熱力学・統計力学 100 本ノック

学部100 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマ各章（熱力学の諸法則から相転移・非平衡まで）の定義と基本計算を学んだ学部生。偏微分と確率の平均・分散は使えるものとし、各問は対応する章の復習で解けます。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 4 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• H. B. Callen, Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics
• L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Statistical Physics, Part 1
• M. Kardar, Statistical Physics of Particles
• 田崎晴明『熱力学』『統計力学 I・II』培風館

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜14: 熱力学の諸法則
• 15〜26: 自由エネルギーと熱力学ポテンシャル
• 27〜37: ミクロカノニカル集団
• 38〜50: カノニカル集団
• 51〜61: グランドカノニカル集団
• 62〜75: 量子統計（ボース統計・フェルミ統計）
• 76〜89: 相転移と平均場理論
• 90〜100: ゆらぎ・線形応答・非平衡

形式: 単一選択 32・複数選択 16・○× 10・数値 18・並べ替え 8・誤り探し 8・記述 8。難易度 ★〜★★★★: 14 / 50 / 33 / 3。

この冊で使う定義・定理（138）

• 系 6.2 相対揺らぎの消失とアンサンブルの等価性 カノニカル集団：ボルツマン因子と分配関数から熱力学を組み立てる → 42, 43, 46, 50 番
• 定義 4.1 カノニカル集団と分配関数 カノニカル集団：ボルツマン因子と分配関数から熱力学を組み立てる → 38, 40, 44, 76 番
• 定義 4.6 古典分配関数 カノニカル集団：ボルツマン因子と分配関数から熱力学を組み立てる → 41, 49 番
• 定義 4.3 ギブスのエントロピー カノニカル集団：ボルツマン因子と分配関数から熱力学を組み立てる → 47 番
• 例 7.3 アインシュタイン模型の比熱 カノニカル集団：ボルツマン因子と分配関数から熱力学を組み立てる → 45 番
• 例 7.4 古典理想気体：状態方程式とザッカー–テトローデの式 カノニカル集団：ボルツマン因子と分配関数から熱力学を組み立てる → 49 番
• 例 7.2 量子調和振動子 カノニカル集団：ボルツマン因子と分配関数から熱力学を組み立てる → 45 番
• 例 7.1 二準位系とショットキー比熱 カノニカル集団：ボルツマン因子と分配関数から熱力学を組み立てる → 48 番
• 命題 5.2 熱力学量の抽出公式 カノニカル集団：ボルツマン因子と分配関数から熱力学を組み立てる → 39, 40, 41, 42, 44, 48, 49 番
• 命題 4.5 分配関数の分解 カノニカル集団：ボルツマン因子と分配関数から熱力学を組み立てる → 39, 41, 45, 48, 49 番
• 命題 6.3 ラプラス変換とルジャンドル変換 カノニカル集団：ボルツマン因子と分配関数から熱力学を組み立てる → 50 番
• 命題 4.4 カノニカル分布の変分的特徴付け カノニカル集団：ボルツマン因子と分配関数から熱力学を組み立てる → 47 番
• 注意 4.2 カノニカル集団：ボルツマン因子と分配関数から熱力学を組み立てる → 47 番
