アフィン整域の鎖状性

定理 7.4（「Krull 次元と単項イデアル定理」§7）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を有限生成 $k$ 代数である整域、 $d = \dim A$ とする。

$A$ の極大鎖の長さはすべて $d$ に等しい。
$A$ の任意の素イデアル $\mathfrak{p}$ について $\operatorname{ht}\mathfrak{p} + \dim A/\mathfrak{p} = d$ である。とくに $A$ のすべての極大イデアルの高さは $d$ である。
$A$ は鎖状環であり、素イデアル $\mathfrak{p} \subseteq \mathfrak{p}'$ の間の飽和鎖の長さは $\operatorname{ht}\mathfrak{p}' - \operatorname{ht}\mathfrak{p}$ に等しい。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 113 件、定義なども含めて 126 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

次元と超越次数✓定理 7.1・Krull 次元と単項イデアル定理
- 多変数多項式環の次元✓系 6.3・Krull 次元と単項イデアル定理
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 多項式環の次元✓定理 6.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
  - 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- 整性の判定✓定理 2.3・整拡大
  - 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 整拡大と次元✓命題 3.1・Krull 次元と単項イデアル定理
  - 比較不能性✓定理 4.3・整拡大この先をたどる →
  - 横たわり定理✓定理 4.4・整拡大この先をたどる →
  - 上昇定理✓定理 4.6・整拡大この先をたどる →
  - 整性は剰余と局所化で保たれる✓命題 2.5・整拡大この先をたどる →
  - 下降定理✓定理 5.4・整拡大この先をたどる →
- Noether の正規化定理✓定理 3.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
  - 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎この先をたどる →
  - 整性の判定✓定理 2.3・整拡大（上で展開済み）
  - 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大この先をたどる →
  - 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 超越基底の存在と超越次数の一意性✓定理 2.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
高さ 1 の素イデアルによる剰余✓補題 7.2・Krull 次元と単項イデアル定理
- 次元と超越次数✓定理 7.1・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
- R が UFD なら R[x] も UFD✓定理 3.5・多項式環と体の拡大
  - 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
  - PID は UFD✓定理 2.5・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 原始多項式の積は原始多項式✓補題 3.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 有理係数多項式の「内容」の分離✓補題 3.3・多項式環と体の拡大
  - ガウスの補題✓定理 3.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- UFD は整閉✓命題 3.3・整拡大
  - 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
- 整拡大と次元✓命題 3.1・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
- 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
- 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
- 代数性の推移と添加✓補題 2.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
- 超越基底の存在と超越次数の一意性✓定理 2.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
- 超越次数定義 2.5・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題（上で展開済み）
- 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
- イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環

これを使っている定理証明で参照している 4 件

アフィン多様体の次元✓定理 7.2・アフィン代数多様体と座標環
多様体の次元✓定理 2.4・次元・正規性・非特異性と微分の層
Jacobi 判定法と正則環✓系 9.5・Kähler 微分と滑らかさの入口
体上有限生成代数は鎖状✓系 7.5・Krull 次元と単項イデアル定理

アフィン整域の鎖状性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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