有限体と符号 50 本ノック

学部50 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマの各章（有限体の構造、最小多項式と円分剰余類、線形符号、巡回符号と BCH・Reed–Solomon 符号、MacWilliams 恒等式と Golay 符号、有限幾何とデザイン）を読んだ学部生。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 2 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• R. Lidl, H. Niederreiter, Finite Fields
• F. J. MacWilliams, N. J. A. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes
• W. C. Huffman, V. Pless, Fundamentals of Error-Correcting Codes
• J. H. van Lint, R. M. Wilson, A Course in Combinatorics

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜9: 有限体の構造と既約多項式の個数
• 10〜18: 最小多項式・円分剰余類・トレースとノルム
• 19〜27: 線形符号・生成行列と検査行列・符号の限界
• 28〜36: 巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号
• 37〜43: 重み多項式・MacWilliams 恒等式・Golay 符号
• 44〜50: 有限幾何・直交 Latin 方陣・デザイン

形式: 単一選択 16・複数選択 8・○× 5・数値 11・並べ替え 3・誤り探し 3・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 3 / 25 / 22 / 0。

この冊で使う定義・定理（83）

• 定理 7.3 体の乗法群の有限部分群は巡回群 多項式環と体の拡大：素因数分解の一意性から作図不能性まで → 9 番
• 定義 4.5 BCH 符号 巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号：x^n − 1 の約数と零点で符号を設計する → 29 番
• 定義 4.1 零点と定義集合 巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号：x^n − 1 の約数と零点で符号を設計する → 30, 36 番
• 定義 6.3 シンドローム多項式・誤り位置多項式・誤り評価多項式 巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号：x^n − 1 の約数と零点で符号を設計する → 35 番
• 定義 5.1 Reed–Solomon 符号・一般化 Reed–Solomon 符号 巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号：x^n − 1 の約数と零点で符号を設計する → 31 番
• 補題 2.1 除法の原理と根の個数 巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号：x^n − 1 の約数と零点で符号を設計する → 32 番
• 命題 6.7 Forney の公式 巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号：x^n − 1 の約数と零点で符号を設計する → 35 番
• 命題 4.2 符号語は零点で消える多項式 巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号：x^n − 1 の約数と零点で符号を設計する → 29, 36 番
• 注意 4.9 BCH 限界は下界にすぎない 巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号：x^n − 1 の約数と零点で符号を設計する → 34 番
• 注意 3.6 組織符号化 巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号：x^n − 1 の約数と零点で符号を設計する → 33 番
• 定理 4.4 BCH 限界 巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号：x^n − 1 の約数と零点で符号を設計する → 30, 34, 36 番
• 定理 3.5 巡回符号の双対符号 巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号：x^n − 1 の約数と零点で符号を設計する → 34 番
• 定理 3.2 巡回符号とイデアル 巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号：x^n − 1 の約数と零点で符号を設計する → 32 番
• 定理 3.3 生成多項式と巡回符号の分類 巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号：x^n − 1 の約数と零点で符号を設計する → 28, 32, 33, 34 番
• 定理 5.5 MDS 符号の特徴づけ 巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号：x^n − 1 の約数と零点で符号を設計する → 31 番
