力学・解析力学 100 本ノック

学部100 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマの各章（ニュートン力学からハミルトン・ヤコビ理論まで）の本文を読み、学部 1〜2 年の微積分・線形代数を身につけた人。定義の理解と典型計算を確かめたい人向けです。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 4 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Mechanics
• H. Goldstein, C. Poole and J. Safko, Classical Mechanics
• V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics
• 原島鮮『力学』裳華房

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜9: ニュートン力学の基礎
• 10〜19: 惑星の運動と中心力
• 20〜30: ラグランジュ形式の力学
• 31〜40: 対称性と保存則（ネーターの定理）
• 41〜50: ハミルトン形式の力学
• 51〜62: 正準変換とポアソン括弧
• 63〜74: 非慣性系と剛体の運動
• 75〜86: 振動と波動
• 87〜100: ハミルトン–ヤコビ理論と可積分系

形式: 単一選択 33・複数選択 19・○× 10・数値 15・並べ替え 7・誤り探し 8・記述 8。難易度 ★〜★★★★: 16 / 47 / 35 / 2。

この冊で使う定義・定理（123）

• 系 6.2 保存量の判定条件 正準変換とポアソン括弧：母関数・シンプレクティック条件から量子交換関係へ → 58 番
• 系 7.5 相空間の体積の保存（リウヴィルの定理） 正準変換とポアソン括弧：母関数・シンプレクティック条件から量子交換関係へ → 55 番
• 定義 3.1 正準変換 正準変換とポアソン括弧：母関数・シンプレクティック条件から量子交換関係へ → 55, 60 番
• 定義 5.1 ポアソン括弧 正準変換とポアソン括弧：母関数・シンプレクティック条件から量子交換関係へ → 51, 52, 53, 54, 58, 61 番
• 例 6.3 角運動量のポアソン括弧 正準変換とポアソン括弧：母関数・シンプレクティック条件から量子交換関係へ → 53, 58 番
• 例 4.4 調和振動子を作用・角変数で解く 正準変換とポアソン括弧：母関数・シンプレクティック条件から量子交換関係へ → 59 番
• 例 4.2 恒等変換と、座標と運動量の交換 正準変換とポアソン括弧：母関数・シンプレクティック条件から量子交換関係へ → 56, 62 番
• 例 4.3 点変換は正準変換の特別な場合 正準変換とポアソン括弧：母関数・シンプレクティック条件から量子交換関係へ → 55 番
• 命題 5.2 ポアソン括弧の代数的性質 正準変換とポアソン括弧：母関数・シンプレクティック条件から量子交換関係へ → 52, 57, 61 番
• 定理 6.1 物理量の時間発展 正準変換とポアソン括弧：母関数・シンプレクティック条件から量子交換関係へ → 57, 61 番
• 定理 4.1 第 1 種母関数が定める正準変換 正準変換とポアソン括弧：母関数・シンプレクティック条件から量子交換関係へ → 56, 60, 62 番
• 定理 6.4 ポアソンの定理 正準変換とポアソン括弧：母関数・シンプレクティック条件から量子交換関係へ → 57 番
• 定理 7.2 正準性のシンプレクティック判定 正準変換とポアソン括弧：母関数・シンプレクティック条件から量子交換関係へ → 51, 62 番
• 系 5.4 離心率とエネルギーの関係 惑星の運動と中心力：角運動量保存からケプラーの三法則へ → 14, 15 番
• 定義 2.1 中心力 惑星の運動と中心力：角運動量保存からケプラーの三法則へ → 10, 16, 19 番
• 定義 4.1 有効ポテンシャル 惑星の運動と中心力：角運動量保存からケプラーの三法則へ → 12 番
• 定義 5.3 軌道要素 惑星の運動と中心力：角運動量保存からケプラーの三法則へ → 18 番
• 例 6.3 地球の公転周期を計算する 惑星の運動と中心力：角運動量保存からケプラーの三法則へ → 13 番
