を極大イデアルで割ってできる体。→ 剰余体
• 分離拡大: 各元の最小多項式が重根をもたない体の拡大。→ 分離拡大
• 正則局所環: 極大イデアルが、環の次元と同じ個数の元で生成される局所環。→ 正則局所環
• 射影加群: 自由加群の直和因子になる加群。→ 射影加群

1. 動機

微分積分学では、関数 $f(x_1, \ldots, x_n)$ の微分 $df = \sum_i (\partial f/\partial x_i)\,dx_i$ が点ごとの線形近似を与え、陰関数定理は「Jacobi 行列の階数が最大なら、方程式 $f_1 = \cdots = f_m = 0$ の解集合は滑らかな多様体」と教えます。代数幾何学では極限を取れないので、微分の代数的な性質だけを抜き出します。和を和に、積を Leibniz 則 $d(fg) = f\,dg + g\,df$ に写し、定数を $0$ に写す写像が導分です。導分を「普遍的に」受け止める加群が Kähler 微分加群 $\Omega_{B/A}$ で、多様体の余接束の代数版です。

$\Omega$ が役に立つ場面は三つあります。

1. 特異点の判定。 平面曲線 $y^2 = x^3$ の原点では、$\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$（Zariski 余接空間）が曲線の次元 $1$ より大きい $2$ 次元になります。前の章 Cohen–Macaulay 環と正則局所環 の言葉では、局所環が正則でありません。$\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ は $\Omega$ を点に制限したものと一致し、$\Omega$ は Jacobi 行列で計算できるので、正則性が偏微分の計算に帰着します（Jacobi 判定法）。
2. 分離性と分岐。 体の拡大 $L/K$ が分離的であることは $\Omega_{L/K} = 0$ と同値です。整数環では $\Omega_{\mathbb{Z}[i]/\mathbb{Z}} \cong \mathbb{Z}[i]/(2)$ となり、その台が分岐する素イデアル $(1+i)$ を拾います。
3. 滑らかさ。 「平方零の摂動に沿って解が持ち上がる」という性質（形式的な滑らかさ）は、多項式環が典型で、$\Omega$ が射影的であることを導きます。エタールは「持ち上げが一意」の場合です。

この記事では §2 で $\Omega_{B/A}$ を構成し、§3 で平方零拡大との関係、§4 で計算規則、§5 で基本完全列、§6 で形式的な滑らかさ、§7 で体の拡大、§8 で余接空間とエタール代数、§9 で Jacobi 判定法、§10 で Frobenius と Kunz の定理、§11 で優秀環を扱います。環はすべて単位元をもつ可換環です。テンソル積は テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群、局所化は 局所化と素イデアルのスペクトル の章のものを使います。

2. 導分と Kähler 微分加群

以下、環準同型 $\rho\colon A \to B$ を固定して $B$ を $A$ 代数とみなし、$a \in A$ と $b \in B$ の積 $\rho(a)b$ を $ab$ と書きます。

定義 2.1（導分）↗

$B$ 加群 $M$ について、写像 $D\colon B \to M$ が $A$ 上の導分（$A$ 導分）であるとは、次を満たすことをいう。

1. $D(b + c) = D(b) + D(c)$、$D(bc) = b\,D(c) + c\,D(b)$（Leibniz 則）。
2. すべての $a \in A$ について $D(\rho(a)) = 0$。

$A$ 導分 $B \to M$ の全体を $\operatorname{Der}_A(B, M)$ と書く。$(D + D')(b) = D(b) + D'(b)$、$(cD)(b) = c\,D(b)$（$c \in B$）により $\operatorname{Der}_A(B, M)$ は $B$ 加群になる。$\operatorname{Der}_A(B, B)$ を $\operatorname{Der}_A(B)$ と書く。

Leibniz 則から $D(1) = D(1 \cdot 1) = 2D(1)$ なので $D(1) = 0$ です。条件 2 と Leibniz 則から $D(ab) = a\,D(b) + b\,D(\rho(a)) = a\,D(b)$ なので、$A$ 導分は $A$ 線形です。逆に $A$ 線形で Leibniz 則を満たせば $D(\rho(a)) = a\,D(1) = 0$ なので条件 2 が成り立ちます。

多項式環 $A[x_1, \ldots, x_n]$ の形式的偏微分 $\partial/\partial x_i$ は、単項式 $x^\alpha = x_1^{\alpha_1} \cdots x_n^{\alpha_n}$ を $\alpha_i x^{\alpha - e_i}$（$\alpha_i = 0$ なら $0$）に写して $A$ 線形に延ばした写像です。

補題 2.2（導分の基本性質）✓

$B$ を $A$ 代数、$M$ を $B$ 加群、$D \in \operatorname{Der}_A(B, M)$ とする。

1. $f \in A[x_1, \ldots, x_n]$ と $b_1, \ldots, b_n \in B$ について、$D(f(b_1, \ldots, b_n)) = \sum_{i=1}^{n} \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(b_1, \ldots, b_n)\,D(b_i)$ である。
2. $\{ b \in B : D(b) = 0 \}$ は $\rho(A)$ を含む $B$ の部分環である。とくに、$B$ が $A$ 代数として $b_1, \ldots, b_n$ で生成されていて、二つの $A$ 導分 $D, D'$ がすべての $b_i$ で一致すれば $D = D'$ である。
3. $\varphi\colon B \to B'$ を $A$ 代数の準同型、$D'\colon B' \to M'$ を $A$ 導分とすると、$M'$ を $\varphi$ により $B$ 加群とみて $D' \circ \varphi$ は $A$ 導分である。$B$ 線形写像 $h\colon M \to N$ について $h \circ D$ は $A$ 導分である。
4. 形式的偏微分 $\partial/\partial x_i$ は $A[x_1, \ldots, x_n]$ の $A$ 導分である。

証明（補題 2.2）

(1) $D$ は $A$ 線形なので、単項式 $f = x^\alpha$ について示せば十分です。$|\alpha| = \alpha_1 + \cdots + \alpha_n$ に関する帰納法で $D(b^\alpha) = \sum_i \alpha_i b^{\alpha - e_i} D(b_i)$ を示します。$|\alpha| = 0$ なら $D(1) = 0$ です。$\alpha = \beta + e_j$ なら、Leibniz 則と帰納法の仮定から

$$D(b^\beta b_j) = b^\beta D(b_j) + b_j \sum_i \beta_i b^{\beta - e_i} D(b_i) = \sum_i (\beta_i + \delta_{ij})\, b^{\alpha - e_i} D(b_i)$$

で、$\beta_i + \delta_{ij} = \alpha_i$ です（$\beta_i = 0$ の項は両辺とも $0$）。

(2) 集合を $B_0$ とします。$D(1) = 0$ と条件 2 から $1, \rho(A) \subseteq B_0$、加法性から $B_0$ は加法で閉じ、Leibniz 則から $D(bc) = b\,D(c) + c\,D(b) = 0$（$b, c \in B_0$）なので積で閉じます。$D - D'$ も $A$ 導分なので、それが $0$ になる元の全体は $b_1, \ldots, b_n$ を含む部分環で、$A$ 代数として $B$ を生成する元を含むので $B$ 全体です。

(3) $D'(\varphi(b)\varphi(c)) = \varphi(b)D'(\varphi(c)) + \varphi(c)D'(\varphi(b))$ は、$B$ 加群の構造 $b \cdot m' = \varphi(b)m'$ のもとで Leibniz 則そのものです。$\varphi$ は $A$ 代数の準同型なので $D'(\varphi(\rho(a))) = D'(\rho'(a)) = 0$ です。後半は $h$ の $B$ 線形性から $h(D(bc)) = b\,h(D(c)) + c\,h(D(b))$ です。

(4) $\partial = \partial/\partial x_i$ は $A$ 線形なので、Leibniz 則は単項式どうしで確かめれば十分で、両辺が双加法的なので一般の場合が従います。$\partial(x^\alpha x^\beta) = (\alpha_i + \beta_i)x^{\alpha + \beta - e_i} = x^\alpha \cdot \beta_i x^{\beta - e_i} + x^\beta \cdot \alpha_i x^{\alpha - e_i}$ です。定数は $\alpha = 0$ の単項式の $A$ 倍なので $0$ に写ります。

∎

係数を広げた加群への準同型は、もとの加群からの準同型と同じものです。この言い換えを何度も使います。

補題 2.3（係数の拡大と Hom）✓

$\varphi\colon B \to C$ を環準同型、$M$ を $B$ 加群、$N$ を $C$ 加群（$\varphi$ により $B$ 加群ともみる）とする。$\psi \mapsto (m \mapsto \psi(1 \otimes m))$ は全単射

$$\operatorname{Hom}_C(C \otimes_B M, N) \to \operatorname{Hom}_B(M, N)$$

であり、逆写像は $h$ を $c \otimes m \mapsto c\,h(m)$ に写す。

証明（補題 2.3）

$m \mapsto \psi(1 \otimes m)$ は $B$ 線形です（$1 \otimes bm = \varphi(b)(1 \otimes m)$ と $\psi$ の $C$ 線形性から）。$C \otimes_B M$ は純テンソル $c \otimes m = c(1 \otimes m)$ で生成される（定理 2.2［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）ので、$\psi$ は $\psi(1 \otimes m)$ で決まり、写像は単射です。$h \in \operatorname{Hom}_B(M, N)$ に対し $(c, m) \mapsto c\,h(m)$ は $B$ 双線形（$(c\varphi(b), m) \mapsto c\varphi(b)h(m) = c\,h(bm)$）なので、テンソル積の普遍性（定義 2.1［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）から $\psi(c \otimes m) = c\,h(m)$ となる加法的な $\psi$ が定まります。純テンソル上で $\psi(c'(c \otimes m)) = c'c\,h(m) = c'\psi(c \otimes m)$ なので $\psi$ は $C$ 線形で、$\psi(1 \otimes m) = h(m)$ です。

∎

さて、$B \otimes_A B$ には $(b \otimes c)(b' \otimes c') = bb' \otimes cc'$ で環の構造が入ります（定義 2.4［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）。$b \otimes c \mapsto bc$ は $A$ 双線形なので $A$ 線形写像 $\mu\colon B \otimes_A B \to B$ を定め、純テンソル上で積を保つので環準同型です。$\mu(b \otimes 1) = b$ なので $\mu$ は全射です。

次の定義のねらいを先に述べます。$B \otimes_A B$ の元 $1 \otimes b - b \otimes 1$ は、$b$ を「右の変数に入れたもの」と「左の変数に入れたもの」の差で、関数の二点での値の差 $f(y) - f(x)$ に当たります。これは $\mu$ で $0$ に写るので核 $I$ に入ります。$I$ の元どうしの積（二次の量）を $0$ とみなすと、一次の差だけが残ります。これが $I/I^2$ を取る理由で、微分を「一次の差」として取り出しています。

定義 2.4（Kähler 微分加群）↗

$I = \ker(\mu\colon B \otimes_A B \to B)$ とおく。$I/I^2$ は $(B \otimes_A B)/I \cong B$ 上の加群、すなわち $B$ 加群である。これを $\Omega_{B/A}$ と書き、$B$ の $A$ 上の Kähler 微分加群という。$d = d_{B/A}\colon B \to \Omega_{B/A}$ を

$$d(b) = (1 \otimes b - b \otimes 1) \bmod I^2$$

で定める。$d(b)$ を $db$ と書く。

$b \in B$ の $I/I^2$ への作用は $b \otimes 1$ の積でも $1 \otimes b$ の積でも同じです。差 $1 \otimes b - b \otimes 1$ が $I$ に入り、$I \cdot I \subseteq I^2$ だからです。

定理 2.5（Kähler 微分加群の普遍性）✓

$B$ を $A$ 代数とする。

1. $d\colon B \to \Omega_{B/A}$ は $A$ 導分であり、$\Omega_{B/A}$ は $B$ 加群として $\{db : b \in B\}$ で生成される。
2. 任意の $B$ 加群 $M$ について、$h \mapsto h \circ d$ は $B$ 加群の同型 $\operatorname{Hom}_B(\Omega_{B/A}, M) \to \operatorname{Der}_A(B, M)$ である。

とくに $B$ が $A$ 代数として $b_1, \ldots, b_n$ で生成されるなら、$\Omega_{B/A}$ は $db_1, \ldots, db_n$ で生成される。

