ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系：作用・角変数、リウヴィル・アーノルドの定理、断熱不変量、KAM

0. この記事の要点

ブランコやバネの運動を、運動方程式を直接解くのではなく、「動きがいちばん単純に見える座標に乗り換える」ことで調べる話です。うまい座標が見つかれば、時間がたっても変わらない量と、一定の速さで進む量にきれいに分かれます。読み終えると、周期運動の周期を相空間の面積から読み取れること、条件をゆっくり変えても変わらない量があること、小さな乱れで規則的な運動の一部が壊れていくことの 3 点が分かります。

• 時間に依存する関数 $S(q,\alpha,t)$ がハミルトン・ヤコビ方程式 $\partial_tS+H(q,\partial_qS,t)=0$ の完全解（パラメータを含む十分に一般的な解）ならば、$\partial S/\partial\alpha=\beta$（定数）を $q$ について解くだけで運動が得られます（定理 2.2）。
• 1 自由度の周期運動では、相空間の面積から作用変数 $I=\frac1{2\pi}\oint p\,dq$ が決まり、角変数 $\varphi$ は等速で進みます。$H=H(I)$ で、周期は $T=2\pi\,dI/dE$ です（定理 3.2）。
• $n$ 自由度で $n$ 個の独立で可換な保存量があれば（可積分）、コンパクトな準位集合（保存量の値を固定した部分集合）は $n$ 次元トーラス（ドーナツ型の面を一般にした図形）で、運動はその上の準周期運動です（リウヴィルの定理、定理 4.3）。さらに正準な作用・角変数が作れます（リウヴィル・アーノルドの定理、定理 4.4）。
• ハミルトニアンのパラメータをゆっくり変えても、作用変数 $I$ は $O(\varepsilon)$ の精度で一定です。時間 $1/\varepsilon$ のあいだ有効な断熱不変量です（定理 5.1）。これが Bohr–Sommerfeld の量子化条件の古典側の根拠です。
• 可積分系に小さな摂動を加えると、摂動展開には共鳴で発散する小分母 $\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{\omega}$ が現れます（命題 6.1）。KAM 理論は、十分に非共鳴なトーラスの大部分が生き残ることを保証し、残りの領域でカオスが生まれます。この部分は概要のみを述べます。

この記事で使う事前知識

• ハミルトニアン: 座標 $q$ と運動量 $p$ で表した系のエネルギー $H$。ハミルトン方程式で運動を決めます。→ ハミルトニアン
• 相空間: 位置 $q$ と運動量 $p$ を組にして並べた空間。運動はこの空間の中の 1 本の曲線で表されます。→ ハミルトン形式の力学
• 正準変換: ハミルトン方程式の形を保つ、$(q,p)$ の新しい座標への取り替え。→ 正準変換
• ポアソン括弧: 2 つの量 $f,g$ から、座標と運動量での偏微分を使って作る量 $\{f,g\}$。$0$ のとき「可換」といいます。→ ポアソン括弧
• 保存量: 運動のあいだ、値が変わらない量。→ 保存量

1. 動機：「解く」とはどういうことか

正準変換とポアソン括弧で、新しいハミルトニアン $K$ が新しい座標 $Q$ を含まなければ、$P$ は定数、$Q$ は時間の 1 次関数になることを見ました。この発想を極限まで押し進めると、「運動方程式を解く」ことは「適当な正準変換を見つける」ことに言い換わります（注意 4.5［正準変換とポアソン括弧］）。ハミルトン・ヤコビ理論は、その変換の母関数を偏微分方程式として直接求める枠組みです。

もう 1 つの動機は量子論です。ボーアとゾンマーフェルトは、周期運動する系の許される軌道を $\oint p\,dq=nh$ という条件で選びました。この左辺は古典力学の作用変数そのものです。なぜ作用変数が量子化の対象になるのか、エネルギー準位を古典力学の知識だけからどこまで予言できるのかを、古典側から理解するのがこの記事の目標です。

そして、この枠組みがうまく働くのは「可積分」な系だけです。太陽系のような一般の系は可積分ではなく、小さな摂動でもトーラスの一部が壊れてカオスが生まれます。可積分系を理解する意義は、そこからの「ずれ」を測る基準点になることです。

2. ハミルトン・ヤコビ方程式

定義 2.1（ハミルトン・ヤコビ方程式と完全解）↗

自由度 $n$ のハミルトニアン $H(q,p,t)$ に対し、未知関数 $S(q,t)$ についての 1 階偏微分方程式

$$\frac{\partial S}{\partial t}+H\!\left(q^1,\ldots,q^n,\frac{\partial S}{\partial q^1},\ldots,\frac{\partial S}{\partial q^n},t\right)=0$$

をハミルトン・ヤコビ方程式という。$n$ 個のパラメータ $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ を含む $C^2$ 級の解 $S(q,\alpha,t)$ が、$\det\left(\dfrac{\partial^2S}{\partial q^i\partial\alpha_j}\right)\ne0$ を満たすとき、これを完全解という。

定理 2.2（ヤコビの定理）✓

$S(q,\alpha,t)$ をハミルトン・ヤコビ方程式の完全解とする。定数 $\beta_1,\ldots,\beta_n$ を選び、陰関数の定理で方程式

$$\frac{\partial S}{\partial\alpha_j}(q,\alpha,t)=\beta_j\qquad(j=1,\ldots,n)$$

を $q=q(t;\alpha,\beta)$ について解き、$p_i(t)=\dfrac{\partial S}{\partial q^i}(q(t),\alpha,t)$ とおく。このとき $(q(t),p(t))$ はハミルトン方程式の解である。

証明（定理 2.2）

記号の簡単のため添字を省き、$S_{q_i}=\partial S/\partial q^i$ などと書きます。ハミルトン・ヤコビ方程式 $S_t+H(q,S_q,t)=0$ を $\alpha_j$ で微分すると

$$S_{t\alpha_j}+\sum_k\frac{\partial H}{\partial p_k}\,S_{q_k\alpha_j}=0\tag{*}$$

です。一方、$q(t)$ は $S_{\alpha_j}(q(t),\alpha,t)=\beta_j$ を満たすので、これを $t$ で微分して

$$\sum_kS_{\alpha_jq_k}\dot q^k+S_{\alpha_jt}=0.$$

(*) との差をとると $\sum_kS_{q_k\alpha_j}\left(\dot q^k-\dfrac{\partial H}{\partial p_k}\right)=0$ で、行列 $(S_{q_k\alpha_j})$ は正則なので $\dot q^k=\partial H/\partial p_k$ です。次に、ハミルトン・ヤコビ方程式を $q^i$ で微分すると

$$S_{tq_i}+\frac{\partial H}{\partial q^i}+\sum_k\frac{\partial H}{\partial p_k}S_{q_kq_i}=0$$

です。$p_i=S_{q_i}(q(t),\alpha,t)$ の時間微分は $\dot p_i=\sum_kS_{q_iq_k}\dot q^k+S_{q_it}$ で、$\dot q^k=\partial H/\partial p_k$ を代入し上の式を使うと $\dot p_i=-\partial H/\partial q^i$ を得ます。

∎

つまり完全解を 1 つ見つけることができれば、$2n$ 個の積分定数 $(\alpha,\beta)$ を含む一般解が求まります。偏微分方程式が常微分方程式の問題に化けたわけです。$H$ が $t$ に陽によらないときは $S=W(q,\alpha)-E(\alpha)\,t$ とおき、$H(q,\partial W/\partial q)=E$ を解きます（短縮作用 $W$）。

