数学 › 有限体と符号 › 有限体の構造

有限体の拡大の Galois 群

定理 4.4（「有限体の構造」§4） ・ ✓公理まで証明済み

K⊆FK \subseteq F を有限体の拡大とし、∣K∣=q|K| = q、∣F∣=qn|F| = q^n とする。σ=σq\sigma = \sigma_q とおく。

  1. σ∈Aut(F/K)\sigma \in \mathrm{Aut}(F/K) で、σ\sigma の位数は nn である。
  2. Aut(F/K)={id,σ,σ2,…,σn−1}\mathrm{Aut}(F/K) = \{\mathrm{id}, \sigma, \sigma^2, \ldots, \sigma^{n-1}\} である。F/KF/K は Galois 拡大で、Galois 群は σ\sigma が生成する位数 nn の巡回群である。
  3. nn の正の約数 dd ごとに、K⊆M⊆FK \subseteq M \subseteq F かつ ∣M∣=qd|M| = q^d を満たす体 MM がただ 1 つある。それは Md={a∈F:σd(a)=a}M_d = \{a \in F : \sigma^d(a) = a\} で、中間体はこれらに限る。
  4. Aut(F/K)\mathrm{Aut}(F/K) の部分群は ⟨σd⟩\langle \sigma^d \rangle（d∣nd \mid n）に限り、⟨σd⟩=Aut(F/Md)\langle \sigma^d \rangle = \mathrm{Aut}(F/M_d)、∣⟨σd⟩∣=n/d|\langle \sigma^d\rangle| = n/d である。対応 ⟨σd⟩↦Md\langle \sigma^d \rangle \mapsto M_d は部分群と中間体の間の全単射で、Md⊆Md′  ⟺  d∣d′  ⟺  ⟨σd′⟩⊆⟨σd⟩M_d \subseteq M_{d'} \iff d \mid d' \iff \langle \sigma^{d'} \rangle \subseteq \langle \sigma^d \rangle が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 39 件、定義なども含めて 48 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 9 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

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