証明（定理 2.5）

(1) $d$ は加法的です。$a \in A$ について $1 \otimes \rho(a) = a(1 \otimes 1) = \rho(a) \otimes 1$ なので $d(\rho(a)) = 0$ です。Leibniz 則は、$B \otimes_A B$ の中の恒等式

$$1 \otimes bc - bc \otimes 1 = (1 \otimes b - b \otimes 1)(1 \otimes c) + (b \otimes 1)(1 \otimes c - c \otimes 1)$$

（右辺を展開すると $1 \otimes bc - b \otimes c + b \otimes c - bc \otimes 1$）を $I^2$ を法として読めば、上の注意から $d(bc) = c\,db + b\,dc$ です。生成については、$z = \sum_j x_j \otimes y_j \in I$、すなわち $\sum_j x_jy_j = 0$ なら

$$z = \sum_j (x_j \otimes 1)(1 \otimes y_j - y_j \otimes 1) + \Bigl(\sum_j x_jy_j\Bigr) \otimes 1 = \sum_j (x_j \otimes 1)(1 \otimes y_j - y_j \otimes 1)$$

なので、$I/I^2$ の元は $\sum_j x_j\,dy_j$ と書けます。$B \otimes_A B$ の元は純テンソルの和なので（定理 2.2［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）、$I$ の任意の元がこの形です。

(2) $h \circ d$ は導分です（補題 2.2 の (3)）。$\Omega_{B/A}$ は $db$ で生成されるので $h$ は $h \circ d$ で決まり、写像は単射です。$B$ 線形であることは $(ch) \circ d = c(h \circ d)$ からわかります。

全射性を示します。$D \in \operatorname{Der}_A(B, M)$ を取ります。$B \oplus M$ に $(b, m)(b', m') = (bb', bm' + b'm)$ で積を入れると環になり（結合律は $((b,m)(b',m'))(b'',m'') = (bb'b'', bb'm'' + bb''m' + b'b''m)$ が対称な式であることから、分配律は成分ごとの計算から）、$0 \oplus M$ はこの環のイデアルで $(0 \oplus M)^2 = 0$ です。$(x, y) \mapsto (xy, x\,D(y))$ は $A$ 双線形（$D$ が $A$ 線形）なので、加法的な $\psi\colon B \otimes_A B \to B \oplus M$、$\psi(x \otimes y) = (xy, x\,D(y))$ が定まります。純テンソルについて

$$\psi(x \otimes y)\,\psi(x' \otimes y') = (xyx'y',\ xy\,x'D(y') + x'y'\,xD(y)) = (xx'yy',\ xx'D(yy')) = \psi((x \otimes y)(x' \otimes y'))$$

で、両辺は双加法的なので $\psi$ は環準同型です。$\psi(z)$ の第 1 成分は $\mu(z)$ なので $\psi(I) \subseteq 0 \oplus M$、$\psi(I^2) \subseteq (0 \oplus M)^2 = 0$ です。よって $\psi$ は加法的な $h\colon I/I^2 \to M$ を誘導します。$\psi((b \otimes 1)z) = (b, 0)\psi(z) = (0, b\,h(z))$（$z \in I$）なので $h$ は $B$ 線形で、$h(db) = \psi(1 \otimes b) - \psi(b \otimes 1) = (b, D(b)) - (b, 0)$ の第 2 成分、すなわち $D(b)$ です。

最後の主張は、$\{b : db \in \sum_i B\,db_i\}$ が 補題 2.2 の (1) により $b_1, \ldots, b_n$ の $A$ 係数多項式で閉じていることから従います。

∎

普遍性は「$\Omega_{B/A}$ への $B$ 線形写像を作るには、導分を一つ作ればよい」と読みます。以下の計算規則の証明はすべてこの形です。

3. 平方零拡大と導分

この節のねらいは、導分が「持ち上げの差」として現れることを示すことです。$\varepsilon^2 = 0$ となる微小量 $\varepsilon$ を付け加えた環を思い浮かべてください。下の $B * M$ では $M$ の元どうしの積が $0$ で、$(b, m)$ は「$b$ に一次の量 $m$ を足したもの」に当たります。同じ元の持ち上げが二つあるとき、その差は一次の量になり、Leibniz 則を満たします。

定義 3.1（平方零拡大）↗

$A$ 代数 $C$ のイデアル $J$ で $J^2 = 0$ となるものについて、全射 $C \to C/J$ を平方零拡大という。$J$ は $C/J$ 加群である。$B$ 加群 $M$ について、$B \oplus M$ に積 $(b, m)(b', m') = (bb', bm' + b'm)$ と $A$ 代数の構造 $a \mapsto (\rho(a), 0)$ を入れたものを自明な平方零拡大といい $B * M$ と書く（第 1 成分への射影 $B * M \to B$ の核 $0 \oplus M$ は平方零）。

補題 3.2（導分と平方零拡大の持ち上げ）✓

$C \to C/J$ を $A$ 代数の平方零拡大、$u\colon B \to C/J$ を $A$ 代数の準同型とし、$J$ を $u$ により $B$ 加群とみる。

1. $u_1, u_2\colon B \to C$ が $u$ の持ち上げ（$C/J$ に落とすと $u$ になる $A$ 代数の準同型）なら、$u_1 - u_2\colon B \to J$ は $A$ 導分である。
2. $u_1$ が $u$ の持ち上げで $D \in \operatorname{Der}_A(B, J)$ なら、$u_1 + D$ も $u$ の持ち上げである。

したがって $u$ の持ち上げの全体は、空であるか、$\operatorname{Der}_A(B, J)$ が $u_1 \mapsto u_1 + D$ で単純推移的に作用する集合である。とくに自明な平方零拡大について、$A$ 代数の準同型 $s\colon B \to B * M$ で射影との合成が恒等写像になるもの（切断）は、$s(b) = (b, D(b))$ により $D \in \operatorname{Der}_A(B, M)$ と一対一に対応する。

証明（補題 3.2）

$J^2 = 0$ なので、$c \in C$ の $J$ への作用は $c$ の $C/J$ での像だけで決まり、$J$ は $C/J$ 加群です。$u_1(b)$ と $u_2(b)$ は同じ像 $u(b)$ をもつので、$u_1(b)y = u_2(b)y = b \cdot y$（$y \in J$）です。

(1) $D = u_1 - u_2$ は $C/J$ に落とすと $0$ なので値は $J$ にあり、加法的です。$u_i$ は $A$ 代数の準同型なので $D(\rho(a)) = 0$ です。

$$D(bc) = u_1(b)u_1(c) - u_2(b)u_2(c) = u_1(b)\bigl(u_1(c) - u_2(c)\bigr) + \bigl(u_1(b) - u_2(b)\bigr)u_2(c) = b\,D(c) + c\,D(b)$$

です。

(2) $u_1 + D$ は加法的で、$D(1) = 0$ から $1$ を $1$ に、$\rho(a)$ を $u_1(\rho(a))$ に写します。$D(b)D(c) \in J^2 = 0$ なので

$$(u_1(b) + D(b))(u_1(c) + D(c)) = u_1(bc) + u_1(b)D(c) + u_1(c)D(b) = u_1(bc) + D(bc)$$

です。値は $C/J$ で $u$ に一致します。

自明な平方零拡大では、$u = \mathrm{id}_B$ に対して $b \mapsto (b, 0)$ が一つの持ち上げで、$M$ の $B$ 加群の構造は $u$ によるものと一致するので、(1)(2) から切断は $b \mapsto (b, D(b))$ の形のものと一対一に対応します。

∎

この補題が、導分という「微分」の概念と、「持ち上げ」という「変形」の概念をつなぎます。§6 の形式的な滑らかさはこの言葉で定義されます。

4. 計算規則

補題 4.1（導分の局所化への延長）✓

$B$ を $A$ 代数、$S \subseteq B$ を積閉集合、$\iota\colon B \to S^{-1}B$ を標準写像、$M$ を $S^{-1}B$ 加群とする。$D \mapsto D \circ \iota$ は全単射 $\operatorname{Der}_A(S^{-1}B, M) \to \operatorname{Der}_A(B, M)$ である。

証明（補題 4.1）

$D \in \operatorname{Der}_A(B, M)$ とし、$u\colon B \to S^{-1}B * M$、$u(b) = (b/1, D(b))$ とおきます。$M$ では $b$ が $b/1$ として作用するので、$(b/1, Db)(c/1, Dc) = (bc/1, (b/1)Dc + (c/1)Db) = (bc/1, D(bc))$ となり、$u$ は $A$ 代数の準同型です。$s \in S$ について $u(s) = (s/1, D(s))$ は単元です（$(s/1, m)(1/s, -m/s^2) = (1, m/s - m/s) = (1, 0)$）。局所化の普遍性（定理 3.4［局所化と素イデアルのスペクトル］）により、$\tilde u \circ \iota = u$ となる環準同型 $\tilde u\colon S^{-1}B \to S^{-1}B * M$ がただ一つあります。第 1 成分への射影 $\pi$ との合成 $\pi \circ \tilde u$ は $\pi \circ \tilde u \circ \iota = \iota$ を満たす環準同型なので、普遍性の一意性から $\pi \circ \tilde u = \mathrm{id}$ です。よって $\tilde u$ は切断で、補題 3.2 により $\tilde u(x) = (x, \tilde D(x))$ となる $\tilde D \in \operatorname{Der}_A(S^{-1}B, M)$ があり、$\tilde D \circ \iota = D$ です（$\tilde u$ が $A$ 代数の準同型であることは $\tilde u \circ \iota = u$ から従います）。

一意性: $\tilde D_1, \tilde D_2$ がともに $D$ の延長なら、$x \mapsto (x, \tilde D_i(x))$ はどちらも $\iota$ との合成が $u$ になる環準同型なので、普遍性の一意性から一致します。

∎

命題 4.2（Kähler 微分の計算規則）✓

$B$ を $A$ 代数とする。

1. （多項式環）$P = A[x_1, \ldots, x_n]$ について、$\Omega_{P/A}$ は $dx_1, \ldots, dx_n$ を基底とする自由 $P$ 加群で、$df = \sum_i (\partial f/\partial x_i)\,dx_i$ である。
2. （局所化）積閉集合 $S \subseteq B$ について、$\alpha(db/s) = (1/s)\,d(b/1)$ で定まる $S^{-1}B$ 線形写像 $\alpha\colon S^{-1}\Omega_{B/A} \to \Omega_{S^{-1}B/A}$ は同型である。
3. （基底変換）環準同型 $A \to A'$ について $B' = A' \otimes_A B$ とおき、$A'$ 代数とみる。$\alpha(b' \otimes db) = b'\,d(1 \otimes b)$ で定まる $B'$ 線形写像 $\alpha\colon B' \otimes_B \Omega_{B/A} \to \Omega_{B'/A'}$ は同型である。$B' \otimes_B \Omega_{B/A} \cong A' \otimes_A \Omega_{B/A}$ なので、$\Omega_{B'/A'} \cong A' \otimes_A \Omega_{B/A}$ である。

証明（命題 4.2）

(1) 補題 2.2 の (4) により $f \mapsto (\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n)$ は $A$ 導分 $P \to P^n$ なので、定理 2.5 により $\theta(df) = (\partial f/\partial x_i)_i$ となる $P$ 線形写像 $\theta\colon \Omega_{P/A} \to P^n$ があります。$\theta(dx_i) = e_i$（第 $i$ 単位ベクトル）です。補題 2.2 の (1) を $d$ と $b_i = x_i$ に使うと $df = \sum_i (\partial f/\partial x_i)\,dx_i$ なので、$\Omega_{P/A}$ は $dx_1, \ldots, dx_n$ で生成されます。$\sum_i c_i\,dx_i \in \ker\theta$ なら $\sum_i c_ie_i = 0$ で $c_i = 0$ なので、$\theta$ は単射でもあり、$dx_i$ は基底です。

(2) まず $\alpha$ が定まることを見ます。$b \mapsto d(b/1)$ は $A$ 導分 $B \to \Omega_{S^{-1}B/A}$ なので（補題 2.2 の (3)）、$db \mapsto d(b/1)$ となる $B$ 線形写像 $\Omega_{B/A} \to \Omega_{S^{-1}B/A}$ があります。$S^{-1}\Omega_{B/A} \cong S^{-1}B \otimes_B \Omega_{B/A}$（命題 2.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (6)）と 補題 2.3 により、これは $\alpha(\omega/s) = (1/s)\cdot(\omega \text{ の像})$ となる $S^{-1}B$ 線形写像 $\alpha$ に延びます。

