数学 › 代数学（群・環・体） › 部分群と剰余類

元の位数は群の位数を割る

系 7.1（「部分群と剰余類」§7）・ ✓公理まで証明済み

$G$ を有限群、 $a \in G$ とします。

$\operatorname{ord}(a)$ は $|G|$ の約数です。
$a^{|G|} = e$ が成り立ちます。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

元の位数と巡回部分群の大きさ✓命題 4.2・部分群と剰余類
生成される巡回部分群と元の位数定義 4.1・部分群と剰余類
ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類
- 左剰余類の基本性質✓補題 5.2・部分群と剰余類
  - 部分群定義 3.1・部分群と剰余類

これを使っている定理証明で参照している 12 件

コーシーの定理✓系 4.3・群の作用と Sylow の定理
有限体の存在と一意性✓定理 7.2・多項式環と体の拡大
体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大
オイラーの定理とフェルマーの小定理✓定理 7.3・部分群と剰余類
$x^n − 1$ の有限体上の分解✓定理 2.4・有限体上の多項式
円分多項式は整数係数✓補題 3.3・有限体上の多項式
既約多項式の位数✓命題 3.6・有限体上の多項式
有限巡回群の元の位数と部分群✓補題 2.3・有限体の構造
有限体の元は $x^q − x$ の根全体✓命題 2.4・有限体の構造
イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
Kummer–Dedekind の判定法✓定理 7.1・代数体の整数環と Dedekind 整域
S 単数定理✓定理 3.2・S 単数と Kummer 理論

関連するノック 4 問