数学 › 代数幾何 I（多様体とスキーム） › 次元・正規性・非特異性と微分の層

Euler 完全列と射影空間の標準層

定理 8.1（「次元・正規性・非特異性と微分の層」§8）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を環、 $n \ge 1$ 、 $S = A[x_0, \ldots, x_n]$ 、 $X = \mathbb{P}^n_A$ とする。 $\mathcal{O}_X$ 加群の完全列

0 \longrightarrow \Omega_{X/A} \longrightarrow \mathcal{O}_X(-1)^{\oplus(n+1)} \xrightarrow{\ \theta\ } \mathcal{O}_X \longrightarrow 0, \qquad \theta(s_0, \ldots, s_n) = \sum_{i=0}^{n} x_i s_i

がある。 $\Omega_{X/A}$ は階数 $n$ の局所自由層で、 $\det\Omega_{X/A} \cong \mathcal{O}_X(-n-1)$ である。とくに代数閉体 $k$ について $\mathbb{P}^n_k$ は非特異多様体で、 $\omega_{\mathbb{P}^n_k} \cong \mathcal{O}(-n-1)$ 、 $p_g(\mathbb{P}^n_k) = 0$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 363 件、定義なども含めて 420 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 9 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

導分の基本性質✓補題 2.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
導分の局所化への延長✓補題 4.1・Kähler 微分と滑らかさの入口
- 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
- 導分と平方零拡大の持ち上げ✓補題 3.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
Kähler 微分加群の普遍性✓定理 2.5・Kähler 微分と滑らかさの入口
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 導分の基本性質✓補題 2.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
微分の層の基本性質✓定理 5.2・次元・正規性・非特異性と微分の層
- 対角射ははめ込み✓命題 3.2・分離射・固有射と付値判定法
  - ファイバー積の存在✓定理 5.2・スキームの性質と射この先をたどる →
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 閉部分スキームと準連接イデアル層✓定理 5.2・準連接層・連接層と直線束
  - アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 2.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - 閉埋め込みに沿った順像✓補題 5.1・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 引き戻しと順像✓命題 6.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- Kähler 微分加群定義 2.4・Kähler 微分と滑らかさの入口
- Kähler 微分加群の普遍性✓定理 2.5・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
- Noether スキーム✓命題 2.3・スキームの性質と射この先をたどる →
- Kähler 微分の計算規則✓命題 4.2・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
Kähler 微分の計算規則✓命題 4.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
- 導分の基本性質✓補題 2.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
- Kähler 微分加群の普遍性✓定理 2.5・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 係数の拡大と Hom✓補題 2.3・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
- 導分の局所化への延長✓補題 4.1・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
- 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
行列式層の性質✓補題 6.2・次元・正規性・非特異性と微分の層
- 行列式（ライプニッツの公式）定義 3.1・行列式とその性質
- 引き戻しと順像✓命題 6.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- Picard 群✓命題 7.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
ねじり層 O(n)✓定理 8.3・準連接層・連接層と直線束
- 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- Picard 群✓命題 7.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
射影空間は固有✓定理 7.3・分離射・固有射と付値判定法
- アフィン開被覆による分離性の判定✓補題 3.5・分離射・固有射と付値判定法
- 固有性の付値判定法✓定理 5.4・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 分離性の付値判定法✓定理 5.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 分離射・固有射の保存✓命題 6.2・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- Noether スキーム✓命題 2.3・スキームの性質と射この先をたどる →
非特異性と Ω の局所自由性✓定理 7.3・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

爆発と算術種数✓系 7.4・曲面上の交叉理論

Euler 完全列と射影空間の標準層

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 9 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 9 件）

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