準連接層・連接層と直線束：加群を幾何に移す

0. この記事の要点

環の上のベクトル空間のようなもの（加群）は、環そのものと同じくらい大切な研究対象です。この記事は、その加群を「図形の上に広がるデータ」として扱う方法を作ります。図形の各部分に加群を割り当て、小さな部分の割り当てを貼り合わせて全体を作る、という考え方です。読み終えると、そうして作ったデータが、いつ・なぜ元の加群と同じ情報を持つのかが分かり、曲線や射影空間の上の「ねじれた」データ（直線束）を式で扱えるようになります。

以下の要点には専門用語が並びますが、後の節で順に定義します。最初は「加群から層を作ると、加群と層が一対一に対応する」という筋だけを追ってください。

• $A$ 加群 $M$ から、$\operatorname{Spec} A$ 上の層 $\widetilde{M}$ が $\widetilde{M}(D(f)) = M_f$ で定まります。$M \mapsto \widetilde{M}$ は完全関手（完全列を完全列に写す対応）で、大域切断を取る関手 $\Gamma$ と互いに逆の圏同値（二つの圏が、名前を付け替えれば同じ構造をもつという関係）を、$A$ 加群の圏と $\operatorname{Spec} A$ 上の準連接層の圏の間に与えます。
• スキーム上の $\mathcal{O}_X$ 加群が準連接であることは、すべてのアフィン開集合の上で $\widetilde{M}$ の形になることと同値です。準連接層の核・余核・拡大は準連接で、Noether スキーム上では有限生成加群に当たる連接層についても同じです。
• 閉部分スキームは準連接なイデアル層とちょうど対応します。射 $f$ による引き戻し $f^{*}$ は順像 $f_{*}$ の左随伴（$\mathcal{O}_Y$ 加群 $\mathcal{G}$ と $\mathcal{O}_X$ 加群 $\mathcal{F}$ について、射 $f^{*}\mathcal{G} \to \mathcal{F}$ と射 $\mathcal{G} \to f_{*}\mathcal{F}$ が一対一に対応する、という関係）で、アフィンスキームの上では係数の拡大と制限です。
• Noether スキーム上の連接層が局所自由であることは、すべての茎が自由であること、アフィン開集合の上で有限射影加群であることと同値です。階数 1 の局所自由層（可逆層）の同型類はテンソル積で Picard 群をなし、Dedekind 整域ではイデアル類群に一致します。
• $\operatorname{Proj} S$ の上では次数加群が準連接層を定め、次数をずらすとねじり層 $\mathcal{O}(n)$ が得られます。$\mathbb{P}^r_A$ では $\Gamma(\mathcal{O}(n))$ は $n$ 次斉次多項式の全体です。
• 準連接層 $\mathcal{F}$ は次数加群 $\Gamma_{*}(\mathcal{F}) = \bigoplus_n \Gamma(\mathcal{F}(n))$ から復元され、射影空間の閉部分スキームは斉次イデアルで定まります。Noether 環上の射影スキームの連接層は、十分ねじると有限個の大域切断で生成されます（Serre の定理）。

この記事で使う事前知識

• 加群の局所化: 環 $A$ の元 $f$ を分母に許して $M$ を広げた加群 $M_f$。→ 加群の局所化
• 加群のテンソル積: 双線形な写像を一つの線形写像として扱うための加群 $M \otimes_A N$。→ 加群のテンソル積
• 射影加群: 自由加群の直和因子になっている加群。→ 射影加群
• 加群の層: 環付き空間の上で、開集合ごとに加群が与えられ、制限と貼り合わせができるもの。→ 加群の層
• スキーム: 環のスペクトルを貼り合わせて作る空間。→ スキーム
• 完全列: 各所で「像 = 核」が成り立つ列。→ 完全列

1. 動機

アフィンスキーム $\operatorname{Spec} A$ は環 $A$ を幾何に移したものでした。可換環論では、環そのものと同じくらい、その上の加群が働きます。イデアル $I$ は閉集合 $V(I)$ を定め、剰余加群 $A/I$ はその上の関数を表し、射影加群のうち有限生成なものは「局所的には自由」な加群で、Kähler 微分加群は余接空間を束ねます。これらを幾何の側で受け止める対象が準連接層です。

位相空間上の $\mathcal{O}_X$ 加群の層は一般に広すぎます。たとえば開集合の外へ $0$ で延長した層は、どの加群からも来ません（例 4.5）。そこで「局所的に加群から来る」層に限ります。この条件は一見、アフィン開被覆の取り方に依存しそうですが、実際にはすべてのアフィン開集合の上で加群から来ることと同値になります（定理 4.4）。その鍵は、「$D(f)$ の上で消える切断は $f$ の冪で消える」「$D(f)$ の上の切断は $f$ の冪を掛ければ全体に延びる」という二つの性質です。同じ二つの性質は、射影スキームの上では可逆層 $\mathcal{O}(1)$ の切断について成り立ち（補題 9.1）、Serre の定理の証明の中心になります。

階数 1 の局所自由層は直線束の代数版です。射影空間の斉次座標 $x_i$ は関数ではありませんが、$\mathcal{O}(1)$ の切断です。代数幾何 II の層コホモロジーは準連接層を係数とし、因子と射影空間への射は可逆層の言葉で書かれます。

この記事では §2 で $\mathcal{O}_X$ 加群の演算、§3 で $\widetilde{M}$、§4 で準連接層と連接層、§5 で閉部分スキーム、§6 で引き戻しと順像、§7 で局所自由層と Picard 群、§8 で $\operatorname{Proj}$ 上の層とねじり層、§9 で $\Gamma_{*}$ と Serre の定理を扱います。環はすべて単位元をもつ可換環です。層の一般論は 層：茎・層化・順像と逆像 を使います。

2. $\mathcal{O}_X$ 加群の演算

$(X, \mathcal{O}_X)$ を環付き空間とします。$\mathcal{O}_X$ 加群の圏 $\mathsf{Mod}(\mathcal{O}_X)$ はアーベル圏で、列の完全性は茎ごとの完全性と同値です（定理 5.2［層］）。

定義 2.1（テンソル積・Hom 層・双対・大域切断による生成）↗

$\mathcal{F}$、$\mathcal{G}$ を $\mathcal{O}_X$ 加群とする。

1. 前層 $U \mapsto \mathcal{F}(U) \otimes_{\mathcal{O}_X(U)} \mathcal{G}(U)$ の層化をテンソル積 $\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}$ という。$n \ge 0$ について $\mathcal{F}^{\otimes n}$ を $n$ 個のテンソル積（$\mathcal{F}^{\otimes 0} = \mathcal{O}_X$）とする。
2. $U \mapsto \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{F}|_U, \mathcal{G}|_U)$ は層で、これを Hom 層 $\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})$ という。$\mathcal{F}^{\vee} = \mathcal{H}om_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X)$ を双対という。
3. 大域切断の族 $(s_i)_{i \in I}$、$s_i \in \Gamma(X, \mathcal{F})$ が $\mathcal{F}$ を生成するとは、すべての点 $x$ で芽 $(s_i)_x$ が $\mathcal{O}_{X,x}$ 加群 $\mathcal{F}_x$ を生成すること、すなわち $(a_i) \mapsto \sum a_i s_i$ が定める射 $\bigoplus_{i \in I}\mathcal{O}_X \to \mathcal{F}$ が全射であることをいう。

Hom 層が層になるのは、層の射が開被覆の上で定めた射の貼り合わせで一意に決まるからです。テンソル積の層化の普遍性により、$\mathcal{O}_X$ 加群の射 $\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to \mathcal{H}$ を与えることは、各開集合 $U$ で $\mathcal{O}_X(U)$ 双線形な写像 $\mathcal{F}(U) \times \mathcal{G}(U) \to \mathcal{H}(U)$ を制限と両立するように与えることと同じです（定理 4.3［層］）。

補題 2.2（テンソル積の茎）✓

$\mathcal{O}_X$ 加群 $\mathcal{F}$、$\mathcal{G}$ と点 $x \in X$ について、$s \otimes t \mapsto s_x \otimes t_x$ は同型

$$(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G})_x \;\cong\; \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X,x}} \mathcal{G}_x$$

を与える。とくに $\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} -$ は右完全で、$\mathcal{O}_X \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \cong \mathcal{G}$、$\mathcal{F} \otimes \mathcal{G} \cong \mathcal{G} \otimes \mathcal{F}$、$(\mathcal{F} \otimes \mathcal{G}) \otimes \mathcal{H} \cong \mathcal{F} \otimes (\mathcal{G} \otimes \mathcal{H})$ である。

証明（補題 2.2）

前層 $P(U) = \mathcal{F}(U) \otimes_{\mathcal{O}_X(U)} \mathcal{G}(U)$ の茎 $P_x$ を計算すれば足ります。層化は茎を変えないからです（定理 4.3［層］）。$\alpha\colon P_x \to \mathcal{F}_x \otimes \mathcal{G}_x$ を、$s \otimes t \in P(U)$ の芽を $s_x \otimes t_x$ に写す写像とします。逆向きに、$s \in \mathcal{F}(U)$、$t \in \mathcal{G}(U')$ の芽の組 $(s_x, t_x)$ に、$W = U \cap U'$ の上の $s|_W \otimes t|_W$ の芽を対応させます。これは代表の取り方によらず、$\mathcal{O}_{X,x}$ 双線形なので、$\beta\colon \mathcal{F}_x \otimes \mathcal{G}_x \to P_x$ を定めます。$\alpha \circ \beta$ と $\beta \circ \alpha$ は生成元 $s_x \otimes t_x$、$(s \otimes t)_x$ の上で恒等写像なので、$\alpha$ は同型です。

右完全性は、列の完全性が茎で判定できることと加群のテンソル積の右完全性（定理 2.8［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）から従います。残りの同型は、前層の水準での加群の同型（命題 2.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の 1、2、4）が層化の射を定め、茎で同型になることから従います（命題 3.2［層］）。

∎

3. 加群に伴う層 $\widetilde{M}$

$A$ を環、$X = \operatorname{Spec} A$ とします。主開集合 $D(f)$ は $X$ の開基で、構造層は $\mathcal{O}_X(D(f)) = A_f$ を満たします（定理 2.3［アフィンスキームとスキーム］）。$A$ 加群 $M$ について、$D(f)$ に

$$M \otimes_A \mathcal{O}_X(D(f)) \;\cong\; M_f$$

を対応させます（同型は 命題 2.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の 6）。$D(g) \subseteq D(f)$ のときの制限写像は、$\mathcal{O}_X$ の制限写像 $A_f \to A_g$ とのテンソル積です。これは開基の上の前層です。

補題 3.1（加群の局所化の貼り合わせ）✓

$M$ を $A$ 加群、$f, f_i \in A$（$i \in I$）とし、$D(f) = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$ とする。

1. $m \in M_f$ がすべての $M_{f_i}$ で $0$ になれば $m = 0$ である。
2. $m_i \in M_{f_i}$ の族が、すべての $i, j$ について $M_{f_i f_j}$ の中で $m_i = m_j$ を満たせば、$M_{f_i}$ での像が $m_i$ となる $m \in M_f$ が存在する。

したがって $D(f) \mapsto M_f$ は開基の上の層である。

この補題は、$D(f) \mapsto M_f$ が「貼り合わせができる」ことを保証し、次の定義で層を作れるようにするためのものです。証明の方針は、まず被覆が有限個で $f = 1$ の場合に、$M$ から各 $M_{f_i}$ への列が完全であることを示すことです。完全性は素イデアルごとの局所化で確かめられ、各素イデアルはどれかの $D(f_k)$ に入るので、$f_k$ が単元になる状況に帰着します。そこでは $M_{f_k} = M$ になって、等式が直接確かめられます。

証明（補題 3.1）

$D(f) \cong \operatorname{Spec} A_f$ で、$D(f_i) \subseteq D(f)$ は $A_f$ の中の $f_i$ の像の主開集合です。$A$ を $A_f$、$M$ を $M_f$ に取り替えて、$f = 1$、$X = \bigcup_i D(f_i)$ としてかまいません。

有限被覆の場合。 $I = \{1, \ldots, n\}$ とします。$X = \bigcup_i D(f_i)$ から $(f_1, \ldots, f_n) = A$ です。$A$ 加群の列

$$0 \longrightarrow M \xrightarrow{\ \alpha\ } \bigoplus_{i} M_{f_i} \xrightarrow{\ \beta\ } \bigoplus_{i, j} M_{f_i f_j}, \qquad \alpha(m) = (m/1)_i, \quad \beta\bigl((m_i)_i\bigr) = (m_i - m_j)_{i,j}$$

が完全であることを示せば 1 と 2 が出ます。完全性は各素イデアル $\mathfrak{p}$ での局所化で確かめられます（定理 5.3［加群・完全列・中山の補題］ の 3）。$\mathfrak{p}$ はある $D(f_k)$ に属し、$\mathfrak{p}$ での局所化は $f_k$ での局所化をさらに局所化したものなので、局所化の完全性（定理 5.2［加群・完全列・中山の補題］）により、列を $f_k$ で局所化したものが完全であることを示せば足ります。局所化は有限直和と交換するので、これは $A$、$M$ を $A_{f_k}$、$M_{f_k}$ に取り替えた同じ形の列で、そこでは $f_k$ が単元です。

そこで $f_k$ が単元であるとします。このとき $M_{f_k} = M$、$M_{f_i f_k} = M_{f_i}$ です。$\alpha(m) = 0$ なら第 $k$ 成分から $m = 0$ です。$\beta((m_i)) = 0$ なら、$m = m_k \in M_{f_k} = M$ とおくと、$M_{f_i f_k} = M_{f_i}$ の中の等式 $m_i = m_k$ は $m_i = m/1$ を意味し、$(m_i) = \alpha(m)$ です。

一般の被覆。 $X$ は準コンパクトなので、有限部分集合 $J \subseteq I$ で $X = \bigcup_{j \in J} D(f_j)$ となります。1 は $J$ に有限被覆の場合を使えば出ます。2 について、$J$ について得られる $m \in M$ を取ります。$i \in I$ を任意に取ると、$D(f_i) = \bigcup_{j \in J} D(f_i f_j)$ で、$m/1$ と $m_i$ は $M_{f_i f_j}$（$j \in J$）の中でどちらも $m_j$ の像に等しいので、$D(f_i)$ とその被覆に 1 を使って $m/1 = m_i$ です。

