層コホモロジー：導来関手・脆弱層・消滅定理

0. この記事の要点

「各点の近くでは作れるものが、空間全体では貼り合わせられない」ことがあります。たとえば射影直線の 2 点で別々の値をとる関数は、各点の近くでは作れても、全体では作れません。層コホモロジーは、この貼り合わせの障害を数や群として取り出す道具です。この記事では、障害の測り方を定義し、実際に計算するための道具を用意し、最後にアフィンスキームのような素直な空間では障害が現れないことを示します。

• 位相空間 $X$ 上のアーベル群の層 $\mathcal F$ のコホモロジー $H^i(X, \mathcal F)$ は、大域切断関手 $\Gamma(X, -)$ の右導来関手です。層の短完全列から長完全列が得られ、$H^1$ は「局所的には持ち上がる切断が大域的に持ち上がるか」の障害を測ります。
• 入射分解は計算に向きません。制限写像がすべて全射である脆弱層は $\Gamma$ 非輪状（高次のコホモロジーが消えること）で、脆弱層による分解でコホモロジーが計算できます。これから、開集合への制限、閉集合からの順像、Mayer–Vietoris 完全列が出ます。
• Grothendieck の消滅定理: $n$ 次元のNoether 位相空間では、どんな層でも $i > n$ で $H^i(X, \mathcal F) = 0$ です。
• アフィンスキームでの消滅: Noether 環 $A$ について、$\operatorname{Spec} A$ 上の準連接層は $i > 0$ で $H^i = 0$ です。逆に、すべての連接イデアル層で $H^1 = 0$ となる Noether スキームはアフィンです（Serre の判定法）。
• 連続写像 $f$ の高次順像 $R^if_*\mathcal F$ は $U \mapsto H^i(f^{-1}(U), \mathcal F)$ の層化で、Leray のスペクトル系列（コホモロジーを段階的に近似して計算する仕組み）$H^p(Y, R^qf_*\mathcal F) \Rightarrow H^{p+q}(X, \mathcal F)$ があります。アフィン射では $H^i(X, \mathcal F) \cong H^i(Y, f_*\mathcal F)$ です。

この記事で使う事前知識

• 完全列: 各所で、入ってくる写像の像と出ていく写像の核が一致する列。→ 完全列
• 入射分解: 対象 $\mathcal F$ から始まる、入射対象の完全列 $0 \to \mathcal F \to \mathcal I^0 \to \mathcal I^1 \to \cdots$。→ 入射分解
• 右導来関手: 左完全な関手を入射分解に施し、コホモロジーをとって得られる関手の列。→ 右導来関手
• 準連接層: アフィン開集合の上で、環上の加群から作られる層 $\widetilde M$ の形をしているもの。→ 準連接層
• Noether 位相空間: 閉集合の降鎖が必ず止まる空間。→ Noether 位相空間
• アフィンスキーム: 環 $A$ から作られる空間 $\operatorname{Spec} A$ とその構造層の組。→ アフィンスキーム

1. 動機

層の全射 $\mathcal F \to \mathcal F''$ は、茎ごとに全射であっても、大域切断の写像 $\Gamma(X, \mathcal F) \to \Gamma(X, \mathcal F'')$ が全射になるとは限りません。たとえば射影直線 $\mathbb P^1_k$ の 2 点 $P, Q$ について、構造層から 2 点での値への写像 $\mathcal O \to k(P) \oplus k(Q)$ は層の全射ですが、大域切断は定数だけなので $k \to k \oplus k$ は対角写像で、全射ではありません。「2 点で別々の値をとる大域的な関数」は局所的には作れても貼り合わせられないのです。

代数幾何の問題の多くは、この形をしています。与えられた極をもつ有理関数はあるか、閉部分スキーム上の関数は全体に延びるか、直線束の切断はどれだけあるか。どれも、層の短完全列 $0 \to \mathcal F' \to \mathcal F \to \mathcal F'' \to 0$ に $\Gamma$ を施したときに右端の全射性がどれだけ崩れるかを問うています。$\Gamma$ は左完全なので（命題 6.2［層］）、崩れを測るのは右導来関手です。導来関手と δ 関手の一般論を $\Gamma$ に当てはめたものが層コホモロジーで、長完全列

$$0 \to \Gamma(X, \mathcal F') \to \Gamma(X, \mathcal F) \to \Gamma(X, \mathcal F'') \to H^1(X, \mathcal F') \to H^1(X, \mathcal F) \to \cdots$$

が全射性の崩れを $H^1(X, \mathcal F')$ の中に記録します。

定義は一行で済みますが、入射的な層は巨大で、定義どおりに計算することはできません。この章の仕事は、計算できる形の定理を用意することです。脆弱層、Mayer–Vietoris 完全列、次元による消滅、アフィンスキームでの消滅がその道具で、次の章の Čech コホモロジーはこれらの上に立ちます。

2. 準備

位相空間 $X$ 上のアーベル群の層の圏を $\mathsf{Ab}(X)$、環付き空間 $(X, \mathcal O_X)$ 上の $\mathcal O_X$ 加群の圏を $\mathsf{Mod}(\mathcal O_X)$ と書きます。層の章の次の事実を使います。

• $\mathsf{Ab}(X)$ と $\mathsf{Mod}(\mathcal O_X)$ はアーベル圏で、列の完全性は茎ごとの完全性と同値です（定理 5.2［層］）。核は開集合ごとの核で、層の射が同型であることは茎で判定できます（命題 3.2［層］）。
• どちらも Grothendieck 圏（フィルター余極限が完全で、生成子をもつアーベル圏）で、十分に入射対象をもちます（定理 8.2［層］、定理 7.3［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］）。
• $\Gamma(X, -)$ と順像 $f_*$ は左完全です（命題 6.2［層］）。
• 開集合の包含 $j\colon U \to X$ と閉集合 $Z = X \setminus U$ の包含 $i\colon Z \to X$ について、$0$ による延長 $j_!$ は $j^{-1}$ の左随伴で、$x \in U$ なら $(j_!\mathcal G)_x = \mathcal G_x$、$x \notin U$ なら $(j_!\mathcal G)_x = 0$ です。また完全列 $0 \to j_!j^{-1}\mathcal F \to \mathcal F \to i_*i^{-1}\mathcal F \to 0$ があります（命題 7.2［層］）。

$j^{-1}\mathcal F$ を $\mathcal F|_U$、$i^{-1}\mathcal F$ を $\mathcal F|_Z$ と書き、$\mathcal F_U = j_!(\mathcal F|_U)$ とおきます。定数層 $\underline{\mathbb Z}$ を係数環とすれば $\mathsf{Ab}(X) = \mathsf{Mod}(\underline{\mathbb Z})$ なので、$\mathcal O_X$ 加群について示したことはアーベル群の層にも当てはまります。位相空間が Noether であるとは、閉集合の降鎖が必ず停止することをいいます。このとき、すべての開集合は準コンパクトです。

3. 層コホモロジーの定義

定義 3.1（層コホモロジー）↗

$X$ を位相空間とする。左完全関手 $\Gamma(X, -)\colon \mathsf{Ab}(X) \to \mathsf{Ab}$ の第 $i$ 右導来関手（定義 5.1［導来関手と δ 関手］）を $H^i(X, -)$ と書き、$H^i(X, \mathcal F)$ を $\mathcal F$ の第 $i$ コホモロジー群という。すなわち、$\mathcal F$ の入射分解 $0 \to \mathcal F \to \mathcal I^0 \to \mathcal I^1 \to \cdots$ をとり

$$H^i(X, \mathcal F) = H^i\bigl(\Gamma(X, \mathcal I^0) \to \Gamma(X, \mathcal I^1) \to \Gamma(X, \mathcal I^2) \to \cdots\bigr)$$

と定める。開集合 $U$ については $H^i(U, \mathcal F) = H^i(U, \mathcal F|_U)$ と書く。

導来関手の一般論（定理 5.2［導来関手と δ 関手］）から、次がただちに従います。$H^i(X, -)$ は分解の取り方によらない加法関手で、$H^0(X, \mathcal F) = \Gamma(X, \mathcal F)$ です。層の短完全列 $0 \to \mathcal F' \to \mathcal F \to \mathcal F'' \to 0$ には連結射 $\delta^i\colon H^i(X, \mathcal F'') \to H^{i+1}(X, \mathcal F')$ が自然に定まって長完全列ができ、入射的な層 $\mathcal I$ では $i \ge 1$ で $H^i(X, \mathcal I) = 0$ です。

4. 脆弱層

定義 4.1（脆弱層）↗

位相空間 $X$ 上の層 $\mathcal F$ が脆弱（flasque）であるとは、すべての開集合 $U \subseteq X$ について制限写像 $\mathcal F(X) \to \mathcal F(U)$ が全射であることをいう。このとき開集合 $U \subseteq V$ について $\mathcal F(V) \to \mathcal F(U)$ も全射である（$\mathcal F(X) \to \mathcal F(U)$ が $\mathcal F(V)$ を経由するため）。

次の補題は、脆弱層を使って計算するための部品です。(1) は、脆弱な部分層をもつ完全列では、どの開集合でも切断の列が完全のままであることを言っています。証明は、持ち上げが定義された開集合を少しずつ広げ、これ以上広げられない極大なもの（Zorn の補題で存在が言えます）を取り、それが全体になることを示す、という流れです。

補題 4.2（脆弱層の基本性質）✓

$X$ を位相空間とする。

1. $0 \to \mathcal F' \to \mathcal F \to \mathcal F'' \to 0$ を $\mathsf{Ab}(X)$ の完全列とし、$\mathcal F'$ は脆弱とする。このとき、すべての開集合 $U$ について $0 \to \mathcal F'(U) \to \mathcal F(U) \to \mathcal F''(U) \to 0$ は完全である。
2. 1 でさらに $\mathcal F$ も脆弱なら、$\mathcal F''$ も脆弱である。
3. $\mathcal F$ が脆弱なら、開集合 $U$ への制限 $\mathcal F|_U$ と、連続写像 $f\colon X \to Y$ による順像 $f_*\mathcal F$ も脆弱である。脆弱層の有限直和は脆弱である。

証明（補題 4.2）

(1) 核は開集合ごとの核なので、$\mathcal F(U) \to \mathcal F''(U)$ の全射性だけを示せばよい。$s'' \in \mathcal F''(U)$ をとる。開集合 $V \subseteq U$ と、$s''|_V$ に写る $s \in \mathcal F(V)$ の組 $(V, s)$ の全体を $\Sigma$ とし、$(V, s) \le (V_1, s_1)$ を「$V \subseteq V_1$ かつ $s_1|_V = s$」で定める。$(\varnothing, 0) \in \Sigma$ である。全順序部分集合 $\{(V_\lambda, s_\lambda)\}$ に対しては、$s_\lambda$ が $V = \bigcup V_\lambda$ 上の切断 $s$ に貼り合わさり、$s$ の像は各 $V_\lambda$ 上で $s''$ と一致するので $s''|_V$ に等しい。よって $(V, s)$ は上界で、Zorn の補題により極大元 $(V, s)$ がある。

