ハミルトン・ヤコビ方程式と完全解

自由度 $n$ のハミルトニアン $H(q,p,t)$ に対し、未知関数 $S(q,t)$ についての 1 階偏微分方程式

をハミルトン・ヤコビ方程式という。$n$ 個のパラメータ $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ を含む $C^2$ 級の解 $S(q,\alpha,t)$ が、$\det\left(\dfrac{\partial^2S}{\partial q^i\partial\alpha_j}\right)\ne0$ を満たすとき、これを完全解という。