例 2.3（調和振動子のハミルトン・ヤコビ方程式）

$H=\dfrac{p^2}{2m}+\dfrac12m\omega^2q^2$ で $S=W(q,E)-Et$ とおくと $W'(q)=\sqrt{2mE-m^2\omega^2q^2}$ です。ヤコビの定理の条件 $\partial S/\partial E=\beta$ は

$$\int\frac{m\,dq}{\sqrt{2mE-m^2\omega^2q^2}}-t=\beta \iff\frac1\omega\arcsin\!\left(\frac{m\omega q}{\sqrt{2mE}}\right)=t+\beta$$

となり、$q(t)=\sqrt{\dfrac{2E}{m\omega^2}}\sin\omega(t+\beta)$ を得ます。運動量は $p=W'(q)=\sqrt{2mE}\cos\omega(t+\beta)$ で、確かに単振動です。

命題 2.4（ハミルトン・ヤコビ方程式は量子論の古典極限）✓

質量 $m$ の粒子のシュレーディンガー方程式 $i\hbar\psi_t=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi+V\psi$ で $\psi=Ae^{iS/\hbar}$（$A,S$ は実関数）とおくと、$\hbar\to0$ の極限の主要項として $S_t+\dfrac{|\nabla S|^2}{2m}+V=0$ が得られる。

証明（命題 2.4）

$\psi_t=(A_t+iAS_t/\hbar)e^{iS/\hbar}$、$\Delta\psi=\left(\Delta A+2i\nabla A\cdot\nabla S/\hbar+iA\Delta S/\hbar-A|\nabla S|^2/\hbar^2\right)e^{iS/\hbar}$ を代入し、$e^{iS/\hbar}$ で割って実部をとると

$$-AS_t=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\Delta A-\frac{A|\nabla S|^2}{\hbar^2}\right)+VA$$

です。両辺を $-A$ で割り整理すると $S_t+\dfrac{|\nabla S|^2}{2m}+V=\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\Delta A}{A}$ です。右辺は $\hbar^2$ の order なので、$\hbar\to0$ で左辺 $=0$、すなわちハミルトン・ヤコビ方程式になります。

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これは WKB 近似の出発点です（シュレーディンガー方程式を参照）。古典力学の作用 $S$ が、量子力学の波動関数の位相です。

3. 1 自由度の作用・角変数

$H(q,p)$ が時間に陽によらない 1 自由度系で、エネルギー $E$ の準位曲線 $\{H=E\}$ が閉曲線（周期運動）である領域を考えます。$H$ は臨界点をもたず、各準位曲線は 1 つの閉軌道とします。

定義 3.1（作用変数）↗

準位曲線 $\{H=E\}$ に囲まれた相空間の面積を $A(E)$ とし、作用変数を

$$I(E)=\frac1{2\pi}\oint_{H=E}p\,dq=\frac{A(E)}{2\pi}$$

で定義する（第 2 の等号は、閉曲線で囲まれた面積が $\oint p\,dq$ であること）。

次の定理の証明では $dq\wedge dp$ のような記号を使います。これは相空間の面積要素（小さな長方形の面積）を表す記号で、座標を取り替えたときに面積がどう変わるかを計算するための道具です。ここでは「面積を保つ変換かどうかを調べる道具」と読めば十分です。

定理 3.2（1 自由度の作用・角変数）✓

周期を $T(E)$ とすると $\dfrac{dI}{dE}=\dfrac{T(E)}{2\pi}$ である。さらに、軌道上の位相 $\varphi=2\pi t/T(E)\pmod{2\pi}$ を適当な基準点から測ると、$(q,p)\mapsto(\varphi,I)$ は正準変換で、$H=H(I)$、$\dot\varphi=\omega(I)=\dfrac{dH}{dI}=\dfrac{2\pi}{T}$、$\dot I=0$ となる。

証明（定理 3.2）

準位曲線上の 1 点（基準点）を各準位曲線で連続的に選び（たとえば $q$ 軸上の $p>0$ の点）、基準点から時間 $\tau$ だけ流れた点を $(q,p)$ とします。$\tau=\tau(q,p)$ は $E$ を固定した準位曲線上で周期 $T$ を除いて決まり、ハミルトン流に沿って $\dot\tau=1$、つまり $\{\tau,H\}=1$ を満たします（定理 6.1［正準変換とポアソン括弧］）。外微分の言葉で書くと、$d\tau\wedge dH=\{\tau,H\}\,dq\wedge dp=dq\wedge dp$ です。

$E$ と $E+dE$ のあいだの帯の面積は、この関係から $T\,dE$ です（$dq\wedge dp=d\tau\wedge dE$ を $\tau\in[0,T)$ で積分する）。よって $dA/dE=T$、$dI/dE=T/2\pi$ です。次に $\varphi=2\pi\tau/T(E)$ とすると、$d\varphi=\dfrac{2\pi}T\,d\tau-\dfrac{2\pi\tau T'}{T^2}dE$ で、$I=I(E)$ より $dI=\dfrac T{2\pi}dE$ なので

$$d\varphi\wedge dI=\frac{2\pi}{T}\cdot\frac{T}{2\pi}\,d\tau\wedge dE=d\tau\wedge dE=dq\wedge dp.$$

これは $(q,p)\mapsto(\varphi,I)$ が面積要素（基本ポアソン括弧 $\{\varphi,I\}=1$）を保つことを意味し、1 自由度ではこれがシンプレクティック条件 $\det M=1$ です（定義 7.1［正準変換とポアソン括弧］, 定理 7.2［正準変換とポアソン括弧］）。正準変換のもとで、時間に依存しないハミルトニアンは $K(\varphi,I)=H$ をそのまま変数の入れ替えとして書いたもの、すなわち $E(I)$ です（同定理の 1）。したがって $\dot\varphi=\partial E/\partial I=(dI/dE)^{-1}=2\pi/T$、$\dot I=-\partial E/\partial\varphi=0$ です。

∎

エネルギー準位は $I$ だけの関数 $E(I)$ で、その微分が角振動数 $\omega=2\pi/T$ です。1 周期で角変数は $2\pi$ だけ進みます。

例 3.3（調和振動子）

$H=\dfrac{p^2}{2m}+\dfrac12m\omega_0^2q^2$ の準位曲線は半軸 $\sqrt{2mE}$ と $\sqrt{2E/(m\omega_0^2)}$ の楕円で、面積は $A=\pi\sqrt{2mE}\sqrt{2E/(m\omega_0^2)}=2\pi E/\omega_0$ です。よって $I=E/\omega_0$、$H=\omega_0I$ で、周期は $T=2\pi\,dI/dE=2\pi/\omega_0$ となり振幅によらず一定（等時性）です。量子化 $I=n\hbar$（零点エネルギーを無視）は $E_n=n\hbar\omega_0$ を与えます。

