不定計量とゲージ量子化 50 本ノック

博士・研究50 問。先頭 10 問は無料、残りは購入者向けです。

対象読者: 本テーマの Krein 空間、J 自己共役作用素、Gupta-Bleuler 形式、BRST コホモロジーの各章を読み終え、証明を自力でたどれる博士課程水準の人。

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執筆: Claude Code（Opus 5.5）、Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 2 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• J. Bognár, Indefinite Inner Product Spaces
• T. Ya. Azizov, I. S. Iokhvidov, Linear Operators in Spaces with an Indefinite Metric
• F. Strocchi, An Introduction to Non-Perturbative Foundations of Quantum Field Theory
• N. Nakanishi, I. Ojima, Covariant Operator Formalism of Gauge Theories and Quantum Gravity

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜10: Krein 空間
• 11〜18: Krein 空間上の作用素
• 19〜28: Gupta–Bleuler 形式
• 29〜38: BRST コホモロジー
• 39〜44: 不定計量の模型
• 45〜50: ゲージの同値性

形式: 単一選択 13・複数選択 9・○× 6・数値 11・並べ替え 4・誤り探し 2・記述 5。難易度 ★〜★★★★: 8 / 18 / 19 / 5。

この冊で使う定義・定理（104）

• 定理 6.5 閉グラフ定理 Banach 空間の基本定理：Hahn–Banach・一様有界性・開写像・閉グラフ → 7 番
• 定理 6.7 スペクトル半径公式（Gelfand） 有界作用素と共役作用素：ユニタリ・射影・部分等長と作用素の位相 → 13 番
• 定義 2.1 BRST 構造とゴースト数 BRST コホモロジーと物理的状態：Krein 空間上のべき零電荷・Kugo–Ojima の四重項機構・閉じ込め判定条件 → 29 番
• 定義 4.1 四重項分解と縮約ホモトピー BRST コホモロジーと物理的状態：Krein 空間上のべき零電荷・Kugo–Ojima の四重項機構・閉じ込め判定条件 → 34 番
• 例 5.2 反例：補助場が中立でないとべき零性が壊れる BRST コホモロジーと物理的状態：Krein 空間上のべき零電荷・Kugo–Ojima の四重項機構・閉じ込め判定条件 → 36 番
• 例 5.1 四重項 1 組の模型のコホモロジー BRST コホモロジーと物理的状態：Krein 空間上のべき零電荷・Kugo–Ojima の四重項機構・閉じ込め判定条件 → 32, 37 番
• 例 2.5 反例：BRST 電荷と対にならないゴースト BRST コホモロジーと物理的状態：Krein 空間上のべき零電荷・Kugo–Ojima の四重項機構・閉じ込め判定条件 → 33 番
• 演習 8.2 BRST コホモロジーと物理的状態：Krein 空間上のべき零電荷・Kugo–Ojima の四重項機構・閉じ込め判定条件 → 32 番
• 補題 3.3 第二量子化された微分 BRST コホモロジーと物理的状態：Krein 空間上のべき零電荷・Kugo–Ojima の四重項機構・閉じ込め判定条件 → 34, 36 番
• 命題 2.3 BRST 構造の基本性質 BRST コホモロジーと物理的状態：Krein 空間上のべき零電荷・Kugo–Ojima の四重項機構・閉じ込め判定条件 → 29, 31, 33, 35, 38 番
• 命題 2.4 有限次元の BRST コホモロジー BRST コホモロジーと物理的状態：Krein 空間上のべき零電荷・Kugo–Ojima の四重項機構・閉じ込め判定条件 → 31, 33, 35, 37 番
• 命題 6.2 自由電磁場の四重項分解 BRST コホモロジーと物理的状態：Krein 空間上のべき零電荷・Kugo–Ojima の四重項機構・閉じ込め判定条件 → 30 番
• 注意 7.3 無限次元での位相的な問題 BRST コホモロジーと物理的状態：Krein 空間上のべき零電荷・Kugo–Ojima の四重項機構・閉じ込め判定条件 → 35 番
• 注意 7.2 判定条件の根拠と現状 BRST コホモロジーと物理的状態：Krein 空間上のべき零電荷・Kugo–Ojima の四重項機構・閉じ込め判定条件 → 30, 38 番
