Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み

0. この記事の要点

曲線を別の曲線の上に何重かに重ねて覆うとき、重なり方が乱れる点（分岐点）の数と、曲線の「穴の数」（種数）はどう関係するのか。この記事の前半はこの問いに答えます。後半では、穴が 1 つの曲線（楕円曲線）に足し算が入ること、穴が 2 つ以上の曲線を平面や空間の中にどう置けるか、そして対称性（自己同型）の個数に上限があることを順に調べます。

• 曲線の分離的な有限射 $f\colon X \to Y$ では、微分の引き戻し $f^*\Omega_Y \to \Omega_X$ が単射で、余核（引き戻しで埋まらない残り）$\Omega_{X/Y}$ の長さ（残りの大きさを数えた整数）が分岐因子 $R$ を定めます。標準因子の関係 $K_X \sim f^*K_Y + R$ の次数を取ると Riemann–Hurwitz の公式 $2g_X - 2 = n(2g_Y - 2) + \deg R$ です。
• 射があれば種数は下がりません（$g_X \ge g_Y$）。ここから Lüroth の定理（$k(t)$ の中間体は純超越的）と、$\mathbb{P}^1$ の不分岐被覆が自明であることが出ます。
• 楕円曲線 $(X, P_0)$ では $P \mapsto \mathcal{O}(P - P_0)$ が点と次数 $0$ の因子類の全単射で、点の集合が群になります。$|3P_0|$ は平面 3 次曲線への埋め込みを与え、「3 点の和が $0$」は「同一直線上」と同値です。標数が $2, 3$ でなければ $y^2 = x^3 + ax + b$ の形に書け、同型類は $j$ 不変量で分類されます。
• 種数 $g \ge 2$ では $|K|$ は基点（$|K|$ のすべての因子が共通に通る点）をもたず、標準写像が埋め込みであることは $X$ が超楕円（$\mathbb{P}^1$ への 2 重の覆いをもつ曲線）でないことと同値です。有効な特殊因子は Clifford の定理 $l(D) - 1 \le \deg D/2$ を満たします。
• 標数 $0$、$g \ge 2$ の曲線の自己同型群は有限で、位数は $84(g - 1)$ 以下です（Hurwitz）。

この記事で使う事前知識

• 標準因子・種数: 種数は曲線の「穴の数」にあたる整数で、標準因子は微分形式の零点と極を集めた因子。次数は $2g - 2$ になります。→ 標準因子・種数
• 分岐指数: 射 $f$ が点 $P$ で何重に重なっているかを表す整数 $e_P$。→ 曲線と Riemann–Roch の定理
• 離散付値・素元: 点 $P$ での零点の位数を測る $v_P$ と、$v_P = 1$ となる局所座標のような関数。→ 離散付値
• Kähler 微分加群: 環や体の「微分」を代数的に定めた加群。→ Kähler 微分加群
• 分離拡大: 最小多項式が重根をもたない元で生成される体の拡大。→ 分離拡大
• 非常に豊富: 因子が定める写像が射影空間への埋め込みになる、という性質。→ 非常に豊富

1. 動機

前章の Riemann–Roch の定理は 1 本の曲線の上の話でした。この章の前半は、2 本の曲線を結ぶ射 $f\colon X \to Y$ があるとき種数がどう関係するかを調べます。位相的には、$n$ 重の分岐被覆の Euler 数は「$n$ 倍から分岐点の分だけ減る」ので $2 - 2g_X = n(2 - 2g_Y) - \sum (e_P - 1)$ となるはずです。代数的には、これは標準層 $\omega = \Omega$ の比較、つまり「$Y$ の微分を $X$ に引き戻すと、分岐点で余分に零点をもつ」という事実から出ます（標準層は微分形式の層のことです）。標数 $p$ では、この比較が意味をもつのは射が分離的な場合だけで、分岐指数が $p$ で割り切れると零点の位数が $e_P - 1$ より大きくなります。

後半は種数ごとの曲線の姿です。種数 $0$ は $\mathbb{P}^1$ だけでした（定理 7.2［曲線と Riemann–Roch の定理］）。種数 $1$ では、Riemann–Roch が「次数 $1$ の因子類にはちょうど 1 つの点が対応する」ことを教え、これが曲線そのものに群構造を与えます。数論の章（定義 2.1［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］）で定義として使った短 Weierstrass 形と弦と接線の加法は、ここで証明される定理になります。種数 $2$ 以上では標準因子が曲線に固有の射影埋め込みを与え、それが失敗するのがちょうど超楕円曲線です。

2. 準備：素元と微分

記号は前章のとおりです。$k$ は代数閉体、曲線は $k$ 上の非特異な射影的整 $1$ 次元スキーム、点は閉点、$v_P$ は点 $P$ の離散付値、$l(D) = \dim_k L(D)$、$K$ は標準因子です。$k$ の標数を $p \ge 0$ と書きます。

補題 2.1（素元の微分は生成元）✓

$X$ を曲線、$P$ を点、$u$ を $P$ での素元とする。

1. $\Omega_{X,P}$ は $du$ を基底とする階数 $1$ の自由 $\mathcal{O}_P$ 加群で、$\Omega_{K(X)/k}$ は $du$ を基底とする $1$ 次元の $K(X)$ ベクトル空間である。そこで $h \in K(X)$ に対し $dh = (dh/du)\,du$ で $dh/du \in K(X)$ を定める。$h \in \mathcal{O}_P$ なら $dh/du \in \mathcal{O}_P$ である。
2. $h \in K(X)^{\times}$、$m = v_P(h)$ とする。$m$ が $k$ の中で $0$ でない（$p = 0$ なら $m \ne 0$、$p > 0$ なら $p \nmid m$）とき $v_P(dh/du) = m - 1$ で、$m$ が $k$ の中で $0$ である（$m = 0$、または $p > 0$ で $p \mid m$）とき $v_P(dh/du) \ge m$ である。

証明（補題 2.1）

(1) $\Omega_{X,P}$ は $\mathcal{O}_P$ の $k$ 上の Kähler 微分加群で（定理 5.2［次元・正規性・非特異性と微分の層］）、$X$ は非特異なので階数 $1$ の自由加群です（定理 7.3［次元・正規性・非特異性と微分の層］）。剰余体は $k$ なので、$x \mapsto 1 \otimes dx$ は同型 $\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2 \to \Omega_{X,P} \otimes k$ です（命題 8.1［Kähler 微分と滑らかさの入口］）。$u$ の類は $\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2$ を張るので $du$ の類は $\Omega_{X,P} \otimes k$ を張り、中山の補題（定理 3.5［加群・完全列・中山の補題］）により $du$ は $\Omega_{X,P}$ を生成します。$\Omega_{X,P} \cong \mathcal{O}_P$ の生成元は単元倍なので基底です。局所化との両立（命題 4.2［Kähler 微分と滑らかさの入口］ の (2)）から $\Omega_{K(X)/k} = K(X) \otimes \Omega_{X,P} = K(X)\,du$ です。$h \in \mathcal{O}_P$ なら $dh \in \Omega_{X,P} = \mathcal{O}_P\,du$ です。

(2) $h = au^m$（$a$ は $\mathcal{O}_P$ の単元）と書くと、Leibniz 則から

$$\frac{dh}{du} = m a u^{m-1} + u^m \frac{da}{du}, \qquad \frac{da}{du} \in \mathcal{O}_P$$

です。$m$ が $k$ の中で $0$ でなければ $ma$ は単元で第 1 項の付値は $m - 1$、第 2 項は $m$ 以上なので和の付値は $m - 1$ です。$m$ が $k$ の中で $0$ なら第 1 項は $0$ で、付値は $m$ 以上です。

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3. 分岐因子と Riemann–Hurwitz の公式

定義 3.1（分離的な射・従順な分岐・野性的な分岐）↗

$f\colon X \to Y$ を曲線の有限射とする。

1. $K(X)/K(Y)$ が分離拡大のとき $f$ は分離的、$K(X)$ のすべての元のある $p$ 冪乗が $K(Y)$ に入るとき純非分離であるという。
2. 点 $P \in X$ の分岐指数 $e_P$（定義 5.1［曲線と Riemann–Roch の定理］）が $e_P > 1$ のとき $f$ は $P$ で分岐するという。$p \nmid e_P$（$p = 0$ なら常に）のとき分岐は従順、$p \mid e_P$ のとき野性的であるという。

次の命題のねらいは、「$Y$ の微分を $X$ に引き戻すと、分岐点で余分に零点ができる」ことを、完全列と余核の長さという形で正確にすることです。証明は点ごとに素元を取り、引き戻しが「$dt/du$ 倍」という掛け算で書けることを見るだけで、あとは長さを数えます。

命題 3.2（分岐と相対微分）✓

$f\colon X \to Y$ を曲線の分離的な有限射とする。

1. $0 \to f^*\Omega_Y \to \Omega_X \to \Omega_{X/Y} \to 0$ は完全である。
2. 点 $P \in X$、$Q = f(P)$、素元 $u$（$P$）、$t$（$Q$）について、$(\Omega_{X/Y})_P \cong \mathcal{O}_P/(dt/du)$ で、長さは $v_P(dt/du) < \infty$ である（$t$ は $f^{\#}t$ の略記）。
3. この長さは、$P$ での分岐が従順なら $e_P - 1$、野性的なら $e_P$ 以上である。とくに $\Omega_{X/Y}$ の台は分岐点の全体で、有限集合である。

証明（命題 3.2）

第一完全列 $f^*\Omega_Y \to \Omega_X \to \Omega_{X/Y} \to 0$ は完全です（定理 5.3［次元・正規性・非特異性と微分の層］）。点 $P$ での茎を見ます。補題 2.1 により $(f^*\Omega_Y)_P = \Omega_{Y,Q} \otimes_{\mathcal{O}_Q} \mathcal{O}_P$ は $dt \otimes 1$ を基底とする自由加群、$\Omega_{X,P}$ は $du$ を基底とする自由加群で、写像は $dt \otimes 1 \mapsto d(f^{\#}t) = (dt/du)\,du$ です。つまり茎の上で $\mathcal{O}_P \to \mathcal{O}_P$、$dt/du$ 倍です。

$dt/du \ne 0$ を示します。生成点での茎を取ると、体の拡大 $k \subseteq K(Y) \subseteq K(X)$ の第一基本完全列（定理 5.1［Kähler 微分と滑らかさの入口］）

$$\Omega_{K(Y)/k} \otimes_{K(Y)} K(X) \to \Omega_{K(X)/k} \to \Omega_{K(X)/K(Y)} \to 0$$

になります。$f$ は分離的なので $\Omega_{K(X)/K(Y)} = 0$ で（定理 7.1［Kähler 微分と滑らかさの入口］）、左の写像は全射です。左辺は $dt$、中央は $du$ で張られる $1$ 次元空間なので、$dt$ の像 $(dt/du)\,du$ は $0$ ではありません。

よって各茎で $\mathcal{O}_P \to \mathcal{O}_P$ は整域の $0$ でない元の乗法で単射、余核は $\mathcal{O}_P/(dt/du)$ です。これで (1) と (2) の同型が示せました。$r = v_P(dt/du)$ とすると $\mathcal{O}_P/(dt/du) = \mathcal{O}_P/u^r\mathcal{O}_P$ で、鎖 $\mathcal{O}_P \supset u\mathcal{O}_P \supset \cdots \supset u^r\mathcal{O}_P$ の各商は $k$ と同型なので長さは $r$ です（命題 5.5［Noether 環と Artin 環］）。