例 3.4（ケプラー問題の作用変数と縮退）

質量 $m$ の粒子が中心力ポテンシャル $-k/r$（$k>0$）の中で平面運動する場合（定理 3.1［惑星の運動と中心力］）、角運動量 $L$ は保存し、角度方向の作用変数は $I_\theta=\frac1{2\pi}\oint L\,d\theta=L$ です。動径方向では $p_r^2=2m(E+k/r)-L^2/r^2$、$E<0$ として

$$p_r^2=-A+\frac{2B}{r}-\frac{C}{r^2},\qquad A=-2mE,\ B=mk,\ C=L^2$$

とおきます。$p_r=0$ の 2 根を $r_\pm$ とします。$A(r-r_-)(r_+-r)/r^2=p_r^2$ より $\oint p_rdr=2\sqrt A\int_{r_-}^{r_+}\dfrac{\sqrt{(r-r_-)(r_+-r)}}{r}dr$ です。$r=a+b\cos\phi$（$a=\frac{r_++r_-}2$, $b=\frac{r_+-r_-}2$, $0\le\phi\le\pi$）とおくと、$\sqrt{(r-r_-)(r_+-r)}=b\sin\phi$ で、積分は $\displaystyle b^2\int_0^\pi\frac{\sin^2\phi}{a+b\cos\phi}d\phi$ になります。多項式の割り算 $1-\cos^2\phi=(a+b\cos\phi)\left(\dfrac{a}{b^2}-\dfrac{\cos\phi}{b}\right)+1-\dfrac{a^2}{b^2}$ と、$u=\tan(\phi/2)$ による $\displaystyle\int_0^\pi\frac{d\phi}{a+b\cos\phi}=\frac{\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}$ から、この積分は $\pi\left(a-\sqrt{a^2-b^2}\right)=\pi\left(\frac{r_++r_-}{2}-\sqrt{r_+r_-}\right)$ です。解と係数の関係 $r_++r_-=2B/A$, $r_+r_-=C/A$ を使うと

$$I_r=\frac1{2\pi}\oint p_r\,dr=\frac{B}{\sqrt A}-\sqrt C=\frac{mk}{\sqrt{-2mE}}-L \quad\Longrightarrow\quad E=-\frac{mk^2}{2(I_r+L)^2}.$$

エネルギーは作用変数の組み合わせ $I_r+I_\theta$ だけに依存します。したがって動径方向の角振動数 $\partial E/\partial I_r$ と角度方向の角振動数 $\partial E/\partial I_\theta$ は等しく、ケプラー軌道は閉じます（定理 5.2［惑星の運動と中心力］）。この縮退が、ラプラス–ルンゲ–レンツベクトルの保存（命題 7.1［惑星の運動と中心力］）の現れです。$I_r+L=n\hbar$ とおけば、水素原子のボーアの準位 $E_n=-mk^2/(2n^2\hbar^2)$ が得られます。

4. 可積分系：リウヴィル・アーノルドの定理

4.1. 可換な保存量とトーラス

$2n$ 次元の相空間の領域 $U$ 上で、$n$ 個の関数 $F_1=H,F_2,\ldots,F_n$ が次の 2 つを満たすとき、この系を**（リウヴィルの意味で）可積分**といいます。

1. $\{F_i,F_j\}=0$（すべての $i,j$。互いにポアソン括弧が $0$、つまり可換）。
2. $dF_1,\ldots,dF_n$ が $U$ の各点で一次独立。

$F=(F_1,\ldots,F_n):U\to\mathbb{R}^n$ と書き、$M_f=F^{-1}(f)$ を準位集合とします。2. は $f$ が $F$ の正則値であることなので、正則値定理（定理 4.3［部分多様体と正則値定理］）により $M_f$ は $n$ 次元の埋め込み部分多様体です。関数 $G$ のハミルトンベクトル場を $X_G=(\partial G/\partial p,-\partial G/\partial q)$ と定めます。$X_G$ の流れに沿った $f$ の変化率は $X_Gf=\{f,G\}$ です（定理 6.1［正準変換とポアソン括弧］）。$X_j\equiv X_{F_j}$ と書きます。

この節の狙いは、可積分系の準位集合が必ずトーラスになることを示すことです。方針は、$n$ 個の保存量それぞれが作る流れが互いに入れ替え可能であることを使い、準位集合の上を $n$ 方向に動き回れる「$n$ 個の時計」を作ることです。その時計がもとに戻る時刻の組が整数格子（次の補題）になるので、準位集合は $\mathbb{R}^n$ を格子で割った形、すなわちトーラスになります。

補題 4.1（可換なハミルトンベクトル場）✓

$\{F_i,F_j\}=0$ ならば、(1) $X_i$ は各 $M_f$ に接し、(2) $X_iX_jg=X_jX_ig$（任意の関数 $g$）、したがって $X_i$ の流れ（の時間 $s$ 写像）は互いに可換、(3) 各点で $X_1,\ldots,X_n$ は一次独立で $T M_f$ を張る。

証明（補題 4.1）

(1) $X_iF_j=\{F_j,F_i\}=0$ なので、$X_i$ は $F_j$ を保ち、準位集合 $M_f$ に接します。(2) $X_jg=\{g,F_j\}$ なので、$X_i(X_jg)=\{\{g,F_j\},F_i\}$ です。ヤコビ恒等式（命題 5.2［正準変換とポアソン括弧］）より $\{\{g,F_j\},F_i\}-\{\{g,F_i\},F_j\}=-\{\{F_j,F_i\},g\}=0$。ベクトル場の括弧が $0$ であることから流れが可換であることが従います（命題 5.1［ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理］）。(3) $q,p$ に関する行列として $X_G=J\nabla G$（$J$ は正則な標準行列）なので、$\sum c_iX_i=J\nabla(\sum c_iF_i)=0$ なら $\sum c_i\,dF_i=0$ で、$dF_i$ の一次独立性から $c_i=0$ です。$M_f$ は $n$ 次元で、(1) より $X_i$ は接ベクトルなので、これらが $TM_f$ を張ります。

∎

次の補題は、この後の議論で出てくる整数格子の構造を与えます。直線上の等間隔の点や平面上の格子点のように、とびとびに並んだ点の集まり（離散部分群）が、いくつかのベクトルの整数倍の和で書けることを示します。証明は次元についての帰納法で、1 つ方向を取り出して残りの次元に帰着させます。

補題 4.2（離散部分群の構造）✓

$\Gamma\subset\mathbb{R}^n$ を加法の部分群で、有界集合との共通部分が常に有限集合であるもの（離散的）とする。このとき一次独立なベクトル $v_1,\ldots,v_k\in\Gamma$（$k\le n$）が存在して $\Gamma=\mathbb{Z}v_1+\cdots+\mathbb{Z}v_k$ となる。

証明（補題 4.2）

$k=\dim\mathrm{span}\,\Gamma$ についての帰納法で示します。$k=0$ は自明です。$\Gamma$ から一次独立な $\gamma_1,\ldots,\gamma_k$ を選び、線形汎関数 $c$ を $c(\gamma_i)=0\ (i<k)$, $c(\gamma_k)=1$ で定めます。$c(\Gamma)\cap[0,1]$ が有限集合であることを示します。$\gamma\in\Gamma$ で $c(\gamma)\in[0,1]$ のとき、$\gamma$ から $\gamma_1,\ldots,\gamma_{k-1}$ の整数係数の結合を引いて、$\gamma_1,\ldots,\gamma_{k-1}$ の張る空間の成分が平行体 $\{\sum t_i\gamma_i:0\le t_i<1\}$ に入るようにできます。こうして得た $\gamma'\in\Gamma$ は有界な集合に入るので、可能性は有限個です。よって $c(\Gamma)$ は $\mathbb{R}$ の離散部分群で、$1$ を含むので、ある $\delta>0$ により $c(\Gamma)=\delta\mathbb{Z}$ です。$c(v_k)=\delta$ となる $v_k\in\Gamma$ を選ぶと、任意の $\gamma\in\Gamma$ に対し $c(\gamma)=m\delta$ なら $\gamma-mv_k\in\Gamma\cap\ker c$ です。$\Gamma\cap\ker c$ は $\mathrm{span}(\gamma_1,\ldots,\gamma_{k-1})$ に含まれる離散部分群で、帰納法の仮定により格子 $\mathbb{Z}v_1+\cdots+\mathbb{Z}v_{k'}$（$k'\le k-1$）です。全体で $\dim\mathrm{span}\,\Gamma=k$ なので $k'=k-1$ で、$v_1,\ldots,v_k$ は一次独立です。