∎

定義 3.2（加群に伴う層）↗

$A$ 加群 $M$ について、開基の上の層 $D(f) \mapsto M_f$ を延長して得られる $X = \operatorname{Spec} A$ 上の層（定理 4.4［層］）を $\widetilde{M}$ と書き、$M$ に伴う層という。$\widetilde{M}(D(f)) = M_f$ は $A_f = \mathcal{O}_X(D(f))$ 加群なので、$\widetilde{M}$ は $\mathcal{O}_X$ 加群である。$A$ 加群の準同型 $u\colon M \to N$ は、局所化 $u_f\colon M_f \to N_f$ により $\mathcal{O}_X$ 加群の射 $\widetilde{u}\colon \widetilde{M} \to \widetilde{N}$ を定める。

$\widetilde{A} = \mathcal{O}_X$ です。

命題 3.3（M~ の茎・切断・制限）✓

$M$ を $A$ 加群、$X = \operatorname{Spec} A$ とする。

1. $\Gamma(X, \widetilde{M}) = M$、$\Gamma(D(f), \widetilde{M}) = M_f$ である。
2. 点 $\mathfrak{p} \in X$ での茎は $\widetilde{M}_{\mathfrak{p}} \cong M_{\mathfrak{p}}$ である。
3. $D(g) \cong \operatorname{Spec} A_g$ のもとで $\widetilde{M}|_{D(g)} \cong \widetilde{M_g}$ である。

証明（命題 3.3）

(1) は定義です（$X = D(1)$）。

(2) 茎は $\mathfrak{p}$ を含む主開集合 $D(f)$（$f \notin \mathfrak{p}$）にわたる $M_f$ の余極限です。$M_f \to M_{\mathfrak{p}}$ は余極限からの写像 $\widetilde{M}_{\mathfrak{p}} \to M_{\mathfrak{p}}$ を定めます。$m/s$（$s \notin \mathfrak{p}$）は $M_s$ から来るので全射です。$m/f^n \in M_f$ が $M_{\mathfrak{p}}$ で $0$ なら、ある $s \notin \mathfrak{p}$ で $sm = 0$ なので、$M_{fs}$ の中ですでに $0$ となり、単射です。

(3) $D(g)$ の開基は $D(gh)$（$h \in A$）で、$\widetilde{M}(D(gh)) = M_{gh} = (M_g)_h = \widetilde{M_g}(D(h))$ が制限と両立する同型です。開基の上で同型な層は同型です（定理 4.4［層］）。

∎

4. 準連接層と連接層

定義 4.1（準連接層・連接層）↗

$X$ をスキーム、$\mathcal{F}$ を $\mathcal{O}_X$ 加群とする。

1. $X$ のアフィン開被覆 $\{U_i = \operatorname{Spec} A_i\}$ と $A_i$ 加群 $M_i$ で $\mathcal{F}|_{U_i} \cong \widetilde{M_i}$ となるものがあるとき、$\mathcal{F}$ は準連接であるという。
2. $X$ が局所 Noether スキームのとき、1 でさらに各 $M_i$ を有限生成 $A_i$ 加群に取れるならば、$\mathcal{F}$ は連接であるという。

準連接層のなす $\mathsf{Mod}(\mathcal{O}_X)$ の充満部分圏を $\mathsf{QCoh}(X)$、連接層のなす充満部分圏を $\mathsf{Coh}(X)$ と書く。

$\mathcal{O}_X$ は準連接で、$X$ が局所 Noether なら連接です。次の補題が、この章全体の技術的な中心です。

補題 4.2（アフィンスキーム上の準連接層の切断）✓

$X = \operatorname{Spec} A$、$\mathcal{F}$ を $X$ 上の準連接層、$f \in A$ とする。

1. $s \in \Gamma(X, \mathcal{F})$ が $s|_{D(f)} = 0$ を満たせば、ある $n \ge 0$ で $f^n s = 0$ である。
2. 任意の $t \in \Gamma(D(f), \mathcal{F})$ について、ある $n \ge 0$ で $f^n t$ は $\Gamma(X, \mathcal{F})$ の元の制限になる。

したがって自然な写像 $\Gamma(X, \mathcal{F})_f \to \Gamma(D(f), \mathcal{F})$ は同型である。

この補題は、準連接層の切断について (1) と (2) の二つの性質を示すものです。証明の骨組みは次のとおりです。まず $X$ を有限個の主開集合 $D(g_i)$ で覆い、各 $D(g_i)$ の上では $\mathcal{F}$ が $A_{g_i}$ 加群 $N_i$ に伴う層であるようにします。環と加群が何重にも出てきますが、$D(g_i)$ の上では (1) と (2) が加群の局所化 $(N_i)_f$ の話に戻るだけです。有限個の $D(g_i)$ の上で得た結果を $f$ の冪の大きさをそろえて貼り合わせれば、$X$ 全体の主張になります。

証明（補題 4.2）

主開集合による被覆。 定義のアフィン開被覆 $\{V_\lambda = \operatorname{Spec} B_\lambda\}$、$\mathcal{F}|_{V_\lambda} \cong \widetilde{M_\lambda}$ を取ります。点 $x \in V_\lambda$ について $x \in D(g) \subseteq V_\lambda$ となる $g \in A$ があり、$D(g)$ は $V_\lambda$ の中では $g|_{V_\lambda} \in B_\lambda$ の主開集合です（補題 2.1［分離射・固有射と付値判定法］ の 1）。命題 3.3 の 3 により、$\mathcal{F}|_{D(g)}$ は $A_g = \mathcal{O}_X(D(g))$ 加群 $(M_\lambda)_g$ に伴う層です。$X$ は準コンパクトなので、有限個の $g_1, \ldots, g_r \in A$ と $A_{g_i}$ 加群 $N_i$ で

$$X = \bigcup_{i=1}^{r} D(g_i), \qquad \mathcal{F}|_{D(g_i)} \cong \widetilde{N_i}$$

となるものが取れます。このとき $\Gamma(D(g_i), \mathcal{F}) = N_i$、$\Gamma(D(f g_i), \mathcal{F}) = (N_i)_f$、$\Gamma(D(g_i g_j), \mathcal{F}) = (N_i)_{g_j}$ で、$\mathcal{F}|_{D(g_i g_j)}$ は $(N_i)_{g_j}$ に伴う層です。

(1) $s|_{D(g_i)} \in N_i$ は $(N_i)_f$ で $0$ になるので、ある $n_i$ で $f^{n_i}s|_{D(g_i)} = 0$ です。$n = \max n_i$ とすれば $f^n s$ はすべての $D(g_i)$ の上で $0$ で、$f^n s = 0$ です。

(2) $t|_{D(f g_i)} \in (N_i)_f$ なので、$n$ を大きく取ると、すべての $i$ で $f^n t|_{D(f g_i)}$ は $t_i \in N_i = \Gamma(D(g_i), \mathcal{F})$ の制限になります。$D(g_i g_j)$ の上の切断 $t_i - t_j$ は $D(f g_i g_j)$ に制限すると $0$ です。$D(g_i g_j) = \operatorname{Spec} A_{g_i g_j}$ の上で $\mathcal{F}$ は加群に伴う層なので、(1) の議論（被覆が 1 枚の場合）により、ある $m$ で $f^m(t_i - t_j) = 0$ です。$m$ はすべての $i, j$ に共通に取れます。$f^m t_i$ は貼り合わさって $u \in \Gamma(X, \mathcal{F})$ を定め、$u|_{D(f g_i)} = f^{n+m}t|_{D(f g_i)}$ から $u|_{D(f)} = f^{n+m}t$ です。

最後の主張。$f$ は $\Gamma(D(f), \mathcal{F})$ に可逆に作用するので、制限写像は $\Gamma(X, \mathcal{F})_f \to \Gamma(D(f), \mathcal{F})$ を経由します。$s/f^k \mapsto 0$ なら $s|_{D(f)} = 0$ で、(1) から $s/f^k = 0$ です。$t$ に対して (2) の $u$ を取れば $t$ は $u/f^{n+m}$ の像です。

∎

定理 4.3（加群と準連接層の圏同値）✓

$A$ を環、$X = \operatorname{Spec} A$ とする。

1. $A$ 加群 $M$ と $\mathcal{O}_X$ 加群 $\mathcal{F}$ について、大域切断を取る写像 $$\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{M}, \mathcal{F}) \longrightarrow \operatorname{Hom}_A(M, \Gamma(X, \mathcal{F}))$$ は全単射で、$M$ と $\mathcal{F}$ について自然である。とくに $\operatorname{Hom}_A(M, N) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{M}, \widetilde{N})$ で、$M \mapsto \widetilde{M}$ は充満忠実である。
2. $M \mapsto \widetilde{M}$ は完全関手で、直和と交換し、$\widetilde{M \otimes_A N} \cong \widetilde{M} \otimes_{\mathcal{O}_X} \widetilde{N}$ である。$M$ が有限表示なら $\widetilde{\operatorname{Hom}_A(M, N)} \cong \mathcal{H}om_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{M}, \widetilde{N})$ である。
3. $\mathcal{O}_X$ 加群 $\mathcal{F}$ が準連接であることと、ある $A$ 加群 $M$ について $\mathcal{F} \cong \widetilde{M}$ となることは同値で、このとき $M \cong \Gamma(X, \mathcal{F})$ である。したがって $M \mapsto \widetilde{M}$ は圏同値 $\mathsf{Mod}_A \to \mathsf{QCoh}(X)$ で、$\Gamma(X, -)$ がその逆である。

証明の (1) で使う係数の拡大と制限の随伴とは、$A_f$ 加群 $N$ について、$A$ 加群の準同型 $M \to N$ と $A_f$ 加群の準同型 $M_f \to N$ が一対一に対応する、ということです。つまり $M \to \Gamma(X, \mathcal{F})$ を $D(f)$ に制限して得られる $M \to \Gamma(D(f), \mathcal{F})$ は、$M_f$ からの写像として一通りに延びます。これが $\widetilde{M} \to \mathcal{F}$ を作る材料になります。

証明（定理 4.3）

(1) $u\colon M \to \Gamma(X, \mathcal{F})$ を $A$ 加群の準同型とします。$\Gamma(D(f), \mathcal{F})$ は $A_f$ 加群なので、係数の拡大と制限の随伴（命題 6.2［随伴関手と随伴関手定理］ の 2）により、$M \to \Gamma(X, \mathcal{F}) \to \Gamma(D(f), \mathcal{F})$ は $A_f$ 加群の準同型 $u_f\colon M_f \to \Gamma(D(f), \mathcal{F})$ にただ一通りに延びます。一意性から $u_f$ は制限と両立し、開基の上の射として $\mathcal{O}_X$ 加群の射 $\widetilde{M} \to \mathcal{F}$ を定めます（定理 4.4［層］）。その大域切断は $u$ です。逆に射 $\varphi\colon \widetilde{M} \to \mathcal{F}$ の $D(f)$ での成分は、$A_f$ 線形で $M \to M_f$ との合成が $\varphi(X)$ と制限の合成に等しいので、$\varphi(X)_f$ に一致します。よって二つの対応は互いに逆です。自然性は構成から従います。$\mathcal{F} = \widetilde{N}$ とすれば後半です。

(2) 列 $M' \to M \to M''$ が完全なら、茎 $M'_{\mathfrak{p}} \to M_{\mathfrak{p}} \to M''_{\mathfrak{p}}$ は完全で（命題 3.3 の 2 と 定理 5.2［加群・完全列・中山の補題］）、$\widetilde{M'} \to \widetilde{M} \to \widetilde{M''}$ は完全です（定理 5.2［層］）。

直和について。包含 $M_i \to \bigoplus_i M_i$ は射 $\bigoplus_i \widetilde{M_i} \to \widetilde{\bigoplus_i M_i}$ を定めます。層の直和の茎は茎の直和で、局所化は直和と交換するので（テンソル積として。命題 2.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の 3 と 6）、この射は茎で同型です。

テンソル積について。(1) により、$M \otimes_A N \to \Gamma(X, \widetilde{M} \otimes \widetilde{N})$、$m \otimes n \mapsto m \otimes n$ は射 $\widetilde{M \otimes_A N} \to \widetilde{M} \otimes_{\mathcal{O}_X} \widetilde{N}$ を定めます。茎では $(M \otimes_A N)_{\mathfrak{p}} \to M_{\mathfrak{p}} \otimes_{A_{\mathfrak{p}}} N_{\mathfrak{p}}$（補題 2.2）で、これは同型です（命題 2.5［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の 4）。

Hom について。$D(f)$ の上で、命題 3.3 の 3 と (1)（を $\operatorname{Spec} A_f$ に使ったもの）により

$$\mathcal{H}om(\widetilde{M}, \widetilde{N})(D(f)) = \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_{D(f)}}(\widetilde{M_f}, \widetilde{N_f}) = \operatorname{Hom}_{A_f}(M_f, N_f)$$

です。$M$ が有限表示なら右辺は $\operatorname{Hom}_A(M, N)_f$ に自然に同型です（命題 5.5［加群・完全列・中山の補題］）。開基の上で同型なので層として同型です。

(3) $\widetilde{M}$ は定義から準連接です。逆に $\mathcal{F}$ が準連接であるとし、$M = \Gamma(X, \mathcal{F})$ とおきます。(1) で恒等写像に対応する射 $\varepsilon\colon \widetilde{M} \to \mathcal{F}$ は、$D(f)$ の上で $M_f \to \Gamma(D(f), \mathcal{F})$ で、補題 4.2 により同型です。開基の上で同型なので $\varepsilon$ は同型です。$\mathcal{F} \cong \widetilde{M'}$ なら $\Gamma(X, \mathcal{F}) \cong M'$ です（命題 3.3 の 1）。(1) により $M \mapsto \widetilde{M}$ は充満忠実で、いま示したように $\mathsf{QCoh}(X)$ へ本質的全射なので、圏同値です（定理 6.2［圏・関手・自然変換］）。$\Gamma(X, \widetilde{M}) = M$ と $\varepsilon$ が、$\Gamma$ が逆であることを示します。

∎

(1) は「$\widetilde{\ \cdot\ }$ は $\Gamma$ の左随伴」という主張で、(3) はこの随伴が準連接層に制限すると圏同値になることを述べています。