(3) $v_P(t) = e_P$ なので、補題 2.1 の (2) により、$p \nmid e_P$ なら $v_P(dt/du) = e_P - 1$、$p \mid e_P$ なら $v_P(dt/du) \ge e_P$ です。$e_P = 1$ なら長さは $0$ で、$e_P > 1$ なら長さは正です。$\Omega_{X/Y}$ は連接層で生成点での茎が $0$ なので、台は真の閉集合、すなわち有限集合です。

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定義 3.3（分岐因子）↗

曲線の分離的な有限射 $f\colon X \to Y$ について、$R = \sum_{P \in X} \ell((\Omega_{X/Y})_P)\,P$ を $f$ の分岐因子という。

定理の流れは次のとおりです。前の命題の完全列から、$f^*\Omega_Y$ が $\Omega_X$ の中で「分岐因子 $R$ の分だけ小さい部分層」であることを読み取ります。これは標準因子の言葉で $K_X \sim f^*K_Y + R$ と書け、両辺の次数を比べると公式になります。

定理 3.4（Riemann–Hurwitz の公式）✓

$f\colon X \to Y$ を曲線の分離的な有限射、$n = \deg f$、$R$ を分岐因子とする。このとき $K_X \sim f^*K_Y + R$ であり、

$$2g_X - 2 = n(2g_Y - 2) + \deg R$$

が成り立つ。分岐がすべて従順なら $\deg R = \sum_{P \in X}(e_P - 1)$ である。

証明（定理 3.4）

$\mathcal{O}_Y(K_Y) \cong \Omega_Y$ となる因子 $K_Y$ を取ると、$f^*\Omega_Y \cong \mathcal{O}_X(f^*K_Y)$ です（補題 5.2［曲線と Riemann–Roch の定理］ の (2)）。命題 3.2 の完全列に可逆層 $\Omega_X^{\vee}$ をテンソルすると、完全列

$$0 \to f^*\Omega_Y \otimes \Omega_X^{\vee} \to \mathcal{O}_X \to \Omega_{X/Y} \otimes \Omega_X^{\vee} \to 0$$

が得られます。左の層の像はイデアル層 $\mathcal{I}$ で、点 $P$ での茎は同じ命題の (2) により $(dt/du)\mathcal{O}_P = \mathfrak{m}_P^{r_P}$（$r_P$ は $R$ の $P$ での係数）です。これは $\mathcal{O}_X(-R)$ の茎なので $\mathcal{I} = \mathcal{O}_X(-R)$ で、$\mathcal{O}_X(f^*K_Y - K_X) \cong \mathcal{O}_X(-R)$、すなわち $K_X \sim f^*K_Y + R$ です。次数を取り、$\deg K = 2g - 2$（系 6.5［曲線と Riemann–Roch の定理］）と $\deg f^*K_Y = n \deg K_Y$（命題 5.3［曲線と Riemann–Roch の定理］）を使うと公式を得ます。最後の主張は 命題 3.2 の (3) です。

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例 3.5（Fermat 曲線の種数を分岐から数える）

$p \nmid n$ とし、$X\colon x^n + y^n = z^n$（$\mathbb{P}^2$ の非特異曲線）から $\mathbb{P}^1$ への射 $f(x : y : z) = (x : z)$ を考えます。$f$ の次数は $n$ です（$K(X) = k(x/z)(y/z)$ で $y/z$ は $n$ 次の既約方程式を満たします）。$a^n \ne 1$ である $x/z = a$ の上には $y^n = 1 - a^n$ の $n$ 個の解があり、無限遠 $z = 0$ の上にも $x^n + y^n = 0$ の $n$ 個の点があるので、そこでは不分岐です（$\sum e_P = n$ で点が $n$ 個）。$a^n = 1$ である $n$ 個の点の上には $y = 0$ の 1 点しかなく、$e_P = n$ です。分岐は従順なので

$$2g - 2 = n \cdot (-2) + n(n - 1), \qquad g = \frac{(n-1)(n-2)}{2}$$

で、平面曲線の種数の公式と一致します。

系 3.6（射影直線の不分岐被覆は自明）✓

$f\colon X \to \mathbb{P}^1$ を曲線の分離的な有限射で、どの点でも分岐しないものとする。このとき $f$ は同型である。

証明（系 3.6）

すべての点で $e_P = 1$ なので分岐は従順で $R = 0$ です。定理 3.4 により $2g_X - 2 = -2n$、$g_X = 1 - n$ です。$g_X \ge 0$ なので $n = 1$ で、次数 $1$ の射は同型です（定理 4.2［曲線と Riemann–Roch の定理］）。

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複素数体の上では、これは Riemann 球面が単連結であることの代数的な表現です。標数 $p$ の Frobenius 射 $\mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$、$t \mapsto t^p$ は同型でない次数 $p$ の射ですが、すべての点で $e_P = p$ なので（例 4.3）、「どの点でも分岐しない」という仮定を満たさず、反例にはなりません。一般に、分離的でない有限射は次節の Frobenius 射 $X \to X_i$（$i \ge 1$）を経由し（補題 4.1 の (3)）、分岐指数は合成で掛け算になるので、すべての点で $e_P$ が $p$ で割り切れます。つまり、どの点でも分岐しない有限射は自動的に分離的です。一方 $\mathbb{P}^1$ を $\mathbb{A}^1$ に替えると、標数 $p$ では $y^p - y = x$ が $\mathbb{A}^1$ の不分岐な $p$ 重被覆を与え（無限遠で野性的に分岐します）、主張は成り立ちません。

4. 非分離な射と Lüroth の定理

この節の前半では $p > 0$ とします。体 $K$ について $K^{p^r} = \{ a^{p^r} : a \in K \}$ は部分体で、$a \mapsto a^{p^r}$ は体の同型 $K \to K^{p^r}$ です。

次の補題は、標数 $p$ で分離的でない射を「$p$ 乗する射」（Frobenius 射）と分離的な射に分けるための準備です。関数体 $K$ とその $p$ 乗の部分体 $K^p$ の間の次数が $p$ であることを示し、そこから中間体がすべて $K^{p^i}$ の形になることを導きます。

補題 4.1（関数体と $p$ 冪乗の部分体）✓

$K$ を標数 $p > 0$ の代数閉体 $k$ 上有限生成で超越次数 $1$ の体とする。

1. すべての $r \ge 0$ について $[K : K^{p^r}] = p^r$ である。
2. $K^{p^r} \subseteq M \subseteq K$ を満たす体 $M$ は、ある $0 \le i \le r$ について $M = K^{p^i}$ である。
3. $k \subseteq L \subseteq K$ で $K/L$ が有限次拡大なら、ある $i \ge 0$ について $L \subseteq K^{p^i}$ かつ $K^{p^i}/L$ は分離拡大である。

証明（補題 4.1）

(1) $k$ 上超越的な $x \in K$ を取ると $K/k(x)$ は有限次です。$k = k^p$ なので $k(x)^p = k(x^p)$ で、$p$ 乗写像は体の同型 $K \to K^p$ で $k(x)$ を $k(x^p)$ に写すので $[K^p : k(x^p)] = [K : k(x)]$ です。次数の連鎖律から

$$[K : K^p]\,[K^p : k(x^p)] = [K : k(x^p)] = [K : k(x)]\,[k(x) : k(x^p)]$$

で、$[K : K^p] = [k(x) : k(x^p)]$ です。$x$ は $k(x^p)$ 上 $T^p - x^p = (T - x)^p$ の根なので、最小多項式は $(T - x)^j$（$1 \le j \le p$）の形で、定数項から $x^j \in k(x^p)$ です。$x^j = a(x^p)/b(x^p)$（$a, b$ は多項式）なら $x^j b(x^p) = a(x^p)$ で、両辺の $x$ についての次数を $p$ を法として比べると $j \equiv 0$、よって $j = p$、$[K : K^p] = p$ です。$K^{p^i}$ は $K$ と同型な体で $k$ を含むので、同じ議論で $[K^{p^i} : K^{p^{i+1}}] = p$、連鎖律から $[K : K^{p^r}] = p^r$ です。

(2) $[K : M]$ は $p^r$ の約数なので $p^i$ と書けます。$a \in K$ とします。$c = a^{p^r} \in M$ で、$a$ の $M$ 上の最小多項式は $T^{p^r} - c = (T - a)^{p^r}$ の約数なので $(T - a)^e$ の形です。$e = p^j e'$（$p \nmid e'$）と書くと $(T - a)^e = (T^{p^j} - a^{p^j})^{e'}$ で、$T^{p^j(e'-1)}$ の係数 $-e'a^{p^j}$ は $M$ に入るので $a^{p^j} \in M$ です。すると $a$ は $T^{p^j} - a^{p^j} \in M[T]$ の根なので $e \le p^j$、$e' = 1$ です。$e = p^j$ は $[K : M] = p^i$ の約数なので $j \le i$、$a^{p^i} \in M$ です。よって $K^{p^i} \subseteq M$ で、(1) により $[K : K^{p^i}] = p^i = [K : M]$ なので $M = K^{p^i}$ です。

(3) $M_r = L(K^{p^r})$（$L$ と $K^{p^r}$ で生成される体）とおくと、$K = M_0 \supseteq M_1 \supseteq \cdots \supseteq L$ は有限次拡大 $K/L$ の中間体の減少列なので、ある $r$ で $M_r = M_{r+1}$ です。$L(M_r^p) = L(L^p \cdot K^{p^{r+1}}) = M_{r+1} = M_r$ なので、定理 7.1［Kähler 微分と滑らかさの入口］ の (2) により $M_r/L$ は分離拡大です。$K^{p^r} \subseteq M_r \subseteq K$ なので (2) により $M_r = K^{p^i}$ です。

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補題 4.2（Frobenius 射で種数は変わらない）✓

$X$ を標数 $p > 0$ の曲線、$i \ge 0$ とし、$X_i$ を $K(X_i) = K(X)^{p^i}$ となる曲線、$F\colon X \to X_i$ を包含 $K(X)^{p^i} \subseteq K(X)$ に対応する射とする（定理 4.2［曲線と Riemann–Roch の定理］）。$F$ は次数 $p^i$ の純非分離な射で、$g_{X_i} = g_X$ である。

証明（補題 4.2）

次数は 補題 4.1 の (1) で、純非分離性は定義から分かります。$\sigma\colon k \to k$、$c \mapsto c^{p^i}$ は体の自己同型です。スキーム $X$ に、構造射 $X \to \operatorname{Spec} k$ と $\operatorname{Spec}(\sigma^{-1})$ の合成を新しい構造射として与えたものを $X'$ とします。$X'$ は $X$ の $\operatorname{Spec}\sigma$ による底変換と同型で、スキームとしては $X$ そのものなので、整・$1$ 次元・局所環が正則という性質はそのままです。$X$ の閉はめ込み $X \to \mathbb{P}^N_k$ の底変換は閉はめ込み $X' \to \mathbb{P}^N_k$ です（命題 6.1［スキームの性質と射］）。よって $X'$ は曲線です。$X'$ の関数体は、体 $K(X)$ に $c * a = \sigma^{-1}(c)a$ というスカラー倍を入れたもので、$a \mapsto a^{p^i}$ は $(c * a)^{p^i} = c\,a^{p^i}$ を満たすので $k$ 上の同型 $K(X') \to K(X)^{p^i}$ です。よって $X' \cong X_i$ です。$H^1(X', \mathcal{O}_{X'})$ は、アーベル群としては $H^1(X, \mathcal{O}_X)$ と同じで（層コホモロジーはアーベル群の層として計算できます。系 4.5［層コホモロジー］）、スカラー倍が $\sigma^{-1}$ でねじれているだけです。$\sigma$ は全単射なので、一方の構造での基底は他方の構造でも基底で、次元は等しくなります。

