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PID は UFD

定理 2.5（「多項式環と体の拡大」§2）・ ✓公理まで証明済み

単項イデアル整域は UFD である。特に $\mathbb{Z}$ と、体 $K$ 上の多項式環 $K[x]$ は UFD である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 7 件、定義なども含めて 10 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大

これを使っている定理証明で参照している 11 件

R が UFD なら R[x] も UFD✓定理 3.5・多項式環と体の拡大
分離拡大と Ω = 0✓定理 7.1・Kähler 微分と滑らかさの入口
互いに素な Weierstrass 多項式の Bézout 関係式✓補題 9.3・複素多様体と正則写像
生成多項式と巡回符号の分類✓定理 3.3・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号
鍵方程式の互除法による解（Sugiyama の方法）✓定理 6.6・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号
既約多項式の位数✓命題 3.6・有限体上の多項式
Berlekamp の定理✓定理 6.2・有限体上の多項式
有限体の代数閉包✓定理 7.2・有限体の構造
Eisenstein 整数環の基本性質✓補題 3.1・フェルマーの最終定理 I
ℤ[ω] の算術✓命題 2.2・リーマン予想 III
Jordan–Chevalley 分解✓命題 6.1・Lie 環の構造論