元の位数と巡回部分群の大きさ

$G$ を群、$a \in G$ とします。

1. $G$ が有限群ならば $\operatorname{ord}(a) < \infty$ です。
2. $n = \operatorname{ord}(a) < \infty$ とすると、整数 $k$ について $a^k = e$ となるのは $n \mid k$ のとき、かつそのときに限ります。
3. $n = \operatorname{ord}(a) < \infty$ とすると $\langle a \rangle = \{e, a, a^2, \ldots, a^{n-1}\}$ であり、これら $n$ 個は相異なります。特に $|\langle a \rangle| = \operatorname{ord}(a)$ です。