有限体の存在と一意性

定理 7.2（「多項式環と体の拡大」§7）・ ✓公理まで証明済み

有限体 $F$ の元の個数は、ある素数 $p$ と $n \ge 1$ に対する $p^n$ である（ $p = \operatorname{char} F$ ）。
素数 $p$ と $n \ge 1$ に対し、元の個数が $q = p^n$ の体が存在する。
元の個数が等しい 2 つの有限体は同型である。

この体を $\mathbb{F}_q$ と書く。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 21 件、定義なども含めて 27 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

整域の標数✓命題 5.8・環と体の基礎
分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎
  - 体定義 5.1・環と体の基礎
  - 環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
  - 環準同型の核✓命題 7.2・環と体の基礎
    部分群の判定法✓命題 3.3・部分群と剰余類
    環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
- 同型の拡張✓補題 6.5・多項式環と体の拡大
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
    PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
オイラーの定理とフェルマーの小定理✓定理 7.3・部分群と剰余類
- 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類
- 元の位数と巡回部分群の大きさ✓命題 4.2・部分群と剰余類
- 生成される巡回部分群と元の位数定義 4.1・部分群と剰余類
- ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類
  - 左剰余類の基本性質✓補題 5.2・部分群と剰余類
    部分群定義 3.1・部分群と剰余類

これを使っている定理証明で参照している 4 件

原始多項式の存在✓命題 5.4・擬似乱数生成器
任意の次数の既約多項式の存在✓系 7.4・多項式環と体の拡大
有限体の元は $x^q − x$ の根全体✓命題 2.4・有限体の構造
部分体の束✓定理 4.2・有限体の構造

有限体の存在と一意性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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