• 定理 5.2 Reed–Solomon 符号は MDS 符号 巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号：x^n − 1 の約数と零点で符号を設計する → 31 番
• 定理 5.4 評価による定義と BCH 符号としての定義の一致 巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号：x^n − 1 の約数と零点で符号を設計する → 35 番
• 系 4.3 2-デザインの基本関係式 有限幾何とデザイン：射影平面・直交 Latin 方陣・Steiner 系を有限体と符号から作る → 45 番
• 系 7.4 拡大三元 Golay 符号と Steiner 系 S(5, 6, 12) 有限幾何とデザイン：射影平面・直交 Latin 方陣・Steiner 系を有限体と符号から作る → 46 番
• 定義 4.1 t-デザイン・Steiner 系 有限幾何とデザイン：射影平面・直交 Latin 方陣・Steiner 系を有限体と符号から作る → 45, 46 番
• 定義 4.8 差集合 有限幾何とデザイン：射影平面・直交 Latin 方陣・Steiner 系を有限体と符号から作る → 49, 50 番
• 定義 2.2 Gauss 二項係数 有限幾何とデザイン：射影平面・直交 Latin 方陣・Steiner 系を有限体と符号から作る → 44 番
• 定義 6.1 Hadamard 行列 有限幾何とデザイン：射影平面・直交 Latin 方陣・Steiner 系を有限体と符号から作る → 48 番
• 例 4.9 (7, 3, 1) と (11, 5, 2) の差集合 有限幾何とデザイン：射影平面・直交 Latin 方陣・Steiner 系を有限体と符号から作る → 49 番
• 命題 5.6 MacNeish の積の構成 有限幾何とデザイン：射影平面・直交 Latin 方陣・Steiner 系を有限体と符号から作る → 47 番
• 定理 4.2 t-デザインは s-デザインでもある 有限幾何とデザイン：射影平面・直交 Latin 方陣・Steiner 系を有限体と符号から作る → 45, 46 番
• 定理 5.2 MOLS の個数の上界 有限幾何とデザイン：射影平面・直交 Latin 方陣・Steiner 系を有限体と符号から作る → 47 番
• 定理 5.4 素数冪の位数の MOLS 有限幾何とデザイン：射影平面・直交 Latin 方陣・Steiner 系を有限体と符号から作る → 47 番
• 定理 6.4 Paley の構成 有限幾何とデザイン：射影平面・直交 Latin 方陣・Steiner 系を有限体と符号から作る → 48 番
• 定理 2.4 PG(n, q) の点・直線・超平面 有限幾何とデザイン：射影平面・直交 Latin 方陣・Steiner 系を有限体と符号から作る → 44 番
• 定義 6.3 パリティ拡大・穴あけ・短縮 線形符号：生成行列・検査行列・符号の限界式 → 27 番
• 定義 3.4 双対符号・検査行列 線形符号：生成行列・検査行列・符号の限界式 → 19, 25 番
• 定義 6.1 Hamming 符号・単体符号 線形符号：生成行列・検査行列・符号の限界式 → 24 番
• 定義 4.1 シンドローム・剰余類の代表元 線形符号：生成行列・検査行列・符号の限界式 → 20, 24 番
• 補題 5.2 Hamming 球の体積 線形符号：生成行列・検査行列・符号の限界式 → 21, 26 番
• 命題 3.2 最小距離は最小重み 線形符号：生成行列・検査行列・符号の限界式 → 27 番
• 定理 3.5 双対符号の次元と検査行列 線形符号：生成行列・検査行列・符号の限界式 → 25 番
• 定理 2.4 最小距離と誤り検出・誤り訂正 線形符号：生成行列・検査行列・符号の限界式 → 23 番
• 定理 5.5 Gilbert–Varshamov 限界 線形符号：生成行列・検査行列・符号の限界式 → 26 番
• 定理 5.8 Griesmer 限界 線形符号：生成行列・検査行列・符号の限界式 → 22 番
• 定理 5.4 Hamming 限界（球充填限界） 線形符号：生成行列・検査行列・符号の限界式 → 21, 22, 39 番
• 定理 6.2 Hamming 符号と単体符号 線形符号：生成行列・検査行列・符号の限界式 → 37, 40 番
• 定理 3.7 最小距離と検査行列の列 線形符号：生成行列・検査行列・符号の限界式 → 19, 26 番
• 定理 5.3 Singleton 限界 線形符号：生成行列・検査行列・符号の限界式 → 23 番
• 定理 4.2 シンドローム復号の正しさ 線形符号：生成行列・検査行列・符号の限界式 → 20, 24 番
• 系 4.4 標数 2 の 2 次方程式 有限体上の多項式：最小多項式・円分剰余類・トレースとノルム → 15 番
• 定義 2.3 q-円分剰余類 有限体上の多項式：最小多項式・円分剰余類・トレースとノルム → 10, 12, 29, 30 番
• 定義 2.1 有限体上の最小多項式 有限体上の多項式：最小多項式・円分剰余類・トレースとノルム → 11 番
• 定義 3.5 多項式の位数 有限体上の多項式：最小多項式・円分剰余類・トレースとノルム → 17 番
• 定義 4.1 トレースとノルム 有限体上の多項式：最小多項式・円分剰余類・トレースとノルム → 13, 15, 16 番
• 命題 3.6 既約多項式の位数 有限体上の多項式：最小多項式・円分剰余類・トレースとノルム → 17 番
