数学 › 可換環論 › 整拡大

整性の判定

定理 2.3（「整拡大」§2）・ ✓公理まで証明済み

$\varphi \colon A \to B$ を環準同型、 $b \in B$ とする。次は同値である。

$b$ は $A$ 上整である。
$A[b]$ は有限生成 $A$ 加群である。
$A[b]$ は、有限生成 $A$ 加群であるような $B$ の部分環 $C$ に含まれる。
$A[b]$ 加群 $M$ で、 $A$ 加群として有限生成であり、 $A[b]$ 加群として忠実（ $x \in A[b]$ 、 $xM = 0$ ならば $x = 0$ ）なものが存在する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題
- 多項式環からの代入✓補題 3.1・加群・完全列・中山の補題
  - 多項式環定義 6.1・環と体の基礎
- 可換環上の余因子行列の恒等式✓補題 3.2・加群・完全列・中山の補題
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質

これを使っている定理証明で参照している 5 件

有限射は閉写像でファイバーは有限✓命題 6.2・スキームの性質と射
整閉局所環の極大イデアルの逆✓補題 3.3・離散付値環と Dedekind 環
Noether の正規化定理✓定理 3.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大
次元と超越次数✓定理 7.1・Krull 次元と単項イデアル定理

関連するノック 1 問

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