• 定理 3.2 カノニカル分布（ボルツマン分布） カノニカル集団：ボルツマン因子と分配関数から熱力学を組み立てる → 38, 40 番
• 定理 6.1 エネルギー揺らぎと熱容量（揺動応答関係） カノニカル集団：ボルツマン因子と分配関数から熱力学を組み立てる → 42, 43, 44, 46, 50 番
• 定理 5.1 分配関数とヘルムホルツ自由エネルギー カノニカル集団：ボルツマン因子と分配関数から熱力学を組み立てる → 39 番
• 系 3.3 揺動散逸定理（古典） ゆらぎ・線形応答・非平衡：久保公式、オンサガー相反定理、ランジュバン方程式、H 定理 → 93, 95 番
• 定義 2.1 平衡時間相関関数 ゆらぎ・線形応答・非平衡：久保公式、オンサガー相反定理、ランジュバン方程式、H 定理 → 90, 91 番
• 例 3.2 アインシュタインの関係 ゆらぎ・線形応答・非平衡：久保公式、オンサガー相反定理、ランジュバン方程式、H 定理 → 92 番
• 例 5.2 ランジュバン方程式でのアインシュタインの関係 ゆらぎ・線形応答・非平衡：久保公式、オンサガー相反定理、ランジュバン方程式、H 定理 → 92, 98 番
• 例 4.3 熱電効果とケルビンの関係式 ゆらぎ・線形応答・非平衡：久保公式、オンサガー相反定理、ランジュバン方程式、H 定理 → 94 番
• 演習 7.3 ゆらぎ・線形応答・非平衡：久保公式、オンサガー相反定理、ランジュバン方程式、H 定理 → 95 番
• 補題 6.3 衝突不変量 ゆらぎ・線形応答・非平衡：久保公式、オンサガー相反定理、ランジュバン方程式、H 定理 → 97 番
• 補題 6.1 衝突の対称性と弱形式 ゆらぎ・線形応答・非平衡：久保公式、オンサガー相反定理、ランジュバン方程式、H 定理 → 97, 100 番
• 補題 2.2 相関関数の定常性と時間反転 ゆらぎ・線形応答・非平衡：久保公式、オンサガー相反定理、ランジュバン方程式、H 定理 → 91 番
• 命題 4.1 アインシュタインのゆらぎの公式 ゆらぎ・線形応答・非平衡：久保公式、オンサガー相反定理、ランジュバン方程式、H 定理 → 94 番
• 命題 5.4 定常分布と自由エネルギーの単調減少 ゆらぎ・線形応答・非平衡：久保公式、オンサガー相反定理、ランジュバン方程式、H 定理 → 99 番
• 注意 6.4 ゆらぎ・線形応答・非平衡：久保公式、オンサガー相反定理、ランジュバン方程式、H 定理 → 96, 100 番
• 定理 5.3 フォッカー・プランク方程式 ゆらぎ・線形応答・非平衡：久保公式、オンサガー相反定理、ランジュバン方程式、H 定理 → 99 番
• 定理 6.2 ボルツマンの H 定理 ゆらぎ・線形応答・非平衡：久保公式、オンサガー相反定理、ランジュバン方程式、H 定理 → 96, 97, 100 番
• 定理 3.1 古典系の久保公式 ゆらぎ・線形応答・非平衡：久保公式、オンサガー相反定理、ランジュバン方程式、H 定理 → 90 番
• 定理 5.1 ランジュバン方程式の性質（摩擦とノイズの関係） ゆらぎ・線形応答・非平衡：久保公式、オンサガー相反定理、ランジュバン方程式、H 定理 → 92, 93, 95, 98 番
• 定理 4.2 オンサガーの相反定理 ゆらぎ・線形応答・非平衡：久保公式、オンサガー相反定理、ランジュバン方程式、H 定理 → 94 番
• 系 4.5 グランドポテンシャルと圧力 グランドカノニカル集団：粒子数を手放して化学ポテンシャルを握る → 55, 57 番
• 定義 2.1 化学ポテンシャル グランドカノニカル集団：粒子数を手放して化学ポテンシャルを握る → 54, 59 番
• 定義 4.1 大分配関数とフガシティー グランドカノニカル集団：粒子数を手放して化学ポテンシャルを握る → 51, 52, 57, 60 番