逆向きを作ります。$b \mapsto db/1$ は $A$ 導分 $B \to S^{-1}\Omega_{B/A}$ で、値の加群は $S^{-1}B$ 加群なので、補題 4.1 により $\tilde D(b/1) = db/1$ となる $\tilde D \in \operatorname{Der}_A(S^{-1}B, S^{-1}\Omega_{B/A})$ に延び、普遍性から $\beta(dx) = \tilde D(x)$ となる $S^{-1}B$ 線形写像 $\beta\colon \Omega_{S^{-1}B/A} \to S^{-1}\Omega_{B/A}$ があります。

$\beta\alpha(db/s) = (1/s)\tilde D(b/1) = db/s$ で、$S^{-1}\Omega_{B/A}$ は $db/1$ で生成されるので $\beta\alpha = \mathrm{id}$ です。$\alpha\beta(d(b/1)) = \alpha(db/1) = d(b/1)$ です。$b/1 = (s/1)(b/s)$ に Leibniz 則を使うと $d(b/s) = (1/s)\,d(b/1) - (b/s^2)\,d(s/1)$ なので、$\Omega_{S^{-1}B/A}$ は $d(b/1)$（$b \in B$）で生成され、$\alpha\beta = \mathrm{id}$ です。

(3) $b \mapsto d(1 \otimes b)$ は $A$ 導分 $B \to \Omega_{B'/A'}$ です（$1 \otimes \rho(a)$ は $A'$ の元の像なので $d$ で $0$ に写ります）。普遍性と 補題 2.3（$B \to B'$、$b \mapsto 1 \otimes b$ について）から $\alpha$ が定まります。

逆向きを作ります。$(a', b) \mapsto (a' \otimes 1) \otimes db$ は $A'\times B \to B' \otimes_B \Omega_{B/A}$ の $A$ 双線形写像です（$(a'a \otimes 1) = (a' \otimes 1)(1 \otimes \rho(a))$ で、$1 \otimes \rho(a)$ は $B$ の元 $\rho(a)$ の像なので、$(a'a \otimes 1) \otimes db = (a' \otimes 1) \otimes a\,db = (a' \otimes 1) \otimes d(ab)$）。よって加法的な $D\colon B' \to B' \otimes_B \Omega_{B/A}$、$D(a' \otimes b) = (a' \otimes 1) \otimes db$ が定まります。純テンソルについて

$$D\bigl((a' \otimes b)(c' \otimes c)\bigr) = (a'c' \otimes 1) \otimes (b\,dc + c\,db) = (a' \otimes b)\,D(c' \otimes c) + (c' \otimes c)\,D(a' \otimes b)$$

で（$(x(1 \otimes b)) \otimes \omega = x \otimes b\omega$ を使う）、両辺は双加法的なので Leibniz 則が成り立ちます。$D(c'(a' \otimes b)) = c'D(a' \otimes b)$ なので $D$ は $A'$ 線形、$D(1) = 0$ なので $A'$ 導分です。普遍性から $\beta(d(x)) = D(x)$ となる $B'$ 線形写像 $\beta\colon \Omega_{B'/A'} \to B' \otimes_B \Omega_{B/A}$ があります。

$\beta\alpha((1 \otimes 1) \otimes db) = \beta(d(1 \otimes b)) = (1 \otimes 1) \otimes db$ なので、生成元上で $\beta\alpha = \mathrm{id}$ です。$d(a' \otimes b) = d((a' \otimes 1)(1 \otimes b)) = (a' \otimes 1)\,d(1 \otimes b)$（$a' \otimes 1$ は $A'$ の像で $d$ で消える）なので $\alpha\beta(d(a' \otimes b)) = \alpha((a' \otimes 1) \otimes db) = (a' \otimes 1)\,d(1 \otimes b) = d(a' \otimes b)$ で、$\Omega_{B'/A'}$ は純テンソルの $d$ で生成されるので $\alpha\beta = \mathrm{id}$ です。最後の同型は 命題 2.5［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (2) です。

∎

たとえば $\Omega_{k[x]/k} = k[x]\,dx$ で、局所化して $\Omega_{k[x]_{(x)}/k} = k[x]_{(x)}\,dx$、$\Omega_{k(x)/k} = k(x)\,dx$ です。また $\Omega_{S^{-1}A/A} = S^{-1}\Omega_{A/A} = 0$ です（$\Omega_{A/A}$ は $d\rho(a) = 0$ で生成されます）。

5. 二つの基本完全列

環準同型の列 $A \to B \xrightarrow{\varphi} C$ があるとき、$C$ は $A$ 代数でも $B$ 代数でもあります。$\Omega$ の「相対的な部分」を比べるのが第一基本完全列、剰余環 $C = B/I$ で「方程式で切った分」を比べるのが第二基本完全列です。どちらも Hom を取ると導分の言葉の自明な完全列になる、という形で証明します。

定理 5.1（第一基本完全列）✓

環準同型 $A \to B \xrightarrow{\varphi} C$ について、$C$ 線形写像の列

$$C \otimes_B \Omega_{B/A} \xrightarrow{\ \alpha\ } \Omega_{C/A} \xrightarrow{\ \beta\ } \Omega_{C/B} \to 0, \qquad \alpha(c \otimes db) = c\,d\varphi(b),\quad \beta(dc) = dc$$

は完全である。

証明（定理 5.1）

$b \mapsto d_{C/A}\varphi(b)$ は $A$ 導分 $B \to \Omega_{C/A}$ なので（補題 2.2 の (3)）、定理 2.5 と 補題 2.3 から $\alpha$ が定まります。$d_{C/B}$ は $B$ 導分なのでとくに $A$ 導分であり、普遍性から $\beta$ が定まります。

補題 2.7［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ により、任意の $C$ 加群 $N$ について

$$0 \to \operatorname{Hom}_C(\Omega_{C/B}, N) \xrightarrow{\beta^*} \operatorname{Hom}_C(\Omega_{C/A}, N) \xrightarrow{\alpha^*} \operatorname{Hom}_C(C \otimes_B \Omega_{B/A}, N)$$

が完全であることを示せば十分です。定理 2.5 と 補題 2.3 により三つの Hom はそれぞれ $\operatorname{Der}_B(C, N)$、$\operatorname{Der}_A(C, N)$、$\operatorname{Der}_A(B, N)$ と同一視されます。この同一視のもとで、$\beta^*$ は $h \circ d_{C/B} \mapsto h \circ \beta \circ d_{C/A} = h \circ d_{C/B}$、すなわち包含 $\operatorname{Der}_B(C, N) \subseteq \operatorname{Der}_A(C, N)$ であり、$\alpha^*$ は $g \circ d_{C/A} \mapsto (b \mapsto g(\alpha(1 \otimes db))) = g \circ d_{C/A} \circ \varphi$、すなわち $D \mapsto D \circ \varphi$ です。

包含は単射です。$B$ 導分 $D$ は $\varphi(B)$ 上で $0$ なので $D \circ \varphi = 0$ です。逆に $D \in \operatorname{Der}_A(C, N)$ が $D \circ \varphi = 0$ を満たせば、$D$ は $\varphi(B)$ を $0$ に写すので $B$ 導分です（$D(\varphi(b)c) = \varphi(b)D(c) + c\,D(\varphi(b)) = b \cdot D(c)$ で $B$ 線形でもあります）。よって列は完全です。

∎

定理 5.2（第二基本完全列）✓

$B$ を $A$ 代数、$I$ を $B$ のイデアル、$C = B/I$、$\pi\colon B \to C$ を標準全射とする。$C$ 線形写像の列

$$I/I^2 \xrightarrow{\ \delta\ } C \otimes_B \Omega_{B/A} \xrightarrow{\ \alpha\ } \Omega_{C/A} \to 0, \qquad \delta(x \bmod I^2) = 1 \otimes dx,\quad \alpha(c \otimes db) = c\,d\pi(b)$$

は完全である。

証明（定理 5.2）

$\delta$ が定まることを確かめます。$x \mapsto 1 \otimes dx$ は加法的な写像 $I \to C \otimes_B \Omega_{B/A}$ で、$x, y \in I$ について $1 \otimes d(xy) = 1 \otimes (x\,dy + y\,dx) = \pi(x) \otimes dy + \pi(y) \otimes dx = 0$ なので $I^2$ を $0$ に写します。$b \in B$、$x \in I$ について $1 \otimes d(bx) = \pi(b) \otimes dx + \pi(x) \otimes db = \pi(b)(1 \otimes dx)$ なので $C$ 線形です。$\alpha$ は 定理 5.1 の $\alpha$ と同じものです。

補題 2.7［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ により、任意の $C$ 加群 $N$ について $0 \to \operatorname{Hom}_C(\Omega_{C/A}, N) \to \operatorname{Hom}_C(C \otimes_B \Omega_{B/A}, N) \to \operatorname{Hom}_C(I/I^2, N)$ が完全であることを示せば十分です。前の証明と同じ同一視で、これは

$$0 \to \operatorname{Der}_A(C, N) \xrightarrow{D \mapsto D \circ \pi} \operatorname{Der}_A(B, N) \xrightarrow{D \mapsto D|_I} \operatorname{Hom}_C(I/I^2, N)$$

になります（$h \in \operatorname{Hom}_C(C \otimes_B \Omega_{B/A}, N)$ に対応する導分 $D = h(1 \otimes d(-))$ について $h(\delta(\bar x)) = D(x)$ です）。$\pi$ は全射なので最初の写像は単射です。$D \circ \pi$ は $I$ 上で $0$ です。逆に $D \in \operatorname{Der}_A(B, N)$ が $I$ 上で $0$ なら、$\bar D(\pi(b)) = D(b)$ は well-defined で、$N$ では $b$ が $\pi(b)$ として作用するので Leibniz 則を満たし、$\bar D \in \operatorname{Der}_A(C, N)$、$D = \bar D \circ \pi$ です。

∎

二つを組み合わせると、有限表示の代数の $\Omega$ が具体的に書けます。

系 5.3（Jacobi 行列による表示）✓

$P = A[x_1, \ldots, x_n]$、$f_1, \ldots, f_m \in P$、$B = P/(f_1, \ldots, f_m)$ とし、$\bar{\ }$ で $B$ での像を表す。このとき

$$\Omega_{B/A} \cong \Bigl(\bigoplus_{i=1}^{n} B\,dx_i\Bigr) \Big/ \Bigl(\sum_{j=1}^{m} B\,df_j\Bigr), \qquad df_j = \sum_{i=1}^{n} \overline{\frac{\partial f_j}{\partial x_i}}\,dx_i$$

である。すなわち $\Omega_{B/A}$ は、行列 $\bigl(\overline{\partial f_j/\partial x_i}\bigr)_{j,i}$ の $m$ 本の行ベクトルが $B^n$ で生成する部分加群による $B^n$ の剰余加群に同型である。

証明（系 5.3）

$I = (f_1, \ldots, f_m)$ として 定理 5.2 を使います。命題 4.2 の (1) により $\Omega_{P/A}$ は $dx_i$ を基底とする自由加群なので、$B \otimes_P \Omega_{P/A}$ は $1 \otimes dx_i$ を基底とする自由 $B$ 加群です（命題 2.5［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (3)）。$I$ の元は $\sum_j g_jf_j$ の形で、$\delta$ はこれを $\sum_j (\bar g_j \otimes df_j + \bar f_j \otimes dg_j) = \sum_j \bar g_j(1 \otimes df_j)$ に写すので、$\delta$ の像は $1 \otimes df_j$ で生成されます。完全性から $\Omega_{B/A}$ は $B \otimes_P \Omega_{P/A}$ をこの像で割ったものです。$df_j$ の表示は 命題 4.2 の (1) です。

∎

例 5.4（尖点の Kähler 微分は自由でない）

体 $k$ と $B = k[x, y]/(y^2 - x^3)$ を考えます。$f = y^2 - x^3$ について $df = -3x^2\,dx + 2y\,dy$ なので、系 5.3 から

$$\Omega_{B/k} \cong (B\,dx \oplus B\,dy)/B(-3x^2\,dx + 2y\,dy)$$

です。極大イデアル $\mathfrak{n}$ と剰余体 $\kappa = B/\mathfrak{n}$ について、テンソル積の右完全性（定理 2.8［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）から $\Omega_{B/k} \otimes_B \kappa \cong \kappa^2/\kappa\,(\overline{-3x^2}, \overline{2y})$ です。