• 定理 6.3 自由電磁場の BRST コホモロジーと Gupta–Bleuler 形式 BRST コホモロジーと物理的状態：Krein 空間上のべき零電荷・Kugo–Ojima の四重項機構・閉じ込め判定条件 → 30 番
• 定理 7.1 Kugo–Ojima の閉じ込め判定条件（主張） BRST コホモロジーと物理的状態：Krein 空間上のべき零電荷・Kugo–Ojima の四重項機構・閉じ込め判定条件 → 38 番
• 定理 4.2 四重項機構によるコホモロジーの決定（Kugo–Ojima） BRST コホモロジーと物理的状態：Krein 空間上のべき零電荷・Kugo–Ojima の四重項機構・閉じ込め判定条件 → 32, 34, 37 番
• 系 4.5 真空持続振幅と放出光子数 ゲージの同値性：Lorenz ゲージと Coulomb ゲージのユニタリ同値・外部電流・切断つき QED・ξ 族 → 47 番
• 定義 4.2 外部電流の散乱演算子 ゲージの同値性：Lorenz ゲージと Coulomb ゲージのユニタリ同値・外部電流・切断つき QED・ξ 族 → 48 番
• 定義 4.1 Krein–Fock 空間の Weyl 作用素 ゲージの同値性：Lorenz ゲージと Coulomb ゲージのユニタリ同値・外部電流・切断つき QED・ξ 族 → 47 番
• 定義 2.1 共変ゲージと Coulomb ゲージの 1 粒子空間 ゲージの同値性：Lorenz ゲージと Coulomb ゲージのユニタリ同値・外部電流・切断つき QED・ξ 族 → 45 番
• 定義 5.3 切断つき QED のゲージ同値性 ゲージの同値性：Lorenz ゲージと Coulomb ゲージのユニタリ同値・外部電流・切断つき QED・ξ 族 → 49 番
• 定義 6.1 ξ ゲージの自由場の Wightman 関数 ゲージの同値性：Lorenz ゲージと Coulomb ゲージのユニタリ同値・外部電流・切断つき QED・ξ 族 → 50 番
• 例 6.3 ランダウゲージでは Lorenz 条件が強い意味で成り立つ ゲージの同値性：Lorenz ゲージと Coulomb ゲージのユニタリ同値・外部電流・切断つき QED・ξ 族 → 50 番
• 例 4.7 反例：保存しない電荷では真空持続の確率が 1 を超える ゲージの同値性：Lorenz ゲージと Coulomb ゲージのユニタリ同値・外部電流・切断つき QED・ξ 族 → 47 番
• 演習 7.2 ゲージの同値性：Lorenz ゲージと Coulomb ゲージのユニタリ同値・外部電流・切断つき QED・ξ 族 → 46 番
• 補題 2.2 1 粒子の物理的部分空間と商 ゲージの同値性：Lorenz ゲージと Coulomb ゲージのユニタリ同値・外部電流・切断つき QED・ξ 族 → 45 番
• 命題 4.6 物理的部分空間の保存には電流保存が必要 ゲージの同値性：Lorenz ゲージと Coulomb ゲージのユニタリ同値・外部電流・切断つき QED・ξ 族 → 49 番
• 命題 5.2 切断つきハミルトニアンの自己共役性と J 自己共役性 ゲージの同値性：Lorenz ゲージと Coulomb ゲージのユニタリ同値・外部電流・切断つき QED・ξ 族 → 49 番
• 命題 3.5 Lorentz 変換の物理的部分空間への作用 ゲージの同値性：Lorenz ゲージと Coulomb ゲージのユニタリ同値・外部電流・切断つき QED・ξ 族 → 46 番
• 注意 5.5 成り立つ範囲と未解決の点 ゲージの同値性：Lorenz ゲージと Coulomb ゲージのユニタリ同値・外部電流・切断つき QED・ξ 族 → 49 番
• 定理 4.4 保存外部電流の散乱演算子の同値性 ゲージの同値性：Lorenz ゲージと Coulomb ゲージのユニタリ同値・外部電流・切断つき QED・ξ 族 → 48 番
• 定理 3.2 自由場の Lorenz–Coulomb ユニタリ同値 ゲージの同値性：Lorenz ゲージと Coulomb ゲージのユニタリ同値・外部電流・切断つき QED・ξ 族 → 46 番
• 定理 6.2 ゲージ不変な相関関数と物理的空間の ξ 非依存性 ゲージの同値性：Lorenz ゲージと Coulomb ゲージのユニタリ同値・外部電流・切断つき QED・ξ 族 → 50 番
• 定義 4.1 Gupta–Bleuler の物理的部分空間 Gupta–Bleuler 形式の数学的構造：Krein–Fock 空間上の自由電磁場・物理的部分空間の商・Strocchi の定理 → 20 番
• 例 5.3 反例：A₀ は商空間の上の作用素にならない Gupta–Bleuler 形式の数学的構造：Krein–Fock 空間上の自由電磁場・物理的部分空間の商・Strocchi の定理 → 22 番
