ポアソン括弧の代数的性質

$f$, $g$, $h$ を相空間上の十分滑らかな関数、$a$, $b$ を実定数とする。次が成り立つ。

1. （双線形性）$\{af + bg,\, h\} = a\{f, h\} + b\{g, h\}$、および第 2 引数についても同様。
2. （反対称性）$\{f, g\} = -\{g, f\}$。特に $\{f, f\} = 0$。
3. （ライプニッツ則）$\{fg,\, h\} = f\{g, h\} + \{f, h\}\, g$。
4. （ヤコビ恒等式）$\{f, \{g, h\}\} + \{g, \{h, f\}\} + \{h, \{f, g\}\} = 0$。
5. （時間微分との交換）$\dfrac{\partial}{\partial t}\{f, g\} = \left\{ \dfrac{\partial f}{\partial t}, g \right\} + \left\{ f, \dfrac{\partial g}{\partial t} \right\}$。