• 原点 $\mathfrak{n} = (x, y)$ では $-3x^2, 2y \in \mathfrak{n}$ なので $\Omega_{B/k} \otimes \kappa \cong \kappa^2$ は $2$ 次元です。
• 点 $(1, 1)$、すなわち $\mathfrak{n} = (x - 1, y - 1)$ では、ベクトル $(-3, 2)$ は $k$ の標数によらず $0$ でない（標数 $2$ なら $(1, 0)$、標数 $3$ なら $(0, 2)$）ので、$1$ 次元です。

$\Omega_{B/k}$ が階数 $r$ の自由加群なら $\Omega_{B/k} \otimes \kappa \cong \kappa^r$ の次元はどの点でも $r$ のはずなので、$\Omega_{B/k}$ は自由ではありません。さらに $\operatorname{char} k \ne 2$ なら、$\omega = 3y\,dx - 2x\,dy$ は $0$ でない捩れ元です。$y\omega = 3x^3\,dx - 2xy\,dy = -x(-3x^2\,dx + 2y\,dy) = 0$ です。一方 $\omega = g(-3x^2\,dx + 2y\,dy)$ となる $g \in B$ があれば、$dy$ の係数を比べて $-2x = 2gy$、つまり $x = -gy$ ですが、例 3.4［整拡大］ の同型 $B \cong k[t^2, t^3]$ のもとでこれは $t^2 = -g\,t^3$ となり、$g = -t^{-1} \notin k[t]$ なので不可能です。$\Omega$ の捩れは特異点の痕跡です。

例 5.5（ガウス整数の Kähler 微分と分岐）

$\mathbb{Z}[i] \cong \mathbb{Z}[x]/(x^2 + 1)$ なので、系 5.3 から $\Omega_{\mathbb{Z}[i]/\mathbb{Z}} \cong \mathbb{Z}[i]/(2i) = \mathbb{Z}[i]/(2)$ です（$i$ は単元）。$2 = -i(1+i)^2$ なので、この加群は位数 $4$ で、$\mathbb{Z}[i]$ の素イデアルのうち $(1+i)$ でだけ局所化が $0$ でありません。

基底変換（命題 4.2 の (3)）で素数 $p$ のファイバーを見ると、$\Omega_{\mathbb{Z}[i]/\mathbb{Z}} \otimes \mathbb{F}_p \cong \Omega_{\mathbb{F}_p[x]/(x^2+1)/\mathbb{F}_p}$ です。右辺は 系 5.3 により $\mathbb{F}_p[x]/(x^2+1)$ を $2x$ で割ったものです。$p$ が奇素数なら $2$ は単元、$x$ も $x \cdot (-x) = 1$ より単元なので、右辺は $0$ です。$p = 2$ では $x^2 + 1 = (x+1)^2$ で、右辺は $\mathbb{F}_2[x]/(x+1)^2$ そのもの（$2x = 0$）で $2$ 次元です。$2$ は $\mathbb{Z}[i]$ で $(1+i)^2$ と分岐する唯一の素数で、$\Omega$ の台がちょうど分岐を拾っています。

一般に $\mathcal{O}_L = \mathcal{O}_K[\alpha]$（$\alpha$ の最小多項式 $f$）なら $\Omega_{\mathcal{O}_L/\mathcal{O}_K} \cong \mathcal{O}_L/(f'(\alpha))$ で、零化イデアル $(f'(\alpha))$ は代数的整数論の差積（different）に一致し、差積を割る素イデアルが分岐する素イデアルです（差積の理論は J.-P. Serre『Local Fields』第 III 章）。

6. 形式的な滑らかさ

次の定義の読み方です。$J^2 = 0$ のとき、$C/J$ は $C$ を「一次の誤差を無視して」見たものです。$C/J$ の中で与えられた $u$ を、$C$ の中の準同型にまで直せるかどうかを問うのが定義で、直せることが滑らかさ、直し方が高々一通りであることが不分岐、ちょうど一通りであることがエタールに当たります。下の図の破線が、求める持ち上げです。

定義 6.1（形式的に滑らか・不分岐・エタール）↗

$A$ 代数 $B$ を考える。任意の $A$ 代数 $C$、$J^2 = 0$ となるイデアル $J \subseteq C$、$A$ 代数の準同型 $u\colon B \to C/J$ について、

1. $u$ の持ち上げ（$C/J$ に落とすと $u$ になる $A$ 代数の準同型 $B \to C$）が少なくとも一つ存在するとき、$B$ は $A$ 上形式的に滑らかであるという。
2. $u$ の持ち上げが高々一つしかないとき、形式的に不分岐であるという。
3. 形式的に滑らかかつ形式的に不分岐（持ち上げがちょうど一つ）のとき、形式的にエタールであるという。

形式的な滑らかさ：下の u を、破線の矢印に持ち上げる。滑らかなら存在、不分岐なら一意、エタールなら存在して一意。

$J$ が冪零（$J^N = 0$）でも同じことが言えます。これは 命題 6.2 の (4) です。

命題 6.2（形式的に滑らか・エタールな代数の例と性質）✓

1. 多項式環 $A[x_1, \ldots, x_n]$ は $A$ 上形式的に滑らかである。
2. 積閉集合 $S \subseteq A$ について、$S^{-1}A$ は $A$ 上形式的にエタールである。
3. $B$ が $A$ 上、$B'$ が $B$ 上形式的に滑らか（不分岐、エタール）なら、$B'$ は $A$ 上形式的に滑らか（不分岐、エタール）である。
4. $B$ が $A$ 上形式的に滑らか（エタール）なら、定義の $J$ を冪零イデアル（ある $N$ で $J^N = 0$）に替えても持ち上げが存在する（存在して一意である）。

証明（命題 6.2）

(1) $u(x_i) \in C/J$ の $C$ での代表元 $c_i$ を一つずつ選びます。多項式環からの代入（補題 3.1［加群・完全列・中山の補題］ を変数ごとに使う）により、$x_i \mapsto c_i$ となる $A$ 代数の準同型 $v\colon A[x_1, \ldots, x_n] \to C$ があります。$v$ を $C/J$ に落とした写像と $u$ は $x_i$ と $A$ の上で一致するので、同じ一意性から一致します。

(2) 構造写像 $A \to C$ を $\lambda$ とします。$s \in S$ について $\lambda(s)$ の $C/J$ での像は $u(s/1)$ で単元です。$C$ の元 $c$ の像が単元なら $c$ は単元です。実際 $cc' = 1 - y$（$y \in J$）となる $c'$ があり、$(1 - y)(1 + y) = 1 - y^2 = 1$ なので $c\cdot c'(1+y) = 1$ です。よって $\lambda(S)$ は単元からなり、局所化の普遍性（定理 3.4［局所化と素イデアルのスペクトル］）から $\lambda$ を延ばす環準同型 $v\colon S^{-1}A \to C$ がただ一つあります。$v$ を $C/J$ に落とした写像と $u$ はどちらも $A \to C/J$ を延ばすので一致し、$v$ は持ち上げです。持ち上げはどれも $A$ 代数の準同型、すなわち $\lambda$ の延長なので、一意です。

(3) $A$ 代数 $C$、$J$、$A$ 代数の準同型 $u\colon B' \to C/J$ を取ります。合成 $B \to B' \to C/J$ を $B$ が $A$ 上形式的に滑らかであることを使って $v\colon B \to C$ に持ち上げます。$v$ により $C$ を $B$ 代数とみると、$C/J$ への合成が $B \to B' \xrightarrow{u} C/J$ になるので、$u$ は $B$ 代数の準同型です。$B'$ が $B$ 上形式的に滑らかなので、$u$ は $B$ 代数の準同型 $w\colon B' \to C$ に持ち上がり、$w$ は $A$ 代数の準同型でもあります。不分岐の場合: $w_1, w_2$ が $u$ の持ち上げなら、$B$ に制限したものはどちらも $B \to C/J$ の持ち上げなので一致し（$B$ の不分岐性）、これを $v$ として $w_1, w_2$ はともに $u$ の $B$ 代数としての持ち上げなので一致します（$B'$ の不分岐性）。

(4) $N$ に関する帰納法です。$N \le 2$ なら定義そのものです。$J^N = 0$（$N \ge 3$）とし、$\bar C = C/J^{N-1}$ とおきます。$\bar C$ の冪零イデアル $J/J^{N-1}$ について帰納法の仮定から $u$ は $\bar u\colon B \to \bar C$ に持ち上がります。$C \to \bar C$ の核 $J^{N-1}$ は $(J^{N-1})^2 = J^{2N-2} \subseteq J^N = 0$ を満たすので、定義から $\bar u$ は $C$ に持ち上がります。エタールの場合の一意性も、二つの持ち上げを $\bar C$ に落とすと帰納法の仮定から一致し、さらに定義の一意性から一致することで従います。

∎

命題 6.3（形式的に不分岐 ⇔ Ω = 0）✓

$A$ 代数 $B$ が $A$ 上形式的に不分岐であることと、$\Omega_{B/A} = 0$ であることは同値である。

証明（命題 6.3）

$(\Leftarrow)$ $u_1, u_2$ を $u\colon B \to C/J$ の持ち上げとすると、補題 3.2 により $u_1 - u_2 \in \operatorname{Der}_A(B, J)$ で、定理 2.5 により $\operatorname{Der}_A(B, J) \cong \operatorname{Hom}_B(\Omega_{B/A}, J) = 0$ なので $u_1 = u_2$ です。

$(\Rightarrow)$ 定義 2.4 の記号で $C = (B \otimes_A B)/I^2$、$J = I/I^2$ とおくと、$J^2 = 0$ で、$\mu$ により $C/J = (B \otimes_A B)/I \cong B$ です。$j_1(b) = (b \otimes 1) \bmod I^2$、$j_2(b) = (1 \otimes b) \bmod I^2$ はどちらも $A$ 代数の準同型 $B \to C$ で、$C/J \cong B$ に落とすと $\mu(b \otimes 1) = \mu(1 \otimes b) = b$ なので、ともに $\mathrm{id}_B$ の持ち上げです。不分岐性から $j_1 = j_2$、すなわちすべての $b$ で $db = j_2(b) - j_1(b) = 0$ で、$\Omega_{B/A}$ は $db$ で生成されるので $0$ です。

∎

とくに (2) と合わせて $\Omega_{S^{-1}A/A} = 0$ が再び出ます。次の補題は、平方零拡大の切断から導分を作る手順で、§8 と次の定理で使います。

補題 6.4（切断から作る導分）✓

$P$ を $A$ 代数、$I$ をイデアル、$\pi_2\colon P/I^2 \to P/I$ を標準全射とし、$A$ 代数の準同型 $s\colon P/I \to P/I^2$ が $\pi_2 \circ s = \mathrm{id}$ を満たすとする。$p \in P$ の $P/I^k$ での像を $[p]_k$ と書き、$D(p) = [p]_2 - s([p]_1)$ とおく。

1. $D(p) \in I/I^2$ で、$D\colon P \to I/I^2$ は $A$ 導分であり（$I/I^2$ は $P/I$ 加群、したがって $P$ 加群）、$x \in I$ なら $D(x) = x \bmod I^2$ である。
2. 定理 5.2 の $\delta\colon I/I^2 \to (P/I) \otimes_P \Omega_{P/A}$ は、$r \circ \delta = \mathrm{id}$ となる $P/I$ 線形写像 $r$ をもつ。とくに $\delta$ は単射である。

証明（補題 6.4）

(1) $\pi_2(D(p)) = [p]_1 - [p]_1 = 0$ なので $D(p) \in \ker\pi_2 = I/I^2$ です。$p \mapsto [p]_k$ と $s$ は加法的なので $D$ も加法的で、$s$ が $A$ 代数の準同型なので $D(\rho(a)) = a[1]_2 - a\,s([1]_1) = 0$ です。$[p]_2 = s([p]_1) + D(p)$ と書くと

$$[pq]_2 = \bigl(s([p]_1) + D(p)\bigr)\bigl(s([q]_1) + D(q)\bigr) = s([pq]_1) + s([p]_1)D(q) + s([q]_1)D(p)$$

