ファイバー積の存在

定理 5.2（「スキームの性質と射」§5）・ ✓公理まで証明済み

任意のスキームの射 $f\colon X \to S$ 、 $g\colon Y \to S$ に対し、ファイバー積 $X \times_S Y$ が存在し、射影と両立する同型を除いて一意である。
$X = \operatorname{Spec} A$ 、 $Y = \operatorname{Spec} B$ 、 $S = \operatorname{Spec} R$ のとき、 $X \times_S Y = \operatorname{Spec}(A \otimes_R B)$ で、射影は $a \mapsto a \otimes 1$ 、 $b \mapsto 1 \otimes b$ に対応する。
$U \subseteq X$ 、 $V \subseteq Y$ 、 $W \subseteq S$ を開部分スキームで $f(U) \subseteq W$ 、 $g(V) \subseteq W$ となるものとする。 $X \times_S Y$ の開部分スキーム $p_1^{-1}(U) \cap p_2^{-1}(V)$ は、射影の制限によりファイバー積 $U \times_W V$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 39 件、定義なども含めて 53 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

加群のテンソル積定義 2.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
係数の拡大と制限定義 2.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキーム
- 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
- 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキーム
  - 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトル
    極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
- 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層
    茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 随伴定義 2.1・随伴関手と随伴関手定理
- 構造層の存在✓定理 2.3・アフィンスキームとスキーム
  - Spec の位相の基本性質✓定理 4.4・局所化と素イデアルのスペクトル
    位相の基底定義 5.1・位相空間の定義と基本概念
    冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
    V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
    コンパクト空間定義 3.2・コンパクト性
    極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
    極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環この先をたどる →
    T0・T1・T2定義 3.1・分離公理と距離づけ可能性
    根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
    根基はイデアル✓補題 2.3・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 主開集合の包含と局所化✓補題 2.1・アフィンスキームとスキーム
    V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
    局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層（上で展開済み）
  - 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層（上で展開済み）
- 忠実・充満・本質的全射定義 4.5・圏・関手・自然変換
- 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換
  - 圏同値・骨格定義 6.1・圏・関手・自然変換
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 充満忠実な関手は同型を反映する✓補題 4.6・圏・関手・自然変換
  - 自然同型は成分ごとの同型✓命題 5.2・圏・関手・自然変換
射とスキームの貼り合わせ✓定理 5.1・アフィンスキームとスキーム
- 層の貼り合わせ✓定理 8.1・層
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層

これを使っている定理証明で参照している 4 件

ファイバーの底空間✓命題 5.3・スキームの性質と射
射の性質の保存✓命題 6.1・スキームの性質と射
対角射ははめ込み✓命題 3.2・分離射・固有射と付値判定法
分離スキームのアフィン開集合の交わり✓命題 3.4・分離射・固有射と付値判定法

ファイバー積の存在

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

関連するノック 4 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件