数学 › 代数幾何 I（多様体とスキーム） › アフィン代数多様体と座標環
代数閉体上の整域のテンソル積
を代数閉体、 を有限生成な 代数である整域、 を 代数である整域とする。このとき は整域である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 40 件、定義なども含めて 47 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
- 基底の存在（Hamel 基底）✓定理 6.3・選択公理と Zorn の補題
テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
Zariski の補題（弱零点定理）✓定理 4.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
Noether の正規化定理✓定理 3.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎
整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大
- 整性の判定✓定理 2.3・整拡大（上で展開済み）
代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
超越基底の存在と超越次数の一意性✓定理 2.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題 この先をたどる →
- 代数性の推移と添加✓補題 2.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理 この先をたどる →
- 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 取り替え補題（代数的従属）✓補題 2.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 整拡大と体✓命題 4.1・整拡大
- 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
イデアルと代数的集合の対応✓定理 2.3・アフィン代数多様体と座標環
Hilbert の零点定理✓定理 4.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
- 代数閉体上の多項式環の極大イデアル✓系 4.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理（上で展開済み）
代数閉体上の多項式環の極大イデアル✓系 4.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- Zariski の補題（弱零点定理）✓定理 4.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理（上で展開済み）
- 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 既約な空間定義 4.3・局所化と素イデアルのスペクトル
- V と I の性質✓補題 2.2・アフィン代数多様体と座標環
剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
- イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
- 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
- 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
- イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
- 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環