数学 › 可換環論 › Noether の正規化と Hilbert の零点定理

Noether の正規化定理

定理 3.1（「Noether の正規化と Hilbert の零点定理」§3） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 26 件、定義なども含めて 32 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎

  • 体定義 5.1・環と体の基礎
  • 環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
  • 環準同型の核✓命題 7.2・環と体の基礎

    • 部分群の判定法✓命題 3.3・部分群と剰余類
    • 環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
• 整性の判定✓定理 2.3・整拡大

  • 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題

    • 多項式環からの代入✓補題 3.1・加群・完全列・中山の補題

      • 多項式環定義 6.1・環と体の基礎
    • 可換環上の余因子行列の恒等式✓補題 3.2・加群・完全列・中山の補題

      • 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
• 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大

  • 整性の判定✓定理 2.3・整拡大（上で展開済み）
• 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大

  • 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大

    • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環

      • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
      • 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
      • 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
    • PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大

      • 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
      • 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
    • 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環

      • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
      • 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
      • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  • 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
• 超越基底の存在と超越次数の一意性✓定理 2.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理

  • Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題

    • 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
    • 整合的集合の比較可能性✓補題 5.5・選択公理と Zorn の補題
    • 始切片で増える整列集合の合併✓補題 5.4・選択公理と Zorn の補題
  • 代数性の推移と添加✓補題 2.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理

    • 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
    • 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
    • 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  • 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  • 取り替え補題（代数的従属）✓補題 2.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

• Zariski の補題（弱零点定理）✓定理 4.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
• 体上有限生成整域の正規化の有限性✓定理 6.7・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
• 次元と超越次数✓定理 7.1・Krull 次元と単項イデアル定理

関連するノック 1 問

• 可換環論 第 41 問