$V \ne U$ と仮定し、$x \in U \setminus V$ をとる。$\mathcal F_x \to \mathcal F''_x$ は全射なので、$x$ の開近傍 $W \subseteq U$ と $t \in \mathcal F(W)$ で $t \mapsto s''|_W$ となるものがある。$V \cap W$ の上で $s - t$ は $\mathcal F''$ で $0$ に写るので、$s|_{V \cap W} - t|_{V \cap W} = r_0$ となる $r_0 \in \mathcal F'(V \cap W)$ がある。$\mathcal F'$ は脆弱なので $r_0$ は $r \in \mathcal F'(W)$ に延びる。$t + r \in \mathcal F(W)$ は $V \cap W$ の上で $s$ と一致し、$\mathcal F''$ での像は $s''|_W$ のままである。$s$ と $t + r$ を貼り合わせると $(V \cup W, \cdot) \in \Sigma$ が得られ、$(V, s)$ の極大性に反する。したがって $V = U$ である。

(2) $s'' \in \mathcal F''(U)$ は (1) により $s \in \mathcal F(U)$ に持ち上がり、$s$ は $\tilde s \in \mathcal F(X)$ に延びる。$\tilde s$ の像は $s''$ の $X$ への延長である。

(3) $U$ の開集合 $V$ について $(\mathcal F|_U)(V) = \mathcal F(V)$ で、$\mathcal F(X) \to \mathcal F(V)$ が $\mathcal F(U)$ を経由するので $\mathcal F(U) \to \mathcal F(V)$ は全射である。$Y$ の開集合 $V$ について $(f_*\mathcal F)(V) = \mathcal F(f^{-1}(V))$ なので、$f_*\mathcal F$ の制限写像は $\mathcal F$ の制限写像 $\mathcal F(X) \to \mathcal F(f^{-1}(V))$ で、全射である。有限直和の切断は成分ごとの切断の組なので、制限写像は成分ごとに全射である。

∎

次の命題は、入射分解の各項が脆弱であることを示し、のちに「入射分解の代わりに脆弱層の分解で計算してよい」と言うための準備です。証明の方針は、開集合 $U$ の外を $0$ にした層 $\mathcal O_U$ から $\mathcal F$ への射が $\mathcal F(U)$ の元と同じものになること（$\operatorname{Hom}(\mathcal O_U, \mathcal F) \cong \mathcal F(U)$）を使い、入射的なら単射 $\mathcal O_U \to \mathcal O_V$ に沿って射が延びるので、制限写像が全射になる、というものです。

命題 4.3（入射的な加群の層は脆弱）✓

$(X, \mathcal O_X)$ を環付き空間とする。$\mathsf{Mod}(\mathcal O_X)$ の入射対象 $\mathcal I$ は脆弱である。とくに $\mathsf{Ab}(X)$ の入射対象は脆弱である。

証明（命題 4.3）

開集合の包含 $j\colon U \to X$ について $\mathcal O_U = j_!(\mathcal O_X|_U)$ とおく。$\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal F$ について、随伴 $j_! \dashv j^{-1}$（命題 7.2［層］）はアーベル群の層の射の全単射 $\operatorname{Hom}(\mathcal O_U, \mathcal F) \cong \operatorname{Hom}(\mathcal O_X|_U, \mathcal F|_U)$、$\varphi \mapsto \varphi|_U$ を与える。層の射が $\mathcal O_X$ 線形であることは茎で判定でき、$\mathcal O_U$ の茎は $U$ の外で $0$、$U$ の点では $\mathcal O_X|_U$ の茎と同じなので、$\varphi$ が $\mathcal O_X$ 線形であることと $\varphi|_U$ が $\mathcal O_X|_U$ 線形であることは同値である。$\mathcal O_X|_U$ 線形な射 $\mathcal O_X|_U \to \mathcal F|_U$ は $1$ の行き先で決まるので、

$$\operatorname{Hom}_{\mathcal O_X}(\mathcal O_U, \mathcal F) \cong \mathcal F(U), \qquad \varphi \mapsto \varphi_U(1)$$

が得られる。

開集合 $U \subseteq V$ について、$1 \in \mathcal O_V(U) = \mathcal O_X(U)$ に対応する射 $\iota\colon \mathcal O_U \to \mathcal O_V$ をとる。茎では、$x \in U$ で恒等写像、$x \notin U$ で $0 \to (\mathcal O_V)_x$ なので、$\iota$ は単射である。$\psi\colon \mathcal O_V \to \mathcal F$ について $(\psi\iota)_U(1) = \psi_U(1) = \psi_V(1)|_U$ なので、上の同型のもとで $\operatorname{Hom}(\iota, \mathcal F)$ は制限写像 $\mathcal F(V) \to \mathcal F(U)$ になる。$\mathcal F = \mathcal I$ が入射的なら、単射 $\iota$ に沿って射は延長できるので $\operatorname{Hom}(\iota, \mathcal I)$ は全射、すなわち $\mathcal I(V) \to \mathcal I(U)$ は全射である。$V = X$ とすれば $\mathcal I$ は脆弱である。後半は $\mathcal O_X = \underline{\mathbb Z}$ の場合である。

∎

定理 4.4（脆弱層は Γ 非輪状）✓

$X$ を位相空間、$\mathcal F$ を $X$ 上の脆弱層とする。

1. $i \ge 1$ で $H^i(X, \mathcal F) = 0$ である。すなわち $\mathcal F$ は $\Gamma(X, -)$ 非輪状である（定義 5.4［導来関手と δ 関手］）。
2. 層 $\mathcal G$ の分解 $0 \to \mathcal G \to \mathcal K^0 \to \mathcal K^1 \to \cdots$ で各 $\mathcal K^n$ が脆弱なものについて、$H^i(X, \mathcal G) \cong H^i(\Gamma(X, \mathcal K^\bullet))$ が成り立つ。

証明（定理 4.4）

(1) $i$ についての帰納法で、すべての脆弱層 $\mathcal F$ について $H^i(X, \mathcal F) = 0$ を示す。$\mathcal F$ を入射的な層 $\mathcal I$ に埋め込み、$\mathcal Q = \mathcal I/\mathcal F$ とおく。$\mathcal I$ は脆弱で（命題 4.3）、補題 4.2 の 2 により $\mathcal Q$ も脆弱である。$i \ge 1$ で $H^i(X, \mathcal I) = 0$ なので、長完全列から

$$\Gamma(X, \mathcal I) \to \Gamma(X, \mathcal Q) \to H^1(X, \mathcal F) \to 0, \qquad H^i(X, \mathcal Q) \cong H^{i+1}(X, \mathcal F) \quad (i \ge 1)$$

が得られる。補題 4.2 の 1 により $\Gamma(X, \mathcal I) \to \Gamma(X, \mathcal Q)$ は全射なので $H^1(X, \mathcal F) = 0$ である。$i \ge 1$ ですべての脆弱層の $H^i$ が消えるなら、$H^{i+1}(X, \mathcal F) \cong H^i(X, \mathcal Q) = 0$ である。

(2) (1) により $\mathcal K^\bullet$ は $\Gamma(X, -)$ 非輪状分解なので、定理 5.6［導来関手と δ 関手］ による。

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入射分解の代わりに脆弱層の分解を使ってよい、というのがこの定理の意味です。最初の応用として、係数の圏を取り替えてもコホモロジーが変わらないことを示します。

系 4.5（加群の層として計算しても同じ）✓

$(X, \mathcal O_X)$ を環付き空間とする。$\Gamma(X, -)\colon \mathsf{Mod}(\mathcal O_X) \to \mathsf{Ab}$ の右導来関手は、$\mathcal O_X$ 加群をアーベル群の層と見て計算した $H^i(X, -)$ と、δ 関手として同型である。とくに $\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal F$ の $H^i(X, \mathcal F)$ は、$\mathsf{Mod}(\mathcal O_X)$ での入射分解 $\mathcal I^\bullet$ から $H^i(\Gamma(X, \mathcal I^\bullet))$ として計算でき、$\Gamma(X, \mathcal O_X)$ 加群の構造をもつ。

証明（系 4.5）

忘却関手 $u\colon \mathsf{Mod}(\mathcal O_X) \to \mathsf{Ab}(X)$ は完全なので（完全性はどちらも茎で判定する）、$T^i = H^i(X, u(-))$ は $\mathsf{Mod}(\mathcal O_X)$ 上の δ 関手で、$T^0 = \Gamma(X, -)$ である。$\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal F$ を $\mathsf{Mod}(\mathcal O_X)$ の入射対象 $\mathcal I$ に埋め込むと、$\mathcal I$ は脆弱で（命題 4.3）、定理 4.4 により $i \ge 1$ で $T^i(\mathcal I) = 0$ である。よって $T^i$（$i \ge 1$）は消去可能で（定義 4.3［導来関手と δ 関手］）、系 5.3［導来関手と δ 関手］ の 3 により、$T$ は $\Gamma(X, -)\colon \mathsf{Mod}(\mathcal O_X) \to \mathsf{Ab}$ の右導来関手と δ 関手として同型である。後者は $\mathcal I^\bullet$ で計算され、$\Gamma(X, \mathcal I^\bullet)$ は $\Gamma(X, \mathcal O_X)$ 加群の複体なので、最後の主張が従う。

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補題 4.6（開集合への制限と閉集合からの順像）✓

$X$ を位相空間、$\mathcal F$ を $X$ 上の層とする。

1. $0 \to \mathcal F \to \mathcal K^\bullet$ を脆弱層による分解（たとえば入射分解）とする。開集合 $U$ について $H^i(U, \mathcal F) \cong H^i(\Gamma(U, \mathcal K^\bullet))$ である。
2. $i\colon Z \to X$ を閉集合の包含とする。$i_*\colon \mathsf{Ab}(Z) \to \mathsf{Ab}(X)$ は完全で、$Z$ 上の層 $\mathcal G$ について $H^p(Z, \mathcal G) \cong H^p(X, i_*\mathcal G)$ である。
3. $\mathcal F|_{X \setminus Z} = 0$ なら $\mathcal F \cong i_*(\mathcal F|_Z)$ で、$H^p(X, \mathcal F) \cong H^p(Z, \mathcal F|_Z)$ である。

証明（補題 4.6）

(1) 制限 $j^{-1}$ は完全で（定理 6.3［層］）、$\mathcal K^n|_U$ は脆弱なので（補題 4.2 の 3）、$\mathcal K^\bullet|_U$ は $\mathcal F|_U$ の脆弱層による分解である。定理 4.4 の 2 と $\Gamma(U, \mathcal K^n|_U) = \Gamma(U, \mathcal K^n)$ による。

(2) $x \notin Z$ なら、$x$ の開近傍 $X \setminus Z$ の上で $(i_*\mathcal G)(X \setminus Z) = \mathcal G(\varnothing) = 0$ なので $(i_*\mathcal G)_x = 0$ である。$x \in Z$ なら、$Z$ での $x$ の開近傍は $X$ での開近傍 $V$ によって $V \cap Z$ と書けるものの全体で、$(i_*\mathcal G)(V) = \mathcal G(V \cap Z)$ だから $(i_*\mathcal G)_x = \mathcal G_x$ である。完全性は茎で判定できるので $i_*$ は完全である。$\mathcal G$ の入射分解 $\mathcal J^\bullet$ をとると、$i_*\mathcal J^\bullet$ は $i_*\mathcal G$ の分解で、各項は脆弱である（命題 4.3、補題 4.2 の 3）。定理 4.4 の 2 により $H^p(X, i_*\mathcal G) \cong H^p(\Gamma(X, i_*\mathcal J^\bullet)) = H^p(\Gamma(Z, \mathcal J^\bullet)) = H^p(Z, \mathcal G)$ である。