定理 4.4（準連接性・連接性のアフィン開集合による判定）✓

$X$ をスキーム、$\mathcal{F}$ を $\mathcal{O}_X$ 加群とする。

1. $\mathcal{F}$ が準連接であることと、$X$ のすべてのアフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ について $\mathcal{F}|_U \cong \widetilde{\Gamma(U, \mathcal{F})}$ となることは同値である。
2. $X$ が局所 Noether スキームのとき、$\mathcal{F}$ が連接であることと、$\mathcal{F}$ が準連接で、すべてのアフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ について $\Gamma(U, \mathcal{F})$ が有限生成 $A$ 加群であることは同値である。

証明（定理 4.4）

(1) アフィン開集合は $X$ を覆うので、後者から前者は定義です。$\mathcal{F}$ が準連接であるとし、$\{U_i = \operatorname{Spec} A_i\}$、$\mathcal{F}|_{U_i} \cong \widetilde{M_i}$ を定義の被覆とします。$U$ をアフィン開集合とします。$U$ の各点 $x$ は、ある $U_i$ に属し、$U_i$ の主開集合 $D(g)$（$g \in A_i$）で $x \in D(g) \subseteq U \cap U_i$ となるものがあります。$D(g) \cong \operatorname{Spec}(A_i)_g$ は $U$ のアフィン開集合で、その上で $\mathcal{F}$ は $(M_i)_g$ に伴う層です（命題 3.3 の 3）。よって $\mathcal{F}|_U$ はアフィンスキーム $U$ 上の準連接層で、定理 4.3 の 3 により $\mathcal{F}|_U \cong \widetilde{\Gamma(U, \mathcal{F})}$ です。

(2) 後者から前者は定義です。$\mathcal{F}$ が連接であるとします。アフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ についての性質「$\Gamma(U, \mathcal{F})$ は有限生成 $A$ 加群である」にアフィン交流補題（補題 4.2［アフィンスキームとスキーム］）を使います。$M = \Gamma(U, \mathcal{F})$ とすると、(1) により $\Gamma(D(f), \mathcal{F}) = M_f$ です。

（局所化で保たれる）$M$ が有限生成なら $M_f$ は $A_f$ 上有限生成です。

（有限被覆から戻る）$(f_1, \ldots, f_n) = A$ で、各 $M_{f_i}$ が $A_{f_i}$ 上有限生成であるとします。$M_{f_i}$ の生成元を $m_{ij}/f_i^N$（$m_{ij} \in M$）と書き、すべての $m_{ij}$ で生成される $M$ の部分加群を $M'$ とします。$(M/M')_{f_i} = M_{f_i}/M'_{f_i} = 0$ なので、すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ で $(M/M')_{\mathfrak{p}} = 0$ で、$M = M'$ は有限生成です（定理 5.3［加群・完全列・中山の補題］ の 1）。

定義の被覆の上で性質が成り立つので、すべてのアフィン開集合で成り立ちます。

∎

例 4.5（準連接でない加群の層）

$k$ を体、$X = \operatorname{Spec} k[t]$、$U = D(t)$、$j\colon U \to X$ を包含とし、$\mathcal{F} = j_{!}\mathcal{O}_U$ を $0$ による延長とします（命題 7.2［層］）。$\mathcal{F}$ は $\mathcal{O}_X$ 加群で、$\mathcal{F}|_U = \mathcal{O}_U$、$U$ の外の点での茎は $0$ です。

$\Gamma(X, \mathcal{F}) = 0$ です。$s$ を大域切断とすると、原点 $(t)$ での芽は $0$ なので、原点の開近傍 $W$ で $s|_W = 0$ です。$s|_U \in \mathcal{O}_U(U) = k[t, t^{-1}]$ は空でない開集合 $W \cap U$ の上で $0$ です。$W \cap U$ は主開集合 $D(g)$（$g \ne 0$）を含み、整域 $k[t, t^{-1}]$ から $k[t, t^{-1}]_g$ への写像は単射なので $s|_U = 0$、したがって $s = 0$ です。

もし $\mathcal{F}$ が準連接なら 定理 4.3 の 3 により $\mathcal{F} \cong \widetilde{\Gamma(X, \mathcal{F})} = 0$ ですが、$\mathcal{F}|_U = \mathcal{O}_U \ne 0$ です。よって $\mathcal{F}$ は準連接ではありません。$D(t)$ の上の切断 $1$ は、$t$ の冪を何回掛けても全体に延びません。

命題 4.6（準連接層・連接層の核・余核・拡大）✓

$X$ をスキームとする。

1. 準連接層の間の射の核・余核・像は準連接である。準連接層の直和、二つの準連接層のテンソル積は準連接である。
2. $X$ がアフィンで、$0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}'' \to 0$ が $\mathcal{O}_X$ 加群の完全列、$\mathcal{F}'$ が準連接ならば、$0 \to \Gamma(X, \mathcal{F}') \to \Gamma(X, \mathcal{F}) \to \Gamma(X, \mathcal{F}'') \to 0$ は完全である。
3. $0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}'' \to 0$ が $\mathcal{O}_X$ 加群の完全列で、$\mathcal{F}'$ と $\mathcal{F}''$ が準連接ならば、$\mathcal{F}$ は準連接である。
4. $X$ が局所 Noether のとき、1 と 3 は「準連接」を「連接」に（直和は有限直和に）置き換えても成り立つ。また $\mathcal{F}$ が連接、$\mathcal{G}$ が準連接（連接）なら $\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})$ は準連接（連接）である。

とくに $\mathsf{QCoh}(X)$ はアーベル圏で、$X$ が局所 Noether なら $\mathsf{Coh}(X)$ もアーベル圏である。

証明（命題 4.6）

準連接性は、アフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ への制限が加群に伴う層であることなので（定理 4.4）、$X = \operatorname{Spec} A$ として示せば足ります。核・余核・像・直和・テンソル積を取る操作は開集合への制限と交換するからです。

(1) 射 $\widetilde{M} \to \widetilde{N}$ は準同型 $u\colon M \to N$ から来ます（定理 4.3 の 1）。$\widetilde{\ \cdot\ }$ は完全なので、核・余核・像は $\ker u$、$\operatorname{coker} u$、$\operatorname{im} u$ に伴う層です。直和とテンソル積は 定理 4.3 の 2 です。

(2) $\Gamma$ は左完全なので（命題 6.2［層］）、$\Gamma(X, \mathcal{F}) \to \Gamma(X, \mathcal{F}'')$ の全射性を示します。$s \in \Gamma(X, \mathcal{F}'')$ を取ります。

主張。 $f \in A$ とし、$s|_{D(f)}$ が $t \in \Gamma(D(f), \mathcal{F})$ の像であるとする。このとき、ある $N$ で $f^N s$ は $\Gamma(X, \mathcal{F})$ の元の像である。

主張を示します。$\mathcal{F} \to \mathcal{F}''$ は層の全射なので、$X$ は $s$ が持ち上がる主開集合で覆われ、準コンパクト性から有限個の $D(g_i)$ と $s_i \in \Gamma(D(g_i), \mathcal{F})$ で、$s_i \mapsto s|_{D(g_i)}$ となるものが取れます。$D(f g_i)$ の上で $t - s_i$ は $\mathcal{F}''$ で $0$ になるので、$\Gamma(D(f g_i), \mathcal{F}')$ の元です。$\mathcal{F}'|_{D(g_i)}$ は準連接なので、補題 4.2 の 2 により、ある $n$（すべての $i$ に共通に取る）で $f^n(t - s_i)$ は $u_i \in \Gamma(D(g_i), \mathcal{F}')$ の制限です。$t_i = f^n s_i + u_i \in \Gamma(D(g_i), \mathcal{F})$ とおくと、$t_i$ は $f^n s|_{D(g_i)}$ に写り、$t_i|_{D(f g_i)} = f^n t$ です。$D(g_i g_j)$ の上で $t_i - t_j$ は $\mathcal{F}''$ で $0$ になるので $\mathcal{F}'$ の切断で、$D(f g_i g_j)$ の上で $0$ です。補題 4.2 の 1 により、ある $m$ で $f^m(t_i - t_j) = 0$ です。$f^m t_i$ は貼り合わさって $\Gamma(X, \mathcal{F})$ の元を定め、その像は $f^{n+m}s$ です。

全射性を示します。$s$ が持ち上がる主開集合の有限被覆 $X = \bigcup_i D(f_i)$ を取ります。主張により、ある $N$ で $f_i^N s$ は $w_i \in \Gamma(X, \mathcal{F})$ の像です。$X = \bigcup_i D(f_i^N)$ から $1 = \sum_i a_i f_i^N$ となる $a_i \in A$ があり、$\sum_i a_i w_i$ は $\sum_i a_i f_i^N s = s$ に写ります。

(3) $M' = \Gamma(X, \mathcal{F}')$、$M = \Gamma(X, \mathcal{F})$、$M'' = \Gamma(X, \mathcal{F}'')$ とおきます。(2) により $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ は完全で、$\widetilde{\ \cdot\ }$ は完全なので、行が完全な可換図式

$$\begin{array}{ccccccccc} 0 & \to & \widetilde{M'} & \to & \widetilde{M} & \to & \widetilde{M''} & \to & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\ 0 & \to & \mathcal{F}' & \to & \mathcal{F} & \to & \mathcal{F}'' & \to & 0 \end{array}$$

が得られます（縦の射は 定理 4.3 の 1 で恒等写像に対応する射）。両端の縦の射は同型なので（定理 4.3 の 3）、5 項補題（系 7.2［加法圏とアーベル圏］）により中央も同型で、$\mathcal{F} \cong \widetilde{M}$ です。

(4) $A$ を Noether 環とします。有限生成 $A$ 加群の部分加群と剰余加群は有限生成で、短完全列の両端が有限生成なら中央も有限生成です（定理 3.1［Noether 環と Artin 環］）。有限生成加群のテンソル積は、生成元のテンソル積で生成されます。これらと (1)、(3) から前半が従います。$M$ が有限生成なら有限表示なので、定理 4.3 の 2 により $\mathcal{H}om(\widetilde{M}, \widetilde{N}) \cong \widetilde{\operatorname{Hom}_A(M, N)}$ は準連接です。$N$ も有限生成なら、全射 $A^n \to M$ から単射 $\operatorname{Hom}_A(M, N) \to N^n$ が得られ、$\operatorname{Hom}_A(M, N)$ は有限生成です。

最後の主張は、アーベル圏 $\mathsf{Mod}(\mathcal{O}_X)$ の充満部分圏が $0$、有限直和、核、余核で閉じていることから従います。

∎

(2) は「アフィンスキーム上で、準連接層を核とする全射は大域切断でも全射」という主張で、代数幾何 II の「アフィンスキーム上の準連接層の高次コホモロジーは消える」の 1 次の場合に当たります。

5. 閉部分スキームとイデアル層

$\mathcal{O}_X$ の部分 $\mathcal{O}_X$ 加群をイデアル層といいます。閉はめ込み $i\colon Z \to X$ について、$\mathcal{I}_Z = \ker(i^{\sharp}\colon \mathcal{O}_X \to i_{*}\mathcal{O}_Z)$ を $Z$ のイデアル層といいます。二つの閉はめ込み $i\colon Z \to X$、$i'\colon Z' \to X$ は、同型 $h\colon Z \to Z'$ で $i' \circ h = i$ となるものがあるとき同値であるといい、同値類を $X$ の閉部分スキームといいます。

まず、閉集合への埋め込みに沿った順像と逆像の関係を確認します。

補題 5.1（閉埋め込みに沿った順像）✓

$i\colon Z \to X$ を位相空間の連続写像で、$Z$ から $X$ の閉集合 $i(Z)$ への同相写像であるものとする。

1. $Z$ 上の層 $\mathcal{G}$ について、$(i_{*}\mathcal{G})_{i(z)} \cong \mathcal{G}_z$（$z \in Z$）、$(i_{*}\mathcal{G})_x = 0$（$x \notin i(Z)$）であり、余単位 $i^{-1}i_{*}\mathcal{G} \to \mathcal{G}$ は同型である。
2. $X$ 上の層 $\mathcal{H}$ が $i(Z)$ の外のすべての点で $\mathcal{H}_x = 0$ を満たせば、単位 $\mathcal{H} \to i_{*}i^{-1}\mathcal{H}$ は同型である。

証明（補題 5.1）

(1) $x \notin i(Z)$ なら、$i(Z)$ が閉なので $x$ の開近傍 $W$ で $i^{-1}(W) = \varnothing$ となるものがあり、$(i_{*}\mathcal{G})_x = 0$ です。$x = i(z)$ のとき、$(i_{*}\mathcal{G})_x$ は $x$ の開近傍 $W$ にわたる $\mathcal{G}(i^{-1}(W))$ の余極限です。$i$ は像への同相写像なので、$z$ の開近傍はすべて $i^{-1}(W)$ の形で、余極限は $\mathcal{G}_z$ です。$i^{-1}$ は茎を保つので（定理 6.3［層］）、余単位の $z$ での茎は $(i_{*}\mathcal{G})_{i(z)} \to \mathcal{G}_z$ で、これはいま見た同型です。茎で同型なので余単位は同型です（命題 3.2［層］）。

(2) 随伴の三角等式により、合成 $i^{-1}\mathcal{H} \to i^{-1}i_{*}i^{-1}\mathcal{H} \to i^{-1}\mathcal{H}$ は恒等射で、後ろの射（$i^{-1}\mathcal{H}$ での余単位）は (1) により同型です。よって前の射、すなわち単位に $i^{-1}$ を施したものは同型で、その $z$ での茎は単位の $i(z)$ での茎です。$i(Z)$ の外では、単位の両辺の茎はどちらも $0$ です（仮定と (1)）。単位はすべての茎で同型なので同型です。

∎

定理 5.2（閉部分スキームと準連接イデアル層）✓

$X$ をスキームとする。

1. 閉はめ込み $i\colon Z \to X$ のイデアル層 $\mathcal{I}_Z$ は準連接で、$\mathcal{O}_X/\mathcal{I}_Z \cong i_{*}\mathcal{O}_Z$ である。アフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ の上で $\mathcal{I}_Z|_U = \widetilde{I}$ とすると、$i^{-1}(U) \to U$ は $\operatorname{Spec} A/I \to \operatorname{Spec} A$ と同値である。
2. 準連接なイデアル層 $\mathcal{I}$ に対し、閉はめ込み $i\colon Z \to X$ で $\mathcal{I}_Z = \mathcal{I}$ となるものが存在する。$Z$ の底空間は $\mathcal{O}_X/\mathcal{I}$ の台である。
3. イデアル層が等しい二つの閉はめ込みは同値である。

