加群のテンソル積

$M, N, P$ を $A$ 加群とする。写像 $\beta\colon M \times N \to P$ が各変数について $A$ 線形のとき 双線形という。$A$ 加群 $T$ と双線形写像 $\otimes\colon M \times N \to T$ の組が $M$ と $N$ のテンソル積であるとは、任意の $A$ 加群 $P$ と双線形写像 $\beta\colon M \times N \to P$ に対し、$\beta = \tilde\beta \circ \otimes$ となる準同型 $\tilde\beta\colon T \to P$ がただ一つ存在することをいう。$T$ を $M \otimes_A N$、$\otimes(m, n)$ を $m \otimes n$ と書く。