(3) $U = X \setminus Z$ として、完全列 $0 \to j_!j^{-1}\mathcal F \to \mathcal F \to i_*i^{-1}\mathcal F \to 0$ で $j^{-1}\mathcal F = 0$ だから $\mathcal F \cong i_*(\mathcal F|_Z)$ である。後半は (2) による。

∎

5. Mayer–Vietoris 完全列と台つきコホモロジー

命題 5.1（Mayer–Vietoris 完全列）✓

位相空間 $X$ が二つの開集合で $X = U \cup V$ と覆われているとする。層 $\mathcal F$ について、長完全列

$$\cdots \to H^i(X, \mathcal F) \xrightarrow{\ \alpha\ } H^i(U, \mathcal F) \oplus H^i(V, \mathcal F) \xrightarrow{\ \beta\ } H^i(U \cap V, \mathcal F) \xrightarrow{\ \delta\ } H^{i+1}(X, \mathcal F) \to \cdots$$

が $H^0(X, \mathcal F)$ から始まる形で存在する。$i = 0$ では $\alpha(s) = (s|_U, s|_V)$、$\beta(s, t) = s|_{U \cap V} - t|_{U \cap V}$ である。

証明（命題 5.1）

$\mathcal F$ の入射分解 $\mathcal I^\bullet$ をとる。各 $n$ について列

$$0 \to \mathcal I^n(X) \xrightarrow{\ \alpha\ } \mathcal I^n(U) \oplus \mathcal I^n(V) \xrightarrow{\ \beta\ } \mathcal I^n(U \cap V) \to 0$$

を、$\alpha(s) = (s|_U, s|_V)$、$\beta(s, t) = s|_{U \cap V} - t|_{U \cap V}$ で定める。$\alpha$ が単射で $\ker\beta = \operatorname{im}\alpha$ であることは、被覆 $X = U \cup V$ についての層の公理そのものである。$\mathcal I^n$ は脆弱なので（命題 4.3）、$r \in \mathcal I^n(U \cap V)$ は $s \in \mathcal I^n(U)$ に延び、$\beta(s, 0) = r$ だから $\beta$ は全射である。$\alpha, \beta$ は制限写像から作られているので $\mathcal I^\bullet$ の微分と可換で、複体の短完全列

$$0 \to \Gamma(X, \mathcal I^\bullet) \to \Gamma(U, \mathcal I^\bullet) \oplus \Gamma(V, \mathcal I^\bullet) \to \Gamma(U \cap V, \mathcal I^\bullet) \to 0$$

が得られる。そのコホモロジーの長完全列（定理 3.1［鎖複体とホモトピー圏］）を書き、補題 4.6 の 1 で各項を $H^i(X, \mathcal F)$、$H^i(U, \mathcal F) \oplus H^i(V, \mathcal F)$、$H^i(U \cap V, \mathcal F)$ と同一視すればよい。

∎

円周を二つの弧 U, V で覆う。U ∩ V は二つの弧に分かれ、その「余り」が H^1 を生む

例 5.2（円周上の定数層）

$X = S^1$ を円周、$\mathcal F = \underline{\mathbb Z}$ を定数層（局所定数な整数値関数の層）とします。$U$ を $S^1$ から 1 点 $p$ を除いた開弧、$V$ を別の 1 点 $q$ を除いた開弧とすると、$U \cap V$ は二つの開弧の非交和です。

まず開区間 $J$ について $H^1(J, \underline{\mathbb Z}) = 0$ を確かめます。$\underline{\mathbb Z}|_J$ を脆弱層 $\mathcal I$ に埋め込み $\mathcal Q = \mathcal I/\underline{\mathbb Z}$ とすると、定理 4.4 と長完全列から $H^1(J, \underline{\mathbb Z})$ は $\Gamma(J, \mathcal I) \to \Gamma(J, \mathcal Q)$ の余核です。$s \in \Gamma(J, \mathcal Q)$ は局所的には持ち上がります。二つの開区間 $J_1, J_2 \subseteq J$ が交わり、それぞれの上に持ち上げ $t_1, t_2$ があるとき、$J_1 \cap J_2$ は区間で連結なので $t_1 - t_2$ はその上で定数 $n \in \mathbb Z$ です。$t_2$ を $t_2 + n$ に取り替えれば $t_1$ と貼り合わさり、$J_1 \cup J_2$ の上の持ち上げになります。有界閉区間は有限個のこのような区間の鎖で覆えるので、$J$ に含まれる有界閉区間の近傍では $s$ が持ち上がります。$J$ を増大する開区間の列 $J^{(1)} \subseteq J^{(2)} \subseteq \cdots$ の和集合として書き、$J^{(m+1)}$ の上の持ち上げを $J^{(m)}$ の上で前の持ち上げと一致するように定数だけ調整していけば、全体の持ち上げが得られます。よって余核は $0$ です。

命題 5.1 の列は

$$0 \to \mathbb Z \xrightarrow{\ \alpha\ } \mathbb Z \oplus \mathbb Z \xrightarrow{\ \beta\ } \mathbb Z \oplus \mathbb Z \xrightarrow{\ \delta\ } H^1(S^1, \underline{\mathbb Z}) \to H^1(U, \underline{\mathbb Z}) \oplus H^1(V, \underline{\mathbb Z}) = 0$$

で、$\beta(a, b) = (a - b, a - b)$ です（$U \cap V$ の二つの成分のどちらでも差は同じ）。$\beta$ の像は対角 $\{(c, c)\}$ なので、$H^1(S^1, \underline{\mathbb Z}) \cong (\mathbb Z \oplus \mathbb Z)/\{(c, c)\} \cong \mathbb Z$ です。位相幾何で知られている円周の 1 次コホモロジーと一致します。

定義 5.3（閉集合に台をもつ切断とコホモロジー）↗

$Z \subseteq X$ を閉集合、$U = X \setminus Z$ とする。層 $\mathcal F$ について

$$\Gamma_Z(X, \mathcal F) = \ker\bigl(\mathcal F(X) \to \mathcal F(U)\bigr)$$

を、$Z$ に台をもつ切断の群という。$\Gamma_Z(X, -)$ は、左完全関手の間の自然変換 $\Gamma(X, -) \to \Gamma(U, -)$（制限写像）の核なので左完全で、その右導来関手を $H^i_Z(X, -)$ と書く。

命題 5.4（台つきコホモロジーの長完全列）✓

閉集合 $Z \subseteq X$ と $U = X \setminus Z$、層 $\mathcal F$ について、長完全列

$$0 \to \Gamma_Z(X, \mathcal F) \to \Gamma(X, \mathcal F) \to \Gamma(U, \mathcal F) \to H^1_Z(X, \mathcal F) \to H^1(X, \mathcal F) \to H^1(U, \mathcal F) \to H^2_Z(X, \mathcal F) \to \cdots$$

がある。

証明（命題 5.4）

$\mathcal F$ の入射分解 $\mathcal I^\bullet$ をとる。$\mathcal I^n$ は脆弱なので（命題 4.3）、$0 \to \Gamma_Z(X, \mathcal I^n) \to \Gamma(X, \mathcal I^n) \to \Gamma(U, \mathcal I^n) \to 0$ は完全である。これは複体の短完全列で、長完全列（定理 3.1［鎖複体とホモトピー圏］）の各項は、定義により $H^i_Z(X, \mathcal F)$、$H^i(X, \mathcal F)$、また 補題 4.6 の 1 により $H^i(U, \mathcal F)$ である。

∎

6. Grothendieck の消滅定理

位相空間 $X$ の次元 $\dim X$ は、既約な閉集合の真の増大列 $Z_0 \subsetneq Z_1 \subsetneq \cdots \subsetneq Z_r$ の長さ $r$ の上限です（既約性は 定義 4.3［局所化と素イデアルのスペクトル］）。$X = \operatorname{Spec} A$ では素イデアルの鎖の長さの上限、すなわち Krull 次元 $\dim A$（定義 2.1［Krull 次元と単項イデアル定理］）に一致します。閉集合 $Y \subseteq X$ の既約な閉集合は $X$ の既約な閉集合なので $\dim Y \le \dim X$ です。

定義 6.1（コホモロジー次元）↗

位相空間 $X$ のコホモロジー次元とは、すべての層 $\mathcal F \in \mathsf{Ab}(X)$ とすべての $i > n$ について $H^i(X, \mathcal F) = 0$ となる最小の整数 $n \ge 0$（無ければ $\infty$）をいう。

消滅定理は「コホモロジー次元は次元以下」という主張です。証明は、層を有限生成な部分層の順極限として書くところから始まるので、コホモロジーと順極限の交換を先に示します。そのために、層に関手的な脆弱分解を用意します。

補題 6.2（関手的な脆弱分解）✓

層 $\mathcal F \in \mathsf{Ab}(X)$ に対し、$G(\mathcal F)(U) = \prod_{x \in U} \mathcal F_x$（制限写像は成分の射影）と定める。

1. $G(\mathcal F)$ は脆弱層で、$\varepsilon_{\mathcal F}\colon \mathcal F \to G(\mathcal F)$、$s \mapsto (s_x)_{x \in U}$ は単射である。層の射 $\varphi\colon \mathcal F \to \mathcal F'$ は $G(\varphi) = \prod_x \varphi_x$ を誘導し、$G(\varphi)\varepsilon_{\mathcal F} = \varepsilon_{\mathcal F'}\varphi$ を満たす。$G$ は関手である。
2. $\mathcal Z^0 = \mathcal F$、$C^n(\mathcal F) = G(\mathcal Z^n)$、$\mathcal Z^{n+1} = \operatorname{Coker}(\varepsilon_{\mathcal Z^n})$ と帰納的に定め、$d^n\colon C^n(\mathcal F) \to \mathcal Z^{n+1} \to C^{n+1}(\mathcal F)$ を商写像と $\varepsilon_{\mathcal Z^{n+1}}$ の合成とする。$0 \to \mathcal F \to C^0(\mathcal F) \to C^1(\mathcal F) \to \cdots$ は脆弱層による分解で、$\mathcal F$ について関手的である。

証明（補題 6.2）

(1) 開被覆 $U = \bigcup U_\lambda$ について、族 $(a_x)_{x \in U}$ を与えることと、交わりの上で一致する族 $((a_x)_{x \in U_\lambda})_\lambda$ を与えることは同じなので、$G(\mathcal F)$ は層である。$\prod_{x \in X}\mathcal F_x \to \prod_{x \in U}\mathcal F_x$ は射影で全射なので脆弱である。すべての芽が $0$ である切断は $0$ なので $\varepsilon_{\mathcal F}$ は単射である。$\varphi_x(s_x) = (\varphi(s))_x$ から $G(\varphi)\varepsilon_{\mathcal F} = \varepsilon_{\mathcal F'}\varphi$ が従い、$(\psi\varphi)_x = \psi_x\varphi_x$ から関手性が従う。

