既約多項式の位数
を次数 のモニックな既約多項式、 とし、 を の根とする。
- 正の整数 について 。したがって は の乗法についての位数に等しく、 の約数で、 と互いに素である。
- とすると である。
- が原始多項式であることと、 であることは同値である。
- とする。位数 のモニックな既約多項式は の既約因子の全体で、 個あり、次数はすべて である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 52 件、定義なども含めて 61 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
既約多項式の根✓定理 5.1・有限体の構造
代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環 この先をたどる →
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環 この先をたどる →
有限体の元は の根全体✓命題 2.4・有限体の構造
- 有限体の存在と一意性✓定理 7.2・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
- 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
有限体の拡大の Galois 群✓定理 4.4・有限体の構造
- フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
- 有限体の元は の根全体✓命題 2.4・有限体の構造（上で展開済み）
- 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
- 巡回群の構造✓命題 6.5・群論入門 この先をたどる →
- 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 拡大体の存在と一意性✓命題 2.7・有限体の構造 この先をたどる →
- 部分体の束✓定理 4.2・有限体の構造 この先をたどる →
- 有限巡回群の元の位数と部分群✓補題 2.3・有限体の構造（上で展開済み）
q 乗で動かない元は部分体をなす✓補題 2.5・有限体の構造
- 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
既約多項式による構成✓命題 2.6・有限体の構造
- 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環 この先をたどる →
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- が を割り切る条件✓補題 4.1・有限体の構造
元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類
- 元の位数と巡回部分群の大きさ✓命題 4.2・部分群と剰余類
- 生成される巡回部分群と元の位数定義 4.1・部分群と剰余類
円分多項式の有限体上の分解✓定理 3.4・有限体上の多項式
- 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
有限巡回群の元の位数と部分群✓補題 2.3・有限体の構造
- 位数による冪の判定✓定理 6.3・群論入門
- 互いに素な商✓補題 2.3・整除と素因数分解
- ユークリッドの補題（一般形）✓補題 2.2・整除と素因数分解 この先をたどる →
- 巡回群の構造✓命題 6.5・群論入門 この先をたどる →
- オイラー関数定義 7.1・整除と素因数分解
- 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
- の有限体上の分解✓定理 2.4・有限体上の多項式 この先をたどる →
PID は UFD✓定理 2.5・多項式環と体の拡大
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
これを使っている定理
証明で明示的に参照している定理は、まだありません。