したがって $Z \mapsto \mathcal{I}_Z$ は、$X$ の閉部分スキームの全体から準連接イデアル層の全体への全単射である。とくに $\operatorname{Spec} A$ の閉部分スキームは、$A$ のイデアル $I$ による $\operatorname{Spec} A/I$ に限り、$I$ と一対一に対応する。

この定理は、アフィンスキームの閉部分スキームが環のイデアルで決まることを、一般のスキームに広げるものです。(1) は閉部分スキームからイデアル層を作る向き、(2) は準連接なイデアル層から閉部分スキームを作る向きで、(2) で作った環付き空間がスキームになることを確かめる部分が長くなります。そこでは、アフィン開集合の上で $\operatorname{Spec} A/I$ と環付き空間として同型になることを示します。(3) はこの二つの対応が互いに逆であることを述べています。

証明（定理 5.2）

(1) $i^{\sharp}$ は全射なので $\mathcal{O}_X/\mathcal{I}_Z \cong i_{*}\mathcal{O}_Z$ です。$U = \operatorname{Spec} A$ をアフィン開集合とします。$i^{-1}(U) \to U$ は閉はめ込みなので、$A \to \Gamma(i^{-1}(U), \mathcal{O}_Z)$ の核を $I$ として $\operatorname{Spec} A/I \to \operatorname{Spec} A$ と同値です（補題 2.3［分離射・固有射と付値判定法］）。$(i_{*}\mathcal{O}_Z)(D(f)) = \mathcal{O}_{\operatorname{Spec} A/I}(D(\bar f)) = (A/I)_f$ なので、$(i_{*}\mathcal{O}_Z)|_U$ は $A$ 加群 $A/I$ に伴う層で、$i^{\sharp}|_U\colon \widetilde{A} \to \widetilde{A/I}$ は自然な全射 $A \to A/I$ から来ます（定理 4.3 の 1）。$\widetilde{\ \cdot\ }$ は完全なので $\mathcal{I}_Z|_U = \widetilde{I}$ で、$\mathcal{I}_Z$ は準連接です。

(2) $\mathcal{Q} = \mathcal{O}_X/\mathcal{I}$ とし、$Z = \{ x \in X : \mathcal{Q}_x \ne 0 \}$ とおきます。アフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ の上で $\mathcal{I}|_U = \widetilde{I}$ と書くと（定理 4.4）、$\mathcal{Q}|_U = \widetilde{A/I}$ で、$Z \cap U = \operatorname{Supp}(A/I) = V(I)$ です（命題 3.3 の 2 と 命題 5.4［加群・完全列・中山の補題］ の 3）。よって $Z$ は閉集合です。$i\colon Z \to X$ を包含写像とし、$Z$ に相対位相と環の層 $\mathcal{O}_Z = i^{-1}\mathcal{Q}$ を与えます。

$z \in Z$ での茎 $\mathcal{O}_{Z,z} = \mathcal{Q}_z = \mathcal{O}_{X,z}/\mathcal{I}_z$ は、局所環の真のイデアルによる剰余なので局所環です。$\mathcal{Q}$ の茎は $Z$ の外で $0$ なので、補題 5.1 の 2 により $\mathcal{Q} \cong i_{*}i^{-1}\mathcal{Q} = i_{*}\mathcal{O}_Z$ です。$i^{\sharp}$ を合成 $\mathcal{O}_X \to \mathcal{Q} \cong i_{*}\mathcal{O}_Z$ とすると、$i^{\sharp}$ は全射で、茎では剰余写像 $\mathcal{O}_{X,z} \to \mathcal{O}_{X,z}/\mathcal{I}_z$ なので局所準同型です。

$(Z, \mathcal{O}_Z)$ がスキームであることを示します。$U = \operatorname{Spec} A$、$\mathcal{I}|_U = \widetilde{I}$ とし、$j\colon \operatorname{Spec} A/I \to U$ を標準的な閉はめ込みとします。(1) の計算から $j_{*}\mathcal{O}_{\operatorname{Spec} A/I} \cong \widetilde{A/I} = \mathcal{Q}|_U$（環の層として）で、$j$ は $V(I) = Z \cap U$ への同相写像 $j'$ と包含 $i|_{Z \cap U}$ の合成です。補題 5.1 の 1 により

$$\mathcal{O}_{\operatorname{Spec} A/I} \;\cong\; j^{-1}j_{*}\mathcal{O}_{\operatorname{Spec} A/I} \;\cong\; j'^{-1}\bigl(i^{-1}\mathcal{Q}|_{Z \cap U}\bigr) = j'^{-1}\bigl(\mathcal{O}_Z|_{Z \cap U}\bigr)$$

です。よって $j'$ は環付き空間の同型 $\operatorname{Spec} A/I \to (Z \cap U, \mathcal{O}_Z|_{Z \cap U})$ で、$Z$ はアフィンスキームで覆われます。以上で $i$ は閉はめ込みで、$\mathcal{I}_Z = \ker(\mathcal{O}_X \to \mathcal{Q}) = \mathcal{I}$ です。

(3) $i\colon Z \to X$ を、イデアル層が $\mathcal{I}$ の閉はめ込みとし、(2) で作ったものを $i'\colon Z' \to X$ とします。補題 5.1 の 1 により $i(Z)$ は $i_{*}\mathcal{O}_Z \cong \mathcal{O}_X/\mathcal{I}$ の台で、$Z'$ の底空間に等しいので、同相写像 $h\colon Z \to Z'$ で $i' \circ h = i$ となるものがあります。また

$$\mathcal{O}_Z \;\cong\; i^{-1}i_{*}\mathcal{O}_Z \;\cong\; i^{-1}(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}) = h^{-1}i'^{-1}(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}) = h^{-1}\mathcal{O}_{Z'}$$

は環の層の同型で、$\mathcal{O}_X$ からの全射と両立します。よって $h$ は $X$ 上のスキームの同型で、$i$ と $i'$ は同値です。

最後の主張。$\operatorname{Spec} A$ 上の準連接イデアル層は $\widetilde{I}$（$I = \Gamma(\operatorname{Spec} A, \mathcal{I}) \subseteq A$）の形で、$I$ と一対一に対応します（定理 4.3 の 3）。対応する閉部分スキームは (1) により $\operatorname{Spec} A/I$ です。

∎

$X$ が局所 Noether なら、準連接イデアル層はすべて連接です（Noether 環のイデアルは有限生成）。準連接でないイデアル層は閉部分スキームを定めません。例 4.5 の $j_{!}\mathcal{O}_U \subseteq \mathcal{O}_X$ がその例で、剰余 $\mathcal{O}_X/j_{!}\mathcal{O}_U$ の台は原点 1 点ですが、原点での茎は $k[t]_{(t)}$ で、1 点からなるスキームの局所環にはなりません（素イデアルを二つもつ環の $\operatorname{Spec}$ は 2 点です）。

6. 引き戻しと順像

$f\colon X \to Y$ を環付き空間の射とします。$f^{\sharp}\colon \mathcal{O}_Y \to f_{*}\mathcal{O}_X$ に随伴 $f^{-1} \dashv f_{*}$ で対応する環の層の射 $f^{-1}\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X$ により、$\mathcal{O}_X$ 加群は $f^{-1}\mathcal{O}_Y$ 加群と見なせます。$\mathcal{O}_X$ 加群 $\mathcal{F}$ の順像 $f_{*}\mathcal{F}$ は、$f^{\sharp}$ により $\mathcal{O}_Y$ 加群です。

定義 6.1（$O_X$ 加群の引き戻し）↗

$\mathcal{O}_Y$ 加群 $\mathcal{G}$ について、$\mathcal{O}_X$ 加群

$$f^{*}\mathcal{G} = f^{-1}\mathcal{G} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_X$$

を $\mathcal{G}$ の $f$ による引き戻しという。ここでテンソル積は環付き空間 $(X, f^{-1}\mathcal{O}_Y)$ の上で取り、$\mathcal{O}_X$ の作用は右の因子による。

命題 6.2（引き戻しと順像）✓

1. 環付き空間の射 $f\colon X \to Y$ について $f^{*} \dashv f_{*}$、すなわち自然な全単射 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(f^{*}\mathcal{G}, \mathcal{F}) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_Y}(\mathcal{G}, f_{*}\mathcal{F})$ がある。$f^{*}$ は右完全で直和と交換し、$f^{*}\mathcal{O}_Y \cong \mathcal{O}_X$、$(f^{*}\mathcal{G})_x \cong \mathcal{G}_{f(x)} \otimes_{\mathcal{O}_{Y,f(x)}} \mathcal{O}_{X,x}$、$(g \circ f)^{*} \cong f^{*} \circ g^{*}$ である。
2. $f\colon \operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$ を環準同型 $A \to B$ に対応する射とする。$B$ 加群 $N$ と $A$ 加群 $M$ について $$f_{*}\widetilde{N} \cong \widetilde{N_A}, \qquad f^{*}\widetilde{M} \cong \widetilde{B \otimes_A M}$$ である。ここで $N_A$ は係数の制限である。
3. スキームの射 $f\colon X \to Y$ について、$f^{*}$ は準連接層を準連接層に写す。$X$、$Y$ が局所 Noether なら連接層を連接層に写す。
4. スキームの射 $f\colon X \to Y$ が準コンパクトかつ分離的ならば、$f_{*}$ は準連接層を準連接層に写す。$f$ が有限射で $X$、$Y$ が局所 Noether なら、$f_{*}$ は連接層を連接層に写す。

証明（命題 6.2）

(1) 二つの全単射

$$\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}\bigl(f^{-1}\mathcal{G} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_X, \mathcal{F}\bigr) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{f^{-1}\mathcal{O}_Y}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_Y}(\mathcal{G}, f_{*}\mathcal{F})$$

を合成します。一つ目は、テンソル積からの射が双線形写像の族と対応すること（§2）と、加群の係数拡大の随伴（命題 6.2［随伴関手と随伴関手定理］ の 2）を各開集合で使ったもので、$\psi \mapsto \psi(- \otimes 1)$ です。二つ目は随伴 $f^{-1} \dashv f_{*}$（定理 6.3［層］）の全単射を線形な射に制限したものです。線形性が対応することは次のように分かります。$Y$ の開集合 $V$ と $a \in \mathcal{O}_Y(V)$ について、$a$ 倍は $\mathcal{G}|_V$ と $(f_{*}\mathcal{F})|_V$ の自己準同型で、随伴の自然性により、アーベル群の層の射 $\varphi\colon \mathcal{G} \to f_{*}\mathcal{F}$ が $a$ 倍と交換することと、対応する $\varphi^{\flat}\colon f^{-1}\mathcal{G} \to \mathcal{F}$ が $f^{-1}(V)$ の上で $a$ の像による掛け算と交換することは同値です。$f^{-1}\mathcal{O}_Y$ の茎は $\mathcal{O}_{Y, f(x)}$ で、その元はこのような $a$ の芽なので、後者がすべての $V$ と $a$ で成り立つことは $\varphi^{\flat}$ の $f^{-1}\mathcal{O}_Y$ 線形性（茎で確かめられる）と同値です。

$f^{*}$ は左随伴なので余極限を保ち（定理 3.1［随伴関手と随伴関手定理］）、右完全で直和と交換します。$f^{*}\mathcal{O}_Y = f^{-1}\mathcal{O}_Y \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_X \cong \mathcal{O}_X$ と茎の式は 補題 2.2 と $(f^{-1}\mathcal{G})_x = \mathcal{G}_{f(x)}$ から従います。$(g \circ f)_{*} = g_{*} \circ f_{*}$ なので、$(g \circ f)^{*}$ と $f^{*} \circ g^{*}$ はどちらもその左随伴で、米田の補題により同型です（系 4.3［米田の補題と表現可能関手］）。

(2) $g \in A$ の $B$ での像を $g'$ と書くと $f^{-1}(D(g)) = D(g')$ なので、$(f_{*}\widetilde{N})(D(g)) = N_{g'} = (N_A)_g$ で、これは制限と両立します。よって $f_{*}\widetilde{N} \cong \widetilde{N_A}$ です。$X = \operatorname{Spec} B$、$Y = \operatorname{Spec} A$ とし、$\mathcal{F}$ を任意の $\mathcal{O}_X$ 加群とすると、(1)、定理 4.3 の 1、係数拡大の随伴により

$$\begin{aligned} \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(f^{*}\widetilde{M}, \mathcal{F}) &\cong \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_Y}(\widetilde{M}, f_{*}\mathcal{F}) \cong \operatorname{Hom}_A(M, \Gamma(X, \mathcal{F})) \\ &\cong \operatorname{Hom}_B(B \otimes_A M, \Gamma(X, \mathcal{F})) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{B \otimes_A M}, \mathcal{F}) \end{aligned}$$

が $\mathcal{F}$ について自然に成り立ちます。米田の補題により $f^{*}\widetilde{M} \cong \widetilde{B \otimes_A M}$ です。

(3) $f^{-1}$、テンソル積、層化は開集合への制限と交換するので、開集合 $V \subseteq Y$、$U \subseteq f^{-1}(V)$ について $(f^{*}\mathcal{G})|_U \cong (f|_U)^{*}(\mathcal{G}|_V)$ です。$x \in X$ に対し、$f(x)$ のアフィン開近傍 $V = \operatorname{Spec} A$ と、$x$ のアフィン開近傍 $U = \operatorname{Spec} B \subseteq f^{-1}(V)$ を取ります。$\mathcal{G}|_V = \widetilde{M}$ なら (2) により $(f^{*}\mathcal{G})|_U \cong \widetilde{B \otimes_A M}$ で、$f^{*}\mathcal{G}$ は準連接です。$M$ が有限生成なら $B \otimes_A M$ も $B$ 上有限生成なので、連接性も保たれます。