• 補題 5.1 ビネの軌道方程式 惑星の運動と中心力：角運動量保存からケプラーの三法則へ → 16, 17 番
• 命題 4.2 動径方向の一次元問題への帰着 惑星の運動と中心力：角運動量保存からケプラーの三法則へ → 12 番
• 注意 6.2 惑星の運動と中心力：角運動量保存からケプラーの三法則へ → 11, 13 番
• 定理 3.1 中心力の下での角運動量保存 惑星の運動と中心力：角運動量保存からケプラーの三法則へ → 10, 14, 19 番
• 定理 5.2 ケプラーの第一法則（軌道は円錐曲線） 惑星の運動と中心力：角運動量保存からケプラーの三法則へ → 14, 15, 17, 18 番
• 定理 3.3 ケプラーの第二法則（面積速度一定） 惑星の運動と中心力：角運動量保存からケプラーの三法則へ → 15, 18, 19 番
• 定理 6.1 ケプラーの第三法則（調和の法則） 惑星の運動と中心力：角運動量保存からケプラーの三法則へ → 11, 13 番
• 定理 2.2 二体問題の分離 惑星の運動と中心力：角運動量保存からケプラーの三法則へ → 11 番
• 定義 3.1 作用変数 ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系：作用・角変数、リウヴィル・アーノルドの定理、断熱不変量、KAM → 89, 90, 94, 100 番
• 定義 2.1 ハミルトン・ヤコビ方程式と完全解 ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系：作用・角変数、リウヴィル・アーノルドの定理、断熱不変量、KAM → 87, 88 番
• 例 3.4 ケプラー問題の作用変数と縮退 ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系：作用・角変数、リウヴィル・アーノルドの定理、断熱不変量、KAM → 99 番
• 例 5.2 糸をゆっくり短くする振り子 ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系：作用・角変数、リウヴィル・アーノルドの定理、断熱不変量、KAM → 93 番
• 例 6.2 共鳴の近傍に現れる幅 $\sqrt\varepsilon$ の構造 ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系：作用・角変数、リウヴィル・アーノルドの定理、断熱不変量、KAM → 98 番
• 例 4.5 2 次元の調和振動子とリサジュー図形 ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系：作用・角変数、リウヴィル・アーノルドの定理、断熱不変量、KAM → 92 番
• 補題 4.1 可換なハミルトンベクトル場 ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系：作用・角変数、リウヴィル・アーノルドの定理、断熱不変量、KAM → 96 番
• 命題 6.5 可積分系ではずれは線形にしか増えない ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系：作用・角変数、リウヴィル・アーノルドの定理、断熱不変量、KAM → 91 番
• 命題 6.1 一次の摂動と小分母 ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系：作用・角変数、リウヴィル・アーノルドの定理、断熱不変量、KAM → 95, 98 番
• 命題 2.4 ハミルトン・ヤコビ方程式は量子論の古典極限 ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系：作用・角変数、リウヴィル・アーノルドの定理、断熱不変量、KAM → 99 番
• 注意 5.3 ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系：作用・角変数、リウヴィル・アーノルドの定理、断熱不変量、KAM → 99 番
• 注意 6.3 KAM の定理（主張のみ） ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系：作用・角変数、リウヴィル・アーノルドの定理、断熱不変量、KAM → 97, 98 番
