導分の基本性質

$B$ を $A$ 代数、$M$ を $B$ 加群、$D \in \operatorname{Der}_A(B, M)$ とする。

1. $f \in A[x_1, \ldots, x_n]$ と $b_1, \ldots, b_n \in B$ について、$D(f(b_1, \ldots, b_n)) = \sum_{i=1}^{n} \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(b_1, \ldots, b_n)\,D(b_i)$ である。
2. $\{ b \in B : D(b) = 0 \}$ は $\rho(A)$ を含む $B$ の部分環である。とくに、$B$ が $A$ 代数として $b_1, \ldots, b_n$ で生成されていて、二つの $A$ 導分 $D, D'$ がすべての $b_i$ で一致すれば $D = D'$ である。
3. $\varphi\colon B \to B'$ を $A$ 代数の準同型、$D'\colon B' \to M'$ を $A$ 導分とすると、$M'$ を $\varphi$ により $B$ 加群とみて $D' \circ \varphi$ は $A$ 導分である。$B$ 線形写像 $h\colon M \to N$ について $h \circ D$ は $A$ 導分である。
4. 形式的偏微分 $\partial/\partial x_i$ は $A[x_1, \ldots, x_n]$ の $A$ 導分である。