(4) $V \subseteq Y$ が開集合なら $(f_{*}\mathcal{F})|_V$ は $f^{-1}(V) \to V$ による順像で、この射も準コンパクトかつ分離的です。したがって $Y = \operatorname{Spec} R$ がアフィンであるとしてかまいません。$X$ は準コンパクトなので有限個のアフィン開集合 $U_1, \ldots, U_r$ で覆われ、$f$ は分離的なので $U_{ij} = U_i \cap U_j$ はアフィンです（命題 3.4［分離射・固有射と付値判定法］）。$f_i = f|_{U_i}$、$f_{ij} = f|_{U_{ij}}$ と書きます。$\mathcal{F}$ の層の公理を、$Y$ の各開集合 $V$ について $f^{-1}(V)$ の開被覆 $\{f^{-1}(V) \cap U_i\}$ に使うと、$\mathcal{O}_Y$ 加群の完全列

$$0 \longrightarrow f_{*}\mathcal{F} \longrightarrow \bigoplus_{i} (f_i)_{*}(\mathcal{F}|_{U_i}) \longrightarrow \bigoplus_{i, j} (f_{ij})_{*}(\mathcal{F}|_{U_{ij}})$$

が得られます。$f_i$、$f_{ij}$ はアフィンスキームの間の射なので、(2) により右の二つの項は準連接層の有限直和です。命題 4.6 の 1 により、核 $f_{*}\mathcal{F}$ は準連接です。

$f$ が有限射のとき、$Y$ のアフィン開集合 $\operatorname{Spec} A$ の逆像は $\operatorname{Spec} B$（$B$ は $A$ 上有限）で、$\mathcal{F}|_{\operatorname{Spec} B} = \widetilde{N}$、$N$ は有限生成 $B$ 加群です。$N_A$ は有限生成 $A$ 加群なので、(2) により $f_{*}\mathcal{F}$ は連接です。

∎

例 6.3（穴あき平面からの順像）

$k$ を体、$X = \operatorname{Spec} k[x, y]$、$U = X \setminus \{(x, y)\} = D(x) \cup D(y)$、$j\colon U \to X$ を開はめ込みとします。$j$ は準コンパクトで、はめ込みなので分離的です（命題 6.2［分離射・固有射と付値判定法］ の 1）。命題 6.2 の 4 により $j_{*}\mathcal{O}_U$ は準連接で、$\Gamma(X, j_{*}\mathcal{O}_U) = \Gamma(U, \mathcal{O}_U)$ に伴う層です。

$\Gamma(U, \mathcal{O}_U)$ は $k(x, y)$ の中で $k[x, y]_x \cap k[x, y]_y$ です。$a/x^m = b/y^n$ なら $a y^n = b x^m$ で、$k[x, y]$ は一意分解整域なので $x^m$ は $a$ を割り、$a/x^m \in k[x, y]$ です。よって $\Gamma(U, \mathcal{O}_U) = k[x, y]$、$j_{*}\mathcal{O}_U = \mathcal{O}_X$ です。原点を抜いても関数は増えません。一方 $j^{*}j_{*}\mathcal{O}_U = j^{*}\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_U$ です。$U$ がアフィンなら $U = \operatorname{Spec}\Gamma(U, \mathcal{O}_U) = X$ となるはずなので、$U$ はアフィンではありません。

局所自由層とのテンソル積は順像と交換します。

補題 6.4（射影公式）✓

$f\colon X \to Y$ を環付き空間の射、$\mathcal{F}$ を $\mathcal{O}_X$ 加群、$\mathcal{E}$ を $Y$ の各点の近傍で $\mathcal{O}_Y^{\oplus n}$ と同型な $\mathcal{O}_Y$ 加群とする。このとき自然な同型 $f_{*}\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{E} \cong f_{*}(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^{*}\mathcal{E})$ がある。

証明（補題 6.4）

随伴の単位 $\mathcal{E} \to f_{*}f^{*}\mathcal{E}$ により、$e \in \mathcal{E}(V)$ は $f^{*}e \in (f^{*}\mathcal{E})(f^{-1}(V))$ を定めます。$Y$ の開集合 $V$ について

$$\mathcal{F}(f^{-1}(V)) \times \mathcal{E}(V) \longrightarrow (\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^{*}\mathcal{E})(f^{-1}(V)), \qquad (s, e) \longmapsto s \otimes f^{*}e$$

は $\mathcal{O}_Y(V)$ 双線形で制限と両立するので、射 $\theta\colon f_{*}\mathcal{F} \otimes \mathcal{E} \to f_{*}(\mathcal{F} \otimes f^{*}\mathcal{E})$ を定めます。$\theta$ は $\mathcal{E}$ について自然で、有限直和と交換します。同型であることは $Y$ の開被覆の上で確かめればよいので、$\mathcal{E} = \mathcal{O}_Y^{\oplus n}$、さらに直和と交換するので $\mathcal{E} = \mathcal{O}_Y$ としてかまいません。このとき $f^{*}\mathcal{O}_Y = \mathcal{O}_X$ で、$\theta$ は $f_{*}\mathcal{F} \otimes \mathcal{O}_Y \cong f_{*}\mathcal{F} \cong f_{*}(\mathcal{F} \otimes \mathcal{O}_X)$ という同型です。

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7. 局所自由層・可逆層・Picard 群

定義 7.1（局所自由層・可逆層・Picard 群）↗

$X$ を環付き空間、$n \ge 0$ を整数とする。$\mathcal{O}_X$ 加群 $\mathcal{E}$ が階数 $n$ の局所自由層であるとは、$X$ の開被覆 $\{U_i\}$ で $\mathcal{E}|_{U_i} \cong \mathcal{O}_{U_i}^{\oplus n}$ となるものがあることをいう。階数 $1$ の局所自由層を可逆層という。可逆層の同型類の全体を $\operatorname{Pic} X$ と書く。

スキーム上の局所自由層は準連接で、局所 Noether スキームの上では連接です。$\mathcal{E}|_{U_i} \cong \mathcal{O}^{\oplus n}$ となる開被覆を自明化被覆といいます。

補題 7.2（連接層の台と中山の補題）✓

$X$ を局所 Noether スキーム、$\mathcal{F}$ を連接層とする。

1. 台 $\operatorname{Supp}\mathcal{F} = \{ x \in X : \mathcal{F}_x \ne 0 \}$ は閉集合である。
2. $x \in X$ とし、$x$ の開近傍 $U$ の上の切断 $s_1, \ldots, s_n \in \mathcal{F}(U)$ の像が $\kappa(x)$ ベクトル空間 $\mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X,x}} \kappa(x)$ を生成するとする。このとき $x$ の開近傍 $W \subseteq U$ で、すべての $y \in W$ について芽 $(s_i)_y$ が $\mathcal{F}_y$ を生成するものが存在する。
3. とくに $\mathcal{F}_x \otimes \kappa(x) = 0$ ならば、$x$ のある開近傍の上で $\mathcal{F} = 0$ である。

証明（補題 7.2）

(1) 閉であることは開被覆の上で確かめられます。アフィン開集合 $\operatorname{Spec} A$ の上で $\mathcal{F} = \widetilde{M}$（$M$ は有限生成）とすると、台は $\operatorname{Supp} M = V(\operatorname{Ann} M)$ で閉です（命題 3.3 の 2 と 命題 5.4［加群・完全列・中山の補題］ の 2）。

(2) $U$ を $x$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec} A$ に取り替え、$\mathcal{F}|_U = \widetilde{M}$、$x = \mathfrak{p}$ とします。$s_i$ が定める射 $\mathcal{O}_U^{\oplus n} \to \mathcal{F}|_U$ の余核を $\mathcal{C}$ とすると、$\mathcal{C}$ は連接です（命題 4.6 の 4）。$M_{\mathfrak{p}}$ は局所環 $A_{\mathfrak{p}}$ 上の有限生成加群で、仮定により $s_i$ の像が $M_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}M_{\mathfrak{p}}$ を生成するので、中山の補題（定理 3.5［加群・完全列・中山の補題］ の 3）により $s_i$ の芽は $M_{\mathfrak{p}} = \mathcal{F}_x$ を生成します。すなわち $\mathcal{C}_x = 0$ です。(1) により $W = U \setminus \operatorname{Supp}\mathcal{C}$ は $x$ の開近傍で、その上で $\mathcal{C} = 0$、すなわち $s_i$ の芽が各茎を生成します。

(3) (2) で $n = 0$ とした場合です。

∎

定理 7.3（局所自由性の判定）✓

$X$ を局所 Noether スキーム、$\mathcal{F}$ を連接層とする。次は同値である。

1. $\mathcal{F}$ は各点の近傍で有限階数の自由加群 $\mathcal{O}^{\oplus r}$ と同型である。
2. すべての点 $x$ で茎 $\mathcal{F}_x$ は自由 $\mathcal{O}_{X,x}$ 加群である。
3. すべてのアフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ について、$\Gamma(U, \mathcal{F})$ は有限生成射影 $A$ 加群である。

このとき $x \mapsto \operatorname{rank}_{\mathcal{O}_{X,x}}\mathcal{F}_x$ は局所定数関数で、$X$ が連結なら一定であり、$\mathcal{F}$ はその階数の局所自由層である。

証明（定理 7.3）

(1 ⇒ 2) $\mathcal{O}_U^{\oplus r}$ の茎は $\mathcal{O}_{X,x}^{\oplus r}$ です。

(2 ⇒ 1) $x \in X$ とし、$\mathcal{F}_x$ の基底を芽とする切断 $s_1, \ldots, s_r$ を $x$ の開近傍 $U$ の上に取ります（$\mathcal{F}_x$ は有限生成なので基底は有限個です）。射 $u\colon \mathcal{O}_U^{\oplus r} \to \mathcal{F}|_U$ の核 $\mathcal{K}$ と余核 $\mathcal{C}$ は連接で（命題 4.6 の 4）、$u_x$ は同型なので $\mathcal{K}_x = \mathcal{C}_x = 0$ です。補題 7.2 の 1 により、$x$ の開近傍 $W = U \setminus (\operatorname{Supp}\mathcal{K} \cup \operatorname{Supp}\mathcal{C})$ の上で $u$ は同型です。

(2 ⇔ 3) $U = \operatorname{Spec} A$、$M = \Gamma(U, \mathcal{F})$ とします。$A$ は Noether 環で $M$ は有限生成なので（定理 4.4）、全射 $A^n \to M$ の核も有限生成で（定理 3.1［Noether 環と Artin 環］）、$M$ は有限表示です。$\mathcal{F}_{\mathfrak{p}} = M_{\mathfrak{p}}$ なので、2 は「すべてのアフィン開集合の上で、すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ について $M_{\mathfrak{p}}$ が自由」と言い換えられ、これは $M$ が射影的であることと同値です（定理 5.2［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）。

階数について。1 の同型 $\mathcal{F}|_W \cong \mathcal{O}_W^{\oplus r}$ があれば、$W$ の各点で茎の階数は $r$ です（階数が自由加群の基底の取り方によらないことは 定義 5.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）。よって階数は局所定数で、連結な空間の上の局所定数関数は定数です。

∎

次の例は、定理の仮定「連接」が外せないことを示すためのものです。茎がすべて自由でも、有限生成でなければ近傍の上で自由にならない層を、$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ の上で作ります。

連接性の仮定を落とすと 2 ⇒ 1 は成り立ちません。$\mathbb{Q}$ の部分群 $M = \sum_{p} \frac{1}{p}\mathbb{Z}$（$p$ はすべての素数を動く）を考えます。$M_{(p)} = \frac{1}{p}\mathbb{Z}_{(p)}$ は階数 $1$ の自由 $\mathbb{Z}_{(p)}$ 加群で、生成点での茎は $\mathbb{Q}$ なので、$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 上の準連接層 $\widetilde{M}$ の茎はすべて階数 $1$ の自由加群です。しかしどの $D(n)$ の上でも $\widetilde{M}$ は自由ではありません。$M_n$ が $\mathbb{Z}[1/n]$ 上 $a/b$ で生成されるとすると、$nb$ を割らない素数 $q$ について $1/q = (a/b)(c/n^k)$ から $b n^k = qac$ となり、$q$ が $bn^k$ を割ることになって矛盾します。茎の性質が近傍に広がるには有限性が要ります。

命題 7.4（Picard 群）✓

$X$ を環付き空間とする。

1. $\mathcal{L}$、$\mathcal{L}'$ が可逆層ならば $\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}'$ と $\mathcal{L}^{\vee}$ は可逆層で、評価 $\varphi \otimes s \mapsto \varphi(s)$ は同型 $\mathcal{L}^{\vee} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L} \cong \mathcal{O}_X$ を与える。
2. $\operatorname{Pic} X$ は $[\mathcal{L}] \cdot [\mathcal{L}'] = [\mathcal{L} \otimes \mathcal{L}']$ を演算とするアーベル群で、単位元は $[\mathcal{O}_X]$、$[\mathcal{L}]$ の逆元は $[\mathcal{L}^{\vee}]$ である。
3. $A$ を Noether 環とする。$M \mapsto \widetilde{M}$ は、すべての素イデアルで階数 $1$ の有限生成射影 $A$ 加群の同型類の全体から $\operatorname{Pic}(\operatorname{Spec} A)$ への、テンソル積を保つ全単射である。とくに $A$ が Noether 整域（たとえば Dedekind 整域）ならば、$\operatorname{Pic}(\operatorname{Spec} A)$ は $A$ のイデアル類群 $\operatorname{Cl}(A)$ と同型である。

証明（命題 7.4）

(1) $\mathcal{L}$ と $\mathcal{L}'$ の自明化被覆の共通の細分 $\{U\}$ を取ると、$(\mathcal{L} \otimes \mathcal{L}')|_U \cong \mathcal{O}_U \otimes \mathcal{O}_U \cong \mathcal{O}_U$ です（テンソル積は開集合への制限と交換し、補題 2.2 により $\mathcal{O} \otimes \mathcal{O} \cong \mathcal{O}$）。$\mathcal{L}^{\vee}|_U \cong \mathcal{H}om(\mathcal{O}_U, \mathcal{O}_U)$ で、$\varphi \mapsto \varphi(1)$ はこれと $\mathcal{O}_U$ の同型です。評価 $\mathcal{L}^{\vee}(U) \times \mathcal{L}(U) \to \mathcal{O}_X(U)$、$(\varphi, s) \mapsto \varphi(U)(s)$ は双線形で制限と両立するので、射 $\mathcal{L}^{\vee} \otimes \mathcal{L} \to \mathcal{O}_X$ を定めます。$\mathcal{L}|_U \cong \mathcal{O}_U$ のもとで、これは積 $\mathcal{O}_U \otimes \mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_U$ で同型です。同型であることは開被覆の上で確かめられます。

