数学 › 代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉） › 曲線と Riemann–Roch の定理

$l(D)$ の基本性質

命題 6.1（「曲線と Riemann–Roch の定理」§6）・ ✓公理まで証明済み

$D$ を曲線 $X$ の因子とする。

$l(D)$ は有限である。
$\deg D < 0$ なら $l(D) = 0$ である。
$\deg D = 0$ かつ $l(D) > 0$ なら $D \sim 0$ （ $D$ は主因子）で、 $l(D) = 1$ である。
点 $P$ について $l(D) - 1 \le l(D - P) \le l(D)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 374 件、定義なども含めて 424 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Serre の有限性定理と消滅定理✓定理 6.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
- アフィン射ではコホモロジーが順像で計算できる✓系 8.4・層コホモロジー
  - 射の有限性はアフィン開被覆の取り方によらない✓命題 3.3・スキームの性質と射この先をたどる →
  - アフィンスキーム上の準連接層のコホモロジーは消える✓定理 7.4・層コホモロジーこの先をたどる →
  - アフィン開集合は開基をなす✓命題 4.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 高次順像の記述✓命題 8.2・層コホモロジーこの先をたどる →
  - 脆弱層は Γ 非輪状✓定理 4.4・層コホモロジーこの先をたどる →
  - 開集合への制限と閉集合からの順像✓補題 4.6・層コホモロジーこの先をたどる →
- 閉はめ込みと可逆層のねじり✓補題 6.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
  - 射影公式✓補題 6.4・準連接層・連接層と直線束
  - 閉部分スキームと準連接イデアル層✓定理 5.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- アフィン開集合の個数による消滅✓系 4.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
  - Čech コホモロジーと層コホモロジーの比較（Leray）✓定理 4.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
- Serre の定理：十分ねじれば大域切断で生成される✓定理 9.5・準連接層・連接層と直線束
  - 準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 可逆層の切断を掛けて延長する✓補題 9.1・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 閉部分スキームと準連接イデアル層✓定理 5.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 引き戻しと順像✓命題 6.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 射影公式✓補題 6.4・準連接層・連接層と直線束
  - 閉埋め込みに沿った順像✓補題 5.1・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - Picard 群✓命題 7.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 準連接層・連接層の核・余核・拡大✓命題 4.6・準連接層・連接層と直線束
  - 準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 大域切断と順像は左完全✓命題 6.2・層この先をたどる →
  - アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 五項補題✓系 7.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 射影空間のコホモロジー✓定理 5.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
  - 射影空間は固有✓定理 7.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - Čech コホモロジーと層コホモロジーの比較（Leray）✓定理 4.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
  - アフィン開集合の個数による消滅✓系 4.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー（上で展開済み）
  - 係数系の Čech 複体✓補題 3.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
引き戻しの次数✓命題 5.3・曲線と Riemann–Roch の定理
- 曲線の射は有限✓定理 3.1・曲線と Riemann–Roch の定理この先をたどる →
- Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 分岐指数と剰余次数（一般の Dedekind 環）定義 8.1・離散付値環と Dedekind 環
- 一般の Dedekind 環での基本等式✓定理 8.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 引き戻しと有理関数・可逆層✓補題 5.2・曲線と Riemann–Roch の定理この先をたどる →
- Cartier 因子類群と Picard 群✓定理 4.4・因子と直線束この先をたどる →
完備多様体の大域正則関数は定数✓定理 8.3・分離射・固有射と付値判定法
- Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
- 射影空間は固有✓定理 7.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 射影空間の底変換✓補題 7.2・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 分離射・固有射の保存✓命題 6.2・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- Spec の位相の基本性質✓定理 4.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 5 件

種数 1 以上の曲線の低次の因子✓補題 7.2・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
Clifford の定理✓定理 7.7・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
次数が大きい因子✓系 6.6・曲線と Riemann–Roch の定理
基点をもたない条件・非常に豊富な条件✓定理 7.1・曲線と Riemann–Roch の定理
種数 0 の曲線✓定理 7.2・曲線と Riemann–Roch の定理

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