• 定義 4.2 グランドポテンシャル グランドカノニカル集団：粒子数を手放して化学ポテンシャルを握る → 55 番
• 例 4.6 古典理想気体の大分配関数 グランドカノニカル集団：粒子数を手放して化学ポテンシャルを握る → 56, 57, 61 番
• 例 7.1 ラングミュアの吸着等温式 グランドカノニカル集団：粒子数を手放して化学ポテンシャルを握る → 53, 61 番
• 例 6.2 常温常圧のヘリウムの化学ポテンシャル グランドカノニカル集団：粒子数を手放して化学ポテンシャルを握る → 54 番
• 例 7.2 1 粒子準位の占有数 グランドカノニカル集団：粒子数を手放して化学ポテンシャルを握る → 60 番
• 補題 3.1 粒子浴の一次展開 グランドカノニカル集団：粒子数を手放して化学ポテンシャルを握る → 59 番
• 命題 4.3 グランドポテンシャルの熱力学的表式 グランドカノニカル集団：粒子数を手放して化学ポテンシャルを握る → 55 番
• 命題 6.1 化学ポテンシャルの等値 グランドカノニカル集団：粒子数を手放して化学ポテンシャルを握る → 54, 61, 79 番
• 命題 5.1 粒子数ゆらぎ グランドカノニカル集団：粒子数を手放して化学ポテンシャルを握る → 53, 56, 58, 60 番
• 注意 5.3 同等性が破れる場合 グランドカノニカル集団：粒子数を手放して化学ポテンシャルを握る → 58 番
• 定理 5.2 カノニカル集団との同等性 グランドカノニカル集団：粒子数を手放して化学ポテンシャルを握る → 58 番
• 定理 3.2 グランドカノニカル分布 グランドカノニカル集団：粒子数を手放して化学ポテンシャルを握る → 51, 52, 59 番
• 定理 4.4 グランドポテンシャルの全微分 グランドカノニカル集団：粒子数を手放して化学ポテンシャルを握る → 55 番
• 公理 4.1 断熱仕事の経路独立性（第一法則） 熱力学の諸法則：温度・内部エネルギー・エントロピーはどこから来るのか → 2 番
• 公理 6.2 クラウジウスの原理 熱力学の諸法則：温度・内部エネルギー・エントロピーはどこから来るのか → 7, 8, 9 番
• 公理 6.1 トムソン（ケルビン）の原理 熱力学の諸法則：温度・内部エネルギー・エントロピーはどこから来るのか → 7, 8 番
• 公理 3.1 熱力学第零法則 熱力学の諸法則：温度・内部エネルギー・エントロピーはどこから来るのか → 1 番
• 系 7.3 熱の比の普遍性 熱力学の諸法則：温度・内部エネルギー・エントロピーはどこから来るのか → 11 番
• 定義 7.1 熱機関の効率 熱力学の諸法則：温度・内部エネルギー・エントロピーはどこから来るのか → 9, 10, 11 番
• 定義 2.1 平衡状態と状態量 熱力学の諸法則：温度・内部エネルギー・エントロピーはどこから来るのか → 2 番
• 定義 4.3 熱 熱力学の諸法則：温度・内部エネルギー・エントロピーはどこから来るのか → 2, 3, 5 番
• 定義 2.2 準静的過程 熱力学の諸法則：温度・内部エネルギー・エントロピーはどこから来るのか → 3, 4 番
• 定義 5.1 可逆過程 熱力学の諸法則：温度・内部エネルギー・エントロピーはどこから来るのか → 4 番
• 例 4.6 準静的断熱過程のポアソンの関係 熱力学の諸法則：温度・内部エネルギー・エントロピーはどこから来るのか → 6, 14 番
• 例 5.3 自由膨張は準静的でも可逆でもない 熱力学の諸法則：温度・内部エネルギー・エントロピーはどこから来るのか → 14 番
• 例 8.5 自由膨張のエントロピー生成 熱力学の諸法則：温度・内部エネルギー・エントロピーはどこから来るのか → 5, 14 番