です（$D(p)D(q) \in (I/I^2)^2 = 0$）。$I/I^2$ への $s([p]_1)$ の作用は $[p]_2$ の作用と同じ（差 $D(p)$ は $I/I^2$ を $0$ に写す）、すなわち $p$ の作用なので、$D(pq) = p\,D(q) + q\,D(p)$ です。$x \in I$ なら $[x]_1 = 0$ なので $D(x) = [x]_2$ です。

(2) 定理 2.5 と 補題 2.3 により、$D$ から $r(1 \otimes dp) = D(p)$ となる $P/I$ 線形写像 $r\colon (P/I) \otimes_P \Omega_{P/A} \to I/I^2$ が得られます。$x \in I$ について $r(\delta(\bar x)) = r(1 \otimes dx) = D(x) = \bar x$ です。

∎

定理 6.5（形式的に滑らかな代数の Ω は射影的）✓

$B$ を $A$ 上形式的に滑らかな $A$ 代数とし、$P = A[x_1, \ldots, x_n]$ からの全射 $P \to B$ の核を $I$ とする。このとき

$$0 \to I/I^2 \xrightarrow{\ \delta\ } B \otimes_P \Omega_{P/A} \to \Omega_{B/A} \to 0$$

は分裂する短完全列で、$\Omega_{B/A}$ は有限生成射影 $B$ 加群である。

証明（定理 6.5）

$C = P/I^2$、$J = I/I^2$ とすると $J^2 = 0$、$C/J = P/I \cong B$ です。形式的な滑らかさにより $\mathrm{id}_B$ は $A$ 代数の準同型 $s\colon B \to P/I^2$ に持ち上がり、$s$ は $\pi_2 \circ s = \mathrm{id}$ を満たします。補題 6.4 により $\delta$ は単射で左逆写像 $r$ をもち、定理 5.2 と合わせて列は完全で、命題 4.4［加群・完全列・中山の補題］ により分裂します。$B \otimes_P \Omega_{P/A} \cong B^n$（命題 4.2 の (1)）なので、$\Omega_{B/A}$ は $B^n$ の直和因子で、定理 3.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ により有限生成射影加群です。

∎

例 6.6（尖点は形式的に滑らかでない）

例 5.4 の $B = k[x, y]/(y^2 - x^3)$ は $k$ 上形式的に滑らかではありません。滑らかなら 定理 6.5 により $\Omega_{B/k}$ は有限生成射影加群です。$B$ は整域なので（例 3.4［整拡大］）、$\operatorname{Spec} B$ は連結です（自明でない冪等元 $e$ は $e(1-e) = 0$ から整域に存在しない。命題 4.8［局所化と素イデアルのスペクトル］）。命題 5.4［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ により階数 $r$ は一定で、各極大イデアル $\mathfrak{n}$ で $\Omega_{B/k} \otimes \kappa(\mathfrak{n}) \cong \kappa(\mathfrak{n})^r$ です。しかしこの次元は原点で $2$、点 $(1, 1)$ で $1$ でした。対照的に $k[x, y]/(y - x^2) \cong k[x]$ は 命題 6.2 の (1) により滑らかです。

7. 体の拡大と分離性

体の拡大 $L/K$ については、$\Omega_{L/K}$ が分離性をちょうど測ります。標数 $p > 0$ では、$L$ の元の $p$ 乗全体 $L^p = \{x^p : x \in L\}$ と $K$ が生成する部分体を $K(L^p)$ と書きます。

定理 7.1（分離拡大と Ω = 0）✓

$L/K$ を有限次拡大とする。

1. $L/K$ が分離拡大（定義 6.10［多項式環と体の拡大］）であることと、$\Omega_{L/K} = 0$ であることは同値である。
2. $K$ の標数が $p > 0$ なら、これらは $L = K(L^p)$ とも同値である。

証明（定理 7.1）

分離的なら $\Omega_{L/K} = 0$。 $\alpha \in L$ の $K$ 上の最小多項式を $f$ とします。$f$ は分離的なので、命題 6.11［多項式環と体の拡大］ により $f' \ne 0$ です。$f'(\alpha) = 0$ なら $\alpha$ の最小多項式 $f$ が $f'$ を割りますが、$\deg f' < \deg f$ なので $f' = 0$ となり矛盾します。よって $f'(\alpha) \ne 0$ です。補題 2.2 の (1) から $0 = d(f(\alpha)) = f'(\alpha)\,d\alpha$ で、$f'(\alpha)$ は体 $L$ の $0$ でない元なので $d\alpha = 0$ です。$\Omega_{L/K}$ は $d\alpha$ で生成されるので $0$ です。

標数 $0$ では、すべての代数拡大が分離的なので（命題 6.11［多項式環と体の拡大］）、(1) の逆向きも成り立ちます。以下、標数を $p > 0$ とします。

$\Omega_{L/K} = 0$ なら $L = K(L^p)$。 対偶を示します。$K(L^p) \ne L$ とします。$K(L^p)$ を含む $L$ の真の部分体のうち $K$ 上の次元が最大のもの $L'$ を取ります（$K(L^p)$ 自身が候補なので存在します）。$\beta \in L \setminus L'$ を取ると、$L'(\beta)$ は $L'$ より真に大きい中間体なので $L'(\beta) = L$ です。$c = \beta^p \in L^p \subseteq L'$ とおくと、$L[x]$ で $x^p - c = (x - \beta)^p$ です（補題 7.1［多項式環と体の拡大］）。$\beta$ の $L'$ 上の最小多項式 $g$ はこれを割るので、$L[x]$ の素元分解の一意性（定理 2.5［多項式環と体の拡大］）から $g = (x - \beta)^r$（$1 \le r \le p$）です。$x^{r-1}$ の係数 $-r\beta$ は $L'$ に入るので、$r < p$ なら $r$ は $L'$ で可逆で $\beta \in L'$ となり矛盾します。よって $g = x^p - c$ で、命題 6.2［多項式環と体の拡大］ により $L \cong L'[x]/(x^p - c)$ です。系 5.3 から

$$\Omega_{L/L'} \cong L\,dx/L\,(p x^{p-1}\,dx) = L\,dx \ne 0$$

です。定理 5.1（$K \to L' \to L$）により $\Omega_{L/K} \to \Omega_{L/L'}$ は全射なので、$\Omega_{L/K} \ne 0$ です。

$L = K(L^p)$ なら分離的。 $K$ と $L^p$ で生成される $K$ 部分代数 $R$ は、$p$ 乗の積が $p$ 乗であることから、$L^p$ の元の $K$ 係数の一次結合の全体です。$R$ は有限次元の整域なので体です（$0$ でない $r$ による掛け算は $R$ の単射な $K$ 線形変換で、有限次元なので全射）。よって $R = K(L^p) = L$ です。$L$ の $K$ 上の基底 $e_1, \ldots, e_n$ を取ると、$x = \sum_i c_ie_i$ について $x^p = \sum_i c_i^pe_i^p$ なので、$e_1^p, \ldots, e_n^p$ は $L$ を張り、$n$ 個なので基底です。したがって、$K$ 上一次独立な $v_1, \ldots, v_m \in L$ について $v_1^p, \ldots, v_m^p$ も一次独立です（$v_i$ を基底に延長し（命題 5.7［ベクトル空間と線形変換］ の (2)）、その $p$ 乗が基底であることを使う）。

$\alpha \in L$ が分離的でないとし、最小多項式を $f$、$d = \deg f$ とします。命題 6.11［多項式環と体の拡大］ により $f(x) = h(x^p)$ で、$\deg h = d/p$ です。$1, \alpha, \ldots, \alpha^{d-1}$ は一次独立なので（命題 6.2［多項式環と体の拡大］）、$1, \alpha^p, \ldots, \alpha^{p(d-1)}$ も一次独立です。しかし $h(\alpha^p) = 0$ は $1, \alpha^p, \ldots, \alpha^{p \cdot d/p}$ の非自明な一次関係で、$d/p \le d - 1$ なのでこれらは上の一次独立な組の一部です。矛盾です。

∎

例 7.2（非分離拡大 $𝔽_p(t)/𝔽_p(t^p)$ と p 基底）

$p$ を素数、$L = \mathbb{F}_p(t)$、$K = \mathbb{F}_p(s)$（$s = t^p$）とします。$x^p - s$ は $K$ 上既約で（例 6.12［多項式環と体の拡大］）、$L = K(t) \cong K[x]/(x^p - s)$ です。系 5.3 から $\Omega_{L/K} = L\,dt$ は $1$ 次元で、定理 7.1 のとおり $L/K$ は分離的でありません。

第一基本完全列 $L \otimes_K \Omega_{K/\mathbb{F}_p} \to \Omega_{L/\mathbb{F}_p} \to \Omega_{L/K} \to 0$ を見ると、$\Omega_{K/\mathbb{F}_p} = K\,ds$、$\Omega_{L/\mathbb{F}_p} = L\,dt$（多項式環の局所化。命題 4.2）で、左の写像は $ds = d(t^p) = pt^{p-1}dt = 0$ により零写像です。つまり左端の写像は一般に単射ではありません。

一般に標数 $p$ の有限次拡大 $L/K$ について、$L = K(L^p)(t_1, \ldots, t_r)$ となる極小な $t_1, \ldots, t_r$ を $L/K$ の $p$ 基底といいます。この例では $\{t\}$ が $p$ 基底で、$dt$ が $\Omega_{L/K}$ の基底です。一般にも $dt_1, \ldots, dt_r$ が $\Omega_{L/K}$ の基底になります（演習 12.2 は $r = 2$ の場合です）。

分離拡大は、平方零拡大に沿って一意に持ち上がります。これが Hensel の補題の「単根は持ち上がる」の無限小版です。

補題 7.3（有限次分離拡大は形式的にエタール）✓

$L/K$ を有限次分離拡大とすると、$L$ は $K$ 上形式的にエタールである。

証明（補題 7.3）

単拡大の場合。 まず、$L = K(\alpha)$ で、$\alpha$ の $K$ 上の最小多項式 $f$ が $f'(\alpha) \ne 0$ を満たすときに示します。$K$ 代数 $C$、$J^2 = 0$ となるイデアル $J$、$K$ 代数の準同型 $u\colon L \to C/J$ を取ります。命題 6.2［多項式環と体の拡大］ により $L \cong K[x]/(f)$ なので、$K$ 代数の準同型 $L \to C$ は $f(a) = 0$ となる $a \in C$ と（$\alpha \mapsto a$ により）一対一に対応し（補題 3.1［加群・完全列・中山の補題］）、$u$ の持ち上げは $f(a) = 0$ かつ $a$ の像が $\bar a = u(\alpha)$ となる $a$ と対応します。

$\bar a$ の代表元 $a_0 \in C$ を一つ取ると $f(a_0) \in J$ です。多項式の恒等式 $f(x + y) = f(x) + f'(x)y + y^2 g(x, y)$（各単項式を二項展開）と $J^2 = 0$ から、$y \in J$ について $f(a_0 + y) = f(a_0) + f'(a_0)y$ です。$f'(a_0)$ の $C/J$ での像 $u(f'(\alpha))$ は、$L$ の $0$ でない元 $f'(\alpha)$ の像なので単元です。よって $f'(a_0)c' = 1 - z$（$z \in J$）となる $c' \in C$ があり、$(1 - z)(1 + z) = 1$ から $f'(a_0)$ は $C$ の単元です。よって $f(a_0 + y) = 0$ となる $y \in J$ は $y = -f'(a_0)^{-1}f(a_0)$ ただ一つです。$\bar a$ の代表元は $a_0 + y$（$y \in J$）の形のものに限るので、持ち上げはちょうど一つです。

一般の場合。 $L$ の $K$ 上の基底 $\alpha_1, \ldots, \alpha_r$ を取り、$K_0 = K$、$K_i = K(\alpha_1, \ldots, \alpha_i)$ とおきます。$\alpha_{i+1}$ の $K$ 上の最小多項式を $f$、$K_i$ 上の最小多項式を $g$ とすると、$K_i[x]$ で $f = gh$ と書けます。$\alpha_{i+1}$ は $K$ 上分離的なので、定理 7.1 の証明の最初の段落と同じ理由（$f' \ne 0$ と $\deg f' < \deg f$）で $f'(\alpha_{i+1}) \ne 0$ で、$f'(\alpha_{i+1}) = g'(\alpha_{i+1})h(\alpha_{i+1})$（$g(\alpha_{i+1}) = 0$）なので $g'(\alpha_{i+1}) \ne 0$ です。単拡大の場合から $K_{i+1}$ は $K_i$ 上形式的にエタールで、命題 6.2 の (3) を繰り返し使って $L = K_r$ は $K$ 上形式的にエタールです。

