分離スキームのアフィン開集合の交わり

命題 3.4（「分離射・固有射と付値判定法」§3）・ ✓公理まで証明済み

$S = \operatorname{Spec} R$ をアフィンスキーム、 $X \to S$ を分離射とする。 $X$ のアフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ 、 $V = \operatorname{Spec} B$ について、 $U \cap V$ はアフィンで、制限写像から定まる環準同型

A \otimes_R B \longrightarrow \Gamma(U \cap V, \mathcal{O}_X), \qquad a \otimes b \longmapsto a|_{U \cap V} \cdot b|_{U \cap V}

は全射である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 80 件、定義なども含めて 102 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ファイバー積の存在✓定理 5.2・スキームの性質と射
- 加群のテンソル積定義 2.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 係数の拡大と制限定義 2.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキーム
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル
    環準同型定義 7.1・環と体の基礎
    素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  - 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキーム
    局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
    環準同型定義 7.1・環と体の基礎
  - 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層
    芽の族の層✓補題 4.2・層この先をたどる →
    茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 随伴定義 2.1・随伴関手と随伴関手定理
  - 構造層の存在✓定理 2.3・アフィンスキームとスキーム
    Spec の位相の基本性質✓定理 4.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
    主開集合の包含と局所化✓補題 2.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
    開基の上の層の延長✓定理 4.4・層（上で展開済み）
    素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
    芽の族の層✓補題 4.2・層この先をたどる →
  - 忠実・充満・本質的全射定義 4.5・圏・関手・自然変換
  - 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換
    圏同値・骨格定義 6.1・圏・関手・自然変換
    選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
    充満忠実な関手は同型を反映する✓補題 4.6・圏・関手・自然変換
    自然同型は成分ごとの同型✓命題 5.2・圏・関手・自然変換
- 射とスキームの貼り合わせ✓定理 5.1・アフィンスキームとスキーム
  - 層の貼り合わせ✓定理 8.1・層
    茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 2.3・分離射・固有射と付値判定法
- アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 4.2・スキームの性質と射
  - 剰余環と局所化のスペクトル✓命題 4.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 0 による延長と完全列✓命題 7.2・層この先をたどる →
  - 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキーム（上で展開済み）
  - 大域切断の局所化とアフィン性の判定✓補題 3.2・スキームの性質と射この先をたどる →
  - 主開集合の包含と局所化✓補題 2.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- アフィン性の判定✓補題 2.2・分離射・固有射と付値判定法
  - 大域切断の局所化とアフィン性の判定✓補題 3.2・スキームの性質と射この先をたどる →
  - Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキーム（上で展開済み）
  - 大域切断の局所化✓補題 2.1・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題

これを使っている定理証明で参照している 2 件

引き戻しと順像✓命題 6.2・準連接層・連接層と直線束
Čech コホモロジーと層コホモロジーの比較（Leray）✓定理 4.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー

分離スキームのアフィン開集合の交わり

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件