∎

定理 4.3（リウヴィルの定理：コンパクトな準位集合はトーラス）✓

可積分系で、準位集合 $M_f$ がコンパクトかつ連結ならば、$M_f$ は $n$ 次元トーラス $T^n=(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z})^n$ に微分同相である。さらに $M_f$ 上に座標 $\varphi=(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)\bmod2\pi$ を取って、ハミルトン方程式が $\dot\varphi=\omega(f)$（定数ベクトル）となるようにできる。すなわち運動は準周期運動である。

証明（定理 4.3）

$M_f$ はコンパクトなので、その上のベクトル場 $X_j$ の流れは全時間にわたって存在します（解が有限時間で無限遠に逃げられない）。補題 4.1 により、これらは $\mathbb{R}^n$ の作用 $g_t=g^{(1)}_{t_1}\circ\cdots\circ g^{(n)}_{t_n}$（$t\in\mathbb{R}^n$）を与えます。

推移性。 一点 $x_0\in M_f$ を取り、$t\mapsto g_tx_0$ の $t$ における微分は $e_j\mapsto X_j(g_tx_0)$ で、これは 補題 4.1 の (3) により $T_{g_tx_0}M_f$ への同型です。よって軌道は $M_f$ の開部分集合です。異なる軌道は互いに素で、すべて開集合なので、各軌道は閉でもあります。$M_f$ が連結なので、軌道はただ 1 つ、すなわち $M_f$ 全体です。

固定部分群。 $\Gamma=\{t:g_tx_0=x_0\}$ は閉部分群で、$t\mapsto g_tx_0$ が局所微分同相であることから $0$ の近傍で単射、したがって離散です。作用が可換なので $\Gamma$ は $x_0$ の選び方によりません。補題 4.2 より $\Gamma=\mathbb{Z}v_1+\cdots+\mathbb{Z}v_k$、一次独立。写像 $\mathbb{R}^n/\Gamma\to M_f$, $t\mapsto g_tx_0$ は全単射な局所微分同相で、$\mathbb{R}^n/\Gamma\cong\mathbb{R}^{n-k}\times T^k$ です。これがコンパクトなので $k=n$、$M_f\cong T^n$ です。

線形座標。 $V=(v_1\cdots v_n)$ と書き、$t=V\varphi/(2\pi)$ により $\varphi\in\mathbb{R}^n/2\pi\mathbb{Z}^n$ を座標にします。ハミルトニアンは $H=F_1$ で $X_H=X_1$ なので、運動は $t=(s,0,\ldots,0)$ に対応します。したがって $\dot\varphi=2\pi V^{-1}e_1\equiv\omega(f)$ は定数です。

∎

運動は $\varphi(t)=\varphi_0+\omega t$ で、成分ごとに $2\pi$ で巻き戻る直線運動です。振動数 $\omega_1,\ldots,\omega_n$ が有理数比でない（$\boldsymbol{k}\cdot\omega\ne0$、$\boldsymbol{k}\in\mathbb{Z}^n\setminus\{0\}$）ならこの直線はトーラス上で稠密になり、そうでない（共鳴する）ならより小さい部分トーラスの上に収まります。

4.2. 作用・角変数

次は、これらのトーラスの上に正準な座標を作る定理です。準位集合 $M_f$ は $f$ が動く開集合 $W\subset\mathbb{R}^n$ について、すべてコンパクトかつ連結で、$F^{-1}(W)$ 内にあるとします（定理 4.3 の仮定を族に拡張した、標準的な状況です）。

次の定理の証明の方針は 3 段階です。まず作用変数 $I_k$ を、トーラスを 1 周する積分で定めます。次に角変数を、流れの時間から作ります。最後に、2 形式 $\sum dp_i\wedge dq^i$ が $\sum dI_k\wedge d\varphi_k$ に一致するよう、角変数を $I$ だけの関数でずらして調整します。

定理 4.4（リウヴィル・アーノルドの定理）✓

上の仮定のもとで、$f_0\in W$ の近傍 $W_0$ と、$F^{-1}(W_0)$ から $D\times T^n$（$D\subset\mathbb{R}^n$ は開球）への微分同相 $(q,p)\mapsto(I,\varphi)$ が存在して、次が成り立つ。

1. $\sum_i dp_i\wedge dq^i=\sum_k dI_k\wedge d\varphi_k$ である（$(\varphi,I)$ は正準座標）。
2. $F_j$ は $I$ のみの関数で、$I_k$ は運動の定数、$\dot\varphi_k=\partial H/\partial I_k=\omega_k(I)$ である。
3. $I_k$ はトーラス上の基本閉曲線 $\gamma_k$ による積分 $I_k=\dfrac1{2\pi}\displaystyle\oint_{\gamma_k}\sum_ip_i\,dq^i$ で与えられる。

証明（定理 4.4）

準備。 $F$ は沈め込み（$dF$ が全射）なので、局所的に滑らかな切断 $x_0(f)\in M_f$ が取れます。$x(t,f)=g_t^{(f)}x_0(f)$ とおくと、$F_j(x(t,f))=f_j$（流れは $F_j$ を保つ）で、写像 $\Phi:(t,f)\mapsto x(t,f)$ の微分は、$t$ 方向で $X_j$、$f$ 方向で $dF_j$ に $\delta_{jm}$ を与える形なので正則です。$\Phi$ は局所微分同相で、定理 4.3 により各 $f$ で固定部分群 $\Gamma_f=\bigoplus\mathbb{Z}T_k(f)$ をもちます。格子の基底 $T_k(f)\in\mathbb{R}^n$ は、陰関数の定理により $f$ について局所的に滑らかに取れます。$I_k$ を、閉曲線 $\gamma_k:s\mapsto x(sT_k(f),f)\ (0\le s\le1)$ に沿う積分

$$I_k(f)=\frac1{2\pi}\int_0^1\sum_ip_i\,\partial_sq^i\,ds$$

で定義します。

$I(f)$ の微分。 相空間の 2 形式 $\omega_0=\sum dp_i\wedge dq^i$ について、ベクトル $u,v$ の値は $\omega_0(u,v)=\sum_i(u_{p_i}v_{q_i}-u_{q_i}v_{p_i})$ です。$v=X_G$ とすると $\omega_0(u,X_G)=\sum(u_{p_i}\partial_{p_i}G+u_{q_i}\partial_{q_i}G)=dG(u)$ です。$\partial_sx=\sum_jT_k^jX_j$ に注意して $I_k$ を $f_m$ で微分すると

$$2\pi\,\partial_{f_m}I_k=\int_0^1\left(\partial_{f_m}p\cdot\partial_sq-\partial_sp\cdot\partial_{f_m}q\right)ds+\Bigl[p\cdot\partial_{f_m}q\Bigr]_{s=0}^{s=1}.$$