• 例 3.4 反例：∂·A は 0 でないのに 2 点関数が消える Gupta–Bleuler 形式の数学的構造：Krein–Fock 空間上の自由電磁場・物理的部分空間の商・Strocchi の定理 → 26 番
• 演習 7.3 Gupta–Bleuler 形式の数学的構造：Krein–Fock 空間上の自由電磁場・物理的部分空間の商・Strocchi の定理 → 28 番
• 補題 2.3 消滅作用素の共通の核 Gupta–Bleuler 形式の数学的構造：Krein–Fock 空間上の自由電磁場・物理的部分空間の商・Strocchi の定理 → 24 番
• 補題 2.2 Krein–Fock 空間の正準交換関係 Gupta–Bleuler 形式の数学的構造：Krein–Fock 空間上の自由電磁場・物理的部分空間の商・Strocchi の定理 → 19, 23 番
• 補題 4.2 1 粒子空間の Gupta–Bleuler 構造 Gupta–Bleuler 形式の数学的構造：Krein–Fock 空間上の自由電磁場・物理的部分空間の商・Strocchi の定理 → 20, 21, 23, 24, 26, 28 番
• 命題 3.3 自由電磁場の基本性質 Gupta–Bleuler 形式の数学的構造：Krein–Fock 空間上の自由電磁場・物理的部分空間の商・Strocchi の定理 → 19, 26 番
• 命題 5.2 発散が 0 の試験関数で均した場は商空間に降りる Gupta–Bleuler 形式の数学的構造：Krein–Fock 空間上の自由電磁場・物理的部分空間の商・Strocchi の定理 → 22 番
• 命題 5.1 零ノルムのずれはゲージ変換として現れる Gupta–Bleuler 形式の数学的構造：Krein–Fock 空間上の自由電磁場・物理的部分空間の商・Strocchi の定理 → 23 番
• 命題 5.4 Maxwell 方程式は物理的状態の間でだけ成り立つ Gupta–Bleuler 形式の数学的構造：Krein–Fock 空間上の自由電磁場・物理的部分空間の商・Strocchi の定理 → 22, 25 番
• 注意 6.4 相互作用がある場合の Gupta–Bleuler 形式 Gupta–Bleuler 形式の数学的構造：Krein–Fock 空間上の自由電磁場・物理的部分空間の商・Strocchi の定理 → 25, 27 番
• 注意 5.5 時間発展と Lorentz 変換 Gupta–Bleuler 形式の数学的構造：Krein–Fock 空間上の自由電磁場・物理的部分空間の商・Strocchi の定理 → 28 番
• 注意 6.3 証明の筋道と文献 Gupta–Bleuler 形式の数学的構造：Krein–Fock 空間上の自由電磁場・物理的部分空間の商・Strocchi の定理 → 27 番
• 定理 4.3 Gupta–Bleuler 部分空間の構造 Gupta–Bleuler 形式の数学的構造：Krein–Fock 空間上の自由電磁場・物理的部分空間の商・Strocchi の定理 → 21, 22, 24 番
• 定理 6.1 Gauss 法則と局所性は荷電場と両立しない（Strocchi） Gupta–Bleuler 形式の数学的構造：Krein–Fock 空間上の自由電磁場・物理的部分空間の商・Strocchi の定理 → 25 番
• 定理 6.2 正定値計量の局所的なベクトルポテンシャルは光子を記述できない（Strocchi） Gupta–Bleuler 形式の数学的構造：Krein–Fock 空間上の自由電磁場・物理的部分空間の商・Strocchi の定理 → 27 番
• 定義 2.1 Krein 空間と J 自己共役作用素（記法の確認） 不定計量の模型：Lee 模型のゴースト・Pauli–Villars・Pais–Uhlenbeck・PT 対称性 → 40 番
• 定義 5.1 Pais–Uhlenbeck 振動子 不定計量の模型：Lee 模型のゴースト・Pauli–Villars・Pais–Uhlenbeck・PT 対称性 → 42 番
• 定義 4.1 Pauli–Villars 場の Krein–Fock 実現 不定計量の模型：Lee 模型のゴースト・Pauli–Villars・Pais–Uhlenbeck・PT 対称性 → 41 番
• 例 6.7 反例：2 準位の PT 対称ハミルトニアン 不定計量の模型：Lee 模型のゴースト・Pauli–Villars・Pais–Uhlenbeck・PT 対称性 → 43, 44 番
• 演習 7.3 不定計量の模型：Lee 模型のゴースト・Pauli–Villars・Pais–Uhlenbeck・PT 対称性 → 43 番
