リウヴィルの定理：コンパクトな準位集合はトーラス

定理 4.3（「ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系」§4）・ ✓公理まで証明済み

可積分系で、準位集合 $M_f$ がコンパクトかつ連結ならば、 $M_f$ は $n$ 次元トーラス $T^n=(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z})^n$ に微分同相である。さらに $M_f$ 上に座標 $\varphi=(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)\bmod2\pi$ を取って、ハミルトン方程式が $\dot\varphi=\omega(f)$ （定数ベクトル）となるようにできる。すなわち運動は準周期運動である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

可換なハミルトンベクトル場✓補題 4.1・ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系
- ポアソン括弧の代数的性質✓命題 5.2・正準変換とポアソン括弧
- 可換性の同値条件✓命題 5.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - $L_X Y$ は Lie 括弧✓定理 3.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
離散部分群の構造✓補題 4.2・ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系

これを使っている定理証明で参照している 1 件

リウヴィル・アーノルドの定理✓定理 4.4・ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系

リウヴィルの定理：コンパクトな準位集合はトーラス

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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