数学 › 代数幾何 I（多様体とスキーム） › 次元・正規性・非特異性と微分の層

行列式層の性質

補題 6.2（「次元・正規性・非特異性と微分の層」§6）・ ✓公理まで証明済み

$M$ を $e_1, \ldots, e_n$ を基底とする自由 $A$ 加群とする。 $\bigwedge^n M$ は $e_1 \wedge \cdots \wedge e_n$ を基底とする階数 $1$ の自由加群で、 $v_j = \sum_i a_{ij}e_i$ について $v_1 \wedge \cdots \wedge v_n = \det(a_{ij})\,e_1 \wedge \cdots \wedge e_n$ である。 $r > n$ なら $\bigwedge^r M = 0$ である。
階数 $n$ の局所自由層 $\mathcal{E}$ について $\det\mathcal{E}$ は可逆層である。可逆層 $\mathcal{L}$ について $\det\mathcal{L} = \mathcal{L}$ である。
$0 \to \mathcal{E}' \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}'' \to 0$ を局所自由層の完全列とし、階数を $a$ 、 $n$ 、 $b$ とする。このとき $n = a + b$ で、 $\det\mathcal{E} \cong \det\mathcal{E}' \otimes \det\mathcal{E}''$ である。とくに可逆層 $\mathcal{L}$ について $\det(\mathcal{L}^{\oplus m}) \cong \mathcal{L}^{\otimes m}$ である。
$f\colon X \to Y$ を環付き空間の射とする。 $\mathcal{O}_Y$ 加群 $\mathcal{G}, \mathcal{G}'$ について $f^{*}(\mathcal{G} \otimes \mathcal{G}') \cong f^{*}\mathcal{G} \otimes f^{*}\mathcal{G}'$ である。 $Y$ 上の階数 $n$ の局所自由層 $\mathcal{E}$ について $f^{*}\mathcal{E}$ は階数 $n$ の局所自由層で、 $f^{*}\det\mathcal{E} \cong \det f^{*}\mathcal{E}$ 、 $f^{*}(\mathcal{E}^{\vee}) \cong (f^{*}\mathcal{E})^{\vee}$ である。
階数 $n$ の局所自由層 $\mathcal{E}$ について $\det(\mathcal{E}^{\vee}) \cong (\det\mathcal{E})^{\vee}$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 142 件、定義なども含めて 170 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

行列式（ライプニッツの公式）定義 3.1・行列式とその性質
引き戻しと順像✓命題 6.2・準連接層・連接層と直線束
- テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理
  - テンソル積は双線形写像の関手を表現する✓命題 6.1・米田の補題と表現可能関手この先をたどる →
  - Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - 係数の拡大と制限定義 2.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - 普遍射の族から随伴✓定理 2.7・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
- 逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層
  - 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層この先をたどる →
  - 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層この先をたどる →
  - 随伴は入射対象・射影対象を保つ✓命題 4.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏この先をたどる →
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層この先をたどる →
- 右随伴は極限を保つ✓定理 3.1・随伴関手と随伴関手定理
  - 極限・余極限・完備定義 2.2・極限と余極限
  - mono と核対✓命題 7.1・極限と余極限この先をたどる →
- テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 表現対象の一意性✓系 4.3・米田の補題と表現可能関手
- 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束
  - テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理（上で展開済み）
  - 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層この先をたどる →
  - M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
  - 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層この先をたどる →
  - テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  - テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
  - 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  - 有限表示加群の Hom と局所化✓命題 5.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換この先をたどる →
- 分離スキームのアフィン開集合の交わり✓命題 3.4・分離射・固有射と付値判定法
  - ファイバー積の存在✓定理 5.2・スキームの性質と射この先をたどる →
  - アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 2.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 準連接層・連接層の核・余核・拡大✓命題 4.6・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束
- 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層この先をたどる →
- テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
Picard 群✓命題 7.4・準連接層・連接層と直線束
- テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 層の貼り合わせ✓定理 8.1・層この先をたどる →
- 準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 局所自由性の判定✓定理 7.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- Pic = Cl✓系 4.4・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 3 件

Euler 完全列と射影空間の標準層✓定理 8.1・次元・正規性・非特異性と微分の層
非特異な部分多様体の余法層と随伴公式✓定理 9.1・次元・正規性・非特異性と微分の層
完全列と行列式✓補題 8.1・曲線と Riemann–Roch の定理

行列式層の性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件