(2) $\varepsilon_{\mathcal Z^{n+1}}$ は単射なので $\ker d^n$ は商写像 $C^n(\mathcal F) \to \mathcal Z^{n+1}$ の核、すなわち $\varepsilon_{\mathcal Z^n}$ の像である。$C^{n-1}(\mathcal F) \to \mathcal Z^n$ は全射なので $\operatorname{im} d^{n-1}$ も $\varepsilon_{\mathcal Z^n}$ の像である（$n = 0$ では $\ker d^0 = \operatorname{im}\varepsilon_{\mathcal F}$）。よって列は完全である。$G$ と余核は関手的なので、$\varphi\colon \mathcal F \to \mathcal F'$ は帰納的に $\mathcal Z^n \to \mathcal Z'^n$ と鎖写像 $C^\bullet(\mathcal F) \to C^\bullet(\mathcal F')$ を誘導し、合成と恒等射を保つ。

∎

消滅定理の証明では、層を有限個の切断で生成される部分層の順極限（有向な族に沿った余極限）として書き、各部分層について消滅を示します。そのために、順極限をとってもコホモロジーが変わらないことを先に示します。証明の最初の山場は、開集合ごとにとった順極限がそのまま層になることで、Noether 空間の開集合が準コンパクトであることを使います。最後の「標準射が誘導する写像と一致する」という確認は、得られた同型が自然な写像と同じであることを鎖ホモトピーで確かめる作業です。

補題 6.3（コホモロジーと順極限の交換）✓

$X$ を Noether 位相空間、$(\mathcal F_\alpha)_{\alpha \in A}$ を有向集合 $A$ で添字づけられた $\mathsf{Ab}(X)$ の順系（定義 6.1［極限と余極限］）、$\mathcal F = \operatorname{colim}_\alpha \mathcal F_\alpha$ とする。

1. すべての開集合 $U$ について、標準写像 $\operatorname{colim}_\alpha \mathcal F_\alpha(U) \to \mathcal F(U)$ は同型である。
2. すべての $\mathcal F_\alpha$ が脆弱なら、$\mathcal F$ も脆弱である。
3. すべての $i \ge 0$ について、標準射 $\mathcal F_\alpha \to \mathcal F$ が誘導する写像 $\operatorname{colim}_\alpha H^i(X, \mathcal F_\alpha) \to H^i(X, \mathcal F)$ は同型である。

証明（補題 6.3）

アーベル群の順極限の元は、ある $\alpha$ と $s \in \mathcal F_\alpha(U)$ の類 $[\alpha, s]$ で、$[\alpha, s] = 0$ となるのは、ある $\beta \ge \alpha$ で $s$ の $\mathcal F_\beta(U)$ での像が $0$ になるときである（系 6.5［極限と余極限］ の 1、命題 6.3［極限と余極限］）。

(1) 前層 $P(U) = \operatorname{colim}_\alpha \mathcal F_\alpha(U)$ が層であることを示す。まず有限開被覆 $U = U_1 \cup \cdots \cup U_m$ を考える。$t \in P(U)$ がすべての $U_k$ の上で $0$ とする。$t = [\alpha, s]$ と書くと、各 $k$ について $s|_{U_k}$ はある $\beta_k \ge \alpha$ で $0$ になる。$A$ は有向なので、すべての $\beta_k$ より大きい $\beta$ があり、$s$ の $\mathcal F_\beta(U)$ での像は各 $U_k$ の上で $0$、したがって $0$ である。よって $t = 0$ である。次に $t_k \in P(U_k)$ が $U_k \cap U_l$ の上で一致するとする。有限個なので、共通の $\alpha$ で $t_k = [\alpha, s_k]$ と書ける。$s_k|_{U_k \cap U_l} - s_l|_{U_k \cap U_l}$ は $P$ で $0$ なので、有限個の組 $(k, l)$ すべてについて、ある共通の $\beta \ge \alpha$ で $0$ になる。$s_k$ の $\mathcal F_\beta$ での像は貼り合わさって $s \in \mathcal F_\beta(U)$ を与え、$[\beta, s]|_{U_k} = t_k$ である。

任意の開被覆 $U = \bigcup_\lambda U_\lambda$ については、$U$ が準コンパクトなので有限部分被覆 $U_{\lambda_1}, \ldots, U_{\lambda_m}$ がある。すべての $U_\lambda$ の上で $0$ の切断は、有限の場合により $0$ である。交わりの上で一致する族 $(t_\lambda)$ に対しては、有限の場合により $t|_{U_{\lambda_k}} = t_{\lambda_k}$ となる $t \in P(U)$ がある。任意の $\lambda$ について、$t|_{U_\lambda}$ と $t_\lambda$ は $U_\lambda$ の有限開被覆 $U_\lambda \cap U_{\lambda_k}$ の各々の上で $t_{\lambda_k}$ の制限に等しいので、有限の場合により $t|_{U_\lambda} = t_\lambda$ である。よって $P$ は層である。

$\mathsf{Ab}(X)$ での余極限は、前層としての余極限 $P$ の層化である（層化は左随伴なので、層 $\mathcal G$ への射について $\operatorname{Hom}(P^+, \mathcal G) \cong \operatorname{Hom}(P, \mathcal G) \cong \lim_\alpha \operatorname{Hom}(\mathcal F_\alpha, \mathcal G)$。定理 4.3［層］）。$P$ は層なので $\mathcal F = P$ である。

(2) (1) により $\mathcal F(X) \to \mathcal F(U)$ は $\operatorname{colim}_\alpha \mathcal F_\alpha(X) \to \operatorname{colim}_\alpha \mathcal F_\alpha(U)$ で、$[\alpha, s]$ に対して $s$ を $\tilde s \in \mathcal F_\alpha(X)$ に延ばせば $[\alpha, \tilde s] \mapsto [\alpha, s]$ となるので全射である。

(3) 補題 6.2 の関手的な分解により、$(C^\bullet(\mathcal F_\alpha))_\alpha$ は複体の順系である。$\mathcal K^\bullet = \operatorname{colim}_\alpha C^\bullet(\mathcal F_\alpha)$ とおく。$\mathsf{Ab}(X)$ は Grothendieck 圏で順極限は完全なので（定理 8.2［層］）、完全列 $0 \to \mathcal F_\alpha \to C^0(\mathcal F_\alpha) \to C^1(\mathcal F_\alpha) \to \cdots$ の順極限 $0 \to \mathcal F \to \mathcal K^0 \to \mathcal K^1 \to \cdots$ は完全である。(2) により各 $\mathcal K^n$ は脆弱である。定理 4.4 の 2、(1)、およびアーベル群の順極限が完全でコホモロジーと交換すること（系 6.5［極限と余極限］ の 2）により

$$H^i(X, \mathcal F) \cong H^i(\Gamma(X, \mathcal K^\bullet)) = H^i\bigl(\operatorname{colim}_\alpha \Gamma(X, C^\bullet(\mathcal F_\alpha))\bigr) \cong \operatorname{colim}_\alpha H^i\bigl(\Gamma(X, C^\bullet(\mathcal F_\alpha))\bigr) \cong \operatorname{colim}_\alpha H^i(X, \mathcal F_\alpha)$$

である。この同型が標準射 $\lambda_\alpha\colon \mathcal F_\alpha \to \mathcal F$ の誘導する写像と一致することを確かめる。$\kappa_\alpha\colon C^\bullet(\mathcal F_\alpha) \to \mathcal K^\bullet$ を標準射、$a\colon C^\bullet(\mathcal F_\alpha) \to \mathcal I_{\mathcal F_\alpha}$、$b\colon \mathcal K^\bullet \to \mathcal I_{\mathcal F}$ を恒等射の入射分解への持ち上げ、$\varphi\colon \mathcal I_{\mathcal F_\alpha} \to \mathcal I_{\mathcal F}$ を $\lambda_\alpha$ の持ち上げとする。$\varphi a$ と $b\kappa_\alpha$ はどちらも、分解 $C^\bullet(\mathcal F_\alpha)$ から入射的な複体 $\mathcal I_{\mathcal F}$ への $\lambda_\alpha$ の持ち上げなので鎖ホモトピックである（定理 3.1［導来関手と δ 関手］ の 1）。$\Gamma$ を施してコホモロジーをとると $H^i(X, \lambda_\alpha) \circ H^i(\Gamma(a)) = H^i(\Gamma(b)) \circ H^i(\Gamma(\kappa_\alpha))$ となり、上の同型は $H^i(X, \lambda_\alpha)$ から誘導される写像に等しい。

∎

補題 6.4（既約な空間上の定数層は脆弱）✓

$X$ を既約な位相空間、$M$ をアーベル群とする。定数層 $\underline M$ は、空でないすべての開集合 $U$ で $\underline M(U) = M$（制限写像は恒等写像）を満たし、脆弱である。したがって $i \ge 1$ で $H^i(X, \underline M) = 0$ である。

証明（補題 6.4）

$\underline M(U)$ は局所定数な関数 $U \to M$ の全体である。空でない開集合 $U$ が連結であることを示す。$U = U_1 \sqcup U_2$ と空でない開集合の非交和に分かれたとすると、$U_1 \cap U_2 = \varnothing$ から $X = (X \setminus U_1) \cup (X \setminus U_2)$ で、どちらも $X$ と異なる閉集合なので既約性に反する。連結な空間上の局所定数関数は定数だから $\underline M(U) = M$ で、制限写像 $\underline M(X) \to \underline M(U)$ は恒等写像である。$U = \varnothing$ では $\underline M(\varnothing) = 0$ への写像なので全射である。最後の主張は 定理 4.4 による。

∎

定理 6.5（Grothendieck の消滅定理）✓

$X$ を次元 $n$ の Noether 位相空間とする。すべての層 $\mathcal F \in \mathsf{Ab}(X)$ とすべての $i > n$ について $H^i(X, \mathcal F) = 0$ である。

証明は次元 $n$ についての帰納法です。まず既約な空間に帰着し（手順 1）、$n = 0$ は直接確かめ（手順 2）、層を「一つの切断で生成される層」に帰着させます（手順 3）。そうすると、扱う層は開集合 $V$ の外を $0$ にした層（$\underline{\mathbb Z}_V$）の形になり、補集合 $Y = X \setminus V$ が真の閉集合なので次元が下がって、帰納法の仮定が使えます（手順 4・5）。

証明（定理 6.5）

主張 $P(n)$:「$\dim X \le n$ の Noether 位相空間 $X$ とその上のすべての層 $\mathcal F$ について、$i > n$ で $H^i(X, \mathcal F) = 0$」を、$n \ge 0$ についての帰納法で示す。$n \ge 1$ のときは $P(n-1)$ を仮定する。空な空間では層は $0$ だけなので主張は自明である。Noether 位相空間の閉部分集合は Noether である。