• 定理 3.2 1 自由度の作用・角変数 ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系：作用・角変数、リウヴィル・アーノルドの定理、断熱不変量、KAM → 89, 94, 100 番
• 定理 5.1 作用変数は断熱不変量 ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系：作用・角変数、リウヴィル・アーノルドの定理、断熱不変量、KAM → 90, 93, 100 番
• 定理 2.2 ヤコビの定理 ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系：作用・角変数、リウヴィル・アーノルドの定理、断熱不変量、KAM → 88 番
• 定理 4.4 リウヴィル・アーノルドの定理 ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系：作用・角変数、リウヴィル・アーノルドの定理、断熱不変量、KAM → 91 番
• 定理 4.3 リウヴィルの定理：コンパクトな準位集合はトーラス ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系：作用・角変数、リウヴィル・アーノルドの定理、断熱不変量、KAM → 91, 92, 96, 97 番
• 系 4.3 ハミルトニアンの保存 ハミルトン形式の力学：ルジャンドル変換が開く位相空間 → 45, 46 番
• 定義 3.1 一般化運動量（正準運動量） ハミルトン形式の力学：ルジャンドル変換が開く位相空間 → 41, 42 番
• 定義 3.6 ハミルトニアン ハミルトン形式の力学：ルジャンドル変換が開く位相空間 → 41, 48, 49 番
• 定義 4.1 位相空間と正準座標 ハミルトン形式の力学：ルジャンドル変換が開く位相空間 → 43 番
• 定義 8.1 ポアソン括弧 ハミルトン形式の力学：ルジャンドル変換が開く位相空間 → 50 番
• 定義 3.3 正則ラグランジアン ハミルトン形式の力学：ルジャンドル変換が開く位相空間 → 44 番
• 例 6.3 電磁場中の荷電粒子：p は mv ではない ハミルトン形式の力学：ルジャンドル変換が開く位相空間 → 42, 49 番
• 例 6.1 1 次元調和振動子を最後まで解く ハミルトン形式の力学：ルジャンドル変換が開く位相空間 → 46 番
• 例 3.2 2 次関数のルジャンドル変換 ハミルトン形式の力学：ルジャンドル変換が開く位相空間 → 41 番
• 例 6.4 回転する棒に通したビーズ：H は保存するがエネルギーではない ハミルトン形式の力学：ルジャンドル変換が開く位相空間 → 47 番
• 命題 8.2 物理量の時間発展 ハミルトン形式の力学：ルジャンドル変換が開く位相空間 → 45, 50 番
• 命題 3.4 速度から運動量への変数変換 ハミルトン形式の力学：ルジャンドル変換が開く位相空間 → 44, 48 番
• 注意 3.5 ハミルトン形式の力学：ルジャンドル変換が開く位相空間 → 44 番
• 定理 4.2 ハミルトンの正準方程式 ハミルトン形式の力学：ルジャンドル変換が開く位相空間 → 43, 45, 46, 48 番
• 定理 5.1 ハミルトニアンがエネルギーに一致する条件 ハミルトン形式の力学：ルジャンドル変換が開く位相空間 → 47 番
• 定理 7.2 リウヴィルの定理（位相体積の保存） ハミルトン形式の力学：ルジャンドル変換が開く位相空間 → 43 番
• 系 6.5 エネルギー関数が力学的エネルギーになる条件 ラグランジュ形式の力学：最小作用の原理からオイラー・ラグランジュ方程式へ → 26 番
• 定義 3.1 ラグランジュ関数と作用汎関数 ラグランジュ形式の力学：最小作用の原理からオイラー・ラグランジュ方程式へ → 29 番
• 定義 6.3 エネルギー関数 ラグランジュ形式の力学：最小作用の原理からオイラー・ラグランジュ方程式へ → 26, 28 番
• 定義 2.1 ホロノミック拘束と一般化座標 ラグランジュ形式の力学：最小作用の原理からオイラー・ラグランジュ方程式へ → 20, 21, 27 番
• 定義 3.2 変分と停留経路 ラグランジュ形式の力学：最小作用の原理からオイラー・ラグランジュ方程式へ → 24, 25 番
• 例 2.2 自由度の数え方 ラグランジュ形式の力学：最小作用の原理からオイラー・ラグランジュ方程式へ → 20 番