∎

8. 余接空間とエタール代数

命題 8.1（余接空間と Kähler 微分）✓

$k$ を体、$B$ を $k$ 代数、$\mathfrak{m}$ を $B$ の極大イデアルとし、剰余体 $\kappa = B/\mathfrak{m}$ が $k$ 上有限次分離拡大であるとする。このとき

$$\delta\colon \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 \to \kappa \otimes_B \Omega_{B/k}, \qquad x \bmod \mathfrak{m}^2 \mapsto 1 \otimes dx$$

は $\kappa$ ベクトル空間の同型である。とくに $\kappa = k$（有理点）なら $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 \cong \Omega_{B/k} \otimes_B k$ である。

証明（命題 8.1）

$B/\mathfrak{m}^2 \to \kappa$ の核 $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ は平方零です。補題 7.3 により $\kappa$ は $k$ 上形式的にエタールなので、$\mathrm{id}_\kappa$ は $k$ 代数の準同型 $s\colon \kappa \to B/\mathfrak{m}^2$ に持ち上がります。補題 6.4（$A = k$、$P = B$、$I = \mathfrak{m}$）により $\delta$ は単射です。定理 5.2 の完全列 $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 \xrightarrow{\delta} \kappa \otimes_B \Omega_{B/k} \to \Omega_{\kappa/k} \to 0$ と、定理 7.1 による $\Omega_{\kappa/k} = 0$ から $\delta$ は全射です。

∎

剰余体の分離性は外せません。例 9.7 で、$\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 = 0$ なのに $\Omega \otimes \kappa \ne 0$ となる例を見ます。

体上の有限次代数をエタール代数として特徴づけるために、冪等元の持ち上げを用意します。

補題 8.2（冪等元の持ち上げと直積）✓

1. 環 $C$ のイデアル $J$ が $J^2 = 0$ を満たすとき、$C/J$ の冪等元 $\bar e$ に対し、$e^2 = e$ かつ像が $\bar e$ となる $e \in C$ がただ一つ存在する。
2. $B_1, B_2$ が $A$ 上形式的にエタールなら、直積 $B_1 \times B_2$ も $A$ 上形式的にエタールである。

証明（補題 8.2）

(1) 存在: $\bar e$ の代表元 $c$ を取り、$n = c^2 - c \in J$ とおきます。$e = c + n(1 - 2c)$ とすると、$c$ と $n$ は可換で $n^2 = 0$、$c^2 = c + n$ なので

$$e^2 = c^2 + 2cn(1 - 2c) = c + n + 2cn - 4c^2n = c + n + 2cn - 4(c + n)n = c + n - 2cn = e$$

で、$e \equiv c \pmod J$ です。一意性: $e, e'$ がともに $\bar e$ の冪等な持ち上げなら、$y = e' - e \in J$ について $e + y = (e + y)^2 = e + 2ey$ なので $y = 2ey$、両辺に $e$ を掛けて $ey = 2ey$、よって $ey = 0$ で $y = 2ey = 0$ です。

(2) $A$ 代数 $C$、$J^2 = 0$ となる $J$、$u\colon B_1 \times B_2 \to C/J$ を取り、構造写像を $\lambda\colon A \to C$ とします。$\bar e = u(1, 0)$ は冪等元なので、(1) の冪等な持ち上げ $e$ を取ります。$Ce$ は $e$ を単位元とする環で、$a \mapsto \lambda(a)e$ により $A$ 代数、$Je$ は $(Je)^2 = 0$ となるイデアルで、$c e \mapsto \bar c\bar e$ は同型 $Ce/Je \cong (C/J)\bar e$ を与えます（核は $Ce \cap J = Je$）。$b_1 \mapsto u(b_1, 0)$ は $A$ 代数の準同型 $B_1 \to (C/J)\bar e$ なので、$B_1$ が形式的にエタールであることから、ただ一つの持ち上げ $v_1\colon B_1 \to Ce$ があります。同様に $1 - e$ について $v_2\colon B_2 \to C(1 - e)$ があります。$v(b_1, b_2) = v_1(b_1) + v_2(b_2)$ は、$Ce \cdot C(1 - e) = 0$ から積を保ち、$1$ を $e + (1 - e) = 1$ に写す $A$ 代数の準同型で、$u$ の持ち上げです。

一意性: $w$ を $u$ の持ち上げとすると、$w(1, 0)$ は $\bar e$ の冪等な持ち上げなので (1) から $e$ です。$w(b_1, 0) = w(b_1, 0)w(1, 0) \in Ce$ で、$b_1 \mapsto w(b_1, 0)$ は $B_1 \to Ce$ の持ち上げなので $v_1$ に一致し、同様に $w(0, b_2) = v_2(b_2)$ です。よって $w = v$ です。

∎

定義 8.3（体上のエタール代数）↗

$k$ を体とする。$k$ 上有限次元の $k$ 代数 $B$ が $k$ 上形式的にエタールであるとき、$B$ を $k$ 上の（有限）エタール代数という。

定理 8.4（体上のエタール代数の特徴づけ）✓

$k$ を体、$B \ne 0$ を $k$ 上有限次元の $k$ 代数とする。次は同値である。

1. 有限次分離拡大 $L_1, \ldots, L_r$ について $B \cong L_1 \times \cdots \times L_r$ である。
2. $B$ はエタール代数である。
3. $B$ は $k$ 上形式的に不分岐である。
4. $\Omega_{B/k} = 0$ である。

証明の方針です。(1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇔ (4) は、直前までの補題と命題から短く従います。山場は (4) ⇒ (1) です。$\Omega = 0$ の有限次元代数を Artin 環の構造定理で局所環の直積に分け、各成分の極大イデアルが $0$ であること（成分が剰余体そのものであること）と、その剰余体が分離拡大であることを示します。

証明（定理 8.4）

(1) ⇒ (2): 補題 7.3 により各 $L_i$ は形式的にエタールで、補題 8.2 の (2) を $r$ に関する帰納法で使えば（$L_1 \times \cdots \times L_r = (L_1 \times \cdots \times L_{r-1}) \times L_r$）、積も形式的にエタールです。(2) ⇒ (3) は定義です。(3) ⇔ (4) は 命題 6.3 です。

(4) ⇒ (1): $B$ のイデアルは $k$ 部分空間なので、イデアルの降鎖は次元が減る回数が有限で止まり、$B$ は Artin 環です。定理 6.4［Noether 環と Artin 環］ により $B \cong B_1 \times \cdots \times B_r$（各 $B_i = B/I_i$ は Artin 局所環）です。定理 5.2 から $\Omega_{B_i/k}$ は $B_i \otimes_B \Omega_{B/k} = 0$ の剰余なので $0$ です。よって $(B_i, \mathfrak{n}, K)$ を $\Omega_{B_i/k} = 0$ となる有限次元の Artin 局所環として、$\mathfrak{n} = 0$ と $K/k$ が分離的であることを示せば十分です。

$K$ は $B_i$ の剰余なので $k$ 上有限次で、定理 5.2 から $\Omega_{K/k}$ は $K \otimes \Omega_{B_i/k} = 0$ の剰余なので $0$、定理 7.1 により $K/k$ は分離的です。命題 6.1［Noether 環と Artin 環］ の (3) により $\mathfrak{n} = \operatorname{Jac}(B_i)$ は冪零なので、補題 7.3 と 命題 6.2 の (4) から、$\mathrm{id}_K$ は $k$ 代数の準同型 $\sigma\colon K \to B_i$ に持ち上がります。$\sigma$ により $B_i$ を $K$ 代数とみると、$K \to B_i \to B_i/\mathfrak{n} = K$ は恒等写像です。定理 5.1（$k \to K \to B_i$）から $\Omega_{B_i/K}$ は $\Omega_{B_i/k} = 0$ の像なので $0$ です。命題 8.1 を $K$ 上の代数 $B_i$ と有理点 $\mathfrak{n}$ に使うと $\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2 \cong \Omega_{B_i/K} \otimes K = 0$ です。$\mathfrak{n}$ は有限次元なので有限生成で、$\mathfrak{n} = \mathfrak{n} \cdot \mathfrak{n}$ と中山の補題（定理 3.5［加群・完全列・中山の補題］ の (1)）から $\mathfrak{n} = 0$ です。よって $B_i = K$ です。

∎

例 8.5（エタール代数の例と反例）

• $\mathbb{R}[x]/(x^2 + 1) \cong \mathbb{C}$、$\mathbb{R}[x]/(x^2 - 1) \cong \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ はエタールです。$\mathbb{R}[x]/(x^2)$ は $\Omega = \mathbb{R}[x]/(x^2)\,dx/(2x\,dx) \ne 0$ でエタールではありません。
• 一般に $f \in k[x]$ がモニックなら、$k[x]/(f)$ がエタールであることは、系 5.3 により $f'$ が $k[x]/(f)$ の単元であること、すなわち $f$ と $f'$ が互いに素であることと同値です。
• 例 5.5 の計算は、$\mathbb{F}_p[x]/(x^2 + 1)$ が $p$ 奇素数でエタール、$p = 2$ でエタールでないことを示しています。

注意 8.6（エタール代数と Hensel 局所環）

系 7.4［完備化と Artin–Rees の補題］ の (2) は、エタール代数の言葉では次のように読めます。Hensel 局所環（定義 7.1［完備化と Artin–Rees の補題］）$(A, \mathfrak{m}, k)$ とモニック多項式 $f$ について、$\bar f(\alpha) = 0$、$\bar f'(\alpha) \ne 0$ となる $\alpha$ は $k$ 代数の準同型 $k[x]/(\bar f) \to k$ で、$\bar f'(\alpha) \ne 0$ は $k[x]/(\bar f)$ が $\alpha$ の近くでエタールであることを意味します。この点が $A[x]/(f) \to A$ に持ち上がる、というのが Hensel 性です。補題 7.3 の証明の単拡大の段は、平方零拡大に沿って単根を一意に持ち上げる議論（Newton 法の 1 段）で、完備局所環での Hensel の補題はこれを $\mathfrak{m}$ 進的に繰り返したものと見なせます。Hensel 局所環を「有限エタール代数の点が剰余体から持ち上がる局所環」として特徴づける理論は、J. S. Milne『Étale Cohomology』第 I 章にあります。

9. Jacobi 判定法

定義 9.1（完全体）↗

体 $k$ が完全体であるとは、$k$ の標数が $0$ であるか、標数 $p > 0$ で Frobenius 写像 $k \to k$、$a \mapsto a^p$ が全射であることをいう。

有限体は完全体です（Frobenius 写像は単射で（補題 7.1［多項式環と体の拡大］）、有限集合の単射は全射）。代数閉体も完全体です（$x^p - a$ が根をもつ）。$\mathbb{F}_p(t)$ は完全体ではありません（$t$ は $p$ 乗でない）。

補題 9.2（完全体の有限次拡大は分離的）✓

$k$ を完全体とすると、$k$ の有限次拡大はすべて分離拡大である。

証明（補題 9.2）

標数 $0$ なら 命題 6.11［多項式環と体の拡大］ です。標数 $p > 0$ で、既約多項式 $f$ が分離的でないとすると、同じ命題から $f = \sum_i a_i x^{pi}$ と書けます。$k$ は完全体なので $a_i = b_i^p$ となる $b_i$ があり、補題 7.1［多項式環と体の拡大］ を $k[x]$ に使うと $f = \bigl(\sum_i b_i x^i\bigr)^p$ です。$f$ は定数でないので $\sum_i b_ix^i$ も定数でなく、$p \ge 2$ なので $f$ は既約でありません。矛盾です。

∎

定義 9.3（Jacobi 行列）↗

$f_1, \ldots, f_m \in k[x_1, \ldots, x_n]$ と、$f_j$ をすべて含む極大イデアル $P$ について、$\kappa(P) = k[x_1, \ldots, x_n]/P$ 成分の $m \times n$ 行列

$$J(P) = \Bigl(\frac{\partial f_j}{\partial x_i} \bmod P\Bigr)_{1 \le j \le m,\ 1 \le i \le n}$$

を $P$ における Jacobi 行列という。$m$ 本の行ベクトルが $\kappa(P)^n$ で張る部分空間の次元を $\operatorname{rank} J(P)$ と書く（行列の階数）。