手順 1（既約な場合への帰着）。 $X$ の既約成分は有限個である（命題 3.4［アフィン代数多様体と座標環］）。既約成分の個数 $m$ についての帰納法を使う。$m \ge 2$ とし、既約成分を $X_1, \ldots, X_m$、$Y = X_1$、$U = X \setminus Y$、$X' = X_2 \cup \cdots \cup X_m$ とする。完全列 $0 \to \mathcal F_U \to \mathcal F \to i_*(\mathcal F|_Y) \to 0$（$i\colon Y \to X$）がある。補題 4.6 の 2 により $H^i(X, i_*(\mathcal F|_Y)) \cong H^i(Y, \mathcal F|_Y)$ で、$Y$ は既約で $\dim Y \le n$ である。$\mathcal F_U$ の茎は $U$ の外で $0$ で、$U \subseteq X'$ かつ $X'$ は閉なので、$\mathcal F_U|_{X \setminus X'} = 0$ である。補題 4.6 の 3 により $H^i(X, \mathcal F_U) \cong H^i(X', \mathcal F_U|_{X'})$ で、$X'$ は既約成分が $m - 1$ 個の、次元 $n$ 以下の Noether 空間である。帰納法の仮定と既約な場合の主張から、$i > n$ で両端が消え、長完全列により $H^i(X, \mathcal F) = 0$ である。以下 $X$ は既約とする。$\dim X < n$ なら $P(n-1)$ による。$\dim X = n$ とする。

手順 2（$n = 0$ の場合）。 $X$ が既約で $0$ 次元なら、開集合は $\varnothing$ と $X$ だけである。実際、空でない真の閉集合 $Z$ があれば、その既約成分 $Z'$ は $X$ の既約な閉集合で、$Z' \subsetneq X$ が長さ $1$ の鎖になる。このとき、どの点の開近傍も $X$ だけなので、層 $\mathcal G$ のすべての茎は $\mathcal G(X)$ に等しく、層の列が完全であることと大域切断の列が完全であることは同値である。よって $\Gamma(X, -)$ は完全関手で、入射分解に施した複体は正の次数で完全、すなわち $i \ge 1$ で $H^i(X, \mathcal F) = 0$ である。以下 $n \ge 1$ とする。

手順 3（一つの切断で生成される層への帰着）。 $B = \bigsqcup_U \mathcal F(U)$（$U$ はすべての開集合）とし、$B$ の有限部分集合の全体を $A$ とする。$A$ は包含で有向集合である。$\alpha = \{s_1, \ldots, s_m\} \in A$（$s_k \in \mathcal F(U_k)$）に対し、$s_k$ に対応する射 $\underline{\mathbb Z}_{U_k} \to \mathcal F$（命題 4.3 の証明の同型 $\operatorname{Hom}(\underline{\mathbb Z}_{U}, \mathcal F) \cong \mathcal F(U)$ による）の和 $\bigoplus_k \underline{\mathbb Z}_{U_k} \to \mathcal F$ の像を $\mathcal F_\alpha$ とする。$\alpha \subseteq \beta$ なら $\mathcal F_\alpha \subseteq \mathcal F_\beta$ で、$\mathcal F$ のどの芽もある切断 $s$ の芽だから $\mathcal F_{\{s\}}$ の茎に入る。よって $\operatorname{colim}_\alpha \mathcal F_\alpha \to \mathcal F$ は茎ごとに同型（アーベル群の増大する部分群の和集合はその順極限）で、$\mathcal F = \operatorname{colim}_\alpha \mathcal F_\alpha$ である。補題 6.3 の 3 により、各 $\mathcal F_\alpha$ について消滅を示せばよい。

$\alpha' = \alpha \setminus \{s_m\}$ とすると、$\mathcal F_\alpha/\mathcal F_{\alpha'}$ は $s_m$ の像一つで生成される。完全列 $0 \to \mathcal F_{\alpha'} \to \mathcal F_\alpha \to \mathcal F_\alpha/\mathcal F_{\alpha'} \to 0$ の長完全列と $m$ についての帰納法により、一つの切断で生成される層、すなわち開集合 $U$ と部分層 $\mathcal R \subseteq \underline{\mathbb Z}_U$ によって $\underline{\mathbb Z}_U/\mathcal R$ と書ける層について示せばよい。長完全列 $H^i(X, \underline{\mathbb Z}_U) \to H^i(X, \underline{\mathbb Z}_U/\mathcal R) \to H^{i+1}(X, \mathcal R)$ により、結局、次を示せば十分である：開集合 $U$ と部分層 $\mathcal R \subseteq \underline{\mathbb Z}_U$ について、$i > n$ で $H^i(X, \mathcal R) = 0$（$\mathcal R = \underline{\mathbb Z}_U$ の場合を含む）。

手順 4（$\underline{\mathbb Z}_V$ の場合）。 $V$ を空でない開集合、$Y = X \setminus V$、$i\colon Y \to X$ とする。完全列 $0 \to \underline{\mathbb Z}_V \to \underline{\mathbb Z} \to i_*(\underline{\mathbb Z}|_Y) \to 0$ がある。$X$ は既約なので 補題 6.4 により $i \ge 1$ で $H^i(X, \underline{\mathbb Z}) = 0$ である。$Y$ は $X$ と異なる閉集合なので $\dim Y \le n - 1$ である（$Y$ の既約な閉集合の鎖 $Z_0 \subsetneq \cdots \subsetneq Z_r$ に $X$ を付け加えると長さ $r + 1$ の鎖になる）。$P(n-1)$ と 補題 4.6 の 2 により $i \ge n$ で $H^i(X, i_*(\underline{\mathbb Z}|_Y)) = 0$ である。長完全列 $H^{i-1}(X, i_*(\underline{\mathbb Z}|_Y)) \to H^i(X, \underline{\mathbb Z}_V) \to H^i(X, \underline{\mathbb Z})$ から、$i > n$ で $H^i(X, \underline{\mathbb Z}_V) = 0$ である。$V = \varnothing$ なら $\underline{\mathbb Z}_V = 0$ である。

手順 5（部分層 $\mathcal R \subseteq \underline{\mathbb Z}_U$ の場合）。 $\mathcal R \ne 0$ としてよい。$x \in U$ では $\mathcal R_x$ は $(\underline{\mathbb Z}_U)_x = \mathbb Z$ の部分群、$x \notin U$ では $0$ である。どれかの $\mathcal R_x$ に属する正の整数のうち最小のものを $d$ とし、$d \in \mathcal R_{x_0}$ とする。$x_0$ の開近傍 $V \subseteq U$ と $r \in \mathcal R(V)$ で、$x_0$ での芽が $d$ のものがある。$\mathcal R(V) \subseteq \underline{\mathbb Z}_U(V) = \underline{\mathbb Z}(V) = \mathbb Z$（補題 6.4）で、茎への写像は恒等写像なので、$r$ は定数 $d$ である。したがってすべての $y \in V$ で $d \in \mathcal R_y$ である。$\mathcal R_y$ はその最小の正の元 $e$ で生成され、$e$ は $d$ を割り切るので $e \le d$、$d$ の最小性から $e \ge d$、よって $\mathcal R_y = d\mathbb Z$ である。$d$ 倍写像 $\underline{\mathbb Z}|_V \to \mathcal R|_V$ は茎ごとに同型だから、$\mathcal R|_V \cong \underline{\mathbb Z}|_V$、$\mathcal R_V \cong \underline{\mathbb Z}_V$ である。

$Y = X \setminus V$ として完全列 $0 \to \mathcal R_V \to \mathcal R \to i_*(\mathcal R|_Y) \to 0$ を考える。手順 4 と同じく $\dim Y \le n - 1$ で、$P(n-1)$ により $i \ge n$ で $H^i(X, i_*(\mathcal R|_Y)) \cong H^i(Y, \mathcal R|_Y) = 0$ である。手順 4 により $i > n$ で $H^i(X, \mathcal R_V) = 0$ である。長完全列から $i > n$ で $H^i(X, \mathcal R) = 0$ となり、証明が終わる。

∎

例 6.6（既約な空間では定数層のコホモロジーが消える）

既約な代数多様体 $X$ の Zariski 位相では、補題 6.4 により $i \ge 1$ で $H^i(X, \underline{\mathbb Z}) = 0$ です。複素数体上の射影直線は古典位相では球面で、定数層の $H^2$ は $\mathbb Z$ ですが、Zariski 位相の定数層にはこの情報は現れません。代数幾何で意味のあるコホモロジーを与えるのは、構造層やその上の加群の層です。

7. アフィンスキーム上の消滅と Serre の判定法

$A$ を Noether 環、$X = \operatorname{Spec} A$ とします。準連接層は $A$ 加群 $M$ によって $\widetilde M$ と書け、$M \mapsto \widetilde M$ は完全な圏同値です（定理 4.3［準連接層・連接層と直線束］）。$M$ の入射分解 $I^\bullet$ から層の分解 $\widetilde{I^\bullet}$ ができるので、$\widetilde I$ が脆弱であることさえ分かれば、$\Gamma$ を施すと元の完全列 $I^\bullet$ に戻り、高次のコホモロジーが消えます。$\widetilde I$ の脆弱性は、入射加群の二つの性質から出ます。

補題 7.1（入射加群のねじれ部分）✓

$A$ を Noether 環、$\mathfrak a$ をイデアル、$I$ を入射 $A$ 加群とする。$\Gamma_{\mathfrak a}(I) = \{x \in I : \text{ある } n \ge 1 \text{ で } \mathfrak a^n x = 0\}$ は入射 $A$ 加群である。

証明（補題 7.1）

$J = \Gamma_{\mathfrak a}(I)$ とおく。Baer の判定法（定理 3.5［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）により、イデアル $\mathfrak b$ と準同型 $\varphi\colon \mathfrak b \to J$ が $A \to J$ に延びることを示せばよい。$\mathfrak b$ は有限生成なので、生成元の像をすべて消す $n$ があり、$\mathfrak a^n\varphi(\mathfrak b) = 0$ である。Artin–Rees の補題（定理 4.3［完備化と Artin–Rees の補題］）を $M = A$、$N = \mathfrak b$ に使うと、ある $c \ge 0$ があって $m \ge c$ で $\mathfrak a^m \cap \mathfrak b = \mathfrak a^{m-c}(\mathfrak a^c \cap \mathfrak b) \subseteq \mathfrak a^{m-c}\mathfrak b$ である。$m = n + c$ とすると $\varphi(\mathfrak a^m \cap \mathfrak b) \subseteq \mathfrak a^n\varphi(\mathfrak b) = 0$ なので、$\varphi$ は $\bar\varphi\colon \mathfrak b/(\mathfrak a^m \cap \mathfrak b) \to J \subseteq I$ を誘導する。$\mathfrak b/(\mathfrak a^m \cap \mathfrak b) \to A/\mathfrak a^m$ は単射で $I$ は入射的なので、$\bar\varphi$ は $\psi\colon A/\mathfrak a^m \to I$ に延びる。$\psi$ の像は $\mathfrak a^m$ で消えるので $J$ に入る。合成 $A \to A/\mathfrak a^m \xrightarrow{\psi} J$ が $\varphi$ の延長である。

∎

補題 7.2（入射加群から局所化への全射）✓

$A$ を Noether 環、$I$ を入射 $A$ 加群、$f \in A$ とする。標準写像 $I \to I_f$ は全射である。

証明（補題 7.2）

$\mathfrak b_k = \{a \in A : f^ka = 0\}$ はイデアルの昇鎖で、$A$ は Noether なのである $r$ で $\mathfrak b_r = \mathfrak b_{r+1} = \cdots$ となる。$I_f$ の元 $x/f^n$（$x \in I$）をとる。単項イデアル $(f^{n+r})$ から $I$ への写像 $\varphi$ を $\varphi(f^{n+r}a) = f^rax$ で定める。$f^{n+r}a = 0$ なら $a \in \mathfrak b_{n+r} = \mathfrak b_r$ で $f^ra = 0$ となるから、$\varphi$ は矛盾なく定まる準同型である。$I$ は入射的なので $\varphi$ は $\psi\colon A \to I$ に延び、$y = \psi(1)$ は $f^{n+r}y = \varphi(f^{n+r}) = f^rx$ を満たす。$I_f$ の中で $y/1 = f^{n+r}y/f^{n+r} = f^rx/f^{n+r} = x/f^n$ である。