• 例 5.4 単振り子：拘束力が消える ラグランジュ形式の力学：最小作用の原理からオイラー・ラグランジュ方程式へ → 23, 29 番
• 例 5.3 平面極座標での中心力運動 ラグランジュ形式の力学：最小作用の原理からオイラー・ラグランジュ方程式へ → 22 番
• 補題 3.3 変分法の基本補題 ラグランジュ形式の力学：最小作用の原理からオイラー・ラグランジュ方程式へ → 25 番
• 命題 6.4 エネルギー関数の保存 ラグランジュ形式の力学：最小作用の原理からオイラー・ラグランジュ方程式へ → 26, 28 番
• 命題 4.4 全微分項による不定性 ラグランジュ形式の力学：最小作用の原理からオイラー・ラグランジュ方程式へ → 24 番
• 注意 2.3 ラグランジュ形式の力学：最小作用の原理からオイラー・ラグランジュ方程式へ → 21 番
• 定理 5.2 オイラー・ラグランジュ方程式の共変性 ラグランジュ形式の力学：最小作用の原理からオイラー・ラグランジュ方程式へ → 30 番
• 定理 3.4 オイラー・ラグランジュ方程式 ラグランジュ形式の力学：最小作用の原理からオイラー・ラグランジュ方程式へ → 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30 番
• 公理 3.2 第 1 法則（慣性の法則） ニュートン力学の基礎：三法則から運動量・エネルギー保存則へ → 1 番
• 公理 3.3 第 2 法則（運動の法則） ニュートン力学の基礎：三法則から運動量・エネルギー保存則へ → 6 番
• 公理 3.4 第 3 法則（作用反作用の法則） ニュートン力学の基礎：三法則から運動量・エネルギー保存則へ → 2, 3 番
• 系 6.2 重心の運動 ニュートン力学の基礎：三法則から運動量・エネルギー保存則へ → 3 番
• 系 7.6 1 次元保存系の求積 ニュートン力学の基礎：三法則から運動量・エネルギー保存則へ → 7, 9 番
• 定義 7.3 保存力とポテンシャル ニュートン力学の基礎：三法則から運動量・エネルギー保存則へ → 4 番
• 定義 3.1 慣性系 ニュートン力学の基礎：三法則から運動量・エネルギー保存則へ → 1 番
• 定義 7.1 仕事と運動エネルギー ニュートン力学の基礎：三法則から運動量・エネルギー保存則へ → 8 番
• 例 7.8 摩擦がある場合：エネルギーは保存しない ニュートン力学の基礎：三法則から運動量・エネルギー保存則へ → 8 番
• 命題 7.4 1 次元の連続な力は必ず保存力 ニュートン力学の基礎：三法則から運動量・エネルギー保存則へ → 4 番
• 命題 4.1 初期値問題の解の一意性 ニュートン力学の基礎：三法則から運動量・エネルギー保存則へ → 5 番
• 注意 4.2 一意性が破れるとき ニュートン力学の基礎：三法則から運動量・エネルギー保存則へ → 5 番
• 定理 7.5 力学的エネルギー保存則 ニュートン力学の基礎：三法則から運動量・エネルギー保存則へ → 6, 7, 9 番
• 定理 6.1 運動量保存則 ニュートン力学の基礎：三法則から運動量・エネルギー保存則へ → 2, 3 番
• 定理 5.2 調和振動子の一般解 ニュートン力学の基礎：三法則から運動量・エネルギー保存則へ → 9 番
• 定理 7.2 仕事・運動エネルギー定理 ニュートン力学の基礎：三法則から運動量・エネルギー保存則へ → 4, 7, 8 番
• 系 5.4 時間の一様性とエネルギー保存 対称性と保存則：ネーターの定理を「変換の生成子から保存量を作る機械」として読む → 33, 34, 35, 40 番
• 定義 2.1 保存量 対称性と保存則：ネーターの定理を「変換の生成子から保存量を作る機械」として読む → 39 番
• 定義 2.2 循環座標 対称性と保存則：ネーターの定理を「変換の生成子から保存量を作る機械」として読む → 31, 33 番
• 定義 3.1 一径数変換族と生成子 対称性と保存則：ネーターの定理を「変換の生成子から保存量を作る機械」として読む → 36 番
• 定義 3.2 ラグランジアンの準対称性 対称性と保存則：ネーターの定理を「変換の生成子から保存量を作る機械」として読む → 34, 38, 39 番
• 例 4.4 全角運動量の保存 対称性と保存則：ネーターの定理を「変換の生成子から保存量を作る機械」として読む → 36, 40 番