• 例 4.5 理想気体の熱容量とマイヤーの関係 熱力学の諸法則：温度・内部エネルギー・エントロピーはどこから来るのか → 5, 6 番
• 注意 5.2 熱力学の諸法則：温度・内部エネルギー・エントロピーはどこから来るのか → 4 番
• 定理 7.4 絶対温度の存在 熱力学の諸法則：温度・内部エネルギー・エントロピーはどこから来るのか → 10, 11 番
• 定理 7.2 カルノーの定理 熱力学の諸法則：温度・内部エネルギー・エントロピーはどこから来るのか → 9, 10 番
• 定理 8.1 クラウジウスの不等式 熱力学の諸法則：温度・内部エネルギー・エントロピーはどこから来るのか → 12, 19 番
• 定理 3.2 経験温度の存在 熱力学の諸法則：温度・内部エネルギー・エントロピーはどこから来るのか → 1 番
• 定理 8.2 エントロピーの存在 熱力学の諸法則：温度・内部エネルギー・エントロピーはどこから来るのか → 12, 13 番
• 定理 8.4 エントロピー増大則 熱力学の諸法則：温度・内部エネルギー・エントロピーはどこから来るのか → 13 番
• 定理 6.3 トムソンの原理とクラウジウスの原理の同値性 熱力学の諸法則：温度・内部エネルギー・エントロピーはどこから来るのか → 8 番
• 定理 4.2 内部エネルギーの存在 熱力学の諸法則：温度・内部エネルギー・エントロピーはどこから来るのか → 13 番
• 公理 3.1 等重率の原理 ミクロカノニカル集団：等重率の原理と S = k log W → 27 番
• 系 5.2 理想気体の状態方程式・内部エネルギー・化学ポテンシャル ミクロカノニカル集団：等重率の原理と S = k log W → 33, 34, 35, 37 番
• 系 4.6 制約の解除によるエントロピー増大 ミクロカノニカル集団：等重率の原理と S = k log W → 30 番
• 定義 4.1 ボルツマンのエントロピー ミクロカノニカル集団：等重率の原理と S = k log W → 28 番
• 定義 3.2 ミクロカノニカル分布 ミクロカノニカル集団：等重率の原理と S = k log W → 27 番
• 定義 2.1 ミクロ状態数 ミクロカノニカル集団：等重率の原理と S = k log W → 28 番
• 定義 4.5 統計力学的な温度・圧力・化学ポテンシャル ミクロカノニカル集団：等重率の原理と S = k log W → 29, 30, 31, 32, 35, 37 番
• 例 5.3 ギブスのパラドックスと 1/N! ミクロカノニカル集団：等重率の原理と S = k log W → 34 番
• 例 2.4 高次元球では体積が表面に集中する ミクロカノニカル集団：等重率の原理と S = k log W → 36 番
• 例 6.1 二準位系と負の絶対温度 ミクロカノニカル集団：等重率の原理と S = k log W → 28, 32 番
• 命題 4.2 エントロピーの加法性 ミクロカノニカル集団：等重率の原理と S = k log W → 29 番
• 命題 2.3 エントロピーの定義の同値性 ミクロカノニカル集団：等重率の原理と S = k log W → 31, 36 番
• 定理 4.4 熱平衡条件 ミクロカノニカル集団：等重率の原理と S = k log W → 29, 30, 32 番
• 定理 2.2 リウヴィルの定理 ミクロカノニカル集団：等重率の原理と S = k log W → 36 番
• 定理 5.1 サックール・テトロードの式 ミクロカノニカル集団：等重率の原理と S = k log W → 31, 33, 34, 35, 37 番
• 定義 7.1 臨界指数 相転移と平均場理論：ファン・デル・ワールス、ランダウ、イジング模型 → 81, 82, 87, 88, 89 番
