数学 › 代数幾何 I（多様体とスキーム） › アフィン代数多様体と座標環

アフィン多様体の積

命題 6.2（「アフィン代数多様体と座標環」§6） ・ ✓公理まで証明済み

X⊆AnX \subseteq \mathbb{A}^n、Y⊆AmY \subseteq \mathbb{A}^m をアフィン多様体とする。

  1. X×Y⊆An+mX \times Y \subseteq \mathbb{A}^{n+m} はアフィン多様体で、I(X×Y)\mathbf{I}(X \times Y) は I(X)\mathbf{I}(X) と I(Y)\mathbf{I}(Y) が k[x1,…,xn,y1,…,ym]k[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m] で生成するイデアル JJ に等しい。
  2. k[X]⊗kk[Y]≅k[X×Y]k[X] \otimes_k k[Y] \cong k[X \times Y] である。同型は f⊗gf \otimes g を関数 (p,q)↦f(p)g(q)(p, q) \mapsto f(p)g(q) に写す。
  3. 射影 X×Y→XX \times Y \to X、X×Y→YX \times Y \to Y は射である。多様体 ZZ からの写像 (ϕ,ψ) ⁣:Z→X×Y(\phi, \psi)\colon Z \to X \times Y が射であることと、ϕ ⁣:Z→X\phi\colon Z \to X と ψ ⁣:Z→Y\psi\colon Z \to Y がともに射であることは同値である。したがって X×YX \times Y は多様体の圏での積である。
  4. dim⁡(X×Y)=dim⁡X+dim⁡Y\dim (X \times Y) = \dim X + \dim Y（次元は 定義 7.1）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 132 件、定義なども含めて 148 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。