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例 4.3（Frobenius 射は至るところ分岐する）

$F\colon X \to X_1$ では、点 $P$ の像 $Q$ の局所環は $\mathcal{O}_P \cap K(X)^p = \mathcal{O}_P^p$ で、素元は $u^p$（$u$ は $P$ での素元）です。よってすべての点で $e_P = p$ です。$d(u^p) = 0$ なので $F^*\Omega_{X_1} \to \Omega_X$ は零写像で、命題 3.2 の完全列は成り立ちません。種数は等しいので、仮に公式を当てはめると $2g - 2 = p(2g - 2) + \deg R$ となり、$g \ge 2$ では $\deg R < 0$ が必要になってしまいます。分離性の仮定は外せません。

系 4.4（射があれば種数は下がらない）✓

$f\colon X \to Y$ を曲線の有限射とする（分離的でなくてよい）。このとき $g_X \ge g_Y$ である。

証明（系 4.4）

まず $f$ が分離的な場合。$\deg R \ge 0$ なので 定理 3.4 から $2g_X - 2 \ge n(2g_Y - 2)$ です。$g_Y = 0$ なら主張は自明で、$g_Y \ge 1$ なら $n(2g_Y - 2) \ge 2g_Y - 2$ なので $g_X \ge g_Y$ です。$p = 0$ なら有限次拡大はすべて分離的なので、これで終わりです。

$p > 0$ の一般の場合。補題 4.1 の (3) を $L = K(Y) \subseteq K = K(X)$ に使い、$K(Y) \subseteq K(X)^{p^i}$ かつ $K(X)^{p^i}/K(Y)$ が分離的となる $i$ を取ります。補題 4.2 の曲線 $X_i$ について、包含 $K(Y) \subseteq K(X_i)$ に対応する射 $X_i \to Y$ は分離的な有限射なので $g_{X_i} \ge g_Y$ で、$g_X = g_{X_i}$ です。

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系 4.5（Lüroth の定理）✓

$k \subsetneq L \subseteq k(t)$ を体とする。このとき、ある $u \in L$ について $L = k(u)$ で、$u$ は $k$ 上超越的である。

証明（系 4.5）

$u_0 \in L \setminus k$ を取り、$u_0 = a(t)/b(t)$（$a, b$ は互いに素な多項式）と書くと、$t$ は $k(u_0)$ 係数の $0$ でない多項式 $a(T) - u_0 b(T)$ の根です。よって $k(t)/k(u_0)$ は有限次拡大で、$u_0$ は $k$ 上超越的、$L/k(u_0)$ も有限次です。$L$ は $k$ 上有限生成で超越次数 $1$ なので、定理 4.2［曲線と Riemann–Roch の定理］ により $K(Y) \cong L$ となる曲線 $Y$ と、包含 $L \subseteq k(t)$ に対応する有限射 $\mathbb{P}^1 \to Y$ があります。系 4.4 により $g_Y \le 0$ なので、定理 7.2［曲線と Riemann–Roch の定理］ により $Y \cong \mathbb{P}^1$、$L \cong k(u)$ です。

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2 変数以上では事情が変わります。$k(t_1, t_2)$ の中間体は代数閉体上で標数 $0$ なら再び純超越的です（Castelnuovo）が、3 変数では反例があります。曲線の場合は、種数というただ 1 つの不変量が有理性を決めるので、上のように短く済みます。

5. 楕円曲線の群構造

定義 5.1（楕円曲線・$\operatorname{Pic}^0$）↗

種数 $1$ の曲線 $X$ と点 $P_0 \in X$ の組 $(X, P_0)$ を楕円曲線という。曲線 $X$ について、次数 $0$ の因子類のなす $\operatorname{Pic} X$ の部分群（$\deg\colon \operatorname{Pic} X \to \mathbb{Z}$ の核）を $\operatorname{Pic}^0 X$ と書く。

射が群演算になることを確かめるために、点の上での一致から射の一致を引き出す補題を用意します。

補題 5.2（被約スキームの射は閉点で決まる）✓

$T$ を代数閉体 $k$ 上有限型の被約スキーム、$Y$ を $k$ 上分離的な有限型スキームとする。

1. $T$ の閉部分スキーム $Z$ がすべての閉点を含むなら $Z = T$ である。
2. 射 $\psi\colon T \to Y$ と $Y$ の閉部分スキーム $Y'$ について、$T$ の閉点がすべて $Y'$ に写るなら、$\psi$ は $Y'$ を経由する。
3. 射 $\psi_1, \psi_2\colon T \to Y$ が $T$ のすべての閉点の上で一致するなら $\psi_1 = \psi_2$ である。

証明（補題 5.2）

(1) アフィン開集合 $\operatorname{Spec} A \subseteq T$ の上で $Z = \operatorname{Spec} A/I$ とします（定理 5.2［準連接層・連接層と直線束］）。仮定から $I$ は $A$ のすべての極大イデアルに含まれます。$A$ は有限生成 $k$ 代数なので、すべての極大イデアルの共通部分は冪零根基で（定理 5.4［Noether の正規化と Hilbert の零点定理］）、$A$ は被約なので $I = 0$ です。

(2) $\psi^{-1}(Y') = T \times_Y Y'$ は $T$ の閉部分スキームで、すべての閉点を含むので (1) により $T$ に等しく、$\psi$ は $Y'$ を経由します。

(3) $Y$ は分離的なので対角射 $Y \to Y \times_k Y$ は閉はめ込みで（命題 3.2［分離射・固有射と付値判定法］）、$(\psi_1, \psi_2)\colon T \to Y \times_k Y$ による引き戻し $Z$ は $T$ の閉部分スキームです。閉点 $x \in T$ の剰余体は $k$ で、$\psi_1(x) = \psi_2(x)$ なら $\psi_1 \circ x$ と $\psi_2 \circ x$ は同じ $k$ 値点（命題 7.2［アフィンスキームとスキーム］）なので、$x$ は $Z$ に入ります。(1) により $Z = T$ で、$(\psi_1, \psi_2)$ は対角を経由する、すなわち $\psi_1 = \psi_2$ です。

∎

補題 5.3（$|3P_0|$ による平面 3 次曲線への埋め込み）✓

$(X, P_0)$ を楕円曲線とする。

1. $l(nP_0) = n$（$n \ge 1$）で、$3P_0$ は非常に豊富である。$\varphi = \varphi_{|3P_0|}\colon X \to \mathbb{P}^2$ は閉はめ込みで、像は既約な 3 次斉次式 $F$ の零点 $V(F)$ である。以下 $X = V(F)$ とみなす。
2. $0$ でない 1 次式 $\ell$ に対し、$\ell$ の $X$ への制限は $\mathcal{O}_X(1) \cong \mathcal{O}_X(3P_0)$ の $0$ でない切断で、その零点の因子 $\operatorname{div}(\ell)$ は次数 $3$ の有効因子である。$\ell \mapsto \operatorname{div}(\ell)$ は、$\mathbb{P}^2$ の直線の全体から $|3P_0|$ への全単射である。直線 $V(\ell)$ を $(s : t) \mapsto sA + tB$ と媒介変数表示すると、点 $s_0A + t_0B \in X$ の $\operatorname{div}(\ell)$ での係数は、2 元 3 次式 $F(sA + tB)$ の根 $(s_0 : t_0)$ の重複度に等しい。
3. $3P_0 = \operatorname{div}(\ell_0)$ となる直線 $\ell_0$ がある。点 $P, Q, R \in X$ について、$P + Q + R \sim 3P_0$ であることと、ある直線 $\ell$ で $P + Q + R = \operatorname{div}(\ell)$ となることは同値である。

証明（補題 5.3）

(1) $g = 1$ なので $2g - 2 = 0$ で、系 6.6［曲線と Riemann–Roch の定理］ により $l(nP_0) = n$ です。$\deg 3P_0 = 3 = 2g + 1$ なので $3P_0$ は非常に豊富で、$\varphi$ は閉はめ込みです（定理 7.1［曲線と Riemann–Roch の定理］）。像は $\mathbb{P}^2$ の素因子で、ある $d \ge 1$ について直線の $d$ 倍と線形同値です（系 3.6［因子と直線束］）。よってイデアル層は $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-d)$ と同型で、包含 $\mathcal{O}(-d) \to \mathcal{O}$ は $d$ 次斉次式 $F$ の乗法です（定理 8.3［準連接層・連接層と直線束］）。したがって像は $V(F)$ で、整なので $F$ は既約です。次数 $d$ の平面曲線の算術種数は $(d-1)(d-2)/2$ で（系 7.8［Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー］）、これが $g = 1$ に等しいので $d = 3$ です。

(2) 1 次式 $\ell \ne 0$ が $X$ の上で消えるなら $\ell$ は $F$ で割り切れることになり、次数から不可能です。よって制限 $H^0(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}(1)) \to H^0(X, \mathcal{O}_X(1))$ は単射で、両辺は $3$ 次元なので同型です。$0$ でない切断の定数倍を除く類と $|3P_0|$ の対応（定理 4.4［因子と直線束］）から全単射を得ます。点 $P \in X \cap V(\ell)$ で、$P$ で消えない座標 $x_j$ を取ると、係数は

$$v_P(\ell/x_j) = \ell\big(\mathcal{O}_{X,P}/(\ell/x_j)\big) = \ell\big(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2,P}/(F/x_j^3,\ \ell/x_j)\big) = \ell\big(\mathcal{O}_{V(\ell),P}/(F/x_j^3)\big)$$

で、最後の量は直線 $V(\ell) \cong \mathbb{P}^1$ の上で $F$ の制限が $P$ でもつ零点の位数、すなわち根の重複度です。

(3) $3P_0 \in |3P_0|$ なので (2) により $\ell_0$ があります。同値は (2) の全単射の言い換えです。

∎

次の定理の (1) と (2) は短い議論です。長いのは (3) の証明で、「足し算が $X \times X$ から $X$ への射として座標で書ける」ことを示します。直線 $PQ$ の 3 つ目の交点は $P \ne Q$ のときだけ式で与えられるので、$P = Q$ の近くでは平行移動で点をずらした別の式を使い、2 つの式が一致することを見て貼り合わせます。

定理 5.4（楕円曲線の群構造）✓

$(X, P_0)$ を楕円曲線とする。

1. $P \mapsto \mathcal{O}_X(P - P_0)$ の類は、$X$ の点の集合から $\operatorname{Pic}^0 X$ への全単射である。これにより $X$ の点の集合は $P_0$ を単位元とするアーベル群になり、$P \oplus Q = S$ は $P + Q \sim S + P_0$ と同値である。
2. $P \oplus Q \oplus R = P_0$ であることは、補題 5.3 の埋め込みで $P + Q + R$ がある直線の切り口 $\operatorname{div}(\ell)$ であることと同値である。
3. 加法 $m\colon X \times X \to X$ と逆元 $\iota\colon X \to X$ は $k$ 上の射（の閉点への制限）である。とくに平行移動 $\tau_a(P) = P \oplus a$ は $X$ の自己同型である。