• 定理 3.4 円分多項式の有限体上の分解 有限体上の多項式：最小多項式・円分剰余類・トレースとノルム → 17 番
• 定理 4.3 Hilbert の定理 90（有限体） 有限体上の多項式：最小多項式・円分剰余類・トレースとノルム → 14 番
• 定理 2.2 最小多項式と共役元 有限体上の多項式：最小多項式・円分剰余類・トレースとノルム → 11, 12, 15 番
• 定理 4.2 トレースとノルムの基本性質 有限体上の多項式：最小多項式・円分剰余類・トレースとノルム → 13, 14, 16 番
• 定理 2.4 x^n − 1 の有限体上の分解 有限体上の多項式：最小多項式・円分剰余類・トレースとノルム → 10, 28 番
• 系 4.5 有限体の自己同型群 有限体の構造：部分体・Frobenius 自己同型・既約多項式の個数 → 4 番
• 定義 4.3 Frobenius 自己同型・共役元 有限体の構造：部分体・Frobenius 自己同型・既約多項式の個数 → 4, 18 番
• 定義 2.1 素体 有限体の構造：部分体・Frobenius 自己同型・既約多項式の個数 → 1 番
• 定義 3.1 原始元・原始多項式・離散対数・Zech 対数 有限体の構造：部分体・Frobenius 自己同型・既約多項式の個数 → 5 番
• 補題 2.3 有限巡回群の元の位数と部分群 有限体の構造：部分体・Frobenius 自己同型・既約多項式の個数 → 11 番
• 補題 2.5 q 乗で動かない元は部分体をなす 有限体の構造：部分体・Frobenius 自己同型・既約多項式の個数 → 3 番
• 補題 2.2 因数定理と根の個数 有限体の構造：部分体・Frobenius 自己同型・既約多項式の個数 → 9, 16 番
• 命題 6.2 有限体での Euler の規準 有限体の構造：部分体・Frobenius 自己同型・既約多項式の個数 → 41 番
• 命題 2.7 拡大体の存在と一意性 有限体の構造：部分体・Frobenius 自己同型・既約多項式の個数 → 1 番
• 命題 2.4 有限体の元は x^q − x の根全体 有限体の構造：部分体・Frobenius 自己同型・既約多項式の個数 → 1, 9 番
• 命題 5.8 原始元・原始多項式の個数 有限体の構造：部分体・Frobenius 自己同型・既約多項式の個数 → 5 番
• 定理 4.4 有限体の拡大の Galois 群 有限体の構造：部分体・Frobenius 自己同型・既約多項式の個数 → 4 番
• 定理 5.5 既約多項式の個数（Gauss） 有限体の構造：部分体・Frobenius 自己同型・既約多項式の個数 → 2, 6, 7 番
• 定理 5.1 既約多項式の根 有限体の構造：部分体・Frobenius 自己同型・既約多項式の個数 → 8, 18 番
• 定理 4.2 部分体の束 有限体の構造：部分体・Frobenius 自己同型・既約多項式の個数 → 3, 8 番
• 定理 5.2 x^{q^n} − x の既約分解 有限体の構造：部分体・Frobenius 自己同型・既約多項式の個数 → 2, 6, 7 番
• 系 5.8 拡大 Golay 符号の重み多項式 重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号：指標和で双対符号の重み分布を決める → 39 番
• 系 3.5 MacWilliams 恒等式の係数表示 重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号：指標和で双対符号の重み分布を決める → 37, 40 番
• 定義 6.1 被覆半径 重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号：指標和で双対符号の重み分布を決める → 43 番
• 定義 5.1 偶符号・重偶符号 重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号：指標和で双対符号の重み分布を決める → 42 番
• 定義 5.3 平方剰余符号 重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号：指標和で双対符号の重み分布を決める → 41 番
• 定義 3.1 重み分布と重み多項式 重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号：指標和で双対符号の重み分布を決める → 38 番
• 補題 5.2 生成元の重みが 4 の倍数なら重偶 重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号：指標和で双対符号の重み分布を決める → 42 番
• 命題 6.2 完全符号と被覆半径 重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号：指標和で双対符号の重み分布を決める → 43 番
• 定理 5.7 二元 Golay 符号 重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号：指標和で双対符号の重み分布を決める → 39 番
• 定理 5.11 三元 Golay 符号 重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号：指標和で双対符号の重み分布を決める → 43 番
• 定理 3.3 MacWilliams 恒等式 重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号：指標和で双対符号の重み分布を決める → 37, 38, 40 番