（積の微分と $p\cdot\partial_s\partial_{f_m}q$ の部分積分。）閉曲線なので境界項は $0$、被積分関数は $\omega_0(\partial_{f_m}x,\partial_sx)=\sum_jT_k^j\,dF_j(\partial_{f_m}x)=\sum_jT_k^j\,\partial_{f_m}f_j=T_k^m$ です。よって

$$\frac{\partial I_k}{\partial f_m}=\frac{T_k^m}{2\pi}.$$

$T_k$ は一次独立なので $\det(\partial I/\partial f)\ne0$、$f\mapsto I$ は局所微分同相です。$W_0$ を小さく取り、その像 $D$ を開球にできます。これで 2. の前半（$F_j$ は $I$ の関数、$I$ は定数）が従います。

角変数。 $\varphi\in\mathbb{R}^n/2\pi\mathbb{Z}^n$ を、$x=x\bigl(\sum_k\varphi_kT_k(f)/2\pi,\ f\bigr)$ で定めます。$(\varphi,f)$、したがって $(\varphi,I)$ は $F^{-1}(W_0)$ の座標です。運動は $\dot\varphi=\omega(I)$（定理 4.3）。

シンプレクティック形式の計算。 座標ベクトル場で $\omega_0$ を計算します。(i) $\partial_{\varphi_k}x=\frac1{2\pi}\sum_jT_k^jX_j$ なので、$\omega_0(\partial_{\varphi_k},\partial_{\varphi_l})=\frac1{4\pi^2}\sum T_k^iT_l^j\omega_0(X_i,X_j)=\frac1{4\pi^2}\sum T_k^iT_l^j\,dF_j(X_i)=0$（$X_iF_j=0$）。(ii) $\partial_{f_m}|_\varphi x=\partial_{f_m}|_tx+\sum_jc_jX_j$（$c_j$ は $\varphi$ が $T_k(f)$ に依存することから出る係数）なので、$\omega_0(\partial_{\varphi_k},\partial_{f_m})=\frac1{2\pi}\sum_iT_k^i\bigl[\omega_0(X_i,\partial_{f_m}|_tx)+0\bigr]=-\frac1{2\pi}\sum_iT_k^i\,\partial_{f_m}f_i=-\frac{T_k^m}{2\pi}=-\frac{\partial I_k}{\partial f_m}$。ここで $\omega_0(X_i,u)=-\omega_0(u,X_i)=-dF_i(u)$ を使いました。座標を $(\varphi,I)$ に取り替えると $\partial_{I_l}=\sum_m(\partial f_m/\partial I_l)\partial_{f_m}$ なので、

$$\omega_0(\partial_{\varphi_k},\partial_{I_l})=-\delta_{kl}.$$

(iii) $B_{kl}\equiv\omega_0(\partial_{I_k},\partial_{I_l})$ とおくと、(i)–(iii) より 2 形式として

$$\omega_0=\sum_kdI_k\wedge d\varphi_k+\sum_{k<l}B_{kl}\,dI_k\wedge dI_l$$

です。$\omega_0$ は閉形式（$d\omega_0=0$）で、第 1 項も閉なので、$d\left(\sum_{k<l}B_{kl}dI_k\wedge dI_l\right)=0$ です。この式の $d\varphi_m\wedge dI_k\wedge dI_l$ の係数から $\partial B_{kl}/\partial\varphi_m=0$、つまり $B_{kl}$ は $I$ のみの関数で、$\sum_{k<l}B_{kl}dI_kdI_l$ は球 $D$ 上の閉 2 形式です。ポアンカレの補題（定理 3.4［de Rham コホモロジー］、星形領域での閉形式の完全性）により、$D$ 上の 1 形式 $\alpha=\sum a_k(I)dI_k$ で $d\alpha=-\sum_{k<l}B_{kl}dI_kdI_l$ となるものがあります。$\varphi'_k=\varphi_k+a_k(I)$ とおくと $\sum dI_k\wedge d\varphi'_k=\sum dI_k\wedge d\varphi_k+\sum_k dI_k\wedge da_k=\omega_0$ となります。$\varphi'$ も $2\pi$ 周期の座標で、$I$ は変わらず、$\dot\varphi'=\omega(I)$（$a_k(I)$ は定数）なので、$\varphi'$ を改めて $\varphi$ と書けば 1. と 2. が従います。3. は $I_k$ の定義そのものです（$\gamma_k$ は $s\mapsto x(sT_k,f)$ で、$\varphi_k$ だけが $0$ から $2\pi$ まで動く曲線）。

∎

2 形式 $\sum dp_i\wedge dq^i=\sum dI_k\wedge d\varphi_k$ がヤコビ行列のシンプレクティック性と同値であること（定理 7.2［正準変換とポアソン括弧］）から、$(\varphi,I)$ が正準座標であり、ハミルトニアンの時間発展は $\dot I_k=-\partial H/\partial\varphi_k=0$, $\dot\varphi_k=\partial H/\partial I_k$ です。これで可積分系は「作用変数が定数、角変数が等速」というもっとも単純な形になります。

例 4.5（2 次元の調和振動子とリサジュー図形）

$H=\dfrac{p_x^2+p_y^2}{2m}+\dfrac12m(\omega_1^2x^2+\omega_2^2y^2)$ は $F_1=H_x=\dfrac{p_x^2}{2m}+\dfrac12m\omega_1^2x^2$ と $F_2=H_y$ に分かれ、$\{H_x,H_y\}=0$ です。例 3.3 を各方向に使って $I_x=H_x/\omega_1$, $I_y=H_y/\omega_2$、$H=\omega_1I_x+\omega_2I_y$、$\dot\varphi_x=\omega_1$, $\dot\varphi_y=\omega_2$ です。$\omega_1/\omega_2$ が有理数なら軌道は閉じたリサジュー図形になり、無理数なら $x$-$y$ 平面の長方形領域を稠密に埋めます。これがトーラス上の準周期運動の具体例です。

5. 断熱不変量

ハミルトニアンがパラメータ $\lambda$ を含み、それが運動に比べてゆっくり変わる場合を考えます。バネの強さ、振り子の糸の長さ、磁場の強さなどがその例です。

1 自由度のハミルトニアン $H(q,p;\lambda)$ で、$\lambda=\lambda(\varepsilon t)$、$\varepsilon>0$ は小さい定数、$\lambda(\tau)$ は $\tau\in[0,1]$ で $C^2$ 級とします。次を仮定します。

• (A) $\lambda$ を固定したとき、第 3 節のように作用・角変数 $(\varphi,I)$ が相空間の領域 $R$ に存在し、$(q,p,\lambda)$ について滑らかに依存する。エネルギー $E(I,\lambda)$ の角振動数 $\omega=\partial E/\partial I$ は $[I_1,I_2]$ で $\omega\ge\omega_{\min}>0$。
• (B) 母関数 $W(q,I,\lambda)$（$p=\partial W/\partial q$, $\varphi=\partial W/\partial I$）の $\lambda$ 微分 $\Lambda(\varphi,I,\lambda)=\partial W/\partial\lambda|_{q,I}$ が $(\varphi,I,\lambda)$ の滑らかな関数で、$\varphi$ について $2\pi$ 周期。（$W$ が 1 周で増える量 $2\pi I$ は $\lambda$ によらないので、周期性は自然な仮定です。）

母関数が時間（$\lambda(\varepsilon t)$ を通じて）に依存する正準変換の新しいハミルトニアンは $K=H+\partial W/\partial t$ です（定義 3.1［正準変換とポアソン括弧］ の $dt$ の係数を比べる）。したがって新しい座標では

$$K(\varphi,I,t)=E\bigl(I,\lambda(\varepsilon t)\bigr)+\varepsilon\lambda'(\varepsilon t)\,\Lambda\bigl(\varphi,I,\lambda(\varepsilon t)\bigr)$$