∎

次の補題が、この節の主定理の鍵です。証明は、台が閉集合 $Y$ に含まれる場合について、$Y$ を小さくしていく帰納法で進みます。主開集合 $D(f)$ をとって、$f$ のべきで消える部分 $J$ を切り分けると、$J$ の台は $Y$ より真に小さい閉集合に入るので、帰納法の仮定が使えます。

補題 7.3（入射加群に伴う層は脆弱）✓

$A$ を Noether 環、$I$ を入射 $A$ 加群とする。$\operatorname{Spec} A$ 上の層 $\widetilde I$ は脆弱である。

証明（補題 7.3）

$X = \operatorname{Spec} A$ とし、層 $\mathcal G$ の台を $\operatorname{Supp}\mathcal G = \{x : \mathcal G_x \ne 0\}$ と書く。閉集合 $Y \subseteq X$ についての主張 $Q(Y)$:「$\operatorname{Supp}\widetilde I \subseteq Y$ を満たすすべての入射加群 $I$ について $\widetilde I$ は脆弱」を考える。$Q(Y)$ が成り立たない閉集合 $Y$ があれば、$X$ は Noether 空間なのでそのうち極小なものがとれる。そこで、$Y$ の真の閉部分集合 $Y'$ すべてで $Q(Y')$ が成り立つと仮定して $Q(Y)$ を示せばよい。

$\operatorname{Supp}\widetilde I \subseteq Y$ とし、開集合 $U$ と $s \in \Gamma(U, \widetilde I)$ をとる。$U \cap Y = \varnothing$ なら $s$ の芽はすべて $0$ で $s = 0$ だから、$X$ に延びる。$U \cap Y \ne \varnothing$ とし、その 1 点を含む主開集合 $D(f) \subseteq U$ をとる。$Z = X \setminus D(f)$ とおく。$s|_{D(f)} \in \Gamma(D(f), \widetilde I) = I_f$ は、補題 7.2 によりある $t \in I = \Gamma(X, \widetilde I)$ の像である。$s - t|_U$ は $D(f)$ の上で $0$ である。

$J = \Gamma_{(f)}(I) = \ker(I \to I_f)$ とおく。$J$ は入射的である（補題 7.1）。$g \in A$ について、局所化は完全なので $J_g = \ker(I_g \to I_{fg})$、すなわち $\Gamma(D(g), \widetilde J)$ は $\Gamma(D(g), \widetilde I)$ の切断のうち $D(g) \cap D(f)$ の上で $0$ になるものの全体である。主開集合は開基をなすので、任意の開集合 $W$ について

$$\Gamma(W, \widetilde J) = \{u \in \Gamma(W, \widetilde I) : u|_{W \cap D(f)} = 0\}$$

である。とくに $s - t|_U \in \Gamma(U, \widetilde J)$ である。$\widetilde J$ の茎は $\widetilde I$ の茎の部分加群で、$D(f)$ の上では $J_f = 0$ だから $\operatorname{Supp}\widetilde J \subseteq Y \cap Z$ である。$D(f)$ は $Y$ の点を含むので $Y \cap Z \subsetneq Y$ で、仮定 $Q(Y \cap Z)$ により $\widetilde J$ は脆弱である。よって $s - t|_U$ は $w \in \Gamma(X, \widetilde J) \subseteq \Gamma(X, \widetilde I)$ に延び、$t + w$ が $s$ の延長である。

∎

定理 7.4（アフィンスキーム上の準連接層のコホモロジーは消える）✓

$A$ を Noether 環、$X = \operatorname{Spec} A$、$\mathcal F$ を $X$ 上の準連接層とする。すべての $i > 0$ について $H^i(X, \mathcal F) = 0$ である。

証明（定理 7.4）

$M = \Gamma(X, \mathcal F)$ とすると $\mathcal F \cong \widetilde M$ である（定理 4.4［準連接層・連接層と直線束］）。$A$ 加群の圏は十分に入射対象をもつので（定理 3.9［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）、入射分解 $0 \to M \to I^0 \to I^1 \to \cdots$ がとれる。$M \mapsto \widetilde M$ は完全なので $0 \to \widetilde M \to \widetilde{I^0} \to \widetilde{I^1} \to \cdots$ は完全で、各 $\widetilde{I^n}$ は脆弱である（補題 7.3）。定理 4.4 の 2 と $\Gamma(X, \widetilde{I^n}) = I^n$ により $H^i(X, \mathcal F) \cong H^i(I^\bullet)$ で、$I^\bullet$ は $M$ の分解だから $i > 0$ で $0$ である。

∎

補題 7.5（準連接層は脆弱な準連接層に埋め込める）✓

$X$ を Noether スキーム、$\mathcal F$ を準連接層とする。脆弱な準連接層 $\mathcal G$ と単射 $\mathcal F \to \mathcal G$ が存在する。

証明（補題 7.5）

$X$ を有限個のアフィン開集合 $U_k = \operatorname{Spec} A_k$ で覆う。$A_k$ は Noether 環である。$\mathcal F|_{U_k} = \widetilde{M_k}$ と書き、$M_k$ を入射 $A_k$ 加群 $I_k$ に埋め込む。包含 $f_k\colon U_k \to X$ について $\mathcal G = \bigoplus_k f_{k*}(\widetilde{I_k})$ とおく。$\widetilde{I_k}$ は脆弱で（補題 7.3）、順像と有限直和は脆弱性を保つので（補題 4.2 の 3）、$\mathcal G$ は脆弱である。$f_k$ は開はめ込みなのでモノ射で、対角射が同型だから分離的であり、Noether 空間の開集合はすべて準コンパクトなので準コンパクトである。よって $f_{k*}(\widetilde{I_k})$ は準連接で（命題 6.2［準連接層・連接層と直線束］）、$\mathcal G$ も準連接である。随伴の単位 $\mathcal F \to f_{k*}(\mathcal F|_{U_k})$ と $f_{k*}(\widetilde{M_k}) \to f_{k*}(\widetilde{I_k})$ の合成を成分とする射 $\mathcal F \to \mathcal G$ は、$U_k$ の上で第 $k$ 成分が単射 $\widetilde{M_k} \to \widetilde{I_k}$ になるので、単射である。

∎

Serre の判定法の証明には、アフィン性を大域切断で判定する補題が要ります。スキーム $X$ と $f \in \Gamma(X, \mathcal O_X)$ について、$X_f = \{x \in X : f_x \notin \mathfrak m_x\}$ とおきます。アフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} B$ の上では $X_f \cap U = D(f|_U)$ なので、$X_f$ は開集合です。

補題 7.6（$X_f$ 上の切断）✓

$X$ を Noether スキーム、$\mathcal F$ を準連接層、$A = \Gamma(X, \mathcal O_X)$、$f \in A$ とする。制限写像が誘導する $\Gamma(X, \mathcal F)_f \to \Gamma(X_f, \mathcal F)$ は同型である。

証明（補題 7.6）

$X$ を有限個のアフィン開集合 $U_1, \ldots, U_m$ で覆い、各 $U_k \cap U_l$（準コンパクト）を有限個のアフィン開集合 $U_{klp}$ で覆う。層の公理から、列

$$0 \to \Gamma(X, \mathcal F) \to \prod_k \Gamma(U_k, \mathcal F) \to \prod_{k,l,p} \Gamma(U_{klp}, \mathcal F)$$

は完全である（右の写像は $(s_k) \mapsto (s_k|_{U_{klp}} - s_l|_{U_{klp}})$）。局所化は完全で（定理 5.2［加群・完全列・中山の補題］）有限積と交換するので、$f$ で局所化した列も完全である。アフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} B$ の上では $\mathcal F|_U = \widetilde M$（定理 4.4［準連接層・連接層と直線束］）で、$\Gamma(U, \mathcal F)_f = M_{f|_U} = \Gamma(D(f|_U), \widetilde M) = \Gamma(U \cap X_f, \mathcal F)$ である。したがって局所化した列は

$$0 \to \Gamma(X, \mathcal F)_f \to \prod_k \Gamma(U_k \cap X_f, \mathcal F) \to \prod_{k,l,p} \Gamma(U_{klp} \cap X_f, \mathcal F)$$

となる。一方、$X_f$ の開被覆 $\{U_k \cap X_f\}$ と $U_k \cap U_l \cap X_f$ の開被覆 $\{U_{klp} \cap X_f\}_p$ についての層の公理から、同じ列で左端を $\Gamma(X_f, \mathcal F)$ に替えたものも完全である。二つの列の右 2 項は同じ写像なので、核どうしが同型になる。

∎

補題 7.7（大域切断によるアフィン性の判定）✓

$X$ を Noether スキーム、$A = \Gamma(X, \mathcal O_X)$ とする。$f_1, \ldots, f_r \in A$ が $A$ の単位イデアルを生成し、各 $X_{f_k}$ がアフィンなら、$X$ はアフィンである。

証明（補題 7.7）

補題 2.2［分離射・固有射と付値判定法］（$X$ に Noether 性を仮定しない同じ主張）の特別な場合である。証明の筋は次のとおりである。恒等写像 $A \to \Gamma(X, \mathcal O_X)$ に対応する射 $\varphi\colon X \to \operatorname{Spec} A$（定理 3.4［アフィンスキームとスキーム］）は $\varphi^{-1}(D(f)) = X_f$ を満たし、その制限 $X_{f_k} \to D(f_k) = \operatorname{Spec} A_{f_k}$ は環準同型 $A_{f_k} \to \Gamma(X_{f_k}, \mathcal O_X)$ に対応する。これは 補題 7.6（$\mathcal F = \mathcal O_X$）により同型で、$X_{f_k}$ はアフィンだから $X_{f_k} \to D(f_k)$ は同型である。$D(f_k)$ は $\operatorname{Spec} A$ を覆うので、$\varphi$ は同型である。

∎

定理 7.8（Serre のアフィン判定法）✓

Noether スキーム $X$ について、次は同値である。

1. $X$ はアフィンである。
2. すべての準連接層 $\mathcal F$ とすべての $i > 0$ について $H^i(X, \mathcal F) = 0$ である。
3. すべての連接イデアル層 $\mathcal J \subseteq \mathcal O_X$ について $H^1(X, \mathcal J) = 0$ である。

(3) ⇒ (1) の方針は次のとおりです。閉点ごとに、$X_f$ がアフィンになる $f$ を探し（手順 1）、それらで $X$ を覆い（手順 2）、$f_k$ が単位イデアルを生成することを示して（手順 3）、直前の補題でアフィン性を結論します。手順 1 の摩天楼層 $\kappa(P)$ は、二つのイデアル層 $\mathcal J_{Y \cup P} \subseteq \mathcal J_Y$ の違いが点 $P$ の茎だけだから現れます。