• 補題 2.2 J 自己共役作用素のスペクトルと固有ベクトル 不定計量の模型：Lee 模型のゴースト・Pauli–Villars・Pais–Uhlenbeck・PT 対称性 → 40, 44 番
• 補題 3.4 くりこまれた分散関数 不定計量の模型：Lee 模型のゴースト・Pauli–Villars・Pais–Uhlenbeck・PT 対称性 → 39 番
• 命題 3.3 Friedrichs 模型の固有値と分散関数 不定計量の模型：Lee 模型のゴースト・Pauli–Villars・Pais–Uhlenbeck・PT 対称性 → 39 番
• 命題 4.3 Pauli–Villars の 2 点関数は正定値の空間で実現できない 不定計量の模型：Lee 模型のゴースト・Pauli–Villars・Pais–Uhlenbeck・PT 対称性 → 41 番
• 命題 4.2 Pauli–Villars 場の 2 点関数 不定計量の模型：Lee 模型のゴースト・Pauli–Villars・Pais–Uhlenbeck・PT 対称性 → 41 番
• 注意 6.5 証明の所在と、計量作用素が存在しないこと 不定計量の模型：Lee 模型のゴースト・Pauli–Villars・Pais–Uhlenbeck・PT 対称性 → 43 番
• 定理 3.5 Källén–Pauli のゴースト 不定計量の模型：Lee 模型のゴースト・Pauli–Villars・Pais–Uhlenbeck・PT 対称性 → 39 番
• 定理 5.3 Pais–Uhlenbeck 振動子の 2 つの量子化 不定計量の模型：Lee 模型のゴースト・Pauli–Villars・Pais–Uhlenbeck・PT 対称性 → 42, 43 番
• 定理 6.6 有限次元での同値性 不定計量の模型：Lee 模型のゴースト・Pauli–Villars・Pais–Uhlenbeck・PT 対称性 → 44 番
• 系 4.1 Pontryagin 空間での実でない固有値の個数 Krein 空間上の作用素：J 自己共役性・Pontryagin の定理・definitizable 作用素と J ユニタリな時間発展 → 14, 15 番
• 定義 5.1 definitizable 作用素 Krein 空間上の作用素：J 自己共役性・Pontryagin の定理・definitizable 作用素と J ユニタリな時間発展 → 16 番
• 定義 3.1 J 共役 Krein 空間上の作用素：J 自己共役性・Pontryagin の定理・definitizable 作用素と J ユニタリな時間発展 → 11 番
• 定義 5.3 正型・負型のスペクトル点と臨界点 Krein 空間上の作用素：J 自己共役性・Pontryagin の定理・definitizable 作用素と J ユニタリな時間発展 → 18 番
• 例 5.6 Jordan ブロックの臨界点 Krein 空間上の作用素：J 自己共役性・Pontryagin の定理・definitizable 作用素と J ユニタリな時間発展 → 18 番
• 例 6.3 不定計量を保ちながらノルムが増大する時間発展 Krein 空間上の作用素：J 自己共役性・Pontryagin の定理・definitizable 作用素と J ユニタリな時間発展 → 13 番
• 例 3.7 実固有値でも対角化できない J 自己共役作用素 Krein 空間上の作用素：J 自己共役性・Pontryagin の定理・definitizable 作用素と J ユニタリな時間発展 → 14 番
• 例 3.8 スペクトルが複素平面全体になる J 自己共役作用素 Krein 空間上の作用素：J 自己共役性・Pontryagin の定理・definitizable 作用素と J ユニタリな時間発展 → 14 番
• 演習 7.4 Krein 空間上の作用素：J 自己共役性・Pontryagin の定理・definitizable 作用素と J ユニタリな時間発展 → 16 番
• 演習 7.2 Krein 空間上の作用素：J 自己共役性・Pontryagin の定理・definitizable 作用素と J ユニタリな時間発展 → 17 番
• 演習 7.1 Krein 空間上の作用素：J 自己共役性・Pontryagin の定理・definitizable 作用素と J ユニタリな時間発展 → 12, 18 番
• 補題 3.9 根部分空間の J 直交性 Krein 空間上の作用素：J 自己共役性・Pontryagin の定理・definitizable 作用素と J ユニタリな時間発展 → 15 番
• 命題 3.2 J 共役と Hilbert 共役の関係 Krein 空間上の作用素：J 自己共役性・Pontryagin の定理・definitizable 作用素と J ユニタリな時間発展 → 11 番
