代数性の推移と添加

補題 2.2（「Noether の正規化と Hilbert の零点定理」§2）・ ✓公理まで証明済み

$L/K$ を体の拡大とする。

$x_1, \ldots, x_n \in L$ が $K$ 上代数的なら、 $K(x_1, \ldots, x_n) = K[x_1, \ldots, x_n]$ であり、これは $K$ 上有限次である。
$K \subseteq M \subseteq L$ を中間体とする。 $L$ が $M$ 上代数的で、 $M$ が $K$ 上代数的なら、 $L$ は $K$ 上代数的である。
$S \subseteq L$ を代数的に独立な部分集合、 $x \in L$ とする。 $S \cup \{x\}$ が代数的に独立で $x \notin S$ であることと、 $x$ が $K(S)$ 上超越的であることは同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 10 件、定義なども含めて 13 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大

これを使っている定理証明で参照している 5 件

超越基底の存在と超越次数の一意性✓定理 2.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
分離部分と純非分離部分への分解✓補題 6.5・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
純非分離拡大での整閉包の有限性✓補題 6.6・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
体上有限生成整域の正規化の有限性✓定理 6.7・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
高さ 1 の素イデアルによる剰余✓補題 7.2・Krull 次元と単項イデアル定理

代数性の推移と添加

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 5 件