証明（定理 7.8）

(1) ⇒ (2) は 定理 7.4（アフィンな Noether スキームは Noether 環の $\operatorname{Spec}$ である）、(2) ⇒ (3) は自明である。(3) ⇒ (1) を示す。$A = \Gamma(X, \mathcal O_X)$ とおく。

手順 1。 閉点 $P$ ごとに、$P \in X_f$ かつ $X_f$ がアフィンとなる $f \in A$ があることを示す。$P$ のアフィン開近傍 $U$ をとり、$Y = X \setminus U$ とする。閉集合 $Y$ と $Y \cup \{P\}$ に被約な閉部分スキームの構造を入れ、そのイデアル層を $\mathcal J_Y$、$\mathcal J_{Y \cup P}$ とする（定理 5.2［準連接層・連接層と直線束］）。どちらも連接で、$\mathcal J_{Y \cup P} \subseteq \mathcal J_Y$ である。$P$ は閉点なので $X \setminus \{P\}$ は開集合で、その上では $Y$ と $Y \cup \{P\}$ は同じ閉集合だから $\mathcal J_Y$ と $\mathcal J_{Y \cup P}$ は一致する。よって商 $\mathcal J_Y/\mathcal J_{Y \cup P}$ は $P$ の外で $0$ で、$P$ では $\mathcal J_{Y, P} = \mathcal O_{X, P}$、$\mathcal J_{Y \cup P, P} = \mathfrak m_P$（$U$ の中で $Y \cup \{P\}$ は被約な 1 点 $P$）だから茎は剰余体 $\kappa(P)$ である。すなわち商は $P$ に台をもつ摩天楼層 $\kappa(P)$ で、完全列

$$0 \to \mathcal J_{Y \cup P} \to \mathcal J_Y \to \kappa(P) \to 0$$

がある。仮定 $H^1(X, \mathcal J_{Y \cup P}) = 0$ と長完全列から $\Gamma(X, \mathcal J_Y) \to \kappa(P)$ は全射で、$1$ に写る $f \in \Gamma(X, \mathcal J_Y) \subseteq A$ がある。$f_P \notin \mathfrak m_P$ なので $P \in X_f$ である。$y \in Y$ では $\mathcal J_{Y, y} \subseteq \mathfrak m_y$ なので $y \notin X_f$、すなわち $X_f \subseteq U$ である。よって $X_f = D(f|_U)$ はアフィンである。

手順 2。 手順 1 の形の $X_f$ の和集合 $W$ は、すべての閉点を含む開集合である。$X \setminus W \ne \varnothing$ なら、Noether 空間 $X$ の閉集合として、空でない閉部分集合のうち極小なもの $N \subseteq X \setminus W$ がとれる。$x \in N$ の閉包は $N$ に含まれる空でない閉集合なので $N$ に等しく、$N$ のどの点も既約閉集合 $N$ の生成点である。生成点はただ一つなので（命題 4.3［アフィンスキームとスキーム］）$N$ は 1 点で、それは $X$ の閉点だから $W$ に属し、矛盾する。よって $W = X$ で、$X$ は準コンパクトだから、有限個の $f_1, \ldots, f_r \in A$ で $X = X_{f_1} \cup \cdots \cup X_{f_r}$、各 $X_{f_k}$ はアフィンとなる。

手順 3。 $f_1, \ldots, f_r$ が $A$ の単位イデアルを生成することを示す。射 $\pi\colon \mathcal O_X^r \to \mathcal O_X$、$(a_1, \ldots, a_r) \mapsto \sum_k f_ka_k$ は、各点 $x$ でどれかの $f_k$ が $\mathcal O_{X,x}$ の単元なので全射である。$\mathcal K = \ker\pi$ は連接層である（命題 4.6［準連接層・連接層と直線束］）。$\mathcal O_X^k \subseteq \mathcal O_X^r$ を最初の $k$ 成分とし、$\mathcal K_k = \mathcal K \cap \mathcal O_X^k$ とおくと、$0 = \mathcal K_0 \subseteq \mathcal K_1 \subseteq \cdots \subseteq \mathcal K_r = \mathcal K$ で、$\mathcal K_k/\mathcal K_{k-1}$ は $\mathcal O_X^k/\mathcal O_X^{k-1} \cong \mathcal O_X$ の連接な部分層、すなわち連接イデアル層に同型である。仮定により $H^1(X, \mathcal K_k/\mathcal K_{k-1}) = 0$ で、完全列 $H^1(X, \mathcal K_{k-1}) \to H^1(X, \mathcal K_k) \to H^1(X, \mathcal K_k/\mathcal K_{k-1})$ と $k$ についての帰納法から $H^1(X, \mathcal K) = 0$ である。したがって $\Gamma(X, \mathcal O_X^r) = A^r \to \Gamma(X, \mathcal O_X) = A$ は全射で、$1 = \sum_k f_ka_k$ となる $a_k \in A$ がある。補題 7.7 により $X$ はアフィンである。

∎

例 7.9（アフィン直線上の構造層の脆弱分解）

$k$ を代数閉体、$X = \mathbb A^1_k = \operatorname{Spec} k[x]$、$K = k(x)$ とします。定数層 $\underline K$ は脆弱で（補題 6.4）、$\mathcal O \to \underline K$ は単射です。閉点 $P$（$x = a$）について $K/\mathcal O_P$ の元は $\sum_{j=1}^{m} c_j(x - a)^{-j}$（主要部）でただ一通りに代表され、部分分数分解により、主開集合 $D(g)$ の上で $K/k[x]_g \cong \bigoplus_{P \in D(g)} K/\mathcal O_P$ です。右辺で定まる層 $U \mapsto \bigoplus_{P \in U} K/\mathcal O_P$ は、制限写像が直和因子への射影なので脆弱で、これが商層 $\underline K/\mathcal O$ です。したがって

$$0 \to \mathcal O \to \underline K \to \bigoplus_P i_{P*}(K/\mathcal O_P) \to 0$$

は脆弱層による分解で、$H^1(X, \mathcal O)$ は $K \to \bigoplus_P K/\mathcal O_P$ の余核です。有限個の点での主要部を任意に指定しても、それらの和がその主要部をもつ有理関数になるので、この写像は全射で、$H^1(X, \mathcal O) = 0$ です。定理 7.4 の内容を、いちばん簡単な場合に手で確かめたことになります。

例 7.10（射影直線の構造層）

$X = \mathbb P^1_k$ を $U_0 = \operatorname{Spec} k[x]$ と $U_1 = \operatorname{Spec} k[x^{-1}]$ で覆うと、$U_0 \cap U_1 = \operatorname{Spec} k[x, x^{-1}]$ です。三つともアフィンなので 定理 7.4 により $\mathcal O$ の高次コホモロジーは消え、命題 5.1 の列は

$$0 \to H^0(X, \mathcal O) \to k[x] \oplus k[x^{-1}] \xrightarrow{\ \beta\ } k[x, x^{-1}] \to H^1(X, \mathcal O) \to 0$$

と、$i \ge 2$ での $H^i(X, \mathcal O) = 0$ になります。$\beta(p, q) = p - q$ で、Laurent 多項式は $x$ の多項式と $x^{-1}$ の多項式の差に書けるので $\beta$ は全射、核は両方に属する定数です。よって $H^0(X, \mathcal O) = k$、$H^1(X, \mathcal O) = 0$ です。

例 7.11（穴あき平面はアフィンでない）

$U = \mathbb A^2_k \setminus \{0\}$ を $D(x)$ と $D(y)$ で覆います。$D(x)$、$D(y)$、$D(x) \cap D(y) = D(xy)$ はアフィンなので、命題 5.1 と 定理 7.4 から

$$H^1(U, \mathcal O) \cong \operatorname{Coker}\bigl(k[x, y]_x \oplus k[x, y]_y \to k[x, y]_{xy}\bigr)$$

です。$k[x,y]_{xy}$ の基底は単項式 $x^ay^b$（$a, b \in \mathbb Z$）で、像は $b \ge 0$ または $a \ge 0$ の単項式で張られます。余核は $a, b \le -1$ の単項式 $x^ay^b$ を基底とする無限次元のベクトル空間で、$0$ ではありません。$U$ は Noether スキームなので、定理 7.8 により $U$ はアフィンではありません。

8. 高次順像と Leray のスペクトル系列

定義 8.1（高次順像）↗

連続写像 $f\colon X \to Y$ について、左完全関手 $f_*\colon \mathsf{Ab}(X) \to \mathsf{Ab}(Y)$ の第 $i$ 右導来関手を $R^if_*$ と書き、$R^if_*\mathcal F$ を $\mathcal F$ の第 $i$ 高次順像という。

命題 8.2（高次順像の記述）✓

$f\colon X \to Y$ を連続写像、$\mathcal F \in \mathsf{Ab}(X)$ とする。

1. $R^if_*\mathcal F$ は、$Y$ 上の前層 $V \mapsto H^i(f^{-1}(V), \mathcal F)$ の層化である。
2. $\mathcal F$ が脆弱なら、$i > 0$ で $R^if_*\mathcal F = 0$ である。
3. $X$ が Noether スキーム、$Y = \operatorname{Spec} A$ がアフィンスキーム、$f$ が分離的な射、$\mathcal F$ が準連接層なら、$R^if_*\mathcal F \cong \widetilde{H^i(X, \mathcal F)}$ である。ここで $H^i(X, \mathcal F)$ は $\Gamma(X, \mathcal O_X)$ 加群（系 4.5）を $A \to \Gamma(X, \mathcal O_X)$ で $A$ 加群と見たものである。

証明（命題 8.2）

(1) $\mathcal F$ の入射分解 $\mathcal I^\bullet$ をとると $R^if_*\mathcal F = H^i(f_*\mathcal I^\bullet)$（層の複体のコホモロジー層）である。$Y$ 上の前層の圏はアーベル圏で（命題 5.7［加法圏とアーベル圏］）、核と余核は開集合ごとにとる。層化は前層の圏から $\mathsf{Ab}(Y)$ への完全関手で、層に施すと元の層に戻る（定理 4.3［層］）。完全関手は複体のコホモロジーと交換するので（補題 2.1［Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー］ の 1）、コホモロジー層 $H^i(f_*\mathcal I^\bullet)$ は、前層としてのコホモロジー $V \mapsto H^i(\Gamma(f^{-1}(V), \mathcal I^\bullet))$ の層化である。補題 4.6 の 1 により $H^i(\Gamma(f^{-1}(V), \mathcal I^\bullet)) \cong H^i(f^{-1}(V), \mathcal F)$ である。

(2) $\mathcal F|_{f^{-1}(V)}$ は脆弱なので（補題 4.2 の 3）、定理 4.4 により (1) の前層は $i > 0$ で $0$ である。