• 命題 3.4 J 自己共役性の Hilbert 空間での言い換え Krein 空間上の作用素：J 自己共役性・Pontryagin の定理・definitizable 作用素と J ユニタリな時間発展 → 12 番
• 定理 6.2 J ユニタリ群と J 自己共役な生成子 Krein 空間上の作用素：J 自己共役性・Pontryagin の定理・definitizable 作用素と J ユニタリな時間発展 → 13, 17 番
• 定理 5.4 Langer のスペクトル関数 Krein 空間上の作用素：J 自己共役性・Pontryagin の定理・definitizable 作用素と J ユニタリな時間発展 → 16 番
• 定理 6.4 不変な非負部分空間上の誘導ユニタリ群 Krein 空間上の作用素：J 自己共役性・Pontryagin の定理・definitizable 作用素と J ユニタリな時間発展 → 17 番
• 定理 4.2 Pontryagin の不変部分空間定理 Krein 空間上の作用素：J 自己共役性・Pontryagin の定理・definitizable 作用素と J ユニタリな時間発展 → 14 番
• 定理 3.5 J 自己共役作用素のスペクトルの対称性 Krein 空間上の作用素：J 自己共役性・Pontryagin の定理・definitizable 作用素と J ユニタリな時間発展 → 12, 13, 18 番
• 系 4.5 正負の次元の不変性 Krein 空間と J 内積：基本分解・位相の一意性・最大非負部分空間・商空間による正定値化 → 9, 10 番
• 系 2.4 半定値部分空間の等方部分 Krein 空間と J 内積：基本分解・位相の一意性・最大非負部分空間・商空間による正定値化 → 4 番
• 定義 3.1 基本分解 Krein 空間と J 内積：基本分解・位相の一意性・最大非負部分空間・商空間による正定値化 → 10 番
• 定義 3.3 基本対称と J 内積 Krein 空間と J 内積：基本分解・位相の一意性・最大非負部分空間・商空間による正定値化 → 1 番
• 定義 4.6 Pontryagin 空間 Krein 空間と J 内積：基本分解・位相の一意性・最大非負部分空間・商空間による正定値化 → 6, 9 番
• 例 3.6 双曲回転で得られる基本分解の族 Krein 空間と J 内積：基本分解・位相の一意性・最大非負部分空間・商空間による正定値化 → 1, 2, 10 番
• 例 3.8 完備性を外すと位相が一意でなくなる Krein 空間と J 内積：基本分解・位相の一意性・最大非負部分空間・商空間による正定値化 → 3 番
• 例 5.4 完備化が必要になる正部分空間 Krein 空間と J 内積：基本分解・位相の一意性・最大非負部分空間・商空間による正定値化 → 5 番
• 演習 7.4 Krein 空間と J 内積：基本分解・位相の一意性・最大非負部分空間・商空間による正定値化 → 19 番
• 演習 7.1 Krein 空間と J 内積：基本分解・位相の一意性・最大非負部分空間・商空間による正定値化 → 2 番
• 演習 7.2 Krein 空間と J 内積：基本分解・位相の一意性・最大非負部分空間・商空間による正定値化 → 5 番
• 命題 6.1 Fock 空間の Krein 構造 Krein 空間と J 内積：基本分解・位相の一意性・最大非負部分空間・商空間による正定値化 → 6, 21 番
• 命題 3.4 J 内積の性質 Krein 空間と J 内積：基本分解・位相の一意性・最大非負部分空間・商空間による正定値化 → 1, 7 番
• 命題 4.2 J 直交補空間 Krein 空間と J 内積：基本分解・位相の一意性・最大非負部分空間・商空間による正定値化 → 4 番
• 命題 4.7 Pontryagin 空間の非正部分空間の次元 Krein 空間と J 内積：基本分解・位相の一意性・最大非負部分空間・商空間による正定値化 → 6, 9, 15 番
• 注意 3.9 Krein 空間ではすべての基本分解が許容的 Krein 空間と J 内積：基本分解・位相の一意性・最大非負部分空間・商空間による正定値化 → 3 番
• 定理 4.3 角作用素による非負部分空間の記述 Krein 空間と J 内積：基本分解・位相の一意性・最大非負部分空間・商空間による正定値化 → 5, 8 番
• 定理 5.3 非負部分空間の商による正定値化 Krein 空間と J 内積：基本分解・位相の一意性・最大非負部分空間・商空間による正定値化 → 8 番
• 定理 5.2 正則部分空間の特徴づけ Krein 空間と J 内積：基本分解・位相の一意性・最大非負部分空間・商空間による正定値化 → 4, 8, 20 番
• 定理 3.7 Krein 空間の位相の一意性 Krein 空間と J 内積：基本分解・位相の一意性・最大非負部分空間・商空間による正定値化 → 2, 3, 7, 10 番