$P = (x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n)$（$a \in k^n$）なら、$J(P)$ は偏微分を点 $a$ で値を取った普通の Jacobi 行列です。

定理 9.4（Jacobi 判定法）✓

$k$ を完全体、$B = k[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)$ とし、$\mathfrak{n}$ を $B$ の極大イデアル、$P$ をその $k[x_1, \ldots, x_n]$ への引き戻しとする。

1. $\dim_{\kappa} \mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2 = n - \operatorname{rank} J(P)$ である（$\kappa = B/\mathfrak{n}$）。
2. $\operatorname{rank} J(P) \le n - \dim B_{\mathfrak{n}}$ である。
3. $B_{\mathfrak{n}}$ が正則局所環であることと、$\operatorname{rank} J(P) = n - \dim B_{\mathfrak{n}}$ であることは同値である。

$n - \dim B_{\mathfrak{n}}$ は、点 $\mathfrak{n}$ における $B$ の $n$ 次元アフィン空間の中での余次元です（$k[x_1, \ldots, x_n]_P$ の次元は $n$ なので）。(3) は「Jacobi 行列の階数が余次元に等しい点が正則な点」と言っています。

証明（定理 9.4）

(1) 定理 5.4［Noether の正規化と Hilbert の零点定理］ の (3) により $\kappa$ は $k$ 上有限次で、補題 9.2 により分離的です。命題 8.1 から $\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2 \cong \kappa \otimes_B \Omega_{B/k}$ です。系 5.3 は完全列 $B^m \to B^n \to \Omega_{B/k} \to 0$（左の写像は $e_j \mapsto \sum_i \overline{\partial f_j/\partial x_i}\,e_i$）を与え、$\kappa \otimes_B -$ を施すと右完全性（定理 2.8［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）から完全列 $\kappa^m \to \kappa^n \to \kappa \otimes_B \Omega_{B/k} \to 0$ を得ます。$\kappa = k[x]/P$ なので、左の写像の像は $J(P)$ の行ベクトルが張る部分空間 $W$ です。$\kappa^n \to \kappa^n/W$ に 定理 7.3［ベクトル空間と線形変換］ を使って $\dim \kappa \otimes_B \Omega_{B/k} = n - \dim W = n - \operatorname{rank} J(P)$ です。

(2)(3) $B$ は Noether 環で（系 4.1［Noether 環と Artin 環］）、$B_{\mathfrak{n}}$ は剰余体 $\kappa$ の Noether 局所環です（命題 3.10［局所化と素イデアルのスペクトル］）。$S = B \setminus \mathfrak{n}$ とすると、$S^{-1}(\mathfrak{n}^2) = (S^{-1}\mathfrak{n})^2$（$xy/s = (x/1)(y/s)$ と $(x/s)(y/t) = xy/st$）で、局所化の完全性（定理 5.2［加群・完全列・中山の補題］）から $\mathfrak{n}B_{\mathfrak{n}}/\mathfrak{n}^2B_{\mathfrak{n}} \cong S^{-1}(\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2)$ です。$s \in S$ は $\kappa$ ベクトル空間 $\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2$ に $0$ でないスカラー $\bar s$ として全単射に作用するので、$v \mapsto v/1$ は同型 $\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2 \to S^{-1}(\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2)$ です（$v/1 = 0$ なら $sv = 0$ から $v = 0$、また $v/s = (\bar s^{-1}v)/1$）。よって (1) から

$$\operatorname{edim} B_{\mathfrak{n}} = n - \operatorname{rank} J(P)$$

です。定理 5.2［Krull 次元と単項イデアル定理］ により $\dim B_{\mathfrak{n}} \le \operatorname{edim} B_{\mathfrak{n}}$ なので (2) が成り立ち、定義 6.1［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］ により正則であることは $\dim B_{\mathfrak{n}} = \operatorname{edim} B_{\mathfrak{n}}$、すなわち (3) の等式と同値です。

∎

系 9.5（Jacobi 判定法と正則環）✓

$k$ を完全体、$B = k[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)$ とする。

1. すべての極大イデアル $\mathfrak{n}$（引き戻し $P$）で $\operatorname{rank} J(P) = n - \dim B_{\mathfrak{n}}$ なら、$B$ は正則環である。
2. $B$ が次元 $d$ の整域なら、$B$ が正則環であることと、すべての極大イデアルで $\operatorname{rank} J(P) = n - d$ であることは同値である。
3. 多項式環 $k[x_1, \ldots, x_n]$ は正則環である。

証明（系 9.5）

(1) 定理 9.4 によりすべての $B_{\mathfrak{n}}$ が正則局所環なので、系 7.2［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］ により $B$ は正則環です。(2) 定理 7.4［Krull 次元と単項イデアル定理］ の (2) により $B$ のすべての極大イデアルの高さは $d$ で、命題 2.3［Krull 次元と単項イデアル定理］ の (1) により $\dim B_{\mathfrak{n}} = d$ です。定理 9.4 の (3) と 系 7.2［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］ から従います。(3) $m = 0$ とすると $J(P)$ は行をもたず階数 $0$ で、$k[x_1, \ldots, x_n]$ は次元 $n$ の整域です（系 6.3［Krull 次元と単項イデアル定理］）。(2) から正則環です。

∎

尖点 y² = x³。滑らかな点では余接空間 𝔫/𝔫² は 1 次元で接線が一本に決まるが、原点では dx と dy が独立に残り 2 次元になる。

例 9.6（尖点の特異点）

$k$ を標数が $2$ でも $3$ でもない完全体とし、$B = k[x, y]/(y^2 - x^3)$ を考えます。$B$ は整域で（例 3.4［整拡大］）、商体 $k(t)$ の超越次数が $1$ なので次元 $1$ です（定理 7.1［Krull 次元と単項イデアル定理］）。$J(P) = (-3x^2 \ \ 2y) \bmod P$ の階数が $0$ になるのは $x, y \in P$、すなわち $P = (x, y)$ のときだけです（$3, 2$ は $k$ の単元）。よって 系 9.5 の (2) と 定理 9.4 から、$B_{\mathfrak{n}}$ は原点以外のすべての極大イデアルで正則、原点では正則でありません。原点で正則でないことは 例 6.9［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］ でも見ました。剰余体が $k$ より大きい極大イデアル（$k$ が代数閉体でないとき）も、$\kappa(P)$ の中で同じ計算をすれば判定できます。

例 9.7（完全体でないと判定法は壊れる）

$p$ を素数、$k = \mathbb{F}_p(t)$、$B = k[x]/(x^p - t)$ とします。$x^p - t$ は既約なので（例 6.12［多項式環と体の拡大］）$B$ は体で、唯一の極大イデアル $\mathfrak{n} = 0$ で $B_{\mathfrak{n}} = B$ は次元 $0$ の正則局所環です。しかし $J(P) = (px^{p-1}) = (0)$ の階数は $0$ で、$n - \dim B_{\mathfrak{n}} = 1$ と一致しません。実際 $\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2 = 0$ ですが、$\Omega_{B/k} = B\,dx \ne 0$ です。剰余体 $B/\mathfrak{n} = B$ が $k$ 上分離的でないため、命題 8.1 が使えないのです。

注意 9.8（Jacobi 判定法の一般形）

一般の体 $k$ 上では、Jacobi 行列の条件 $\operatorname{rank} J(P) = n - \dim B_{\mathfrak{n}}$ は $B$ が $\mathfrak{n}$ の近くで $k$ 上滑らかであること（$\Omega_{B/k}$ が $\mathfrak{n}$ の近くで階数 $\dim B_{\mathfrak{n}}$ の射影加群になること）を表し、滑らかなら正則ですが、上の例のとおり逆は成り立ちません。素イデアルでの判定や、剰余体が非分離的な場合を含む一般形は、H. Matsumura『Commutative Ring Theory』§30 や D. Eisenbud『Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry』第 16 章を参照してください。この記事では定理環境にしません。

10. Frobenius 写像と Kunz の定理

この節では $p$ を素数とし、標数 $p$ の環（$p \cdot 1 = 0$）を考えます。補題 7.1［多項式環と体の拡大］ により $F\colon A \to A$、$a \mapsto a^p$ は環準同型です。

定義 10.1（Frobenius 写像・F 有限）↗

標数 $p$ の環 $A$ について、$F(a) = a^p$ を Frobenius 写像という。$A$ 自身に $a \cdot m = a^pm$ で $A$ 加群の構造を入れたものを $F_*A$ と書く。$F_*A$ が平坦 $A$ 加群であるとき Frobenius が平坦であるといい、$F_*A$ が有限生成 $A$ 加群であるとき $A$ は F 有限であるという。

例 10.2（多項式環の Frobenius）

$k$ を標数 $p$ の完全体、$A = k[x_1, \ldots, x_n]$ とします。$F_*A$ は、単項式 $x^a$（$0 \le a_i < p$）の $p^n$ 個を基底とする自由 $A$ 加群です。実際、$\lambda x^b$（$\lambda \in k$）は $b = pc + a$（$0 \le a_i < p$）と $\lambda = \mu^p$ を使って $(\mu x^c)^p x^a = (\mu x^c) \cdot x^a$ と書けるので生成します。$\sum_a g_a^p x^a = 0$（$g_a \in A$）なら、$g_a^p x^a$ に現れる単項式の指数は $p$ を法として $a$ に合同で、$a$ ごとに交わらないので、各 $g_a^p = 0$、よって $g_a = 0$ です。とくに $A$ は F 有限で、Frobenius は平坦です。

正則局所環が F 有限なら、Frobenius が平坦であることは前の章までの道具で示せます。

命題 10.3（F 有限な正則局所環の Frobenius）✓

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を標数 $p$ の正則局所環で F 有限とする。このとき $F_*A$ は有限階数の自由 $A$ 加群であり、とくに Frobenius は平坦である。

証明（命題 10.3）

$d = \dim A$、$x_1, \ldots, x_d$ を正則パラメータ系とします（$\mathfrak{m} = (x_1, \ldots, x_d)$）。$I = (x_1^p, \ldots, x_d^p)$ の根基は各 $x_i$ を含むので $\mathfrak{m}$ で、補題 4.1［Krull 次元と単項イデアル定理］ により $I$ は $\mathfrak{m}$ 準素、$x_1^p, \ldots, x_d^p$ はパラメータ系です（定義 5.1［Krull 次元と単項イデアル定理］）。$A$ は CM なので（系 6.5［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）、定理 3.5［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］ により $x_1^p, \ldots, x_d^p$ は $A$ の正則列です。

$F_*A$ の加法群は $A$ で、$x_i$ は $x_i^p$ の掛け算として作用し、$(x_1, \ldots, x_{i-1})F_*A = (x_1^p, \ldots, x_{i-1}^p)A$ です。したがって 定義 7.1［Tor・Ext と深さ］ の条件は $F_*A$ の上の $x_1, \ldots, x_d$ と $A$ の上の $x_1^p, \ldots, x_d^p$ で同じで、$x_1, \ldots, x_d$ は $F_*A$ 正則列です。$\mathfrak{m}F_*A = (x_1^p, \ldots, x_d^p)A \ne A$ なので、系 7.6［Tor・Ext と深さ］ の (1) から $\operatorname{depth} F_*A \ge d$ です。

$F_*A$ は有限生成で、定理 7.1［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］ により $\operatorname{gldim} A = \operatorname{depth} A = d$ なので $\operatorname{pd} F_*A < \infty$ です。Auslander–Buchsbaum の公式（定理 9.1［Tor・Ext と深さ］）から $\operatorname{pd} F_*A = d - \operatorname{depth} F_*A \le 0$ で、$F_*A \ne 0$ なので $\operatorname{pd} F_*A = 0$、すなわち $F_*A$ は射影的です。定理 5.1［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ により有限生成射影加群は自由で、命題 4.4［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (1) により平坦です。

∎

定理 10.4（Kunz の定理）※

$A$ を標数 $p > 0$ の Noether 環とする。$A$ が正則環であることと、Frobenius 写像 $F\colon A \to A$ が平坦であること（$F_*A$ が平坦 $A$ 加群であること）は同値である。

注意 10.5（主張のみとする理由と出典）

この定理は証明を書かず主張のみとします。Rikai の中で証明済みなのは、F 有限な正則局所環で Frobenius が自由になること（命題 10.3）だけです。残りの部分が要するものは次のとおりです。