です。

定理 5.1（作用変数は断熱不変量）✓

上の仮定のもとで、定数 $C$ と $\varepsilon_0>0$ が存在し、$I(0)\in[I_1+\delta,I_2-\delta]$ から出発する解は、$0<\varepsilon<\varepsilon_0$ ならば $0\le t\le1/\varepsilon$ で

$$|I(t)-I(0)|\le C\varepsilon$$

を満たす（$C$ は $\Lambda$ と $\omega$ の導関数、$\lambda',\lambda''$、$\omega_{\min}$ から決まる定数）。

証明（定理 5.1）

$K$ のハミルトン方程式は $\dot I=-\partial K/\partial\varphi=-\varepsilon\lambda'\,\partial_\varphi\Lambda$、$\dot\varphi=\partial K/\partial I=\omega(I,\lambda)+\varepsilon\lambda'\partial_I\Lambda$ です。$I$ が $[I_1,I_2]$ にある間は、定数 $C_1$ により $|\dot I|\le C_1\varepsilon$ で、$\varepsilon$ が十分小さければ $\dot\varphi\ge\omega_{\min}/2$ です。

$\dot I$ を時間で積分します。$\dfrac{d\Lambda}{dt}=\partial_\varphi\Lambda\,\dot\varphi+\partial_I\Lambda\,\dot I+\varepsilon\lambda'\partial_\lambda\Lambda$ より $\partial_\varphi\Lambda=\dot\varphi^{-1}\left(\dfrac{d\Lambda}{dt}-\partial_I\Lambda\,\dot I-\varepsilon\lambda'\partial_\lambda\Lambda\right)$ なので、

$$\int_0^t\lambda'\,\partial_\varphi\Lambda\,ds=\left[\frac{\lambda'\Lambda}{\dot\varphi}\right]_0^t-\int_0^t\Lambda\,\frac{d}{ds}\!\left(\frac{\lambda'}{\dot\varphi}\right)ds-\int_0^t\frac{\lambda'}{\dot\varphi}\left(\partial_I\Lambda\,\dot I+\varepsilon\lambda'\partial_\lambda\Lambda\right)ds$$

です（部分積分）。右辺第 1 項は有界。$\dfrac{d}{ds}\dfrac{\lambda'}{\dot\varphi}=\dfrac{\varepsilon\lambda''}{\dot\varphi}-\dfrac{\lambda'\ddot\varphi}{\dot\varphi^2}$ で、$\ddot\varphi=\partial_I\omega\,\dot I+\varepsilon\lambda'\partial_\lambda\omega+\varepsilon\,\dfrac{d}{ds}(\lambda'\partial_I\Lambda)=O(\varepsilon)$ なので、第 2・第 3 項の被積分関数はいずれも $O(\varepsilon)$ です。積分区間の長さは $t\le1/\varepsilon$ なので、全体で $O(1)$ です。以上より $|I(t)-I(0)|=\varepsilon\left|\int_0^t\lambda'\partial_\varphi\Lambda\,ds\right|\le C\varepsilon$ です。

最後に $I$ が範囲を出ないことを確かめます。$\varepsilon$ を $C\varepsilon<\delta$ と取り、$t_*=\sup\{t\le1/\varepsilon:I(s)\in[I_1,I_2]\ (s\le t)\}$ とすると、$[0,t_*]$ で上の評価が成り立ち $|I-I(0)|<\delta$ なので、$I$ は端に達せず $t_*=1/\varepsilon$ です。

∎

主要部分の意味は、「$\varphi$ が速く回るので、$\dot I$ の $\varphi$ 依存の部分は平均すると打ち消し合う」ということです。一方 $\dot\varphi=\omega$ が $0$ に近づく（分離線の近く）と、この議論は破れます。

例 5.2（糸をゆっくり短くする振り子）

質量 $m$、糸の長さ $l$ の単振り子の微小振動 $H=\dfrac{p_\theta^2}{2ml^2}+\dfrac12mgl\,\theta^2$ で、$\lambda=l$ をゆっくり変えます。角振動数は $\omega=\sqrt{g/l}$、$E=\omega I$ なので、定理 5.1 により $E/\omega$ が保たれ、$E\propto l^{-1/2}$ です。一方 $E=\frac12mgl\,\theta_0^2$ なので $\theta_0^2\propto E/l\propto l^{-3/2}$、すなわち振幅 $\theta_0\propto l^{-3/4}$ です。糸を $1.0\ \mathrm{m}$ から $0.5\ \mathrm{m}$ に縮めると、角振幅は $2^{3/4}=1.68$ 倍、エネルギーは $\sqrt2=1.41$ 倍になります。増えたエネルギーは、糸を引く手が行った仕事です。

注意 5.3

作用変数が断熱不変量であることは、量子化条件が作用変数に課される理由を説明します。外部パラメータをゆっくり変えたときに、量子化された量が連続的に変わってしまっては困ります。この考え（エーレンフェストの断熱仮説）に従えば、量子化できるのは断熱不変量だけです。Bohr–Sommerfeld の条件 $\oint p\,dq=2\pi\hbar\,(n+\tfrac12)$ は、第 2 節の WKB の位相 $e^{iS/\hbar}$ が 1 周で元に戻る条件（$n+\frac12$ は転回点での位相の補正）として得られます。調和振動子の $I=E/\omega$ では $E_n=\hbar\omega(n+\frac12)$、そして量子数 $n$ は $\omega$ をゆっくり変えても保たれます。

6. 可積分系からのずれ：KAM とカオス（概要）

可積分系 $H_0(I)$ に小さな摂動を加えた

$$H(\varphi,I)=H_0(I)+\varepsilon H_1(\varphi,I),\qquad H_1=\sum_{\boldsymbol{k}\in\mathbb{Z}^n}h_{\boldsymbol{k}}(I)\,e^{i\boldsymbol{k}\cdot\varphi}$$

を考えます。$\omega(I)=\partial H_0/\partial I$ とします。

命題 6.1（一次の摂動と小分母）✓

$H_1$ に現れる $\boldsymbol{k}$ は有限個とし、ある $I_0$ の近傍で、$h_{\boldsymbol{k}}\ne0$ となるすべての $\boldsymbol{k}\ne0$ について $\boldsymbol{k}\cdot\omega(I)\ne0$ とする。

$$\chi(\varphi,I)=\sum_{\boldsymbol{k}\ne0}\frac{i\,h_{\boldsymbol{k}}(I)}{\boldsymbol{k}\cdot\omega(I)}\,e^{i\boldsymbol{k}\cdot\varphi}$$

を母関数 $F_2=\varphi\cdot I'+\varepsilon\chi(\varphi,I')$ とする正準変換 $I=I'+\varepsilon\,\partial_\varphi\chi$, $\varphi'=\varphi+\varepsilon\,\partial_{I'}\chi$ により、新しいハミルトニアンは

$$K(\varphi',I')=H_0(I')+\varepsilon h_{\boldsymbol{0}}(I')+O(\varepsilon^2)$$

となる。ここで $h_{\boldsymbol{0}}=\langle H_1\rangle$ は $H_1$ の $\varphi$ についての平均である。

証明（命題 6.1）

$F_2$ 型の母関数（定義 3.1［正準変換とポアソン括弧］）で、$I=\partial F_2/\partial\varphi=I'+\varepsilon\partial_\varphi\chi$ です。時間依存性がないので新しいハミルトニアンは $H$ に代入して $K=H_0(I'+\varepsilon\partial_\varphi\chi)+\varepsilon H_1(\varphi,I'+\varepsilon\partial_\varphi\chi)$ です。$\varepsilon$ について展開すると

$$K=H_0(I')+\varepsilon\Bigl[\omega(I')\cdot\partial_\varphi\chi+H_1(\varphi,I')\Bigr]+O(\varepsilon^2)$$

