リウヴィル・アーノルドの定理

定理 4.4（「ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系」§4）・ ✓公理まで証明済み

上の仮定のもとで、 $f_0\in W$ の近傍 $W_0$ と、 $F^{-1}(W_0)$ から $D\times T^n$ （ $D\subset\mathbb{R}^n$ は開球）への微分同相 $(q,p)\mapsto(I,\varphi)$ が存在して、次が成り立つ。

$\sum_i dp_i\wedge dq^i=\sum_k dI_k\wedge d\varphi_k$ である（ $(\varphi,I)$ は正準座標）。
$F_j$ は $I$ のみの関数で、 $I_k$ は運動の定数、 $\dot\varphi_k=\partial H/\partial I_k=\omega_k(I)$ である。
$I_k$ はトーラス上の基本閉曲線 $\gamma_k$ による積分 $I_k=\dfrac1{2\pi}\displaystyle\oint_{\gamma_k}\sum_ip_i\,dq^i$ で与えられる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 22 件、定義なども含めて 26 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

リウヴィルの定理：コンパクトな準位集合はトーラス✓定理 4.3・ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系
- 可換なハミルトンベクトル場✓補題 4.1・ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系
  - ポアソン括弧の代数的性質✓命題 5.2・正準変換とポアソン括弧
  - 可換性の同値条件✓命題 5.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    $L_X Y$ は Lie 括弧✓定理 3.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
- 離散部分群の構造✓補題 4.2・ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系
Poincaré の補題✓定理 3.4・de Rham コホモロジー
- 基本的な性質✓命題 2.2・de Rham コホモロジー
  - 引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    ウェッジ積定義 5.2・ベクトル場と微分形式
    外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
    外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式この先をたどる →
- 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
- ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジー
  - ホモトピー公式✓命題 3.1・de Rham コホモロジー
    Lie 微分定義 3.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    Cartan の公式✓定理 4.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

リウヴィル・アーノルドの定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

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