• 「正則 ⇒ 平坦」の一般の場合。 平坦性は局所的なので（命題 4.4［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (5)）正則局所環で示せばよいのですが、F 有限でないと $F_*A$ は有限生成でなく、上の証明の Auslander–Buchsbaum の公式も局所平坦性判定（定理 5.2［Tor・Ext と深さ］）も使えません。標準的な道筋は、完備化 $\widehat{A}$（定理 6.7［完備化と Artin–Rees の補題］ により忠実平坦）に移り、正標数の Cohen の構造定理（定理 8.4［完備化と Artin–Rees の補題］。Rikai では主張のみ）で $\widehat{A} \cong k[[x_1, \ldots, x_d]]$ とし、冪級数環で Frobenius の平坦性を確かめてから $A$ に降ろすものです。標数 $0$ の構造定理（系 8.3［完備化と Artin–Rees の補題］）は証明済みですが、Frobenius は標数 $p$ の概念なのでこちらは使えません。この依存のため、閉包は Cohen の構造定理で切れます。
• 「平坦 ⇒ 正則」。 Frobenius が平坦なら Frobenius の冪 $F^e$ も平坦で、$q = p^e$ について剰余体の極小自由分解に $F^e$ を施すと $A/\mathfrak{m}^{[q]}$（$\mathfrak{m}^{[q]}$ は $\mathfrak{m}$ の元の $q$ 乗で生成されるイデアル）の極小自由分解になります。正則な場合には、Koszul 複体が剰余体の極小自由分解であること（命題 2.6［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）がちょうどこの形をしています。この情報から正則性を引き出すには、Kunz による長さ $\ell(A/\mathfrak{m}^{[q]})$ と $q^{\dim A}$ の比較、あるいは Herzog による Betti 数の比較で $\operatorname{pd} k < \infty$ を導いて Serre の正則性定理（定理 7.1［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）に戻す議論が要り、どちらもこの記事の範囲を超える 1 節分の評価を必要とします。なお正則局所環が整域であること（定理 6.3［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）は、$F$ が単射であることを保証します。

出典: E. Kunz, “Characterizations of regular local rings of characteristic $p$”, Amer. J. Math. 91 (1969), 772–784。J. Herzog, “Ringe der Charakteristik $p$ und Frobeniusfunktoren”, Math. Z. 140 (1974), 67–78。

例 10.6（正則でない環の Frobenius）

$k$ を標数 $p$ の完全体、$A = k[x]/(x^2)$ とします。$A$ は次元 $0$ で $\operatorname{edim} A = 1$ なので正則ではありません。$F(x) = x^p = 0$ なので、$x$ は $F_*A$ に $0$ として作用します。$F_*A$ は $k$ 上 $2$ 次元なので有限生成で、もし平坦なら 定理 5.2［Tor・Ext と深さ］ により自由ですが、$0$ でない自由 $A$ 加群では $x$ は $0$ として作用しません。よって Frobenius は平坦でなく、定理 10.4 と整合します。

11. 優秀環

Noether 環のなかには、完備化すると冪零元が現れる、正規化が有限にならない、鎖状でない、といった「病的」な環があります。代数幾何学と数論で現れる環はこれらを起こさず、その性質をまとめたのが Grothendieck の優秀環です。この記事では定義と簡単な例だけを述べます。

定義 11.1（幾何的正則性）↗

$k$ を体、$R$ を Noether $k$ 代数とする。$k$ のすべての有限次拡大 $k'$ について $k' \otimes_k R$ が正則環であるとき、$R$ は $k$ 上幾何的に正則であるという。

$k' \otimes_k R$ は $R$ 上有限生成の加群なので Noether 環です。例 9.7 の $B = k[x]/(x^p - t)$ は正則（体）ですが、$k' = k(t^{1/p})$ とすると $k' \otimes_k B \cong k'[x]/(x - t^{1/p})^p$ は被約でなく正則ではないので、幾何的に正則ではありません。

定義 11.2（G 環・J-2 環・永田環・優秀環）↗

$A$ を Noether 環とする。

1. すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ について、局所環 $A_{\mathfrak{p}}$ の形式ファイバー（定義 6.8［完備化と Artin–Rees の補題］）$\widehat{A_{\mathfrak{p}}} \otimes_{A_{\mathfrak{p}}} \kappa(\mathfrak{q})$ が、$A_{\mathfrak{p}}$ のすべての素イデアル $\mathfrak{q}$ で $\kappa(\mathfrak{q})$ 上幾何的に正則であるとき、$A$ を G 環という。
2. すべての有限生成 $A$ 代数 $B$ について、正則な点の集合 $\operatorname{Reg}(B) = \{\mathfrak{q} \in \operatorname{Spec} B : B_{\mathfrak{q}} \text{ は正則}\}$ が $\operatorname{Spec} B$ の開集合であるとき、$A$ を J-2 環という。
3. すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ と $\operatorname{Frac}(A/\mathfrak{p})$ のすべての有限次拡大体 $L$ について、$A/\mathfrak{p}$ の $L$ における整閉包が有限生成 $A/\mathfrak{p}$ 加群であるとき、$A$ を永田環（普遍的に日本的な環）という。
4. G 環かつ J-2 環であるとき準優秀環、さらに普遍鎖状（定義 4.1［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）であるとき優秀環という。

例 11.3（定義から確かめられること）

• 体 $k$ の素イデアルは $0$ だけで、$k$ の完備化は $k$ 自身なので形式ファイバーは $k \otimes_k k = k$、$k' \otimes_k k = k'$ は体（次元 $0$ の正則局所環）なので、$k$ は G 環です。有限生成 $k$ 代数は鎖状なので（系 7.5［Krull 次元と単項イデアル定理］）普遍鎖状で、有限次拡大 $L$ における $k$ の整閉包は $L$ 自身なので永田環です。J-2 であることは次の注意の基本定理によります。
• 標数 $0$ の体 $k$ 上の $A = k[x]_{(x)}$ では、形式ファイバーは $k$ と $k((x))$ でした（例 6.9［完備化と Artin–Rees の補題］）。$k(x)$ の有限次拡大 $k'$ は分離的なので $k' \cong k(x)[t]/(g)$（$g$ は重根をもたない）と書け、$k((x)) \otimes_{k(x)} k' \cong k((x))[t]/(g)$ は $g$ の $k((x))[t]$ での相異なる既約因子に対応する体の直積（中国剰余定理）なので、正則です。
• Cohen–Macaulay 環は普遍鎖状なので（系 4.4［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）、正則環はとくに普遍鎖状です。

注意 11.4（優秀環の基本定理（文献のみ））

Grothendieck と永田による基本定理: 体、$\mathbb{Z}$、標数 $0$ の Dedekind 整域、完備 Noether 局所環は優秀環で、優秀環上の有限生成代数とその局所化は優秀環です。また準優秀環の局所化・剰余と、優秀環の整閉包の有限性（優秀環は永田環）も成り立ちます。証明は形式ファイバーの幾何的正則性を扱う理論全体を要し、本 1 冊分になるので、この記事では定理環境にしません。文献: A. Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique IV, 第 2 部 §7、H. Matsumura『Commutative Ring Theory』§32、永田雅宜『Local Rings』。鎖状でない Noether 環（永田の例）は 注意 7.8［Krull 次元と単項イデアル定理］ で触れました。優秀環はこうした病理を排除する条件です。

12. 演習

演習 12.1易

体 $k$ と $B = k[x, y]/(xy - 1)$ について、$\Omega_{B/k}$ が $dx$ を基底とする階数 $1$ の自由 $B$ 加群であることを、系 5.3 を使って示してください。

解答

$f = xy - 1$ について $df = y\,dx + x\,dy$ なので、$\Omega_{B/k} \cong (B\,dx \oplus B\,dy)/B(y\,dx + x\,dy)$ です。$B$ では $xy = 1$ なので $x$ は単元です。$B$ 線形写像 $\phi\colon B\,dx \oplus B\,dy \to B$、$(a, b) \mapsto a - by^2$ は全射で（$(a, 0) \mapsto a$）、$\phi(y, x) = y - xy^2 = y - y = 0$ です。逆に $\phi(a, b) = 0$ なら $a = by^2$ で、$(a, b) = (by^2, bxy) = by(y, x)$ なので $\ker\phi = B(y, x)$ です。よって $\phi$ は同型 $\Omega_{B/k} \cong B$ を誘導し、$dx \mapsto 1$ です（$dy = -y^2\,dx$ に対応）。$B \cong k[x]_x$ なので、命題 4.2 の (1)(2) からも $\Omega_{B/k} \cong k[x]_x\,dx$ と分かります。

演習 12.2標準

$p$ を素数、$K = \mathbb{F}_p(s, t)$（2 変数の有理関数体）、$k = \mathbb{F}_p(s^p, t^p)$ とします。$\dim_K \Omega_{K/k} = 2$ を示してください。

解答

生成。 $K$ は $\mathbb{F}_p[s, t]$ の局所化なので、命題 4.2 の (1)(2) から $\Omega_{K/\mathbb{F}_p} = K\,ds \oplus K\,dt$ です。定理 5.1（$\mathbb{F}_p \to k \to K$）により $\Omega_{K/k}$ はその剰余なので、$ds, dt$ で生成され、次元は $2$ 以下です。

一次独立性。 形式的偏微分 $\partial_s, \partial_t$ は $\mathbb{F}_p[s, t]$ の導分で（補題 2.2 の (4)）、補題 4.1 により $K$ の導分に延びます。$D = \partial_s$ について $D(s^p) = ps^{p-1} = 0$、$D(t^p) = 0$ です。$D$ で $0$ になる元の全体は部分環で（補題 2.2 の (2)）、$D(b) = 0$、$b \ne 0$ なら $0 = D(b \cdot b^{-1}) = b\,D(b^{-1})$ から $D(b^{-1}) = 0$ なので部分体です。よって $k$ 上で $0$ で、$\partial_s, \partial_t \in \operatorname{Der}_k(K)$ です。定理 2.5 の対応で、$\partial_s$ は $ds \mapsto 1, dt \mapsto 0$、$\partial_t$ は $ds \mapsto 0, dt \mapsto 1$ となる $K$ 線形写像 $\Omega_{K/k} \to K$ を与えるので、$ds, dt$ は一次独立です。$\{s, t\}$ は $K/k$ の $p$ 基底で、定理 7.1 により $K/k$ は分離的ではありません。

演習 12.3標準

$k$ を標数 $2$ でない代数閉体とし、$B = k[x, y, z]/(xy - z^2)$（2 次錐）とします。$B_{\mathfrak{n}}$ が正則でない極大イデアル $\mathfrak{n}$ をすべて求めてください。$B$ が次元 $2$ の整域であることは使ってよいものとします。

解答

$k$ は代数閉体なので、$B$ の極大イデアルは点 $a = (a_1, a_2, a_3)$（$a_1a_2 = a_3^2$）に対応する $\mathfrak{m}_a$ の像です（系 4.3［Noether の正規化と Hilbert の零点定理］ の (3)）。$f = xy - z^2$ の Jacobi 行列は $(y \ \ x \ \ {-2z})$ で、点 $a$ では $(a_2, a_1, -2a_3)$ です。代数閉体は完全体で、$B$ は次元 $2$ の整域なので、系 9.5 の (2) と 定理 9.4 の (3) から、$B_{\mathfrak{n}}$ が正則であることは階数が $3 - 2 = 1$、すなわち $(a_2, a_1, -2a_3) \ne 0$ であることと同値です。$2 \ne 0$ なので、これが $0$ になるのは $a = (0, 0, 0)$ のときだけです。よって正則でないのは原点に対応する $\mathfrak{n} = (x, y, z)$ だけです。原点では $\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2$ が $3$ 次元で、次元 $2$ より大きくなっています。

参考文献

• H. Matsumura『Commutative Ring Theory』Cambridge University Press, 1986 — §25–26（導分・Kähler 微分・分離性）、§28（形式的な滑らかさ）、§30（Jacobi 判定法）、§32（優秀環）。
• D. Eisenbud『Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry』Springer, GTM 150, 1995 — 第 16 章（微分加群と Jacobi 判定法）。
• E. Kunz『Kähler Differentials』Vieweg, 1986。
• E. Kunz, “Characterizations of regular local rings of characteristic $p$”, Amer. J. Math. 91 (1969), 772–784。
• J.-P. Serre『Local Fields』Springer, GTM 67, 1979 — 第 III 章（差積と判別式）。
• 松村英之『可換環論』共立出版, 1980。