証明（定理 5.4）

(1) $D$ を次数 $0$ の因子とします。$\deg(D + P_0) = 1 > 2g - 2 = 0$ なので $l(D + P_0) = 1$ です（系 6.6［曲線と Riemann–Roch の定理］）。$|D + P_0|$ は $L(D + P_0) \setminus \{0\}$ の定数倍を除く類と対応するので、ちょうど 1 つの有効因子からなり、次数が $1$ なのでそれは 1 点 $P$ です。よって $D \sim P - P_0$ となる点 $P$ がただ一つあり、写像は全単射です。$\operatorname{Pic}^0 X$ の群構造を移すと、$P \oplus Q = S$ は $(P - P_0) + (Q - P_0) \sim S - P_0$ と同値です。

(2) $P \oplus Q \oplus R = P_0$ は $(P - P_0) + (Q - P_0) + (R - P_0) \sim 0$、すなわち $P + Q + R \sim 3P_0$ と同値で、補題 5.3 の (3) により主張を得ます。

(3) $X = V(F) \subseteq \mathbb{P}^2$ とみなし、$F_i = \partial F/\partial x_i$ とおきます。相異なる点 $P, Q \in X$ について、$F(P) = F(Q) = 0$ なので

$$F(sP + tQ) = st\,(A s + B t), \qquad A = \sum_i F_i(P)Q_i, \quad B = \sum_i F_i(Q)P_i$$

です（$s^2t$ の係数と $st^2$ の係数を Taylor 展開で読みます）。$A = B = 0$ なら $F$ は直線 $PQ$ の上で消え、$F$ がその 1 次式で割り切れることになって既約性に反するので、$(A, B) \ne (0, 0)$ です。3 つ目の根は $(s : t) = (B : -A)$ なので、補題 5.3 の (2) により直線 $PQ$ の切り口は $P + Q + c(P, Q)$、ただし

$$c(P, Q) = B(P, Q)\,P - A(P, Q)\,Q$$

です。右辺の 3 つの成分は $P$ の座標と $Q$ の座標のそれぞれについて $2$ 次の斉次多項式 $G_0, G_1, G_2$ です。$\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$ の、$G_0, G_1, G_2$ が同時には消えない開集合 $W_0$ の上で、$\{G_l \ne 0\}$ から $D_+(z_l)$ への射を $z_m/z_l \mapsto G_m/G_l$ で定めると、これらは貼り合わさって射 $W_0 \to \mathbb{P}^2$ になります。$P \ne Q$ なら $P$ と $Q$ はベクトルとして 1 次独立なので $c(P, Q) \ne 0$ で、$W = (X \times X) \setminus \Delta$（$\Delta$ は対角）は $W_0$ に入ります。$X \times X$ は被約で（補題 6.1［アフィン代数多様体と座標環］）、$W$ の閉点の像は $X$ に入るので、補題 5.2 の (2) により射 $c\colon W \to X$ が得られます。(2) により、$W$ の閉点の上で $P \oplus Q \oplus c(P, Q) = P_0$ です。

逆元。 $P \ne P_0$ について $\iota(P) = c(P, P_0)$ とおくと、$P \oplus P_0 \oplus \iota(P) = P_0$ なので $\iota(P)$ は $P$ の逆元です。$\iota\colon X \setminus \{P_0\} \to X$ は射で、非特異曲線から射影多様体への有理写像なので射 $\tilde\iota\colon X \to X$ に延びます（命題 10.1［次元・正規性・非特異性と微分の層］）。$\tilde\iota$ は定値でないので全射です（定理 3.1［曲線と Riemann–Roch の定理］）。逆元を取る写像は群の全単射で $P_0$ を固定するので $\tilde\iota(X \setminus \{P_0\}) = X \setminus \{P_0\}$ で、全射性から $\tilde\iota(P_0) = P_0$ です。よって $\tilde\iota$ は閉点の上で逆元の写像に一致します。

平行移動。 点 $a$ を固定します。$P \ne a$ について $\tilde\iota(c(P, a)) = P \oplus a$ なので、$\tau_a$ は $X \setminus \{a\}$ の上で射です。同じ延長定理で射 $\tilde\tau_a\colon X \to X$ に延び、$\tilde\tau_a$ は全射です。$\tau_a$ は群の全単射なので $\tilde\tau_a(X \setminus \{a\}) = X \setminus \{a \oplus a\}$ で、全射性から $\tilde\tau_a(a) = a \oplus a$ です。よって $\tau_a$ は射で、逆射 $\tau_{\iota(a)}$ をもつので自己同型です。

加法。 $W$ の上で $m = \tilde\iota \circ c$ は射です。$a \ne P_0$ を 1 つ固定し、$W_a = \{ (P, Q) : P \oplus a \ne Q \} = (\tau_a \times \mathrm{id})^{-1}(W)$ とおくと、$W_a$ は開集合で、$W_a$ の上で

$$m_a = \tau_{\iota(a)} \circ \tilde\iota \circ c \circ (\tau_a \times \mathrm{id})$$

は射です。群の等式 $(P \oplus a) \oplus Q \oplus \iota(a) = P \oplus Q$ から、$m_a$ は閉点の上で $m$ に一致します。$P = Q$ なら $P \oplus a \ne Q$ なので $W \cup W_a = X \times X$ です。$W \cap W_a$ の上で 2 つの射 $\tilde\iota \circ c$ と $m_a$ は閉点の上で一致するので、補題 5.2 の (3) により等しく、貼り合わせて射 $X \times X \to X$ を得ます。これは閉点の上で $m$ です。

∎

群構造の出どころは (1) の一行、「種数 $1$ では次数 $1$ の因子類が点とちょうど対応する」です。種数 $0$ ではすべての点が線形同値で $\operatorname{Pic}^0 = 0$、種数 $2$ 以上では $l(D + P_0)$ が $0$ になり得て点との対応が崩れます。

平面 3 次曲線の加法。直線 PQ の 3 つ目の交点が c(P, Q) で、それと P₀（無限遠の変曲点）を結ぶ縦の直線の 3 つ目の交点が P ⊕ Q

6. Weierstrass 形と $j$ 不変量

定理 6.1（Weierstrass 形）✓

$k$ の標数は $2$ でも $3$ でもないとし、$(X, P_0)$ を楕円曲線とする。

1. $x \in L(2P_0)$、$y \in L(3P_0)$ と $a, b \in k$ で、$y^2 = x^3 + ax + b$ を満たし、$(1 : x : y)$ が閉はめ込み $X \to \mathbb{P}^2$ を与えるものがある。像は $y^2z = x^3 + axz^2 + bz^3$ で、$P_0$ は $(0 : 1 : 0)$ に写る。
2. $x^3 + ax + b$ は重根をもたない。すなわち $4a^3 + 27b^2 \ne 0$ である。逆に $4a^3 + 27b^2 \ne 0$ を満たす任意の $a, b$ について、$y^2z = x^3 + axz^2 + bz^3$ は種数 $1$ の曲線である。
3. この埋め込みで、$P \oplus Q \oplus R = P_0$ は $P, Q, R$ が重複度を込めて同一直線上にあることと同値である。とくに $P = (x_0, y_0)$ の逆元は $(x_0, -y_0)$ である。

証明（定理 6.1）

(1) $l(nP_0) = n$（補題 5.3）なので、$x \in L(2P_0) \setminus k$ と $y \in L(3P_0) \setminus L(2P_0)$ が取れます。$l(P_0) = 1$ なので $v_{P_0}(x) = -2$、$v_{P_0}(y) = -3$ です。$7$ 個の元 $1, x, y, x^2, xy, x^3, y^2$ は $6$ 次元の $L(6P_0)$ に入るので、自明でない 1 次関係があります。$P_0$ での極の位数は順に $0, 2, 3, 4, 5, 6, 6$ で、位数が相異なる元は 1 次独立なので、関係式で $x^3$ と $y^2$ の係数はどちらも $0$ ではありません。関係式を $\alpha y^2 + \cdots = \beta x^3 + \cdots$ と書き、$\alpha^3\beta^2$ を掛けて $y$ を $\alpha^2\beta y$、$x$ を $\alpha\beta x$ に取り替えると、両方の係数が $1$ になり

$$y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6$$

です。標数が $2$ でないので $y$ を $y + (a_1x + a_3)/2$ に取り替えて左辺を $y^2$ にでき、標数が $3$ でないので $x$ を $x + a_2'/3$ に取り替えて $x^2$ の項を消せます。こうして $y^2 = x^3 + ax + b$ を得ます。取り替えの後も $1, x, y$ は $L(3P_0)$ の基底なので、$(1 : x : y)$ は $\varphi_{|3P_0|}$ で、補題 5.3 により閉はめ込み、像は既約 3 次式 $F$ の零点です。$G = y^2z - x^3 - axz^2 - bz^3$ は $X \setminus \{P_0\}$ の上で消えるので $X$ の上で消え、$F$ の倍元で、次数が等しいので定数倍です。切断として $1, x, y$ は $P_0$ でそれぞれ $3, 1, 0$ 位の零点をもつので、$P_0$ は $z = x = 0$ の点 $(0 : 1 : 0)$ に写ります。

(2) $f(x) = x^3 + ax + b$ とします。アフィン部分 $y^2 = f(x)$ の特異点は $2y = 0$、$f'(x) = 0$、$y^2 = f(x)$ の共通零点、すなわち $y = 0$ かつ $x$ が $f$ の重根である点です。無限遠点 $(0 : 1 : 0)$ は、$y = 1$ とした方程式 $z = x^3 + axz^2 + bz^3$ の $z$ についての偏導関数が $1$ なので非特異です。$X$ は非特異なので $f$ は重根をもちません。$f$ と $f' = 3x^2 + a$ が共通根 $r$ をもつ条件を求めます。$3r^2 = -a$ を $r^3 + ar + b = 0$ に入れると $2ar/3 = -b$ です。$a = 0$ なら $r = 0$、$b = 0$ で、$a \ne 0$ なら $r = -3b/(2a)$、$3r^2 = -a$ から $27b^2 = -4a^3$ です。逆に $4a^3 + 27b^2 = 0$ なら、$a = 0$ のとき $b = 0$ で $r = 0$ が、$a \ne 0$ のとき $r = -3b/(2a)$ が共通根です。よって重根をもつことは $4a^3 + 27b^2 = 0$ と同値です。

逆に $4a^3 + 27b^2 \ne 0$ とします。$y^2 - f(x)$ は、$f$ が $k[x]$ の平方でない（次数が奇数）ので既約で、$G$ も既約です。上の計算から $V(G)$ は非特異なので、非特異な平面 3 次曲線で、種数は $(3-1)(3-2)/2 = 1$ です（系 7.8［Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー］）。

(3) 前半は 定理 5.4 の (2) です。$P = (x_0, y_0)$ を通る縦の直線 $x = x_0 z$ は、曲線と $(x_0, \pm y_0)$ と $(0 : 1 : 0) = P_0$ で交わる（$y_0 = 0$ なら $P$ で重複度 $2$）ので、$P \oplus (x_0, -y_0) \oplus P_0 = P_0$ です。

∎

数論の章の定義（定義 2.1［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］）は、この定理の (1)(2) の結論を出発点にしたものです。弦と接線で定めた加法が結合法則を満たすことは、座標で直接確かめると長い計算になりますが、ここでは $\operatorname{Pic}^0 X$ という群から移した演算なので自動的に成り立ちます。