(2) 可逆層は、自明化被覆 $\{U_i\}$ と、二つの自明化の差である $\mathcal{O}_X(U_i \cap U_j)$ の単元の族から同型を除いて復元されるので（定理 8.1［層］）、同型類の全体は集合です。演算が同型類の上で定まること、結合律・交換律・単位元は 補題 2.2 の同型から、逆元は (1) から従います。

(3) $X = \operatorname{Spec} A$ とします。可逆層 $\mathcal{L}$ は連接で、$M = \Gamma(X, \mathcal{L})$ は有限生成、$\mathcal{L} \cong \widetilde{M}$ です（定理 4.4）。定理 7.3 により $M$ は有限生成射影加群で、$M_{\mathfrak{p}} = \mathcal{L}_{\mathfrak{p}} \cong A_{\mathfrak{p}}$ なので階数は $1$ です。逆に $M$ がそのような加群なら、$\widetilde{M}$ は連接で茎が階数 $1$ の自由加群なので、定理 7.3 により可逆層です。$\widetilde{\ \cdot\ }$ は充満忠実でテンソル積を保つので（定理 4.3）、同型類の間のテンソル積を保つ全単射が得られます。$A$ が整域のとき、階数 $1$ の有限生成射影加群の同型類のなす群 $\operatorname{Pic}(A)$ は $\operatorname{Cl}(A)$ と同型です（系 4.4［離散付値環と Dedekind 環］）。

∎

例 7.5（円周上の Möbius の帯：自明でない Pic をもつアフィン曲線）

$A = \mathbb{R}[x, y]/(x^2 + y^2 - 1)$ とします。$A$ は整域で、$\theta \mapsto (\cos\theta, \sin\theta)$ により実数値の三角多項式の環と見なせます。点 $(0, 1)$ に対応する極大イデアル $\mathfrak{m} = (x, y - 1)$ を考えます。

$\mathfrak{m}^2 = (y - 1)$ です。実際 $\mathfrak{m}^2 = (x^2, x(y-1), (y-1)^2)$ で、$x^2 = 1 - y^2 = -(y - 1)(y + 1)$ なので

$$\mathfrak{m}^2 = (y - 1)\cdot(y + 1,\ x,\ y - 1) = (y - 1)\cdot A$$

です（$(y + 1) - (y - 1) = 2$ は単元）。よって $\mathfrak{m} \cdot (y - 1)^{-1}\mathfrak{m} = A$ で、$\mathfrak{m}$ は可逆イデアル、したがって階数 $1$ の有限生成射影加群です（定理 4.3［離散付値環と Dedekind 環］）。

$\mathfrak{m}$ は単項イデアルではありません。$\mathfrak{m} = (g)$ とすると、$g$ は円周上の連続関数で、零点は $\mathfrak{m}$ の実零点である $\theta = \pi/2$ だけです。$x = \cos\theta \in \mathfrak{m}$ は $g$ の倍元で、$\cos\theta$ は $\theta = \pi/2$ で 1 位の零点をもつので、$g$ も $\theta = \pi/2$ でちょうど 1 位の零点をもち、そこで符号を変えます。ところが円周を一周して元に戻る連続関数が、零点 1 個でちょうど 1 回だけ符号を変えることはできません。

したがって $\mathcal{L} = \widetilde{\mathfrak{m}}$ は $\operatorname{Spec} A$ 上の可逆層で、$\mathcal{L} \not\cong \mathcal{O}$、$\mathcal{L} \otimes \mathcal{L} \cong \widetilde{\mathfrak{m}^2} \cong \mathcal{O}$ です（命題 7.4 の 3 と 系 4.4［離散付値環と Dedekind 環］ の 3）。$\operatorname{Pic}(\operatorname{Spec} A)$ は位数 $2$ の元をもちます。$\mathcal{L}$ は円周上の Möbius の帯（自明でない実直線束）に当たり、2 回テンソルすると自明になるという性質も一致します。

定義 7.6（ベクトル束）↗

$X$ をスキーム、$\mathcal{E}$ を階数 $n$ の局所自由層、$\{U_i\}$ を自明化被覆、$\psi_i\colon \mathcal{E}|_{U_i} \to \mathcal{O}_{U_i}^{\oplus n}$ を自明化とする。$U_i \cap U_j$ の上で $\psi_i \circ \psi_j^{-1}$ は可逆行列 $g_{ij} \in \mathrm{GL}_n(\mathcal{O}_X(U_i \cap U_j))$ で与えられ、$g_{ij}g_{jk} = g_{ik}$ を満たす。スキーム $U_i \times_{\mathbb{Z}} \mathbb{A}^n_{\mathbb{Z}}$ を、$(U_i \cap U_j) \times \mathbb{A}^n$ の上で座標の一次変換 $g_{ij}$ により貼り合わせて得られる $X$ 上のスキーム $\mathbb{V}(\mathcal{E}) \to X$ を、$\mathcal{E}$ に伴うベクトル束（全空間）という。

貼り合わせの条件 $g_{ij}g_{jk} = g_{ik}$ は 定理 5.1［アフィンスキームとスキーム］ のコサイクル条件です。$X$ の開集合 $U$ の上の射 $U \to \mathbb{V}(\mathcal{E})$ で $\mathbb{V}(\mathcal{E}) \to X$ との合成が包含になるもの（切断）は、$\mathcal{E}(U)$ の元と対応します。この記事では層 $\mathcal{E}$ の側だけを使います。

8. Proj 上の層とねじり層

$S = \bigoplus_{d \ge 0} S_d$ を次数環、$X = \operatorname{Proj} S$ とします。正の次数の斉次元 $f$ について、$D_{+}(f)$ は $S_f$ の $0$ 次部分 $S_{(f)}$ の $\operatorname{Spec}$ と同型で、$D_{+}(f) \cap D_{+}(g) = D_{+}(fg)$ です（定理 6.3［アフィンスキームとスキーム］）。この節では $\mathbb{Z}$ で次数づけた加群を使います。次数 $S$ 加群とは、$S$ 加群 $M$ と加法部分群への分解 $M = \bigoplus_{n \in \mathbb{Z}} M_n$ で $S_d M_n \subseteq M_{n+d}$ を満たすものです（次数環の定義は 定義 2.1［次数環と Hilbert–Samuel 多項式］）。$M_f$ は $\deg(m/f^k) = \deg m - k\deg f$ で次数づけられ、その $0$ 次部分を $M_{(f)}$ と書きます。整数 $n$ について、$M(n)_k = M_{n+k}$ と次数をずらした次数加群を $M(n)$ と書きます。

補題 8.1（0 次部分の局所化）✓

$f, g \in S$ を次数 $d, e > 0$ の斉次元、$M$ を次数 $S$ 加群とし、$h = g^d/f^e \in S_{(f)}$ とおく。自然な写像 $M_{(f)} \to M_{(fg)}$ は同型 $(M_{(f)})_h \cong M_{(fg)}$ を誘導する。

証明（補題 8.1）

$S_{(fg)}$ の中で $h$ は逆元 $f^{d+e}/(fg)^d$ をもつので、$M_{(f)} \to M_{(fg)}$ は $\lambda\colon (M_{(f)})_h \to M_{(fg)}$ を誘導します。

（全射）$M_{(fg)}$ の元は $m/(fg)^k$（$\deg m = k(d + e)$）と書けます。$m' = m g^{k(d-1)}$ の次数は $k(d + e) + k(d - 1)e = d \cdot k(1 + e)$ なので $m'/f^{k(1+e)} \in M_{(f)}$ で、

$$\frac{m'}{f^{k(1+e)}} \cdot h^{-k} = \frac{m g^{k(d-1)}}{f^{k(1+e)}} \cdot \frac{f^{ek}}{g^{dk}} = \frac{m}{f^k g^k}$$

です。

（単射）$x = m/f^a \in M_{(f)}$（$\deg m = ad$）が $M_{(fg)}$ で $0$ になるとします。ある $N$ で $(fg)^N m = 0$ です。$f^N g^{dN} m = g^{(d-1)N}(fg)^N m = 0$ なので、$M_f$ の中で $g^{dN}m = 0$、したがって $h^N x = g^{dN}m/f^{eN + a} = 0$ です。よって $x$ は $(M_{(f)})_h$ で $0$ です。$\lambda(x/h^k) = 0$ なら $\lambda(x/1) = 0$ なので、$\lambda$ は単射です。

∎

定義 8.2（次数加群に伴う層・ねじり層）↗

$M$ を次数 $S$ 加群とする。各 $D_{+}(f) = \operatorname{Spec} S_{(f)}$ の上の層 $\widetilde{M_{(f)}}$ は、$D_{+}(f) \cap D_{+}(g) = D_{+}(fg)$ の上で 補題 8.1 と 命題 3.3 の 3 によりどちらも $\widetilde{M_{(fg)}}$ と同一視される。この同一視で貼り合わせて得られる $X = \operatorname{Proj} S$ 上の準連接層を $\widetilde{M}$ と書く。$\Gamma(D_{+}(f), \widetilde{M}) = M_{(f)}$ である。

整数 $n$ について $\mathcal{O}_X(n) = \widetilde{S(n)}$ をねじり層といい、$\mathcal{O}_X$ 加群 $\mathcal{F}$ について $\mathcal{F}(n) = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(n)$ と書く。

貼り合わせの条件（3 重の交わりでの両立）は、同一視がすべて $M_{(fgh)}$ への自然な写像から来ることから成り立ちます（定理 8.1［層］）。$\widetilde{S} = \mathcal{O}_X$ です。次数を保つ準同型 $M \to N$ は射 $\widetilde{M} \to \widetilde{N}$ を定め、$M \mapsto \widetilde{M}$ は完全です。局所化が完全で、$0$ 次部分を取る操作が次数ごとの完全性を保つからです。$m \in M_0$ は各 $M_{(f)}$ の元 $m/1$ を定めるので、自然な写像 $M_0 \to \Gamma(X, \widetilde{M})$ があります。

定理 8.3（ねじり層 O(n)）✓

$S$ を、$S_0$ 代数として $S_1$ で生成される次数環、$X = \operatorname{Proj} S$ とする。

1. $\mathcal{O}_X(n)$ は可逆層で、$f \in S_1$ について $\mathcal{O}_X(n)|_{D_{+}(f)}$ は $f^n$ を基底とする自由加群である。
2. 次数 $S$ 加群 $M$ について $\widetilde{M} \otimes \mathcal{O}_X(n) \cong \widetilde{M(n)}$ である。とくに $\mathcal{O}_X(m) \otimes \mathcal{O}_X(n) \cong \mathcal{O}_X(m + n)$、$\mathcal{O}_X(n)^{\vee} \cong \mathcal{O}_X(-n)$ で、$n \mapsto [\mathcal{O}_X(n)]$ は群準同型 $\mathbb{Z} \to \operatorname{Pic} X$ である。
3. $A$ を環、$r \ge 1$、$S = A[x_0, \ldots, x_r]$、$X = \mathbb{P}^r_A$ とする。自然な写像 $S_n \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X(n))$ はすべての整数 $n$ で同型である。すなわち $\Gamma(\mathbb{P}^r_A, \mathcal{O}(n))$ は $n$ 次斉次多項式の全体で、$n < 0$ のとき $0$ である。

証明（定理 8.3）

$S_{+}$ は $S_1$ で生成されるので、$\operatorname{Proj} S$ の点（$S_{+}$ を含まない斉次素イデアル）は $S_1$ のある元 $f$ を含まず、$X = \bigcup_{f \in S_1} D_{+}(f)$ です。

(1) $f \in S_1$ とします。$S(n)_{(f)}$ は $S_f$ の $n$ 次部分 $(S_f)_n$ です。$f$ は $S_f$ の $1$ 次の単元なので、$f^n$ 倍は $S_{(f)} = (S_f)_0$ から $(S_f)_n$ への全単射です。よって $S(n)_{(f)} = f^n S_{(f)}$ は $f^n$ を基底とする階数 $1$ の自由 $S_{(f)}$ 加群で、$\mathcal{O}_X(n)|_{D_{+}(f)} \cong \mathcal{O}_{D_{+}(f)}$ です。

(2) 正の次数の斉次元 $f$ について、$S_{(f)}$ 加群の準同型

$$\mu_f\colon M_{(f)} \otimes_{S_{(f)}} S(n)_{(f)} \longrightarrow M(n)_{(f)} = (M_f)_n, \qquad x \otimes s \longmapsto sx$$

は $D_{+}(fg)$ への制限と両立し、定理 4.3 の 2 により射 $\mu\colon \widetilde{M} \otimes \mathcal{O}_X(n) \to \widetilde{M(n)}$ を定めます。$f \in S_1$ のとき、(1) により左辺の元は $x \otimes f^n$ と一意に書け、$\mu_f(x \otimes f^n) = f^n x$ です。$f^n$ 倍は $M_{(f)} \to (M_f)_n$ の全単射なので $\mu_f$ は同型です。$D_{+}(f)$（$f \in S_1$）は $X$ を覆うので $\mu$ は同型です。$M = S(m)$ とすれば $\mathcal{O}_X(m) \otimes \mathcal{O}_X(n) \cong \mathcal{O}_X(m + n)$ です。$n = -m$ として、命題 7.4 の 2 の逆元の一意性から $\mathcal{O}_X(n)^{\vee} \cong \mathcal{O}_X(-n)$ です。

(3) $U_i = D_{+}(x_i)$ は $X$ を覆い、$\Gamma(U_i, \mathcal{O}(n)) = (S_{x_i})_n$、$\Gamma(U_i \cap U_j, \mathcal{O}(n)) = (S_{x_i x_j})_n$ です。層の公理により、大域切断は $t_i \in (S_{x_i})_n$ の組で、$S_{x_i x_j}$ の中で $t_i = t_j$ となるものです。$x_i$ は多項式環 $S$ の非零因子なので、$S$ と各 $S_{x_i}$、$S_{x_i x_j}$ は $S' = S_{x_0 \cdots x_r}$ の部分環で、$S'$ は Laurent 単項式 $x_0^{a_0} \cdots x_r^{a_r}$（$a_k \in \mathbb{Z}$）を基底とする自由 $A$ 加群です。$S_{x_i}$ は、$k \ne i$ のすべてについて $a_k \ge 0$ である単項式で張られます。したがって

$$\Gamma(X, \mathcal{O}(n)) = \bigcap_{i=0}^{r} (S_{x_i})_n$$

は、すべての $i$ について「$k \ne i$ なら $a_k \ge 0$」を満たす $n$ 次の単項式で張られます。$r \ge 1$ なので、これはすべての $a_k \ge 0$ であること、すなわち $S_n$ の単項式であることと同じです。$n < 0$ ならそのような単項式はありません。