• 例 4.3 全運動量の保存 対称性と保存則：ネーターの定理を「変換の生成子から保存量を作る機械」として読む → 37 番
• 演習 7.2 対称性と保存則：ネーターの定理を「変換の生成子から保存量を作る機械」として読む → 38 番
• 命題 2.3 循環座標に共役な運動量の保存 対称性と保存則：ネーターの定理を「変換の生成子から保存量を作る機械」として読む → 31, 33, 35 番
• 注意 6.2 対称性と保存則：ネーターの定理を「変換の生成子から保存量を作る機械」として読む → 32, 35 番
• 定理 4.1 ネーターの定理（点変換版） 対称性と保存則：ネーターの定理を「変換の生成子から保存量を作る機械」として読む → 32, 34, 36, 37, 38, 39, 40 番
• 定理 5.3 ネーターの定理（時間変換を含む形） 対称性と保存則：ネーターの定理を「変換の生成子から保存量を作る機械」として読む → 32 番
• 定義 4.1 慣性テンソル 非慣性系と剛体の運動：コリオリ力から慣性テンソル・オイラー方程式・コマまで → 67 番
• 例 4.5 棒と球の慣性モーメント 非慣性系と剛体の運動：コリオリ力から慣性テンソル・オイラー方程式・コマまで → 68 番
• 命題 5.1 角運動量の方程式 非慣性系と剛体の運動：コリオリ力から慣性テンソル・オイラー方程式・コマまで → 72 番
• 命題 4.3 主軸 非慣性系と剛体の運動：コリオリ力から慣性テンソル・オイラー方程式・コマまで → 67 番
• 定理 5.2 オイラーの運動方程式 非慣性系と剛体の運動：コリオリ力から慣性テンソル・オイラー方程式・コマまで → 69, 70, 71, 72 番
• 定理 5.3 自由な対称コマの角速度 非慣性系と剛体の運動：コリオリ力から慣性テンソル・オイラー方程式・コマまで → 70 番
• 定理 4.2 角運動量と運動エネルギー 非慣性系と剛体の運動：コリオリ力から慣性テンソル・オイラー方程式・コマまで → 67 番
• 定理 5.5 自由剛体の主軸まわりの回転の安定性 非慣性系と剛体の運動：コリオリ力から慣性テンソル・オイラー方程式・コマまで → 69, 71 番
• 定理 4.4 平行軸の定理と運動エネルギーの分解 非慣性系と剛体の運動：コリオリ力から慣性テンソル・オイラー方程式・コマまで → 67, 68 番
• 定理 2.2 回転系での時間微分の公式 非慣性系と剛体の運動：コリオリ力から慣性テンソル・オイラー方程式・コマまで → 64, 65, 66, 72, 74 番
• 定理 2.3 回転座標系での運動方程式 非慣性系と剛体の運動：コリオリ力から慣性テンソル・オイラー方程式・コマまで → 63, 64, 65, 66, 74 番
• 定理 6.3 眠りゴマの安定条件 非慣性系と剛体の運動：コリオリ力から慣性テンソル・オイラー方程式・コマまで → 73 番
• 定義 6.1 分散関係・位相速度・群速度 振動と波動：減衰・強制振動と共鳴から基準モード、弦の波動方程式、群速度まで → 81 番
• 例 6.3 分散関係のいろいろ 振動と波動：減衰・強制振動と共鳴から基準モード、弦の波動方程式、群速度まで → 79 番
• 命題 4.3 鎖の基準モード 振動と波動：減衰・強制振動と共鳴から基準モード、弦の波動方程式、群速度まで → 79, 80, 82 番
• 定理 5.1 ダランベールの解 振動と波動：減衰・強制振動と共鳴から基準モード、弦の波動方程式、群速度まで → 79, 84, 86 番
• 定理 2.1 減衰振動の一般解 振動と波動：減衰・強制振動と共鳴から基準モード、弦の波動方程式、群速度まで → 75, 76 番
• 定理 3.1 強制振動の定常解 振動と波動：減衰・強制振動と共鳴から基準モード、弦の波動方程式、群速度まで → 77, 78 番
• 定理 6.2 波束の包絡線は群速度で進む 振動と波動：減衰・強制振動と共鳴から基準モード、弦の波動方程式、群速度まで → 81 番
• 定理 4.1 基準モードへの分解 振動と波動：減衰・強制振動と共鳴から基準モード、弦の波動方程式、群速度まで → 80, 82 番
• 定理 3.2 共鳴の条件と共鳴曲線の幅 振動と波動：減衰・強制振動と共鳴から基準モード、弦の波動方程式、群速度まで → 77, 78 番
• 定理 5.3 固定端の弦の基準振動 振動と波動：減衰・強制振動と共鳴から基準モード、弦の波動方程式、群速度まで → 79, 83, 85 番