定理 6.2（$j$ 不変量による分類）✓

$k$ の標数は $2$ でも $3$ でもないとする。$4a^3 + 27b^2 \ne 0$ を満たす $(a, b)$ に対し、曲線 $E_{a,b}\colon y^2 = x^3 + ax + b$ と

$$j(a, b) = 1728 \cdot \frac{4a^3}{4a^3 + 27b^2}$$

を考える。

1. $E_{a,b}$ と $E_{a',b'}$ が曲線として同型であることは、ある $u \in k^{\times}$ で $a' = u^4a$、$b' = u^6b$ となることと同値で、さらに $j(a, b) = j(a', b')$ と同値である。したがって種数 $1$ の曲線 $X$ に対し、$j(X)$ が点 $P_0$ と Weierstrass 形の取り方によらずに定まる。
2. 任意の $j_0 \in k$ に対し、$j(X) = j_0$ となる種数 $1$ の曲線がある。

証明（定理 6.2）

(1) $\psi\colon E_{a,b} \to E_{a',b'}$ を同型とします。無限遠点を $P_0$, $P_0'$ とし、平行移動（定理 5.4 の (3)）を合成して $\psi(P_0) = P_0'$ としてよいです。$E_{a',b'}$ の座標関数 $x', y'$ について、$\psi^{\#}x' \in L(2P_0)$、$\psi^{\#}y' \in L(3P_0)$ で極の位数はちょうど $2$ と $3$ なので

$$\psi^{\#}x' = \alpha x + \beta, \qquad \psi^{\#}y' = \gamma y + \delta x + \varepsilon \qquad (\alpha, \gamma \ne 0)$$

と書けます。$y'^2 = x'^3 + a'x' + b'$ に代入すると $1, x, y, x^2, xy, x^3, y^2$ の 1 次関係が得られます。$1, x, y, x^2, xy, x^3$ は 1 次独立（極の位数が相異なる）なので、$7$ 個の元の 1 次関係の空間は $1$ 次元で、得られた関係は $y^2 - x^3 - ax - b = 0$ の定数倍です。$xy$ の係数 $2\gamma\delta = 0$ から $\delta = 0$、$y$ の係数 $2\gamma\varepsilon = 0$ から $\varepsilon = 0$、$x^2$ の係数 $3\alpha^2\beta = 0$ から $\beta = 0$ です。残りは $\gamma^2y^2 = \alpha^3x^3 + a'\alpha x + b'$ で、$\gamma^2 = \alpha^3$、$a'\alpha = \gamma^2 a$、$b' = \gamma^2 b$ です。$u = \gamma/\alpha$ とおくと $u^2 = \alpha$、$u^3 = \gamma$ で、$a' = u^4a$、$b' = u^6b$ です。

$a' = u^4a$、$b' = u^6b$ なら $4a'^3 + 27b'^2 = u^{12}(4a^3 + 27b^2)$ なので $j(a', b') = j(a, b)$ です。

$j(a, b) = j(a', b')$ とします。$j = 0$ は $a = 0$ と同値、$j = 1728$ は $b = 0$ と同値です。$a = a' = 0$ なら $b, b' \ne 0$ で、$u^6 = b'/b$ となる $u$ を取ります。$b = b' = 0$ なら $u^4 = a'/a$ となる $u$ を取ります。それ以外では $a, a', b, b'$ はすべて $0$ でなく、$j$ が等しいことから $a^3/b^2 = a'^3/b'^2$ です。$u^4 = a'/a$ となる $u$ を取ると $u^{12} = (b'/b)^2$、$u^6 = \pm b'/b$ で、負号のときは $u$ を $\sqrt{-1}\,u$ に取り替えると（$u^4$ は変わらず $u^6$ の符号が変わるので）$u^6 = b'/b$ にできます。どの場合も $a' = u^4a$、$b' = u^6b$ で、$\mathbb{P}^2$ の線形変換 $(x : y : z) \mapsto (u^2x : u^3y : z)$ は $E_{a,b}$ を $E_{a',b'}$ に写す同型です（$(u^3y)^2 = u^6(x^3 + ax + b) = (u^2x)^3 + a'(u^2x) + b'$）。

種数 $1$ の曲線 $X$ は、点 $P_0$ を選ぶと 定理 6.1 によりある $E_{a,b}$ と同型で、今示したことから $j(a, b)$ は選び方によりません。

(2) $j_0 = 0$ なら $y^2 = x^3 + 1$、$j_0 = 1728$ なら $y^2 = x^3 + x$ を取ります（判別式の条件 $27 \ne 0$、$4 \ne 0$ は標数の仮定から成り立ちます）。それ以外では $c = 27j_0/(4(1728 - j_0))$、$a = b = c$ とします。$c \ne 0$、$4c + 27 = 27 \cdot 1728/(1728 - j_0) \ne 0$ なので $4a^3 + 27b^2 = c^2(4c + 27) \ne 0$ で、$j(c, c) = 1728 \cdot 4c/(4c + 27) = j_0$ です。

∎

例 6.3（$j = 1728$ と $j = 0$ の曲線の自己同型）

証明から、$P_0$ を固定する $E_{a,b}$ の自己同型は $u^4a = a$、$u^6b = b$ を満たす $u$ に対応する $(x, y) \mapsto (u^2x, u^3y)$ です。$ab \ne 0$ なら $u = \pm 1$ で、自己同型は恒等写像と逆元 $(x, y) \mapsto (x, -y)$ だけです。$y^2 = x^3 - x$（$j = 1728$）では $u^4 = 1$ の $4$ 個で、$u = \sqrt{-1}$ は $(x, y) \mapsto (-x, \sqrt{-1}^{\,3}y)$ という位数 $4$ の自己同型です。$y^2 = x^3 + 1$（$j = 0$）では $u^6 = 1$ の $6$ 個で、$1$ の原始 $3$ 乗根 $\zeta$ による $(x, y) \mapsto (\zeta x, y)$ が位数 $3$ の自己同型です。複素数体では、それぞれ正方格子 $\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$ と正三角格子 $\mathbb{Z}[\zeta]$ による複素トーラスに対応します。

7. 標準写像・超楕円曲線・Clifford の定理

定義 7.1（超楕円曲線・標準写像）↗

種数 $g \ge 2$ の曲線 $X$ が超楕円であるとは、次数 $2$ の有限射 $X \to \mathbb{P}^1$ が存在することをいう。次数 $2$ で $l(F) = 2$ を満たす因子 $F$ を $g^1_2$ という。$|K|$ が基点をもたないとき、$\varphi_{|K|}\colon X \to \mathbb{P}^{g-1}$ を標準写像という。

補題 7.2（種数 1 以上の曲線の低次の因子）✓

$X$ を種数 $g \ge 1$ の曲線とする。

1. すべての点 $P$ について $l(P) = 1$ である。
2. $\deg D \ge 1$ なら $l(D) \le \deg D$ である。
3. $g \ge 2$ とする。$X$ が超楕円であることは $g^1_2$ が存在することと同値である。$F$ が有効な $g^1_2$ で $1, h$ が $L(F)$ の基底なら、$F$ は $h$ の極の因子 $(h)_\infty$ に等しく、$[K(X) : k(h)] = 2$ である。

証明（補題 7.2）

(1) $l(P) \ge 2$ なら、定数でない $h \in L(P)$ の極の因子は $P$ で、$\varphi_h\colon X \to \mathbb{P}^1$ は次数 $1$（命題 5.3［曲線と Riemann–Roch の定理］）、すなわち同型となり $g \ge 1$ に反します。

(2) $d = \deg D$ とします。$l(D) = 0$ なら示すことはありません。$l(D) > 0$ なら $D$ を線形同値な有効因子 $P_1 + \cdots + P_d$ に取り替えてよく、命題 6.1［曲線と Riemann–Roch の定理］ の (4) を $d - 1$ 回使って $l(D) \le l(P_1) + (d - 1) = d$ です。

(3) $f\colon X \to \mathbb{P}^1$ が次数 $2$ なら、$F = f^*(\infty)$ は次数 $2$ で、$L(F)$ は $1$ と $f^{\#}t$ を含むので $l(F) \ge 2$、(2) により $l(F) = 2$ です。逆に $F$ を $g^1_2$ とし、有効因子に取り替え、$L(F)$ の基底 $1, h$ を取ります。$\operatorname{div}(h) + F \ge 0$ なので $(h)_\infty \le F$ です。$(h)_\infty$ の次数は $\deg \varphi_h = [K(X) : k(h)]$ で、(1) の議論から $1$ ではないので $2$、したがって $(h)_\infty = F$ で、$\varphi_h$ は次数 $2$ です。

∎

定理 7.3（標準写像）✓

$X$ を種数 $g \ge 2$ の曲線とする。

1. $|K|$ は基点をもたない。
2. $K$ が非常に豊富である（標準写像が閉はめ込みである）ことは、$X$ が超楕円でないことと同値である。
3. $g = 2$ なら $X$ は超楕円で、$K$ は $g^1_2$ である。

証明（定理 7.3）

(1) 点 $P$ について Riemann–Roch（定理 6.4［曲線と Riemann–Roch の定理］）を $D = P$ に使うと $l(P) - l(K - P) = 2 - g$ で、補題 7.2 により $l(P) = 1$ なので $l(K - P) = g - 1 = l(K) - 1$ です。定理 7.1［曲線と Riemann–Roch の定理］ の (1) により基点はありません。

(2) 点 $P, Q$ について $D = P + Q$ に Riemann–Roch を使うと $l(K - P - Q) = l(P + Q) + g - 3$ です。定理 7.1［曲線と Riemann–Roch の定理］ の (2) により、$K$ が非常に豊富であることは、すべての $P, Q$ で $l(K - P - Q) = g - 2$、すなわち $l(P + Q) = 1$ であることと同値です。$l(P + Q) \le 2$（補題 7.2 の (2)）なので、これは有効な $g^1_2$ が無いことと同値です。$g^1_2$ は線形同値な有効因子に取り替えられるので、補題 7.2 の (3) により、超楕円でないことと同値です。

(3) $g = 2$ なら $\deg K = 2$、$l(K) = 2$ です（系 6.5［曲線と Riemann–Roch の定理］）。

∎

例 7.4（種数 3 と 4 の標準曲線）

種数 $3$ の超楕円でない曲線の標準写像は $\mathbb{P}^2$ への閉はめ込みで、像は非特異平面曲線です。種数の公式 $(d-1)(d-2)/2 = 3$ から次数は $4$ です。逆に非特異な平面 4 次曲線 $X$ では $\omega_X \cong \mathcal{O}_X(4 - 3) = \mathcal{O}_X(1)$（定理 9.1［次元・正規性・非特異性と微分の層］）なので、埋め込みそのものが標準写像で、$X$ は超楕円ではありません。

種数 $4$ の超楕円でない曲線の標準写像は $\mathbb{P}^3$ への埋め込みで、$\mathcal{O}_X(1) \cong \mathcal{O}_X(K)$ の次数は $6$ です。2 次式の空間は $10$ 次元で、制限写像の行き先 $L(2K)$ は $12 + 1 - 4 = 9$ 次元なので、$X$ を含む 2 次曲面 $Q$ が少なくとも 1 つあります。3 次式は $20$ 次元、$L(3K)$ は $18 + 1 - 4 = 15$ 次元なので、$X$ を含む 3 次式は $5$ 次元以上あり、$Q$ の方程式に 1 次式を掛けたもの（$4$ 次元）に入らない 3 次曲面 $S$ があります。$X$ は $Q \cap S$ に含まれ、次数の比較（$2 \cdot 3 = 6$）から一致します。