(3) $X$ 上の準連接層の圏 $\mathsf{QCoh}(X)$ はアーベル圏で、包含 $\mathsf{QCoh}(X) \to \mathsf{Ab}(X)$ は完全である（命題 4.6［準連接層・連接層と直線束］）。したがって $T^i = R^if_*$ と $S^i = \widetilde{H^i(X, -)}$ はどちらも $\mathsf{QCoh}(X)$ から $\mathsf{Ab}(Y)$ への δ 関手である（$S$ については $M \mapsto \widetilde M$ が完全であることを使う）。$f$ は準コンパクトかつ分離的なので $f_*\mathcal F$ は準連接で（命題 6.2［準連接層・連接層と直線束］）、$Y$ はアフィンだから $f_*\mathcal F \cong \widetilde{\Gamma(Y, f_*\mathcal F)} = \widetilde{\Gamma(X, \mathcal F)}$、すなわち $T^0 \cong S^0$ である。準連接層 $\mathcal F$ を脆弱な準連接層 $\mathcal G$ に埋め込むと（補題 7.5）、$i > 0$ で $T^i(\mathcal G) = 0$（(2)）、$S^i(\mathcal G) = 0$（定理 4.4）である。よって $T^i, S^i$（$i > 0$）は消去可能で、定理 4.4［導来関手と δ 関手］ により $T, S$ はともに普遍である。系 5.3［導来関手と δ 関手］ の 1 により、$T^0 \cong S^0$ は δ 関手の同型 $T \cong S$ に延びる。

∎

定理 8.3（Leray のスペクトル系列）✓

$f\colon X \to Y$ を連続写像、$\mathcal F \in \mathsf{Ab}(X)$ とする。第一象限のスペクトル系列

$$E_2^{p,q} = H^p(Y, R^qf_*\mathcal F) \Rightarrow H^{p+q}(X, \mathcal F)$$

がある。

証明（定理 8.3）

$\Gamma(X, -) = \Gamma(Y, -) \circ f_*$ である。$\mathsf{Ab}(X)$ と $\mathsf{Ab}(Y)$ は十分に入射対象をもち、$\Gamma(Y, -)$ は左完全である。入射的な層 $\mathcal I$ は脆弱で（命題 4.3）、$f_*\mathcal I$ も脆弱（補題 4.2 の 3）、したがって $\Gamma(Y, -)$ 非輪状である（定理 4.4）。Grothendieck のスペクトル系列（定理 5.1［Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー］）を $F = f_*$、$G = \Gamma(Y, -)$ に適用すればよい。

∎

系 8.4（アフィン射ではコホモロジーが順像で計算できる）✓

$X$ を Noether スキーム、$f\colon X \to Y$ をアフィン射、$\mathcal F$ を $X$ 上の準連接層とする。$q > 0$ で $R^qf_*\mathcal F = 0$ であり、すべての $i \ge 0$ について $H^i(X, \mathcal F) \cong H^i(Y, f_*\mathcal F)$ である。とくに Noether スキーム $X$ の閉はめ込み $\iota\colon Z \to X$ と $Z$ 上の準連接層 $\mathcal G$ について $H^i(Z, \mathcal G) \cong H^i(X, \iota_*\mathcal G)$ である。

証明（系 8.4）

$Y$ のアフィン開集合 $V$ について $f^{-1}(V)$ は $X$ のアフィン開集合で（命題 3.3［スキームの性質と射］）、Noether 環の $\operatorname{Spec}$ である。定理 7.4 により $q > 0$ で $H^q(f^{-1}(V), \mathcal F) = 0$ である。アフィン開集合は $Y$ の開基をなすので（命題 4.1［アフィンスキームとスキーム］）、前層 $V \mapsto H^q(f^{-1}(V), \mathcal F)$ の茎はすべて $0$ で、その層化 $R^qf_*\mathcal F$ は $0$ である（命題 8.2 の 1）。

$\mathcal F$ の $\mathsf{Ab}(X)$ での入射分解 $\mathcal I^\bullet$ をとる。$f_*\mathcal I^\bullet$ のコホモロジー層は $R^qf_*\mathcal F$ で、$q > 0$ で $0$、$q = 0$ で $f_*\mathcal F$ だから、$0 \to f_*\mathcal F \to f_*\mathcal I^\bullet$ は分解である。各 $f_*\mathcal I^n$ は脆弱なので、定理 4.4 の 2 により $H^i(Y, f_*\mathcal F) \cong H^i(\Gamma(Y, f_*\mathcal I^\bullet)) = H^i(\Gamma(X, \mathcal I^\bullet)) = H^i(X, \mathcal F)$ である。閉はめ込みはアフィン射で、$Z$ は Noether スキームなので、後半は前半の特別な場合である（位相空間としては 補題 4.6 の 2 からも従う）。

∎

注意 8.5（スペクトル系列で見ると）

系 8.4 は、Leray のスペクトル系列が $q = 0$ の 1 行に集中する場合（命題 6.2［スペクトル系列］ の 1）に当たります。射影射 $f$ では $R^qf_*\mathcal F$ は一般に消えず、ファイバーのコホモロジーを束ねた層になります。この章では $R^qf_*$ の有限性や底変換には立ち入りません。

9. 演習

演習 9.1易

$X$ を位相空間、$P \in X$ を閉点、$M$ をアーベル群とする。$P$ に台をもつ摩天楼層 $i_{P*}M$（$P \in U$ なら $M$、そうでなければ $0$）について、$i > 0$ で $H^i(X, i_{P*}M) = 0$ を示せ。

解答

$P \in U$ なら制限写像 $M \to M$ は恒等写像、$P \notin U$ なら $M \to 0$ で、どちらも全射です。よって $i_{P*}M$ は脆弱で、定理 4.4 により高次コホモロジーは消えます。別の見方として、$i_{P*}M$ は 1 点空間 $\{P\}$ 上の層 $M$ の閉集合からの順像で、補題 4.6 の 2 により $H^i(X, i_{P*}M) \cong H^i(\{P\}, M)$ です。1 点空間では $\Gamma$ が完全関手なので、これは $i > 0$ で $0$ です。

演習 9.2標準

$k$ を代数閉体、$X = \mathbb P^1_k$、$P \ne Q$ を閉点、$\mathcal J$ を被約な閉部分スキーム $\{P, Q\}$ のイデアル層とする。$H^0(X, \mathcal J)$ と $H^1(X, \mathcal J)$ の次元を求め、連結射 $\delta\colon k \oplus k \to H^1(X, \mathcal J)$ の核を答えよ。

解答

完全列 $0 \to \mathcal J \to \mathcal O \to \kappa(P) \oplus \kappa(Q) \to 0$ の長完全列は、例 7.10 の $H^0(X, \mathcal O) = k$、$H^1(X, \mathcal O) = 0$ を使うと

$$0 \to H^0(X, \mathcal J) \to k \xrightarrow{\ c \mapsto (c, c)\ } k \oplus k \xrightarrow{\ \delta\ } H^1(X, \mathcal J) \to 0$$

です。定数 $c$ が $P, Q$ で消えるのは $c = 0$ のときだけなので $H^0(X, \mathcal J) = 0$、$H^1(X, \mathcal J) \cong (k \oplus k)/\{(c, c)\}$ は 1 次元で、$\ker\delta$ は対角 $\{(c, c)\}$ です。$\delta(a, b)$ は「$P$ で $a$、$Q$ で $b$ をとる大域的な関数があるか」の障害で、$a = b$ のときに限って消えます。§1 の冒頭の例の答えです。

演習 9.3標準

$X$ を $1$ 次元の Noether 位相空間とする。$H^1(X, -)\colon \mathsf{Ab}(X) \to \mathsf{Ab}$ は右完全であること、すなわち層の全射 $\mathcal F \to \mathcal F''$ が全射 $H^1(X, \mathcal F) \to H^1(X, \mathcal F'')$ を誘導することを示せ。また、$X$ 上の層 $\mathcal F$ と脆弱層への埋め込み $\mathcal F \subseteq \mathcal K$ について、$\mathcal K/\mathcal F$ の高次コホモロジーが消えることを示せ。

解答

$\mathcal F' = \ker(\mathcal F \to \mathcal F'')$ とすると、長完全列に $H^1(X, \mathcal F) \to H^1(X, \mathcal F'') \to H^2(X, \mathcal F')$ が現れます。定理 6.5 により $H^2(X, \mathcal F') = 0$ なので全射です。後半は、$0 \to \mathcal F \to \mathcal K \to \mathcal K/\mathcal F \to 0$ の長完全列で $i \ge 1$ について $H^i(X, \mathcal K) = 0$（定理 4.4）と $H^{i+1}(X, \mathcal F) = 0$（定理 6.5）に挟まれて $H^i(X, \mathcal K/\mathcal F) = 0$ となります。$1$ 次元では、脆弱層への埋め込み一つで長さ $1$ の非輪状分解 $0 \to \mathcal F \to \mathcal K \to \mathcal K/\mathcal F \to 0$ が得られるわけです。例 7.9 はその例です。

演習 9.4標準

$X$ を体 $k$ 上分離的な Noether スキーム、$j\colon U \to X$ をアフィンな開部分スキームの包含とする。$U$ 上の準連接層 $\mathcal F$ について $H^i(X, j_*\mathcal F) = 0$（$i > 0$）を示せ。また、$U$ がアフィンでない例として、$X = \mathbb A^2_k$、$U = \mathbb A^2_k \setminus \{0\}$、$\mathcal F = \mathcal O_U$ のとき $R^1j_*\mathcal O_U \ne 0$ を確かめよ。

解答

$X$ のアフィン開集合 $V$ について、$X$ は $\operatorname{Spec} k$ 上分離的なので $j^{-1}(V) = U \cap V$ はアフィンです（命題 3.4［分離射・固有射と付値判定法］）。よって $j$ はアフィン射で、$U$ は Noether スキームだから、系 8.4 により $H^i(X, j_*\mathcal F) \cong H^i(U, \mathcal F)$ です。$U$ はアフィンなので、定理 7.4 により右辺は $i > 0$ で $0$ です。$i = 1$ だけなら分離性は要りません。Leray のスペクトル系列（定理 8.3）の 5 項完全列（系 5.2［Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー］）の最初の単射 $H^1(X, j_*\mathcal F) \to H^1(U, \mathcal F) = 0$ から従います。

後半。$R^1j_*\mathcal O_U$ は $V \mapsto H^1(U \cap V, \mathcal O)$ の層化です（命題 8.2 の 1）。原点を含むアフィン開集合 $V = \mathbb A^2_k$ で 命題 8.2 の 3 を使うと（$j$ は分離的、$X$ はアフィン）、$R^1j_*\mathcal O_U \cong \widetilde{H^1(U, \mathcal O_U)}$ で、例 7.11 により $H^1(U, \mathcal O_U) \ne 0$ です。この加群の元 $x^ay^b$（$a, b \le -1$）は $x$ と $y$ のべきで消えるので、層 $R^1j_*\mathcal O_U$ は原点だけに台をもちます。

参考文献

• R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer, 1977 — Chapter III §1〜§3、§8。
• A. Grothendieck, “Sur quelques points d’algèbre homologique”, Tôhoku Mathematical Journal (2) 9 (1957), 119–221 — 導来関手としての層コホモロジーと次元による消滅定理の原論文。
• J.-P. Serre, “Faisceaux algébriques cohérents”, Annals of Mathematics (2) 61 (1955), 197–278 — アフィン多様体上の消滅とアフィン性の判定。
• R. Godement, Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Hermann, 1958 — 脆弱層と標準的な脆弱分解。
• 上野健爾『代数幾何』岩波書店、2005 — 第 6 章（層のコホモロジー）。