です。$\omega\cdot\partial_\varphi e^{i\boldsymbol{k}\cdot\varphi}=i(\boldsymbol{k}\cdot\omega)\,e^{i\boldsymbol{k}\cdot\varphi}$ なので、$\chi$ の定義から $\omega\cdot\partial_\varphi\chi=\sum_{\boldsymbol{k}\ne0}\dfrac{i\,h_{\boldsymbol{k}}}{\boldsymbol{k}\cdot\omega}\,i(\boldsymbol{k}\cdot\omega)e^{i\boldsymbol{k}\cdot\varphi}=-\sum_{\boldsymbol{k}\ne0}h_{\boldsymbol{k}}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\varphi}=-(H_1-h_{\boldsymbol{0}})$ です。ゆえに括弧の中は $h_{\boldsymbol{0}}(I')$ に等しく、$\varphi$ に依存しません。

∎

この計算は、摂動の振動する部分が $O(\varepsilon)$ の変換で消去できることを示します。ただし $\chi$ の係数にはいたるところ $1/(\boldsymbol{k}\cdot\omega)$、すなわち小分母が現れます。共鳴 $\boldsymbol{k}\cdot\omega(I)=0$ の近くでは変換が大きく、展開が成り立たなくなります。すべての $\boldsymbol{k}\in\mathbb{Z}^n$ について展開を続けると、共鳴する $I$ は稠密に分布するため、形式的な級数は一般に収束しません。

例 6.2（共鳴の近傍に現れる幅 $\sqrt\varepsilon$ の構造）

$H=\dfrac{I_1^2+I_2^2}{2}+\varepsilon\cos(\varphi_1-\varphi_2)$ は $\omega=(I_1,I_2)$, $\boldsymbol{k}=(1,-1)$ で、共鳴は $I_1=I_2$ です。一次摂動の母関数は $\chi=-\dfrac{\sin(\varphi_1-\varphi_2)}{I_1-I_2}$ です（演習 7.3 で確かめます）。共鳴を中心に、$\psi=\varphi_1-\varphi_2$, $J=(I_1-I_2)/2$ とおくと、この系は振り子 $H_{\mathrm{eff}}=J^2+\varepsilon\cos\psi$ に帰着します（重心の運動を分けた）。これは $|J|\lesssim\sqrt{\varepsilon}$ の領域で、トーラスが壊れてセパラトリクスに囲まれた島（位相が $\psi$ に固定される運動）ができる様子を表し、幅が $\sqrt\varepsilon$ のオーダーであることがわかります。

セパラトリクスとは、島の内側の往復する運動と、外側の回り続ける運動を分ける境目の軌道のことです。下の図は、この振り子 $H_{\mathrm{eff}}=J^2+\varepsilon\cos\psi$ の位相図です。

共鳴付近の位相図。太い曲線がセパラトリクスで、その内側が島（ψ=π を中心とする往復運動）、外側が回り続ける運動。ψ=0 と ψ=2π は同じ点

注意 6.3（KAM の定理（主張のみ））

上の困難は、コルモゴロフ（1954）、アーノルド（1963）、モーザー（1962）によって部分的に克服されました。大まかには次の内容です。

$H_0$ が解析的で非退化（$\det(\partial^2H_0/\partial I^2)\ne0$）、$H_1$ が解析的であるとする。ある $\gamma>0,\tau>n-1$ についてディオファントス条件 $|\boldsymbol{k}\cdot\omega|\ge\gamma/|\boldsymbol{k}|^\tau$（すべての $\boldsymbol{k}\in\mathbb{Z}^n\setminus\{0\}$）を満たす振動数 $\omega$ をもつ不変トーラスは、$\varepsilon$ が十分小さいとき、わずかに変形されて生き残る。しかも生き残るトーラスが占める相空間の割合は、$\varepsilon\to0$ で $1$ に近づく。

証明は、小分母の問題を、ニュートン法のように $\varepsilon\to\varepsilon^2\to\varepsilon^4\to\cdots$ と二次収束する反復で克服する点が本質ですが、ここでは述べません（Pöschel の解説論文を参照）。生き残らないのは共鳴の近傍で、そこにはカオスが生まれます。 自由度が $n=2$ のとき、エネルギー面（3 次元）の中で不変トーラス（2 次元）は領域を分けるので、トーラスに挟まれた軌道は永久にそこにとどまります。$n\ge3$ ではトーラスの隙間がつながり、共鳴を伝ってゆっくり動くアーノルド拡散が可能になります。

例 6.4（標準写像：トーラスの崩壊を数値で見る）

角度 $\theta$ と運動量 $p$ をもつ回転子に、周期 $1$ ごとに力 $K\sin\theta$ のキックを与えると、1 周期ごとの写像は

$$p_{n+1}=p_n+K\sin\theta_n,\qquad\theta_{n+1}=\theta_n+p_{n+1}\pmod{2\pi}$$

です（標準写像）。$K=0$ では $p$ が一定で、可積分です（定理 4.3 の離散版）。次のコードで、回転数が黄金比 $(\sqrt5-1)/2$ に対応する初期条件 $p_0=\pi(\sqrt5-1)$ から $10^5$ 回反復し、$p$ を $2\pi$ で巻き戻さずに記録して、その最大と最小の差を調べます。

import numpy as np

def standard_map(theta, p, K, n):
    """標準写像を n 回反復し、p を巻き戻さずに返す"""
    ps = np.empty(n)
    for i in range(n):
        p = p + K * np.sin(theta)
        theta = (theta + p) % (2 * np.pi)
        ps[i] = p
    return ps

p0 = np.pi * (np.sqrt(5) - 1)
for K in (0.5, 0.9, 1.5, 3.0):
    ps = standard_map(1.0, p0, K, 100000)
    print(K, ps.max() - ps.min())

実行すると、$K=0.5$ で約 $0.53$、$K=0.9$ で約 $0.89$ と $p$ の変動が $K$ 程度に収まり、軌道は変形したトーラス（KAM 曲線）に閉じ込められたままです。$K=1.5$ では約 $120$、$K=3.0$ では約 $890$ と、$p$ が拡散的に大きくなります。黄金比の回転数をもつ最後の KAM 曲線が壊れる臨界値は $K_c\approx0.9716$ であることが、Greene により数値的に示されています。この値を境に、運動量方向に抜ける障壁がなくなります。

命題 6.5（可積分系ではずれは線形にしか増えない）✓

可積分系（定理 4.4）で、$\omega(I)$ が $C^2$ 級ならば、近接する 2 つの軌道の作用・角座標でのずれは $\delta I(t)=\delta I_0$, $\delta\varphi(t)=\delta\varphi_0+\dfrac{\partial\omega}{\partial I}\delta I_0\,t+O(|\delta I_0|^2t)$ であり、$t$ の 1 次式でしか増えない。