∎

(3) で $r \ge 1$ は必要です。$\mathbb{P}^0_A = \operatorname{Spec} A$ では $\mathcal{O}(n) \cong \mathcal{O}$ がすべての $n$ で成り立ちます。斉次座標 $x_i$ は $\mathbb{P}^r_A$ 上の関数ではありませんが、(3) により $\mathcal{O}(1)$ の大域切断です。

例 8.4（$P^1$ 上の O(n) の変換関数）

$k$ を体、$X = \mathbb{P}^1_k$、$U_0 = D_{+}(x_0) = \operatorname{Spec} k[t]$（$t = x_1/x_0$）、$U_1 = D_{+}(x_1) = \operatorname{Spec} k[s]$（$s = x_0/x_1$）とします。$\mathcal{O}(n)$ は $U_0$ の上で $e_0 = x_0^n$、$U_1$ の上で $e_1 = x_1^n$ を基底とし、$U_0 \cap U_1$ の上で $e_1 = t^n e_0$ です。変換関数は $t^n$ です。

大域切断は $a(t)e_0$（$a \in k[t]$）と $b(s)e_1$（$b \in k[s]$）の組で、$U_0 \cap U_1$ の上で $a(t) = t^n b(t^{-1})$ となるものです。$n \ge 0$ なら、$a$ は次数 $n$ 以下の多項式を自由に取れ（$b(s) = s^n a(s^{-1})$）、大域切断の空間は $n + 1$ 次元です。$n < 0$ なら $a(t) = t^n b(t^{-1})$ の右辺は $t$ の負冪だけからなるので $a = 0$ です。これは 定理 8.3 の 3 の「$2$ 変数 $n$ 次斉次式の空間」と一致します（$a(t)e_0 = x_0^n a(x_1/x_0)$）。

9. $\Gamma_{*}$ と Serre の定理

この補題は、§4 の補題の「$f$ の冪を掛ければ延びる」という性質を、関数 $f$ の代わりに可逆層 $\mathcal{L}$ の切断 $f$ で言い直したものです。$X_f$ は、$f$ が「零でない」点の集合、すなわち $f$ が各点の茎 $\mathcal{L}_x$ を生成する点の集合で、関数の $D(f)$ に当たります。

補題 9.1（可逆層の切断を掛けて延長する）✓

$X$ をスキーム、$\mathcal{L}$ を可逆層、$f \in \Gamma(X, \mathcal{L})$、$\mathcal{F}$ を準連接層とし、$X_f = \{ x \in X : f_x \notin \mathfrak{m}_x\mathcal{L}_x \}$ とおく。$X_f$ は開集合である。$\mathcal{F}$ の切断 $s$ と $n \ge 0$ について、$\mathcal{L}^{\otimes n} \otimes \mathcal{F}$ の切断 $f^{\otimes n} \otimes s$ を $f^n s$ と書く。

1. $X$ が準コンパクトで、$s \in \Gamma(X, \mathcal{F})$ が $s|_{X_f} = 0$ を満たせば、ある $n \ge 0$ で $f^n s = 0$ である。
2. $X$ が有限個のアフィン開集合 $U_1, \ldots, U_r$ で覆われ、各 $\mathcal{L}|_{U_i}$ が自明で、各 $U_i \cap U_j$ が準コンパクトであるとする。このとき任意の $t \in \Gamma(X_f, \mathcal{F})$ について、ある $n_0$ があって、すべての $n \ge n_0$ で $f^n t \in \Gamma(X_f, \mathcal{L}^{\otimes n} \otimes \mathcal{F})$ は $\Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n} \otimes \mathcal{F})$ の元の制限になる。

証明（補題 9.1）

$U = \operatorname{Spec} B$ をアフィン開集合、$\psi\colon \mathcal{L}|_U \to \mathcal{O}_U$ を同型とし、$g = \psi(f|_U) \in B$ とおきます。$\psi$ は茎の同型 $\mathcal{L}_x \cong \mathcal{O}_{X,x}$ を与え、$\mathfrak{m}_x\mathcal{L}_x$ を $\mathfrak{m}_x$ に写すので、$X_f \cap U = D(g)$ です。このような $U$ は $X$ を覆うので $X_f$ は開集合です。また $\psi^{\otimes n} \otimes \operatorname{id}$ は同型 $(\mathcal{L}^{\otimes n} \otimes \mathcal{F})|_U \cong \mathcal{F}|_U$ を与え、$f^n s$ を $g^n s$ に写します。

(1) $X$ を、$\mathcal{L}$ が自明になる有限個のアフィン開集合 $U_i = \operatorname{Spec} B_i$ で覆い、$\psi_i$、$g_i$ を上のように取ります。$s|_{U_i}$ は $D(g_i)$ の上で $0$ なので、補題 4.2 の 1 により $g_i^{n}s|_{U_i} = 0$ となる $n$ があり、すべての $i$ に共通に取れます。上の同型により $(f^n s)|_{U_i} = 0$ で、$f^n s = 0$ です。

(2) $\psi_i$、$g_i$ を同様に取ります。補題 4.2 の 2 により、ある $n$（すべての $i$ に共通）で $g_i^n t|_{D(g_i)}$ は $\Gamma(U_i, \mathcal{F})$ の元の制限です。上の同型で移すと、$t_i \in \Gamma(U_i, \mathcal{L}^{\otimes n} \otimes \mathcal{F})$ で $t_i|_{X_f \cap U_i} = f^n t$ となるものが得られます。$U_i \cap U_j$ の上で $t_i - t_j$ は準連接層 $\mathcal{G} = \mathcal{L}^{\otimes n} \otimes \mathcal{F}$ の切断で、$X_f \cap U_i \cap U_j$ の上で $0$ です。$U_i \cap U_j$ は準コンパクトなので、(1) を $U_i \cap U_j$ と $\mathcal{G}$ に使うと、ある $m$ で $f^m(t_i - t_j) = 0$（$\mathcal{L}^{\otimes(m+n)} \otimes \mathcal{F}$ の切断として）です。$m$ は共通に取れ、$f^m t_i$ は貼り合わさって大域切断 $u$ を定め、$u|_{X_f} = f^{n+m}t$ です。$n_0 = n + m$ とします。$n' \ge n_0$ については $f^{n' - n_0}u$ が $f^{n'}t$ の延長です。

∎

$\mathcal{L} = \mathcal{O}_X$、$X$ アフィンの場合が 補題 4.2 です。$S$ が $S_1$ で生成されるとき、$f \in S_1$ を $\mathcal{O}_X(1)$ の切断と見ると $X_f = D_{+}(f)$ です。$g \in S_1$ について、$D_{+}(g)$ の上で $\mathcal{O}(1)$ を基底 $g$ で自明化すると $f$ は $f/g \in S_{(g)}$ に対応し、$X_f \cap D_{+}(g) = D(f/g) = D_{+}(fg)$ だからです。

定義 9.2（層に伴う次数加群）↗

$S$ を $S_1$ で生成される次数環、$X = \operatorname{Proj} S$、$\mathcal{F}$ を $\mathcal{O}_X$ 加群とする。

$$\Gamma_{*}(\mathcal{F}) = \bigoplus_{n \in \mathbb{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F}(n))$$

とおく。$s \in S_d$ の定める $\mathcal{O}_X(d)$ の切断と $t \in \Gamma(X, \mathcal{F}(n))$ について、$t \otimes s \in \Gamma(X, \mathcal{F}(n) \otimes \mathcal{O}_X(d)) \cong \Gamma(X, \mathcal{F}(n + d))$ を $s \cdot t$ と定めると、$\Gamma_{*}(\mathcal{F})$ は次数 $S$ 加群になる。

加群の公理は、定理 8.3 の 2 の同型 $\mathcal{O}(m) \otimes \mathcal{O}(n) \cong \mathcal{O}(m+n)$ が $S_f$ の中の積から来ていて結合的であることから従います。

定理 9.3（準連接層は $Γ_*$ から復元される）✓

$S$ を、$S_0$ 代数として $S_1$ の有限個の元で生成される次数環、$X = \operatorname{Proj} S$ とする。

1. $X$ 上の準連接層 $\mathcal{F}$ について、自然な同型 $\beta\colon \widetilde{\Gamma_{*}(\mathcal{F})} \to \mathcal{F}$ がある。
2. $A$ を環、$r \ge 1$、$S = A[x_0, \ldots, x_r]$、$X = \mathbb{P}^r_A$ とする。$\Gamma_{*}(\mathcal{O}_X) = S$ である。$X$ の任意の閉部分スキーム $Y$ について、$S$ の斉次イデアル $I$ で $\mathcal{I}_Y = \widetilde{I}$ となるものがあり、$Y$ は $\operatorname{Proj} S/I \to \operatorname{Proj} S$ と同値である。

証明（定理 9.3）

(1) $M = \Gamma_{*}(\mathcal{F})$ とします。$f \in S_1$ について、定理 8.3 の 1 により $f^d$ は $\mathcal{O}(d)|_{D_{+}(f)}$ の基底で、$\mathcal{F}|_{D_{+}(f)} \to \mathcal{F}(d)|_{D_{+}(f)}$、$t \mapsto t \otimes f^d = f^d t$ は同型です。$m \in M_d = \Gamma(X, \mathcal{F}(d))$ について、$m|_{D_{+}(f)} = f^d t$ となるただ一つの $t \in \mathcal{F}(D_{+}(f))$ を $\beta_f(m/f^d)$ と定めます。$m/f^d = m'/f^{d'}$ なら、ある $N$ で $f^{N}(f^{d'}m - f^{d}m') = 0$ で、$D_{+}(f)$ の上で $f$ の冪を払うと同じ $t$ が出るので、$\beta_f\colon M_{(f)} \to \mathcal{F}(D_{+}(f))$ は定まり、$S_{(f)}$ 線形です。$\beta_f$ は $D_{+}(fg)$ への制限と両立するので、射 $\beta\colon \widetilde{M} \to \mathcal{F}$ を定めます。

$\beta_f$ が全単射であることを示せば、$D_{+}(f)$（$f \in S_1$）は $X$ を覆い、両辺は $D_{+}(f)$ の上で加群に伴う層なので、$\beta$ は同型です。$\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(1)$ と切断 $f$ に 補題 9.1 を使います。$X_f = D_{+}(f)$、$\mathcal{L}^{\otimes n} \otimes \mathcal{F} \cong \mathcal{F}(n)$ です。$S_1$ の生成元 $f_1, \ldots, f_r$ について $D_{+}(f_i)$ は $X$ を覆うアフィン開集合で、その上で $\mathcal{L}$ は自明、交わり $D_{+}(f_i f_j)$ はアフィンなので、補題の仮定が満たされます。

（単射）$\beta_f(m/f^d) = 0$ なら $m|_{D_{+}(f)} = 0$ です。補題の 1 を準連接層 $\mathcal{F}(d)$ と切断 $m$ に使うと、ある $n$ で $f^n m = 0$（$M_{d+n}$ の中で）で、$m/f^d = f^n m/f^{n+d} = 0$ です。

（全射）$t \in \mathcal{F}(D_{+}(f))$ について、補題の 2 により、ある $n$ で $f^n t$ は $m \in \Gamma(X, \mathcal{F}(n)) = M_n$ の制限で、$\beta_f(m/f^n) = t$ です。

(2) $\Gamma_{*}(\mathcal{O}_X) = \bigoplus_n \Gamma(X, \mathcal{O}(n)) = \bigoplus_n S_n = S$ は 定理 8.3 の 3 です。$\mathcal{I}_Y \subseteq \mathcal{O}_X$ を $Y$ のイデアル層とします。これは準連接です（定理 5.2）。$\mathcal{O}(n)$ は可逆層なので $- \otimes \mathcal{O}(n)$ は完全で、$\Gamma$ は左完全なので、$I = \Gamma_{*}(\mathcal{I}_Y)$ は $\Gamma_{*}(\mathcal{O}_X) = S$ の次数部分加群、すなわち斉次イデアルです。(1) の $\beta$ は自然なので、$\widetilde{I} \to \widetilde{S} = \mathcal{O}_X$ の像は $\mathcal{I}_Y$ で、$\mathcal{I}_Y = \widetilde{I}$ です。

一方、$S \to S/I$ は各 $i$ について全射 $S_{(x_i)} \to (S/I)_{(x_i)}$ を誘導し、その核は $I_{(x_i)}$ です。$\operatorname{Proj} S/I$ は $D_{+}(\bar x_i) = \operatorname{Spec}(S/I)_{(x_i)}$ で覆われ、閉はめ込み $\operatorname{Spec}(S/I)_{(x_i)} \to \operatorname{Spec} S_{(x_i)}$ は貼り合わさって閉はめ込み $\operatorname{Proj} S/I \to X$ を与えます。そのイデアル層は $D_{+}(x_i)$ の上で $\widetilde{I_{(x_i)}}$ なので $\widetilde{I}$ です。イデアル層が等しいので、定理 5.2 の 3 により $Y$ は $\operatorname{Proj} S/I$ と同値です。

∎

(2) の斉次イデアル $I$ は一意ではありません。$I$ と $I \cap S_{\ge N}$ は同じ層を定めます。$\Gamma_{*}(\mathcal{I}_Y)$ は、同じ閉部分スキームを定める斉次イデアルのうち最大のものです。

