部分体の束

定理 4.2（「有限体の構造」§4）・ ✓公理まで証明済み

$F$ を元の個数が $p^n$ の有限体とする。

$F$ の部分体の元の個数は $p^m$ （ $m$ は $n$ の正の約数）である。
$n$ の正の約数 $m$ ごとに、 $p^m$ 個の元をもつ $F$ の部分体がただ 1 つ存在する。それは $F_{(m)} = \{a \in F : a^{p^m} = a\}$ で、 $\mathbb{F}_{p^m}$ に同型である。
$n$ の約数 $m, m'$ について、 $F_{(m)} \subseteq F_{(m')} \iff m \mid m'$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 28 件、定義なども含めて 34 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

有限体の元は $x^q − x$ の根全体✓命題 2.4・有限体の構造
- 有限体の存在と一意性✓定理 7.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類
  - 元の位数と巡回部分群の大きさ✓命題 4.2・部分群と剰余類
  - 生成される巡回部分群と元の位数定義 4.1・部分群と剰余類
  - ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類
    左剰余類の基本性質✓補題 5.2・部分群と剰余類この先をたどる →
- 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
q 乗で動かない元は部分体をなす✓補題 2.5・有限体の構造
- 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
- フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
- 有限整域は体✓定理 5.3・環と体の基礎
  - 整域と消去律✓命題 4.4・環と体の基礎
    環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
$x^m − 1$ が $x^n − 1$ を割り切る条件✓補題 4.1・有限体の構造
因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
有限体の存在と一意性✓定理 7.2・多項式環と体の拡大
- 整域の標数✓命題 5.8・環と体の基礎
- 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
    素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎
    体定義 5.1・環と体の基礎
    環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
    環準同型の核✓命題 7.2・環と体の基礎この先をたどる →
  - 同型の拡張✓補題 6.5・多項式環と体の拡大
    代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
- オイラーの定理とフェルマーの小定理✓定理 7.3・部分群と剰余類
  - 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
- 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類（上で展開済み）

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有限体の拡大の Galois 群✓定理 4.4・有限体の構造

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