数学 › 代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉） › Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み

$g^1_2$ の一意性

補題 8.1（「Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み」§8）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を種数 $g \ge 2$ の超楕円曲線、 $F$ を有効な $g^1_2$ 、 $1, h$ を $L(F)$ の基底とする。

$K \sim (g - 1)F$ で、 $L((g - 1)F)$ の基底は $1, h, \ldots, h^{g-1}$ である。
$k(h)$ は、 $H^0(X, \omega_X)$ の $0$ でない 2 元の比の全体で生成される $K(X)$ の部分体に等しい。したがって $k(h)$ は $(F, h)$ の取り方によらず、 $g^1_2$ は線形同値を除いて一意で、すべての $\sigma \in \operatorname{Aut} X$ について $\sigma^{\#}(k(h)) = k(h)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 478 件、定義なども含めて 544 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Clifford の定理✓定理 7.7・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
- 積の空間の次元✓補題 7.6・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
  - 付値の値の個数は次元✓補題 7.5・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
- $l(D)$ の基本性質✓命題 6.1・曲線と Riemann–Roch の定理
  - Serre の有限性定理と消滅定理✓定理 6.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
  - 引き戻しの次数✓命題 5.3・曲線と Riemann–Roch の定理この先をたどる →
  - 完備多様体の大域正則関数は定数✓定理 8.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
曲線と 1 変数関数体の圏同値✓定理 4.2・曲線と Riemann–Roch の定理
- 有理写像と関数体✓定理 8.2・スキームの性質と射
  - 整 ⇔ 被約かつ既約✓命題 2.2・スキームの性質と射この先をたどる →
  - Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 射の有限性はアフィン開被覆の取り方によらない✓命題 3.3・スキームの性質と射この先をたどる →
- 稠密な開集合で一致する射は等しい✓命題 8.2・分離射・固有射と付値判定法
  - 射の性質の保存✓命題 6.1・スキームの性質と射この先をたどる →
  - 対角射の底変換✓補題 6.1・分離射・固有射と付値判定法
  - はめ込みは単射的な射✓補題 2.4・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - 整 ⇔ 被約かつ既約✓命題 2.2・スキームの性質と射この先をたどる →
- 非特異曲線の局所環と有理写像の延長✓命題 10.1・次元・正規性・非特異性と微分の層
  - 多様体の次元✓定理 2.4・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →
  - DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 稠密な開集合で一致する射は等しい✓命題 8.2・分離射・固有射と付値判定法（上で展開済み）
  - 既約成分への分解✓命題 3.4・アフィン代数多様体と座標環この先をたどる →
  - 固有性の付値判定法✓定理 5.4・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - 対角射の底変換✓補題 6.1・分離射・固有射と付値判定法
  - はめ込みは単射的な射✓補題 2.4・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - 射とスキームの貼り合わせ✓定理 5.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
- 体上有限生成整域の正規化の有限性✓定理 6.7・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
  - Noether の正規化定理✓定理 3.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
  - 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大この先をたどる →
  - 代数性の推移と添加✓補題 2.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
  - 分離部分と純非分離部分への分解✓補題 6.5・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
  - 純非分離拡大での整閉包の有限性✓補題 6.6・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大（上で展開済み）
  - 分離拡大での整閉包の有限性✓命題 6.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
- 分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大
  - 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 整閉包と局所化の可換性✓命題 2.6・整拡大
  - 整性は剰余と局所化で保たれる✓命題 2.5・整拡大この先をたどる →
- 射とスキームの貼り合わせ✓定理 5.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
- Proj はスキーム✓定理 6.3・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
- 整 ⇔ 被約かつ既約✓命題 2.2・スキームの性質と射この先をたどる →
- 射影直線の上に有限な完備曲線は射影的✓補題 4.1・曲線と Riemann–Roch の定理この先をたどる →
- 曲線の射は有限✓定理 3.1・曲線と Riemann–Roch の定理この先をたどる →
- DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 非特異性と Ω の局所自由性✓定理 7.3・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →
- 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換この先をたどる →
種数 1 以上の曲線の低次の因子✓補題 7.2・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
- 引き戻しの次数✓命題 5.3・曲線と Riemann–Roch の定理この先をたどる →
- $l(D)$ の基本性質✓命題 6.1・曲線と Riemann–Roch の定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

自己同型群の有限性✓補題 8.4・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み

g21g^1_2g21​ の一意性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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$g^1_2$ の一意性

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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