• 定義 5.1 イジング模型 相転移と平均場理論：ファン・デル・ワールス、ランダウ、イジング模型 → 83, 85 番
• 定義 3.1 ファン・デル・ワールス方程式 相転移と平均場理論：ファン・デル・ワールス、ランダウ、イジング模型 → 77 番
• 命題 5.2 ギブスの変分原理 相転移と平均場理論：ファン・デル・ワールス、ランダウ、イジング模型 → 84 番
• 命題 7.2 平均場の臨界指数 相転移と平均場理論：ファン・デル・ワールス、ランダウ、イジング模型 → 87 番
• 命題 3.5 vdW 理論の臨界指数 相転移と平均場理論：ファン・デル・ワールス、ランダウ、イジング模型 → 80 番
• 注意 6.3 相転移と平均場理論：ファン・デル・ワールス、ランダウ、イジング模型 → 86 番
• 注意 3.4 相転移と平均場理論：ファン・デル・ワールス、ランダウ、イジング模型 → 78, 79 番
• 注意 5.4 相転移と平均場理論：ファン・デル・ワールス、ランダウ、イジング模型 → 86 番
• 注意 7.4 相転移と平均場理論：ファン・デル・ワールス、ランダウ、イジング模型 → 87 番
• 定理 6.1 1 次元イジング模型の自由エネルギーと磁化 相転移と平均場理論：ファン・デル・ワールス、ランダウ、イジング模型 → 76, 85, 86 番
• 定理 6.2 1 次元イジング模型の相関関数 相転移と平均場理論：ファン・デル・ワールス、ランダウ、イジング模型 → 83, 85, 86, 89 番
• 定理 4.1 ランダウ理論の臨界指数 相転移と平均場理論：ファン・デル・ワールス、ランダウ、イジング模型 → 81, 82 番
• 定理 3.3 マクスウェルの等面積則 相転移と平均場理論：ファン・デル・ワールス、ランダウ、イジング模型 → 78, 79 番
• 定理 5.3 平均場イジング模型の自発磁化 相転移と平均場理論：ファン・デル・ワールス、ランダウ、イジング模型 → 84, 88, 89 番
• 定理 7.3 ラッシュブルックの不等式 相転移と平均場理論：ファン・デル・ワールス、ランダウ、イジング模型 → 87 番
• 定理 3.2 vdW 方程式の等温線の形と臨界点 相転移と平均場理論：ファン・デル・ワールス、ランダウ、イジング模型 → 77, 78, 80 番
• 定義 6.1 フェルミエネルギーとフェルミ温度 量子統計：不可弁別性から生まれるボース統計とフェルミ統計 → 68, 72, 75 番
• 定義 3.1 同種粒子と置換対称性 量子統計：不可弁別性から生まれるボース統計とフェルミ統計 → 62 番
• 定義 3.3 占有数表示 量子統計：不可弁別性から生まれるボース統計とフェルミ統計 → 63 番
• 定義 5.1 熱的ド・ブロイ波長と縮退度 量子統計：不可弁別性から生まれるボース統計とフェルミ統計 → 70, 71 番
• 例 7.4 化学ポテンシャルが 0 のボース気体：光子と黒体放射 量子統計：不可弁別性から生まれるボース統計とフェルミ統計 → 69, 74 番
• 例 3.4 2 粒子・2 準位の数え上げ 量子統計：不可弁別性から生まれるボース統計とフェルミ統計 → 63 番
• 演習 8.3 量子統計：不可弁別性から生まれるボース統計とフェルミ統計 → 74 番
• 演習 8.1 量子統計：不可弁別性から生まれるボース統計とフェルミ統計 → 67 番
• 命題 5.2 古典極限 量子統計：不可弁別性から生まれるボース統計とフェルミ統計 → 65, 66 番
• 命題 6.7 縮退フェルミ気体の化学ポテンシャルと比熱 量子統計：不可弁別性から生まれるボース統計とフェルミ統計 → 68, 73 番
