代数幾何 I（多様体とスキーム）

数学修士無料 7 章有料 0 章

代数閉体上のアフィン多様体から始め、層・局所環付き空間・スキームを定義して、射の性質（有限型・分離・固有）、

想定読者: 大学院生（修士課程）、可換環論を学び終えて代数幾何・数論幾何に進む人

前提テーマ:可換環論、圏論・ホモロジー代数

このテーマの 100 本ノック（50 問）

目次

1. 第 1 章アフィン代数多様体と座標環無料代数閉体上の代数的集合と Zariski 位相を定め、根基イデアルとの対応、既約分解、正則関数環が座標環に一致すること、アフィン多様体の圏と有限生成整域の圏の反変同値、積、次元と超越次数、双有理同値と関数体の関係を証明する。
2. 第 2 章層：茎・層化・順像と逆像無料位相空間上の前層と層を定義し、茎による同型の判定、層化の存在と普遍性、開基の上の層の延長、層の圏がアーベル圏で十分に入射対象をもつ Grothendieck 圏であること、順像と逆像の随伴、0 による延長、層の貼り合わせを証明する。
3. 第 3 章アフィンスキームとスキーム：構造層・貼り合わせ・Proj無料環のスペクトルに構造層を入れてアフィンスキームを定義し、Spec が大域切断関手の随伴であること、スキームのアフィン開集合と生成点、スキームと射の貼り合わせ、次数環の Proj と射影空間、古典的な多様体の埋め込み、体や局所環に値をもつ点の記述を証明する。
4. 第 4 章スキームの性質と射：ファイバー積・はめ込み・有限型無料被約・既約・整・Noether といったスキームの性質と、有限型・有限・アフィンな射、開はめ込みと閉はめ込みを定義し、ファイバー積の存在、ファイバーの記述、合成と底変換での保存、被約誘導構造、点の関手、有理写像と関数体の対応を証明する。
5. 第 5 章分離射・固有射と付値判定法無料対角射で分離射を、普遍閉で固有射を定義し、付値環の Spec からの射の延長で両者を判定する付値判定法を証明する。射影空間の固有性、完備多様体の大域正則関数が定数であること、固有かつアフィンな射が有限であることまでを示す。
6. 第 6 章準連接層・連接層と直線束無料環上の加群 M に Spec A 上の層 M~ を対応させ、準連接層がアフィン開集合の上の加群と同じものであることを証明する。閉部分スキームとイデアル層、引き戻しと順像、局所自由層と Picard 群、射影空間のねじり層 O(n) と Serre の定理までを扱う。
7. 第 7 章次元・正規性・非特異性と微分の層無料多様体の次元が関数体の超越次数に等しいこと、正規化の存在、正規スキームの余次元 1 の局所環が離散付値環であることを証明する。微分の層 Ω を対角のイデアル層から作り、非特異性と Ω の局所自由性の同値、Euler 完全列、随伴公式を導く。