Clifford の定理の鍵は、次の 2 つの初等的な補題です。

補題 7.5（付値の値の個数は次元）✓

$X$ を曲線、$P$ を点、$V \subseteq K(X)$ を有限次元の $k$ 部分空間とする。このとき $\{ v_P(h) : 0 \ne h \in V \}$ はちょうど $\dim_k V$ 個の整数からなる。

証明（補題 7.5）

$V_n = \{ h \in V : h = 0 \text{ または } v_P(h) \ge n \}$ は部分空間の減少列です。$V$ の基底の付値の最小値以下の $n$ では $V_n = V$ です。有限次元空間の減少列は止まり、$\bigcap_n V_n = 0$ なので、十分大きい $n$ で $V_n = 0$ です。素元 $u$ を取ると、$h \mapsto (u^{-n}h \bmod \mathfrak{m}_P)$ は線形写像 $V_n \to k$ で核は $V_{n+1}$ なので、$\dim V_n/V_{n+1} \le 1$ です。$\dim V = \sum_n \dim V_n/V_{n+1}$ は $V_n \ne V_{n+1}$ となる $n$ の個数で、それはちょうど付値 $n$ の元が $V$ にあるような $n$ の個数です。

∎

補題 7.6（積の空間の次元）✓

曲線 $X$ の因子 $D, E$ が $l(D) \ge 1$、$l(E) \ge 1$ を満たすなら、$l(D) + l(E) \le l(D + E) + 1$ である。

証明（補題 7.6）

点 $P$ を 1 つ取り、$S_D = \{ v_P(h) : 0 \ne h \in L(D) \}$、$S_E$、$S_{D+E}$ を同様に定めます。$h \in L(D)$、$h' \in L(E)$ なら $hh' \in L(D + E)$ で $v_P(hh') = v_P(h) + v_P(h')$ なので、$S_{D+E}$ は和集合 $S_D + S_E$ を含みます。整数の有限集合 $S = \{ s_1 < \cdots < s_a \}$、$S' = \{ s_1' < \cdots < s_b' \}$ について、$s_1 + s_1' < s_2 + s_1' < \cdots < s_a + s_1' < s_a + s_2' < \cdots < s_a + s_b'$ は $S + S'$ の相異なる $a + b - 1$ 個の元です。補題 7.5 により $l(D + E) = |S_{D+E}| \ge |S_D| + |S_E| - 1 = l(D) + l(E) - 1$ です。

∎

定理の不等式は、上の補題から数行で出ます。等号の場合の証明が長いのは、等号を満たす因子 $D$ から、次数のより小さい別の等号の因子 $D'$ を作って帰納法を回すためです。$D'$ は $D$ と $|K - D|$ の因子の「共通部分」にあたるもので、そこから次数の小さい等号の例を取り出すことが狙いです。

定理 7.7（Clifford の定理）✓

$X$ を種数 $g$ の曲線、$D$ を有効な特殊因子（$l(K - D) > 0$）とする。このとき

$$l(D) - 1 \le \frac{\deg D}{2}$$

が成り立つ。等号が成り立つのは、$D = 0$、$D \sim K$、または $X$ が超楕円で $D$ が $g^1_2$ の倍数と線形同値である場合に限る。

証明（定理 7.7）

不等式。 $l(D) \ge 1$、$l(K - D) \ge 1$ なので、補題 7.6 により $l(D) + l(K - D) \le l(K) + 1 = g + 1$ です。Riemann–Roch の $l(D) - l(K - D) = \deg D + 1 - g$ を加えると $2l(D) \le \deg D + 2$ です。

等号の場合。 まず、等号 $2l(D) = \deg D + 2$ は $l(D) + l(K - D) = g + 1$ と同値で、線形同値類だけで決まる条件です。$D = 0$ と $D \sim K$ では等号が成り立ちます（$l(0) = 1$、$l(K) = g = (2g - 2)/2 + 1$）。$X$ が超楕円で $F$ が有効な $g^1_2$、$L(F)$ の基底を $1, h$ とすると、$1, h, \ldots, h^r$ は $L(rF)$ の 1 次独立な元なので $l(rF) \ge r + 1$ で、$rF$ が特殊なら不等式から等号です。

逆に、等号が成り立ち、$D \ne 0$ かつ $D \not\sim K$ とします。$\deg D$ は偶数で、$l(D) \ge 2$ です。$X$ が超楕円であることを $\deg D$ についての帰納法で示します。$\deg D = 2$ なら $l(D) = 2$ で、$D$ は $g^1_2$ です。なお $g \le 1$ は起こりません（$g = 0$ なら特殊因子は無く、$g = 1$ なら $\deg D \le \deg K = 0$）。$\deg D \ge 4$ とすると $l(D) \ge 3$ です。$|K - D|$ の有効因子 $E$ を取ります。$D \not\sim K$ なので $E \ne 0$ です。点 $P \in \operatorname{Supp} E$ と点 $Q \notin \operatorname{Supp} E$ を取ります。$l(D - P - Q) \ge l(D) - 2 \ge 1$ なので、$D$ を線形同値な有効因子に取り替えて $D \ge P + Q$ としてよいです。$D = \sum d_xx$、$E = \sum e_xx$ に対し $D' = \sum \min(d_x, e_x)x$ とおきます。$D'$ は $P$ を含み $Q$ を含まないので $0 < \deg D' < \deg D$ です。層の列

$$0 \to \mathcal{O}_X(D') \to \mathcal{O}_X(D) \oplus \mathcal{O}_X(E) \to \mathcal{O}_X(D + E - D') \to 0, \qquad h \mapsto (h, h),\quad (h, h') \mapsto h - h'$$

は完全です。実際、点 $x$ での茎は $u^{-\min}\mathcal{O}_x \to u^{-d_x}\mathcal{O}_x \oplus u^{-e_x}\mathcal{O}_x \to u^{-\max}\mathcal{O}_x$ で（$d_x + e_x - \min = \max$）、$u^{-d_x}\mathcal{O}_x \cap u^{-e_x}\mathcal{O}_x = u^{-\min}\mathcal{O}_x$、$u^{-d_x}\mathcal{O}_x + u^{-e_x}\mathcal{O}_x = u^{-\max}\mathcal{O}_x$ です。大域切断は左完全なので

$$l(D) + l(E) \le l(D') + l(D + E - D')$$

です。$D + E \sim K$ なので右辺は $l(D') + l(K - D')$ で、補題 7.6 により $g + 1$ 以下です。左辺は $l(D) + l(K - D) = g + 1$ です。よって $l(D') + l(K - D') = g + 1$ で、$D'$ は等号を満たす有効な特殊因子です。$0 < \deg D' < \deg D \le \deg K$ なので $D' \ne 0$、$D' \not\sim K$ で、帰納法の仮定から $X$ は超楕円です。

最後に、$X$ が超楕円で $D$ が等号を満たすとき $D \sim rF$（$r = l(D) - 1$、$\deg D = 2r$）を示します。$\deg D \le 2g - 2$ なので $r \le g - 1$ です。$D_1 = D + (g - 1 - r)F$ は次数 $2g - 2$ で、補題 7.6 と $l(mF) \ge m + 1$ から $l(D_1) \ge (r + 1) + (g - r) - 1 = g$ です。Riemann–Roch により $l(K - D_1) = l(D_1) - g + 1 \ge 1$ で、$\deg(K - D_1) = 0$ なので $D_1 \sim K$ です（命題 6.1［曲線と Riemann–Roch の定理］ の (3)）。同じ議論を $D = 0$、$r = 0$ に使うと $(g - 1)F \sim K$ です。よって $D \sim K - (g - 1 - r)F \sim rF$ です。

∎

仮定「特殊」を落とすと、$\deg D > 2g - 2$ では $l(D) - 1 = \deg D - g$ で、これは $\deg D/2$ より大きくなり得ます。Clifford の定理は、Riemann–Roch が $l(D)$ を決めてくれない範囲 $0 \le \deg D \le 2g - 2$ での上界です。

8. 自己同型群と Hurwitz の上界

この節では $k$ の標数は $0$ とし、$X$ を種数 $g \ge 2$ の曲線とします。$\operatorname{Aut} X$ は $X$ の $k$ 上の自己同型の群です。$\sigma \in \operatorname{Aut} X$ は関数体の自己同型 $\sigma^{\#}$ と、微分の引き戻しによる $H^0(X, \omega_X)$ の線形同型 $\sigma^*$ を引き起こし、$v_P(\sigma^{\#}h) = v_{\sigma P}(h)$、$v_P(\sigma^*\omega) = v_{\sigma P}(\omega)$ です（$v_P(\omega)$ は $\omega = h\,du$ と書いたときの $v_P(h)$）。

補題 8.1（$g^1_2$ の一意性）✓

$X$ を種数 $g \ge 2$ の超楕円曲線、$F$ を有効な $g^1_2$、$1, h$ を $L(F)$ の基底とする。

1. $K \sim (g - 1)F$ で、$L((g - 1)F)$ の基底は $1, h, \ldots, h^{g-1}$ である。
2. $k(h)$ は、$H^0(X, \omega_X)$ の $0$ でない 2 元の比の全体で生成される $K(X)$ の部分体に等しい。したがって $k(h)$ は $(F, h)$ の取り方によらず、$g^1_2$ は線形同値を除いて一意で、すべての $\sigma \in \operatorname{Aut} X$ について $\sigma^{\#}(k(h)) = k(h)$ である。

証明（補題 8.1）

(1) 定理 7.7 の証明の最後の段で $(g - 1)F \sim K$ を示しました。$h$ は $k$ 上超越的なので $1, h, \ldots, h^{g-1}$ は 1 次独立で、$l((g - 1)F) = l(K) = g$ なので基底です。

(2) 可逆層の $0$ でない 2 つの大域切断の比は $K(X)$ の元として定まり、同型 $\omega_X \cong \mathcal{O}_X((g - 1)F)$ で移しても変わりません。(1) により、比の全体は $h^i/h^j$ の 1 次結合の比で、$g \ge 2$ なので $h = h/1$ を含み、$k(h)$ を生成します。右辺の部分体は $X$ だけで決まるので、別の $(F', h')$ についても $k(h') = k(h)$ です。このとき $h' \in k(h)$ は $k(h)$ を生成するので、$\varphi_{h'} = \psi \circ \varphi_h$ となる $\mathbb{P}^1$ の自己同型 $\psi$ があり（定理 4.2［曲線と Riemann–Roch の定理］）、補題 7.2 の (3) により $F' = \varphi_{h'}^*(\infty) = \varphi_h^*(\psi^*\infty) \sim \varphi_h^*(\infty) = F$ です（$\mathbb{P}^1$ の 2 点は線形同値で、引き戻しは線形同値を保ちます）。$\sigma^*$ は $H^0(X, \omega_X)$ を自分自身に写し、$\sigma^{\#}(\omega/\omega') = \sigma^*\omega/\sigma^*\omega'$ なので、比で生成される体は $\sigma^{\#}$ で保たれます。

∎

この補題の目的は、自己同型で互いに入れ替わる特別な点の集まり（Weierstrass 点）が有限個であることを示し、その個数を種数で数えることです。証明の (1) では Wronski 行列式という微分の行列式で重みの総和を数え、(2) では「関数の極の位数としてあらわれない正整数（空隙）」の組合せを調べて、1 点の重みの上限を出します。

補題 8.2（Weierstrass 点の重み）✓

$X$ を標数 $0$ の代数閉体上の種数 $g \ge 2$ の曲線とする。点 $P$ に対し、$\{ v_P(\omega) : 0 \ne \omega \in H^0(X, \omega_X) \} = \{ a_1 < \cdots < a_g \}$ とし（補題 7.5 により $g$ 個）、$w(P) = \sum_{i=1}^{g}(a_i - (i - 1)) \ge 0$ を $P$ の重みという。$w(P) > 0$ である点を Weierstrass 点という。