• 命題 6.2 絶対零度の自由フェルミ気体 量子統計：不可弁別性から生まれるボース統計とフェルミ統計 → 68, 72, 73 番
• 命題 4.4 占有数のゆらぎ 量子統計：不可弁別性から生まれるボース統計とフェルミ統計 → 67 番
• 命題 4.5 非相対論的理想量子気体の状態方程式 量子統計：不可弁別性から生まれるボース統計とフェルミ統計 → 69, 72 番
• 注意 7.5 量子統計：不可弁別性から生まれるボース統計とフェルミ統計 → 74 番
• 注意 4.2 量子統計：不可弁別性から生まれるボース統計とフェルミ統計 → 64, 65, 70 番
• 注意 3.2 量子統計：不可弁別性から生まれるボース統計とフェルミ統計 → 62 番
• 定理 7.1 ボース・アインシュタイン凝縮 量子統計：不可弁別性から生まれるボース統計とフェルミ統計 → 70, 71, 74 番
• 定理 4.3 ボース・アインシュタイン分布とフェルミ・ディラック分布 量子統計：不可弁別性から生まれるボース統計とフェルミ統計 → 64, 65, 66, 67, 75 番
• 定理 4.1 理想量子気体の大分配関数 量子統計：不可弁別性から生まれるボース統計とフェルミ統計 → 64, 69 番
• 定理 6.5 ゾンマーフェルト展開 量子統計：不可弁別性から生まれるボース統計とフェルミ統計 → 73, 75 番
• 定義 2.1 完全な熱力学関数 自由エネルギーと熱力学ポテンシャル：ルジャンドル変換で「制御できる変数」に乗り換える → 25 番
• 定義 3.1 ルジャンドル変換 自由エネルギーと熱力学ポテンシャル：ルジャンドル変換で「制御できる変数」に乗り換える → 24, 25 番
• 定義 4.1 熱力学ポテンシャル 自由エネルギーと熱力学ポテンシャル：ルジャンドル変換で「制御できる変数」に乗り換える → 15, 16 番
• 定義 7.1 応答関数 自由エネルギーと熱力学ポテンシャル：ルジャンドル変換で「制御できる変数」に乗り換える → 21 番
• 例 7.3 理想気体での検算 自由エネルギーと熱力学ポテンシャル：ルジャンドル変換で「制御できる変数」に乗り換える → 22 番
• 例 7.4 ジュール・トムソン効果と反転温度 自由エネルギーと熱力学ポテンシャル：ルジャンドル変換で「制御できる変数」に乗り換える → 23 番
• 例 6.4 ファン・デル・ワールス気体の内部エネルギー 自由エネルギーと熱力学ポテンシャル：ルジャンドル変換で「制御できる変数」に乗り換える → 26 番
• 命題 7.2 定圧熱容量と定積熱容量の差 自由エネルギーと熱力学ポテンシャル：ルジャンドル変換で「制御できる変数」に乗り換える → 21, 22 番
• 命題 4.2 熱力学ポテンシャルの全微分と自然な変数 自由エネルギーと熱力学ポテンシャル：ルジャンドル変換で「制御できる変数」に乗り換える → 15, 16, 17, 18, 20 番
• 命題 6.3 エネルギー方程式 自由エネルギーと熱力学ポテンシャル：ルジャンドル変換で「制御できる変数」に乗り換える → 18, 25, 26 番
• 命題 2.2 ギブス・デュエムの関係式 自由エネルギーと熱力学ポテンシャル：ルジャンドル変換で「制御できる変数」に乗り換える → 16 番
• 定理 5.1 等温等積過程における自由エネルギー減少則 自由エネルギーと熱力学ポテンシャル：ルジャンドル変換で「制御できる変数」に乗り換える → 19 番
• 定理 3.2 ルジャンドル変換の対合性 自由エネルギーと熱力学ポテンシャル：ルジャンドル変換で「制御できる変数」に乗り換える → 24 番
• 定理 6.1 マクスウェルの関係式 自由エネルギーと熱力学ポテンシャル：ルジャンドル変換で「制御できる変数」に乗り換える → 17, 18, 20, 23, 26 番