V と I の性質

補題 2.2（「アフィン代数多様体と座標環」§2）・ ✓公理まで証明済み

$S, T$ を $k[x_1, \ldots, x_n]$ の部分集合、 $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}, \mathfrak{a}_\lambda$ をイデアル、 $Z, W$ を $\mathbb{A}^n$ の部分集合とする。

$S \subseteq T$ なら $\mathbf{V}(T) \subseteq \mathbf{V}(S)$ 。 $Z \subseteq W$ なら $\mathbf{I}(W) \subseteq \mathbf{I}(Z)$ 。
$S$ の生成するイデアルを $(S)$ とすると $\mathbf{V}(S) = \mathbf{V}((S)) = \mathbf{V}(\sqrt{(S)})$ 。
$\mathbf{V}(\{0\}) = \mathbb{A}^n$ 、 $\mathbf{V}(\{1\}) = \varnothing$ 、 $\bigcap_\lambda \mathbf{V}(\mathfrak{a}_\lambda) = \mathbf{V}\bigl(\sum_\lambda \mathfrak{a}_\lambda\bigr)$ 、 $\mathbf{V}(\mathfrak{a}) \cup \mathbf{V}(\mathfrak{b}) = \mathbf{V}(\mathfrak{a}\mathfrak{b}) = \mathbf{V}(\mathfrak{a} \cap \mathfrak{b})$ 。したがって代数的集合の全体は閉集合系の公理を満たす。
$\mathbf{I}(Z)$ は根基イデアルであり、 $\mathbf{V}(\mathbf{I}(Z))$ は $Z$ の Zariski 位相での閉包 $\overline{Z}$ に等しい。とくに $Z$ が閉集合なら $\mathbf{V}(\mathbf{I}(Z)) = Z$ 。
$\mathbf{I}(Z \cup W) = \mathbf{I}(Z) \cap \mathbf{I}(W)$ 。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。