テンソル積・Hom 層・双対・大域切断による生成

$\mathcal{F}$、$\mathcal{G}$ を $\mathcal{O}_X$ 加群とする。

1. 前層 $U \mapsto \mathcal{F}(U) \otimes_{\mathcal{O}_X(U)} \mathcal{G}(U)$ の層化をテンソル積 $\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}$ という。$n \ge 0$ について $\mathcal{F}^{\otimes n}$ を $n$ 個のテンソル積（$\mathcal{F}^{\otimes 0} = \mathcal{O}_X$）とする。
2. $U \mapsto \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{F}|_U, \mathcal{G}|_U)$ は層で、これを Hom 層 $\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})$ という。$\mathcal{F}^{\vee} = \mathcal{H}om_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X)$ を双対という。
3. 大域切断の族 $(s_i)_{i \in I}$、$s_i \in \Gamma(X, \mathcal{F})$ が $\mathcal{F}$ を生成するとは、すべての点 $x$ で芽 $(s_i)_x$ が $\mathcal{O}_{X,x}$ 加群 $\mathcal{F}_x$ を生成すること、すなわち $(a_i) \mapsto \sum a_i s_i$ が定める射 $\bigoplus_{i \in I}\mathcal{O}_X \to \mathcal{F}$ が全射であることをいう。