数学 › 代数幾何 I（多様体とスキーム） › 分離射・固有射と付値判定法
分離射・固有射の保存
スキームの射について次が成り立つ。
- はめ込み（とくに開はめ込み・閉はめ込み）は分離的である。閉はめ込みは固有である。
- 分離射（固有射）の合成は分離射（固有射）である。
- 分離射（固有射）の底変換は分離射（固有射）である。
- 、 が 上のスキームの間の分離的（固有）な 射ならば、積 も分離的（固有）である。
- 、 について、 が分離的なら は分離的である。 が固有で が分離的なら は固有である。
- アフィン射は分離的である。有限射は固有である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 119 件、定義なども含めて 149 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
射の性質の保存✓命題 6.1・スキームの性質と射
0 による延長と完全列✓命題 7.2・層
- 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層 この先をたどる →
- 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層 この先をたどる →
- 芽の族の層✓補題 4.2・層 この先をたどる →
- 随伴は入射対象・射影対象を保つ✓命題 4.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏 この先をたどる →
- 逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層 この先をたどる →
射の有限性はアフィン開被覆の取り方によらない✓命題 3.3・スキームの性質と射
- アフィン交流補題✓補題 4.2・アフィンスキームとスキーム この先をたどる →
- 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキーム この先をたどる →
- 大域切断の局所化とアフィン性の判定✓補題 3.2・スキームの性質と射 この先をたどる →
ファイバー積の存在✓定理 5.2・スキームの性質と射
- 加群のテンソル積定義 2.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 係数の拡大と制限定義 2.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキーム この先をたどる →
- 射とスキームの貼り合わせ✓定理 5.1・アフィンスキームとスキーム（上で展開済み）
アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 4.2・スキームの性質と射
- 剰余環と局所化のスペクトル✓命題 4.6・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- 0 による延長と完全列✓命題 7.2・層（上で展開済み）
- 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキーム この先をたどる →
- 大域切断の局所化とアフィン性の判定✓補題 3.2・スキームの性質と射 この先をたどる →
- 主開集合の包含と局所化✓補題 2.1・アフィンスキームとスキーム この先をたどる →
- 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
はめ込みは単射的な射✓補題 2.4・分離射・固有射と付値判定法
- アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 2.3・分離射・固有射と付値判定法（上で展開済み）
- Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキーム この先をたどる →
冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル
スキームは点の関手で決まる✓定理 7.1・スキームの性質と射
射とスキームの貼り合わせ✓定理 5.1・アフィンスキームとスキーム
- Hom は極限を保つ✓命題 5.2・極限と余極限 この先をたどる →
アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 2.3・分離射・固有射と付値判定法
- アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 4.2・スキームの性質と射（上で展開済み）
- アフィン性の判定✓補題 2.2・分離射・固有射と付値判定法 この先をたどる →
- 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
- 対角射の底変換✓補題 6.1・分離射・固有射と付値判定法
対角射ははめ込み✓命題 3.2・分離射・固有射と付値判定法
- ファイバー積の存在✓定理 5.2・スキームの性質と射（上で展開済み）
- 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
有限射は閉写像でファイバーは有限✓命題 6.2・スキームの性質と射
- 整性の判定✓定理 2.3・整拡大 この先をたどる →
- 整拡大のスペクトルの写像は全射な閉写像✓系 4.5・整拡大 この先をたどる →
- 剰余環と局所化のスペクトル✓命題 4.6・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- ファイバーの底空間✓命題 5.3・スキームの性質と射 この先をたどる →
- Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
- 射の性質の保存✓命題 6.1・スキームの性質と射（上で展開済み）
これを使っている定理 証明で参照している 9 件
- 多様体の次元✓定理 2.4・次元・正規性・非特異性と微分の層
- 正規化の存在と普遍性✓定理 4.2・次元・正規性・非特異性と微分の層
- 射影空間は固有✓定理 7.3・分離射・固有射と付値判定法
- 完備多様体の大域正則関数は定数✓定理 8.3・分離射・固有射と付値判定法
- 固有かつアフィンな射は有限✓定理 8.4・分離射・固有射と付値判定法
- アフィン直線との積✓定理 3.5・因子と直線束
- 座標近傍ごとの全射性とはめ込み✓補題 5.3・因子と直線束
- 曲線の射は有限✓定理 3.1・曲線と Riemann–Roch の定理
- 射影直線の上に有限な完備曲線は射影的✓補題 4.1・曲線と Riemann–Roch の定理