1. $\sum_{P \in X} w(P) = (g - 1)g(g + 1)$ である。とくに Weierstrass 点は有限個で、少なくとも 1 つある。
2. $w(P) \le g(g - 1)/2$ で、等号は $l(2P) = 2$ のときに限る。
3. $\sigma \in \operatorname{Aut} X$ について $w(\sigma P) = w(P)$ である。

証明（補題 8.2）

(3) は $v_P(\sigma^*\omega) = v_{\sigma P}(\omega)$ と $\sigma^*$ が全単射であることから分かります。

(1) $H^0(X, \omega_X)$ の基底 $\omega_1, \ldots, \omega_g$ を固定します。$K(X)$ の元 $u$ で $du \ne 0$ のものについて、$\omega_i = f_i\,du$ と書き、$\partial = d/du$（補題 2.1）による Wronski 行列式

$$W_u = \det\big( \partial^{j} f_i \big)_{1 \le i \le g,\ 0 \le j \le g-1} \in K(X)$$

を考えます。

$v_P(W_u) = w(P)$（$u$ が $P$ での素元のとき）。 基底を取り替えると $W_u$ は $0$ でない定数倍になるだけなので、$v_P(f_i) = a_i$ としてよいです。$f_i = c_iu^{a_i}\varepsilon_i$（$c_i \in k^{\times}$、$\varepsilon_i$ は $P$ での値が $1$ の単元）と書きます。$a \ge 0$ と単元 $\varepsilon$ について、$a^{\underline{j}} = a(a-1)\cdots(a-j+1)$ として

$$\partial^j(u^a\varepsilon) = u^{a-j}\big( a^{\underline{j}}\,\varepsilon + u\,r_j \big), \qquad r_j \in \mathcal{O}_P$$

が $j$ についての帰納法で分かります（$\partial$ を施すと $u^{a-j-1}\big( (a - j)a^{\underline{j}}\varepsilon + u((a - j + 1)r_j + a^{\underline{j}}\partial\varepsilon + u\,\partial r_j) \big)$ で、$\partial$ は $\mathcal{O}_P$ を保ちます）。行列の第 $i$ 行から $u^{a_i}$、第 $j$ 列から $u^{-j}$ をくくり出すと

$$W_u = u^{\sum_i a_i - g(g-1)/2}\,\det\big( c_i\,a_i^{\underline{j}}\,\varepsilon_i + u\,r_{ij} \big)$$

で、右の行列式の $P$ での値は $\prod_i c_i \cdot \det(a_i^{\underline{j}}) = \prod_i c_i \prod_{i < i'}(a_{i'} - a_i)$ です（$a^{\underline{j}}$ は $a$ の最高次係数 $1$ の $j$ 次多項式なので、列の基本変形で Vandermonde 行列式になります）。標数 $0$ なのでこれは $0$ でなく、$v_P(W_u) = \sum_i a_i - g(g-1)/2 = w(P)$ です。とくに $W_u \ne 0$ です。

変数の取り替え。 別の $u'$（$du' \ne 0$）について $\lambda = du/du'$ とおくと、$\omega_i = (\lambda f_i)\,du'$、$\partial' = d/du' = \lambda\partial$ です。$\partial'^j = \lambda^j\partial^j + (\partial^{j'},\ j' < j \text{ の } K(X) \text{ 係数の 1 次結合})$ で、$\partial^j(\lambda f) = \lambda\,\partial^jf + (\partial^{j'}f,\ j' < j \text{ の 1 次結合})$ なので、列の基本変形で $W_{u'} = \lambda^{g}\cdot\lambda^{0 + 1 + \cdots + (g-1)}W_u = \lambda^{N}W_u$、$N = g(g+1)/2$ です。したがって $W_u\,(du)^{\otimes N}$ は $u$ によらない $\omega_X^{\otimes N}$ の $0$ でない有理切断です。点 $P$ では、素元 $u$ について $(du)^{\otimes N}$ が $\omega_X^{\otimes N}$ の茎の基底なので、この切断の $P$ での位数は $v_P(W_u) = w(P) \ge 0$ です。よってこれは大域切断で、零点の因子は $\sum_P w(P)P$ です。$\omega_X^{\otimes N} \cong \mathcal{O}_X(NK)$ の切断の零点の因子は $NK$ と線形同値なので、次数は $N(2g - 2) = (g - 1)g(g + 1)$ です。

(2) $n \ge 1$ が $P$ での空隙である（$l(nP) = l((n - 1)P)$）ことと、$n - 1 \in \{a_1, \ldots, a_g\}$ は同値です。実際、Riemann–Roch を $nP$ と $(n - 1)P$ に使って引くと

$$\big( l(nP) - l((n-1)P) \big) + \big( l(K - (n-1)P) - l(K - nP) \big) = 1$$

で、$L(K - mP)$ は $P$ で $m$ 位以上の零点をもつ $H^0(X, \omega_X)$ の元の空間と同型なので、第 2 項が $1$ であることは位数ちょうど $n - 1$ の $\omega$ があることと同値です。よって空隙は $\gamma_i = a_i + 1$ の $g$ 個で、$w(P) = \sum_i(\gamma_i - i)$ です。$\deg nP > 2g - 2$ なら $l(nP) = n + 1 - g$ なので空隙は $2g - 1$ 以下です。空隙でない正の整数（非空隙）を小さい順に $\alpha_1 < \alpha_2 < \cdots$ とすると、$1, \ldots, 2g$ の中の非空隙は $g$ 個で $\alpha_g = 2g$ です。$P$ だけに極をもつ関数の積を考えると、非空隙の和は非空隙です。

$1 \le j \le g - 1$ について $\alpha_j + \alpha_{g-j} \ge 2g$ を示します。そうでないとすると、$\alpha_1 + \alpha_{g-j} < \cdots < \alpha_j + \alpha_{g-j}$ は $\alpha_{g-j}$ より大きく $\alpha_g$ より小さい $j$ 個の非空隙ですが、そのような非空隙は $\alpha_{g-j+1}, \ldots, \alpha_{g-1}$ の $j - 1$ 個しかなく矛盾です。$j$ について和を取ると $\sum_{j=1}^{g-1}\alpha_j \ge g(g - 1)$ で、空隙の和は $\sum_{n=1}^{2g-1}n - \sum_{j=1}^{g-1}\alpha_j \le g(2g - 1) - g(g - 1) = g^2$、したがって $w(P) \le g^2 - g(g + 1)/2 = g(g - 1)/2$ です。等号が成り立つなら、すべての $j$ で $\alpha_j + \alpha_{g-j} = 2g = \alpha_g$ で、$\alpha_i + \alpha_{g-j}$（$i < j$）は $\alpha_{g-j}$ と $\alpha_g$ の間の $j - 1$ 個の非空隙なので $\alpha_i + \alpha_{g-j} = \alpha_{g-j+i}$ です。$i = 1$ として $\alpha_{m+1} = \alpha_m + \alpha_1$（$1 \le m \le g - 1$）、よって $\alpha_g = g\alpha_1 = 2g$、$\alpha_1 = 2$ で、$l(2P) = 2$ です。逆に $l(2P) = 2$ なら偶数はすべて非空隙で、空隙は $1, 3, \ldots, 2g - 1$、$w(P) = \sum_i (i - 1) = g(g - 1)/2$ です。

∎

補題 8.3（自己同型の固定点の個数）✓

$X$ を種数 $g$ の曲線とする。$\sigma \in \operatorname{Aut} X$ が恒等写像でないなら、$\sigma$ の固定点は $2g + 2$ 個以下である。

証明（補題 8.3）

補題 5.2 の (3) により、$\sigma P \ne P$ となる点 $P$ があります。$l((g + 1)P) \ge (g + 1) + 1 - g = 2$（Riemann–Roch）なので、$P$ だけに極をもち極の位数 $r$ が $1 \le r \le g + 1$ である $h$ があります。$\sigma^{\#}h$ は $\sigma^{-1}P \ne P$ だけに $r$ 位の極をもつので、$h - \sigma^{\#}h$ は $P$ で $r$ 位の極をもち $0$ ではなく、極の因子の次数は $2r \le 2g + 2$ です。零点の個数は極の因子の次数以下です（命題 5.3［曲線と Riemann–Roch の定理］ の (2)）。$\sigma$ の固定点 $Q$ は $P$ とも $\sigma^{-1}P$ とも異なり、$(h - \sigma^{\#}h)(Q) = h(Q) - h(\sigma Q) = 0$ なので零点です。

∎

補題 8.4（自己同型群の有限性）✓

標数 $0$ の代数閉体上の種数 $g \ge 2$ の曲線 $X$ について、$\operatorname{Aut} X$ は有限群である。

証明（補題 8.4）

Weierstrass 点の集合 $\mathcal{W}$ は空でない有限集合で、$\operatorname{Aut} X$ はこれを置換します（補題 8.2）。準同型 $\operatorname{Aut} X \to \mathfrak{S}(\mathcal{W})$ の核 $H$ が有限であることを示せば十分です。

$X$ が超楕円でない場合。 すべての点で $l(2P) = 1$（補題 7.2）なので、補題 8.2 の (2) により $w(P) \le g(g - 1)/2 - 1$ です。種数 $2$ の曲線は超楕円（定理 7.3 の (3)）なので $g \ge 3$ で、右辺は正です。(1) から

$$|\mathcal{W}| \ge \frac{(g - 1)g(g + 1)}{g(g - 1)/2 - 1} > \frac{(g - 1)g(g + 1)}{g(g - 1)/2} = 2g + 2$$

です。$H$ の元は $2g + 2$ 個より多い点を固定するので、補題 8.3 により恒等写像で、$H$ は自明です。

$X$ が超楕円の場合。 $F$ を有効な $g^1_2$、$1, h$ を $L(F)$ の基底、$\varphi = \varphi_h\colon X \to \mathbb{P}^1$（次数 $2$）とします。標数 $0$ なので分岐は従順で、定理 3.4 から分岐点は $2g - 2 + 4 = 2g + 2$ 個（各 $e_P = 2$）です。分岐点 $P$ では $2P = \varphi^*(\varphi(P)) \sim F$ なので $l(2P) = 2$ で、$P$ は Weierstrass 点です。$\sigma \in H$ とします。補題 8.1 により $\sigma^{\#}$ は $k(h)$ を保つので、$\mathbb{P}^1$ の自己同型 $\bar\sigma$ で $\varphi \circ \sigma = \bar\sigma \circ \varphi$ となるものがあります。$\bar\sigma$ は分岐点の像である $2g + 2 \ge 6$ 個の相異なる点を固定します。$\mathbb{P}^1$ の自己同型は $2$ 次の可逆行列で与えられ（系 5.2［因子と直線束］）、$3$ 点を固定する行列はどの 2 つも 1 次独立な $3$ つの固有ベクトルをもつのでスカラー行列です。よって $\bar\sigma$ は恒等写像で、$\sigma^{\#}$ は $k(h)$ の上で恒等的です。$[K(X) : k(h)] = 2$ なので、そのような $K(X)$ の自己同型は $2$ 個以下（生成元 $y$ の行き先は $y$ の最小多項式の根）で、$|H| \le 2$ です。