例 9.4（ねじれ 3 次曲線のイデアル層）

$k$ を体、$S = k[x_0, x_1, x_2, x_3]$ とし、

$$I = (x_0 x_2 - x_1^2,\ x_1 x_3 - x_2^2,\ x_0 x_3 - x_1 x_2)$$

とします。$C = \operatorname{Proj} S/I \subseteq \mathbb{P}^3_k$ がねじれ 3 次曲線です。$D_{+}(x_0)$ の上で $a = x_1/x_0$、$b = x_2/x_0$、$c = x_3/x_0$ とおくと

$$I_{(x_0)} = (b - a^2,\ ac - b^2,\ c - ab) = (b - a^2,\ c - ab)$$

です（$ac - b^2 = a(c - ab) + b(a^2 - b)$）。よって $C \cap D_{+}(x_0) \cong \operatorname{Spec} k[a]$ はアフィン直線で、$(a, a^2, a^3)$ と媒介変数表示されます。$D_{+}(x_3)$ でも同様です。$x_0 = x_3 = 0$ となる $C$ の点では $x_1^2 = x_2^2 = 0$ となり、そのような点は $\operatorname{Proj}$ にないので、$C$ は二つのアフィン直線で覆われます。

イデアル層 $\widetilde{I}$ は、各 $D_{+}(x_i)$ の上では 2 個の切断で生成されます。しかし $I$ そのものは 2 個の元では生成できません。$I$ は $1$ 次の元を含まず、$I_2$ は上の 3 個の 2 次式を基底とする 3 次元空間なので、生成元は少なくとも 3 個必要です（$S_{+}I$ は $3$ 次以上の元からなるので、$I/S_{+}I$ は $k$ 上 $3$ 次元以上で、生成元の個数はこの次元以上です）。局所的な生成元の個数（余次元と同じ $2$）と斉次イデアルの生成元の個数が食い違い、$C$ の斉次イデアルは 2 個の式では書けません。

$A$ を Noether 環とします。閉はめ込み $i\colon X \to \mathbb{P}^r_A$ が与えられたとき、$n \ge 0$ について $\mathcal{O}_X(n) = i^{*}\mathcal{O}(n)$、$\mathcal{O}_X(-n) = \mathcal{O}_X(n)^{\vee}$ とおき、$\mathcal{F}(n) = \mathcal{F} \otimes \mathcal{O}_X(n)$ と書きます。$i^{*}$ は $\mathcal{O}$ を $\mathcal{O}$ に写し、開集合への制限と両立するので、$\mathcal{O}_X(n)$ は可逆層です。

定理 9.5（Serre の定理：十分ねじれば大域切断で生成される）✓

$A$ を Noether 環、$i\colon X \to \mathbb{P}^r_A$ を閉はめ込み、$\mathcal{F}$ を $X$ 上の連接層とする。このとき整数 $n_0 \ge 0$ があって、すべての $n \ge n_0$ について $\mathcal{F}(n)$ は有限個の大域切断で生成される。したがって、ある $n \ge 0$ と $N \ge 0$ について全射 $\mathcal{O}_X(-n)^{\oplus N} \to \mathcal{F}$ が存在する。

証明（定理 9.5）

$X = \mathbb{P}^r_A$ の場合。 $S = A[x_0, \ldots, x_r]$、$U_i = D_{+}(x_i)$ とします。$S_{(x_i)}$ は Noether 環で、$\mathcal{F}|_{U_i} = \widetilde{M_i}$、$M_i$ は有限生成 $S_{(x_i)}$ 加群です（定理 4.4）。$M_i$ の有限個の生成元 $s_{ij} \in \mathcal{F}(U_i)$ を取ります。補題 9.1 の 2 を $\mathcal{L} = \mathcal{O}(1)$、切断 $x_i$、$X_{x_i} = U_i$ に使うと、ある $n_0$（すべての $i, j$ に共通に取る）があって、$n \ge n_0$ なら $x_i^n s_{ij}$ は $t_{ij} \in \Gamma(X, \mathcal{F}(n))$ の制限です。

$n \ge n_0$ とします。$U_i$ の上で $t \mapsto x_i^n t$ は同型 $\mathcal{F}|_{U_i} \cong \mathcal{F}(n)|_{U_i}$ で、$s_{ij}$ を $t_{ij}|_{U_i}$ に写します。$s_{ij}$（$j$ を動かす）は $M_i$ を生成するので、$U_i$ の各点での茎を生成します。よって有限個の大域切断 $t_{ij}$（$i, j$ を動かす）は、すべての点で $\mathcal{F}(n)$ の茎を生成します。

一般の場合。 $P = \mathbb{P}^r_A$ とします。閉はめ込みは有限射なので（定理 5.2 の 1）、$i_{*}\mathcal{F}$ は $P$ 上の連接層です（命題 6.2 の 4）。射影公式（補題 6.4）により、$n \ge 0$ について

$$i_{*}(\mathcal{F}(n)) = i_{*}\bigl(\mathcal{F} \otimes i^{*}\mathcal{O}(n)\bigr) \cong (i_{*}\mathcal{F})(n)$$

です。前半により、$n \ge n_0$ なら $\Gamma(P, (i_{*}\mathcal{F})(n)) = \Gamma(X, \mathcal{F}(n))$ の有限個の元 $t_1, \ldots, t_N$ が $(i_{*}\mathcal{F})(n)$ を生成します。点 $x \in X$ で、$(i_{*}(\mathcal{F}(n)))_{i(x)} = \mathcal{F}(n)_x$ で（補題 5.1 の 1）、$\mathcal{O}_{P, i(x)}$ は全射 $\mathcal{O}_{P, i(x)} \to \mathcal{O}_{X,x}$ を通して作用するので、$t_k$ の芽は $\mathcal{O}_{X,x}$ 加群 $\mathcal{F}(n)_x$ を生成します。

最後の主張。 $n \ge n_0$ を取り、全射 $\mathcal{O}_X^{\oplus N} \to \mathcal{F}(n)$ に $\mathcal{O}_X(-n) = \mathcal{O}_X(n)^{\vee}$ をテンソルします。テンソル積は右完全で、$\mathcal{F}(n) \otimes \mathcal{O}_X(n)^{\vee} \cong \mathcal{F} \otimes (\mathcal{O}_X(n) \otimes \mathcal{O}_X(n)^{\vee}) \cong \mathcal{F}$ なので（補題 2.2 と 命題 7.4 の 1）、全射 $\mathcal{O}_X(-n)^{\oplus N} \to \mathcal{F}$ が得られます。

∎

アフィンスキームの上では、準連接層はいつも大域切断で生成されます（$\widetilde{M}$ は $M$ の元で生成される）。射影スキームの上では 定理 8.3 の 3 が示すように大域切断が足りないことがあり、その不足を $\mathcal{O}(1)$ でねじって補うのが Serre の定理です。代数幾何 II では、この定理から「連接層は $\mathcal{O}(-n)$ の直和で分解できる」ことを使って、射影スキーム上の連接層のコホモロジーの有限性を示します。

10. 演習

演習 10.1易

$k$ を体、$A = k[x]$、$M = k[x]/(x^2) \oplus k[x]$ とします。$\widetilde{M}$ の $D(x)$、$D(x - 1)$ の上の切断、点 $(x)$ と $(0)$ での茎を求め、$\widetilde{M}$ が局所自由でないことを示してください。

解答

$\widetilde{M}(D(f)) = M_f$ です（命題 3.3）。$x$ は $k[x]/(x^2)$ で冪零なので $(k[x]/(x^2))_x = 0$ で、$\widetilde{M}(D(x)) = k[x, x^{-1}]$ です。$x - 1$ は $k[x]/(x^2)$ の単元（$(x - 1)(-x - 1) = 1 - x^2 = 1$）なので、$\widetilde{M}(D(x - 1)) = k[x]/(x^2) \oplus k[x]_{x-1}$ です。

茎は $\widetilde{M}_{(x)} = k[x]_{(x)}/(x^2) \oplus k[x]_{(x)}$、$\widetilde{M}_{(0)} = 0 \oplus k(x) = k(x)$ です（$(0)$ での局所化では $x$ が単元になるので第 1 成分は消えます）。

$\widetilde{M}_{(x)}$ は $x^2$ で消える $0$ でない元をもつので、整域 $k[x]_{(x)}$ 上の自由加群ではありません。定理 7.3 により $\widetilde{M}$ は局所自由でありません。$D(x)$ に制限すれば階数 $1$ の自由加群です。$\widetilde{M}_{\mathfrak{p}} \otimes \kappa(\mathfrak{p})$ の次元は、原点で $2$、ほかの点で $1$ です。

演習 10.2標準

$k$ を体とし、$f\colon X = \operatorname{Spec} k[t] \to Y = \operatorname{Spec} k[u]$ を $u \mapsto t^2$ が定める射とします。(a) $f_{*}\mathcal{O}_X$ が階数 $2$ の自由 $\mathcal{O}_Y$ 加群であることを示してください。(b) $a \in k$ について、点 $u = a$ の構造層 $\widetilde{k[u]/(u - a)}$ の引き戻しを求めてください。

解答

(a) 命題 6.2 の 2 により、$f_{*}\mathcal{O}_X$ は $k[t]$ を $k[u]$ 加群（$u$ は $t^2$ として作用）と見たものに伴う層です。$k[t]$ の元は $p(t^2) + t\,q(t^2)$ と一意に書けるので、$k[t] = k[u] \cdot 1 \oplus k[u] \cdot t$ は $1, t$ を基底とする自由加群で、$f_{*}\mathcal{O}_X \cong \mathcal{O}_Y^{\oplus 2}$ です。

(b) 同じ命題により、引き戻しは $k[t] \otimes_{k[u]} k[u]/(u - a) \cong k[t]/(t^2 - a)$ に伴う層です（命題 2.5［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の 3）。これは $f$ のファイバー $\operatorname{Spec} k[t]/(t^2 - a)$ の構造層を $X$ に押し出したものです。$a$ が $k$ の中に相異なる二つの平方根 $\pm b$ をもてば $k[t]/(t - b) \times k[t]/(t + b)$ で 2 点、$a = 0$ なら $k[t]/(t^2)$ で二重点です。どの場合も $k$ 上の次元は $2$ で、(a) の階数と一致します。

演習 10.3標準

$A \ne 0$ を環、$r \ge 1$ とします。(a) $\mathbb{P}^r_A$ の上で $\mathcal{O}(m) \cong \mathcal{O}(n)$ ならば $m = n$ であることを示してください。(b) 体 $k$ について、$\mathbb{P}^1_k$ 上の階数 $2$ の局所自由層 $\mathcal{O}(1) \oplus \mathcal{O}(-1)$ と $\mathcal{O} \oplus \mathcal{O}$ は同型でないことを示してください。

解答

(a) $m < n$ で $\mathcal{O}(m) \cong \mathcal{O}(n)$ とします。$\mathcal{O}(-n)$ をテンソルすると $\mathcal{O}(m - n) \cong \mathcal{O}$ です（定理 8.3 の 2）。大域切断を比べると、左辺は $m - n < 0$ なので $0$、右辺は $S_0 = A \ne 0$ で（同 3）、矛盾です。したがって $\mathbb{Z} \to \operatorname{Pic}\mathbb{P}^r_A$ は単射です。

(b) どちらの大域切断も $2$ 次元なので、そのままでは区別できません。$\mathcal{O}(-1)$ をテンソルすると、テンソル積は直和と交換するので、それぞれ $\mathcal{O} \oplus \mathcal{O}(-2)$ と $\mathcal{O}(-1) \oplus \mathcal{O}(-1)$ になります。大域切断の空間は前者が $k \oplus 0$ で $1$ 次元、後者が $0$ です。同型な層は同型な層に写るので、元の二つは同型でありません。

演習 10.4標準

$k$ を体、$r \ge 1$、$S = k[x_0, \ldots, x_r]$、$X = \mathbb{P}^r_k$ とし、$s = \sum_i a_i x_i \in S_1$ を $0$ でない $1$ 次式とします。(a) $x_0, \ldots, x_r$ が $\mathcal{O}(1)$ を生成することを示してください。(b) $s$ 倍が定める完全列 $0 \to \mathcal{O}(-1) \to \mathcal{O}_X \to i_{*}\mathcal{O}_H \to 0$ を作ってください。ここで $i\colon H = \operatorname{Proj} S/(s) \to X$ は超平面の閉はめ込みです。

解答

(a) $X$ の点はある $D_{+}(x_i)$ に属し、その上で $x_i$ は $\mathcal{O}(1)$ の基底です（定理 8.3 の 1）。よって各点で、$x_0, \ldots, x_r$ のどれかの芽が茎を生成します。

(b) $s$ 倍は次数を保つ準同型 $S(-1) \to S$ で、$S$ は整域なので単射、余核は $S/(s)$ です。次数加群の完全列 $0 \to S(-1) \to S \to S/(s) \to 0$ に $\widetilde{\ \cdot\ }$ を施すと、完全列

$$0 \longrightarrow \mathcal{O}(-1) \xrightarrow{\ s\ } \mathcal{O}_X \longrightarrow \widetilde{S/(s)} \longrightarrow 0$$

が得られます。定理 9.3 の 2 の証明で見たように、$\widetilde{(s)}$ は閉はめ込み $i$ のイデアル層で、$\widetilde{S/(s)} = \mathcal{O}_X/\widetilde{(s)} \cong i_{*}\mathcal{O}_H$ です。すなわち超平面 $H$ のイデアル層は $\mathcal{O}(-1)$ と同型です。$D_{+}(x_j)$ の上では、$\mathcal{O}(-1)$ の基底 $x_j^{-1}$ が $s/x_j = \sum_i a_i x_i/x_j$ に写り、$H \cap D_{+}(x_j)$ はこの $1$ 次式の零点です。

参考文献

• R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer, 1977 — 第 II 章 §5（加群の層）。
• J.-P. Serre, “Faisceaux algébriques cohérents”, Annals of Mathematics 61 (1955), 197–278 — 連接層の理論の原典。射影空間上の連接層と次数加群の対応、大域切断による生成。
• A. Grothendieck, J. Dieudonné, “Éléments de géométrie algébrique I. Le langage des schémas”, Publications Mathématiques de l’IHÉS 4 (1960) — 第 I 章 §1（加群に伴う層）。射影スキーム上の層は同 II (1961) の §2。
• U. Görtz, T. Wedhorn, Algebraic Geometry I: Schemes, Vieweg+Teubner, 2010 — 第 7 章（準連接加群）、第 11 章（ベクトル束）、第 13 章（射影スキーム上の準連接層）。
• Q. Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, Oxford Graduate Texts in Mathematics 6, Oxford University Press, 2002 — 第 5 章 §1（連接層）。
• The Stacks Project Authors, The Stacks Project — Schemes の章（準連接層）、Constructions of Schemes の章（Proj 上の層とねじり層）。