数学 › 可換環論 › Krull 次元と単項イデアル定理
高さ 1 の素イデアルによる剰余
を有限生成 代数である整域、 とし、 を高さ の素イデアルとする。このとき である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 112 件、定義なども含めて 125 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 9 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
次元と超越次数✓定理 7.1・Krull 次元と単項イデアル定理
多変数多項式環の次元✓系 6.3・Krull 次元と単項イデアル定理
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
- 多項式環の次元✓定理 6.2・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
- 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 整拡大と次元✓命題 3.1・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
Noether の正規化定理✓定理 3.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎 この先をたどる →
- 整性の判定✓定理 2.3・整拡大（上で展開済み）
- 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大 この先をたどる →
- 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 超越基底の存在と超越次数の一意性✓定理 2.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理（上で展開済み）
R が UFD なら R[x] も UFD✓定理 3.5・多項式環と体の拡大
- 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
PID は UFD✓定理 2.5・多項式環と体の拡大
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
原始多項式の積は原始多項式✓補題 3.2・多項式環と体の拡大
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
- 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
- 有理係数多項式の「内容」の分離✓補題 3.3・多項式環と体の拡大
ガウスの補題✓定理 3.4・多項式環と体の拡大
- 有理係数多項式の「内容」の分離✓補題 3.3・多項式環と体の拡大
- 原始多項式の積は原始多項式✓補題 3.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
- 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
代数性の推移と添加✓補題 2.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
- 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
超越基底の存在と超越次数の一意性✓定理 2.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題 この先をたどる →
- 代数性の推移と添加✓補題 2.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理（上で展開済み）
- 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 取り替え補題（代数的従属）✓補題 2.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 超越次数定義 2.5・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
これを使っている定理 証明で参照している 2 件
- アフィン多様体の次元✓定理 7.2・アフィン代数多様体と座標環
- アフィン整域の鎖状性✓定理 7.4・Krull 次元と単項イデアル定理