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補題 8.5（有限群による商）✓

$X$ を曲線、$G$ を $\operatorname{Aut} X$ の位数 $n$ の有限部分群、$Y$ を $K(Y) = K(X)^G$（$G$ の固定体）となる曲線、$f\colon X \to Y$ を対応する射とする。このとき $\deg f = n$ で、$G$ は $f$ の各ファイバーに推移的に作用し、$e_P$ は固定部分群 $G_P$ の位数に等しい。

証明（補題 8.5）

$\sigma \mapsto (\sigma^{\#})^{-1}$ により $G$ は $K(X)$ の自己同型の位数 $n$ の群とみなせ（$\sigma^{\#}$ が恒等なら $\sigma$ は恒等です）、Artin の定理（補題 7.7［ガロア理論への招待］）により $[K(X) : K(X)^G] = n$ です。$K(X)^G$ は $k$ 上有限生成で超越次数 $1$ なので $Y$ と $f$ が定まります。$\sigma \in G$ について $f \circ \sigma$ と $f$ は同じ関数体の埋め込みを与えるので $f \circ \sigma = f$ で、$G$ はファイバーを保ちます。

推移性を示します。$f(P') = f(P)$ で $P'$ が軌道 $GP$ に入らないとします。軌道 $GP$ と $GP'$ の外に点 $P''$ を取ります。$m$ が大きいとき、$L(mP'' - P')$ の中で、各 $\sigma \in G$ についての $L(mP'' - P' - \sigma P)$ は余次元 $1$ の部分空間です（系 6.6［曲線と Riemann–Roch の定理］）。$k$ は無限体なので、有限個の真の部分空間の和集合は全体にならず、$P'$ で消え、どの $\sigma P$ でも消えず、$P''$ 以外に極をもたない $h$ があります。ノルム $N = \prod_{\sigma \in G}\sigma^{\#}h$ は $G$ で不変なので $K(Y)$ の元です。$\sigma^{\#}h$ の極は $\sigma^{-1}P''$ だけなので、$N$ は $P$ と $P'$ で正則で、$N(P') = 0$、$N(P) = \prod_\sigma h(\sigma P) \ne 0$ です。一方 $N \in \mathcal{O}_{Y,f(P)}$ の $f(P) = f(P')$ での値は $N(P)$ とも $N(P')$ とも等しく、矛盾です。

$\tau \in G$ は $P$ の局所環を $\tau^{-1}P$ の局所環に写し $K(Y)$ を固定するので、同じファイバーの点の分岐指数は等しくなります。ファイバーの点の個数は $n/|G_P|$ で、$\sum e = n$（命題 5.3［曲線と Riemann–Roch の定理］）から $e_P = |G_P|$ です。

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系 8.6（Hurwitz の上界）✓

標数 $0$ の代数閉体上の種数 $g \ge 2$ の曲線 $X$ について、$|\operatorname{Aut} X| \le 84(g - 1)$ である。

証明（系 8.6）

補題 8.4 により $G = \operatorname{Aut} X$ は有限です。$n = |G|$ とし、補題 8.5 の $f\colon X \to Y$ を取ります。分岐は従順なので、定理 3.4 により $2g - 2 = n(2g_Y - 2) + \sum_P(e_P - 1)$ です。分岐点の像を $Q_1, \ldots, Q_s$、その上の点の分岐指数を $e_i \ge 2$ とすると、$Q_i$ の上には $n/e_i$ 個の点があるので

$$\frac{2g - 2}{n} = 2g_Y - 2 + \sum_{i=1}^{s}\Big( 1 - \frac{1}{e_i} \Big) =: T$$

です。$T > 0$ で、各項 $1 - 1/e_i$ は $1/2$ 以上 $1$ 未満です。$T \ge 1/42$ を場合に分けて示します。

• $g_Y \ge 2$ なら $T \ge 2$。$g_Y = 1$ なら $T > 0$ から $s \ge 1$ で $T \ge 1/2$。
• $g_Y = 0$、$s \ge 5$ なら $T \ge -2 + 5/2 = 1/2$。
• $g_Y = 0$、$s = 4$ なら $T = 2 - \sum 1/e_i > 0$ から $e_i$ がすべて $2$ ではなく、$T \ge 2 - 3/2 - 1/3 = 1/6$。
• $g_Y = 0$、$s = 3$、$e_1 \le e_2 \le e_3$ なら $T = 1 - 1/e_1 - 1/e_2 - 1/e_3$。$e_1 \ge 4$ なら $T \ge 1/4$。$e_1 = 3$ なら、$e_2 = 3$ のとき $T > 0$ から $e_3 \ge 4$ で $T \ge 1/12$、$e_2 \ge 4$ のとき $T \ge 1/6$。$e_1 = 2$ なら、$e_2 \ge 5$ のとき $T \ge 1/10$、$e_2 = 4$ のとき $e_3 \ge 5$ で $T \ge 1/20$、$e_2 = 3$ のとき $e_3 \ge 7$ で $T \ge 1/42$（$e_2 = 2$ は $T < 0$）。
• $g_Y = 0$、$s \le 2$ なら $T < 0$ で起こらない。

よって $n = (2g - 2)/T \le 84(g - 1)$ です。

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例 8.7（Klein の 4 次曲線）

$\mathbb{P}^2$ の曲線 $x^3y + y^3z + z^3x = 0$ は標数 $0$ で非特異な 4 次曲線で、種数は $3$ です。上界は $84 \cdot 2 = 168$ で、この曲線の自己同型群は位数 $168$ の単純群 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$ であることが知られています（Klein, 1879）。位数 $7$ の元 $(x : y : z) \mapsto (\zeta x : \zeta^4 y : \zeta^2 z)$（$\zeta^7 = 1$）と位数 $3$ の座標の巡回置換は、方程式から直接確かめられます。等号は、証明の最後の場合 $(e_1, e_2, e_3) = (2, 3, 7)$ に対応します。

9. 演習

演習 9.1易

標数が $2$ でないとき、種数 $g$ の曲線 $X$ から $\mathbb{P}^1$ への次数 $2$ の射の分岐点はちょうど $2g + 2$ 個であることを示せ。また $y^2 = f(x)$（$f$ は重根をもたない $2g + 2$ 次式）の分岐点を求めよ。

解答

次数 $2$ の拡大は標数が $2$ でなければ分離的で、$e_P \le 2$ なので分岐は従順です。定理 3.4 から $2g - 2 = 2 \cdot (-2) + \#\{\text{分岐点}\}$、分岐点は $2g + 2$ 個です。$y^2 = f(x)$ では、$f(a) \ne 0$ の $x = a$ の上に $y = \pm\sqrt{f(a)}$ の 2 点、無限遠の上にも 2 点あるので不分岐で、分岐点は $f$ の根 $a$ の上の点 $(a, 0)$ の $2g + 2$ 個です。

演習 9.2標準

標数が $2, 3$ でないとき、楕円曲線 $y^2 = x^3 + ax + b$（単位元は無限遠点 $P_0$）について、(a) $P \oplus P = P_0$ となる $P \ne P_0$ は $y = 0$ の 3 点で、$P_0$ と合わせて $(\mathbb{Z}/2)^2$ と同型な部分群をなすこと、(b) $P \oplus P \oplus P = P_0$ は $P$ での接線が曲線と $P$ で重複度 $3$ で交わる（$P$ が変曲点である）ことと同値であることを示せ。

解答

(a) 定理 6.1 の (3) により $(x_0, y_0)$ の逆元は $(x_0, -y_0)$ なので、$P = \iota(P)$ は $y_0 = 0$ と同値で、$x_0$ は $x^3 + ax + b$ の相異なる 3 根です。位数 $2$ 以下の元の全体は部分群で、位数 $4$、すべての元が位数 $2$ 以下なので $(\mathbb{Z}/2)^2$ です。3 点 $(r_i, 0)$ は直線 $y = 0$ の上にあるので和が $P_0$ であることも確かめられます。(b) 定理 5.4 の (2) により、$3P = P_0$ は $3P = \operatorname{div}(\ell)$ となる直線 $\ell$ があることと同値で、補題 5.3 の (2) により、これは $\ell$ が $P$ で重複度 $3$ で交わることです。重複度 $2$ 以上で交わる直線は接線だけなので、$\ell$ は接線です。

演習 9.3標準

$y^2 = x^3 + ax + b$ の上の点 $P = (x_1, y_1)$、$Q = (x_2, y_2)$（$x_1 \ne x_2$）について、$P \oplus Q = (x_3, y_3)$ は $\lambda = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$ として $x_3 = \lambda^2 - x_1 - x_2$、$y_3 = -y_1 - \lambda(x_3 - x_1)$ で与えられることを示せ。

解答

直線 $PQ$ は $y = \lambda(x - x_1) + y_1$ です。曲線の式に代入すると $x^3 - \lambda^2x^2 + \cdots = 0$ で、3 根の和は $\lambda^2$ です。2 根は $x_1, x_2$ なので、3 つ目の交点 $R = c(P, Q)$ の $x$ 座標は $x_3 = \lambda^2 - x_1 - x_2$、$y$ 座標は $\lambda(x_3 - x_1) + y_1$ です。$P \oplus Q \oplus R = P_0$ なので $P \oplus Q$ は $R$ の逆元で、$y$ 座標の符号を変えて $y_3 = -y_1 - \lambda(x_3 - x_1)$ です。

演習 9.4難

標数 $0$ の超楕円曲線 $X$（種数 $g \ge 2$）について、$\mathbb{P}^1$ への次数 $2$ の射 $\varphi$ に対し $\varphi \circ \iota = \varphi$ を満たす恒等でない自己同型 $\iota$ がただ一つあること、$\iota$ は $\varphi$ の取り方によらないこと、$\iota$ は $\operatorname{Aut} X$ のすべての元と可換であることを示せ。

解答

$K(X)/k(h)$ は $2$ 次拡大で、標数が $2$ でないので $K(X) = k(h)(y)$、$y^2 \in k(h)$ と書けます。$k(h)$ 上の自己同型は $y \mapsto \pm y$ の 2 つで、$y \mapsto -y$ に対応する $X$ の自己同型が $\iota$ です（定理 4.2［曲線と Riemann–Roch の定理］）。$\varphi \circ \iota = \varphi$ は $\iota^{\#}$ が $k(h)$ の上で恒等的であることと同値なので、一意です。補題 8.1 により部分体 $k(h)$ は $\varphi$ によらないので $\iota$ もよりません。$\sigma \in \operatorname{Aut} X$ について、$\sigma^{\#}$ は $k(h)$ を保つので、$\sigma\iota\sigma^{-1}$ に対応する体の自己同型は $k(h)$ の上で恒等的で、恒等でない位数 $2$ の元です。一意性から $\sigma\iota\sigma^{-1} = \iota$ です。

参考文献

• R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer, 1977 — 第 IV 章 §2（Hurwitz の定理）、§4（楕円曲線）、§5（標準埋め込みと Clifford の定理）。
• J. H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 106, Springer, 2009 — 第 II 章（代数曲線）、第 III 章（楕円曲線の幾何）。
• E. Arbarello, M. Cornalba, P. A. Griffiths, J. Harris, Geometry of Algebraic Curves, Volume I, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 267, Springer, 1985 — 第 I 章（Weierstrass 点、標準曲線）、第 III 章（Clifford の定理）。
• H. M. Farkas, I. Kra, Riemann Surfaces, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 71, Springer, 1992 — 第 III 章（Weierstrass 点）、第 V 章（自己同型群と Hurwitz の定理）。
• A. Hurwitz, “Über algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich”, Mathematische Annalen 41 (1893), 403–442.