証明（命題 6.5）

作用変数は定数なので $\delta I(t)=\delta I_0$ です。角変数は $\varphi(t)=\varphi_0+\omega(I)t$ なので、$\delta\varphi(t)=\delta\varphi_0+\bigl(\omega(I+\delta I_0)-\omega(I)\bigr)t$ で、テイラー展開により結論です。

∎

これに対し、カオス的な運動ではずれが指数関数的に増えます。リャプノフ指数（近い 2 点が離れていく割合を表す量）$\Lambda_L=\lim_{t\to\infty}\frac1t\ln\frac{|\delta z(t)|}{|\delta z(0)|}$ が正であることがカオスの目印で、可積分系では上の命題により $\Lambda_L=0$ です。ポアンカレは三体問題を調べて、一般のハミルトン系は $H$ 以外に解析的な第一積分をもたないことを示しました。可積分系は例外で、そこからのずれがカオスを生みます。

7. 演習

演習 7.1易

一様重力場中の質量 $m$ の粒子 $H=\dfrac{p^2}{2m}+mgq$（$q$ は鉛直上向き）について、$S=W(q,E)-Et$ の形でハミルトン・ヤコビ方程式の完全解を求め、ヤコビの定理から $p(t)$ を導いてください。

解答

$W'(q)=\sqrt{2m(E-mgq)}$ より $W=-\dfrac{\left(2m(E-mgq)\right)^{3/2}}{3m^2g}$ です。$\partial W/\partial E=-\dfrac{\sqrt{2m(E-mgq)}}{mg}=-\dfrac{p}{mg}$ なので、ヤコビの定理の条件 $\partial S/\partial E=\beta$ は $-\dfrac{p}{mg}-t=\beta$、すなわち $p=-mg(t+\beta)$ です。これは $\dot p=-mg$ の解で、$\dot q=p/m$ から $q=q_0-\frac12g(t+\beta)^2$ と放物運動が得られます。

演習 7.2標準

調和振動子のばね定数を $k_0$ から $4k_0$ へ、振動周期に比べて十分ゆっくり変えます。質量は一定とします。(1) 角振動数は何倍になりますか。(2) 振幅は何倍になりますか。(3) エネルギーは何倍になりますか。

解答

$\omega=\sqrt{k/m}$ なので (1) $\omega$ は $\sqrt4=2$ 倍です。作用変数 $I=E/\omega$ が保存する（定理 5.1）ので、(3) $E$ は $2$ 倍です。振幅 $a$ は $E=\frac12ka^2$ より $a^2=2E/k$ で、$E$ が 2 倍、$k$ が 4 倍なので $a^2$ は $1/2$ 倍、(2) $a$ は $1/\sqrt2\approx0.71$ 倍です。

演習 7.3標準

例 6.2 の $H_0=\frac12(I_1^2+I_2^2)$, $H_1=\cos(\varphi_1-\varphi_2)$ について、命題 6.1 の $\chi$ が $\chi=-\dfrac{\sin(\varphi_1-\varphi_2)}{I_1-I_2}$ であることを確かめ、$\omega\cdot\partial_\varphi\chi=-H_1$ を示してください。また、摂動論が破れる条件を、$I_1-I_2$ の大きさと $\varepsilon$ の関係として見積もってください。

解答

$\cos(\varphi_1-\varphi_2)=\frac12\left(e^{i\boldsymbol{k}\cdot\varphi}+e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\varphi}\right)$（$\boldsymbol{k}=(1,-1)$）なので $h_{\boldsymbol{k}}=h_{-\boldsymbol{k}}=\frac12$、$\boldsymbol{k}\cdot\omega=I_1-I_2\equiv\Delta$ です。$\chi=\dfrac{i}{2\Delta}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\varphi}+\dfrac{i}{2(-\Delta)}e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\varphi}=\dfrac{i}{2\Delta}\cdot2i\sin(\varphi_1-\varphi_2)=-\dfrac{\sin(\varphi_1-\varphi_2)}{\Delta}$。偏微分は $\partial_{\varphi_1}\chi=-\dfrac{\cos(\varphi_1-\varphi_2)}{\Delta}$, $\partial_{\varphi_2}\chi=+\dfrac{\cos(\varphi_1-\varphi_2)}{\Delta}$ で、$\omega\cdot\partial_\varphi\chi=I_1\partial_{\varphi_1}\chi+I_2\partial_{\varphi_2}\chi=-\dfrac{(I_1-I_2)}{\Delta}\cos(\varphi_1-\varphi_2)=-H_1$ です。一次の変換による作用変数のずれ $\varepsilon\,\partial_\varphi\chi$ の大きさは $\varepsilon/|\Delta|$ のオーダーで、これが $\Delta$ 自身と同程度になる $|\Delta|\sim\sqrt\varepsilon$ のとき、変換が元の変数の差を変えてしまい、摂動展開は成り立たなくなります。これは共鳴の幅が $\sqrt\varepsilon$ であることと整合します。

演習 7.4難

ポテンシャル $V(q)=F|q|$（$F>0$）の中を運動する質量 $m$ の粒子について、(1) 作用変数 $I(E)$ を求め、(2) $T=2\pi\,dI/dE$ から周期を求めて、運動方程式から直接計算した周期と一致することを確かめ、(3) $E$ を $I$ の関数として書いてください。

解答

(1) 転回点は $q=\pm E/F$ で、$p=\sqrt{2m(E-F|q|)}$ です。$\oint p\,dq=4\int_0^{E/F}\sqrt{2m(E-Fq)}\,dq=4\sqrt{2m}\cdot\dfrac{2E^{3/2}}{3F}$ なので、$I=\dfrac1{2\pi}\oint p\,dq=\dfrac{4\sqrt{2m}}{3\pi F}E^{3/2}$ です。 (2) $\dfrac{dI}{dE}=\dfrac{2\sqrt{2m}}{\pi F}E^{1/2}$ より $T=2\pi\,\dfrac{dI}{dE}=\dfrac{4\sqrt{2mE}}{F}$ です。直接計算では、$q>0$ で力が $-F$（一定加速度 $F/m$ で減速）なので、$q=0$ から折り返し点 $E/F$ まで到達する時間は $v_0/(F/m)=\sqrt{2E/m}\cdot m/F=\sqrt{2mE}/F$、周期はその 4 倍で一致します。 (3) $E=\left(\dfrac{3\pi F}{4\sqrt{2m}}\,I\right)^{2/3}$ で、$E\propto I^{2/3}$ です。Bohr–Sommerfeld の規則 $I=(n+\frac12)\hbar$ 型の量子化をすれば、エネルギー準位は $n^{2/3}$ に比例して増える（調和振動子の $n^1$ とは異なる）ことがわかります。

参考文献

• V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed., Springer, 1989 — 第 9・10 章（正準形式、可積分系、摂動論）、Appendix 8（KAM 理論）。
• L. D. ランダウ, E. M. リフシッツ『力学』（広重徹・水戸巌訳）東京図書 — 第 7 章（正準方程式、ハミルトン・ヤコビ方程式、断熱不変量）。
• H. Goldstein, C. Poole, J. Safko, Classical Mechanics, 3rd ed., Addison-Wesley, 2002 — Chapter 10（ハミルトン・ヤコビ理論と作用・角変数）。
• J. Pöschel, “A lecture on the classical KAM theorem”, in Smooth Ergodic Theory and Its Applications, Proc. Sympos. Pure Math. 69, AMS, 2001, pp. 707–732.
• J. M. Greene, “A method for determining a stochastic transition”, J. Math. Phys. 20 (1979), 1183–1201.