数学 › 多様体論 › ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

可換性の同値条件

命題 5.1（「ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理」§5）・ ✓公理まで証明済み

$X,Y$ を滑らかなベクトル場、 $\theta_t,\varphi_s$ をそれぞれの流れとする。次は同値である。

$[X,Y]=0$ 。
$Y$ は $X$ の流れで不変： $d\theta_t(Y_p)=Y_{\theta_t(p)}$ （ $\theta_t(p)$ が定義されるすべての $(t,p)$ で）。
流れが可換： $\theta_t\circ\varphi_s=\varphi_s\circ\theta_t$ （両辺が定義される範囲で）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

$L_X Y$ は Lie 括弧✓定理 3.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Frobenius の定理✓定理 6.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
可換なハミルトンベクトル場✓補題 4.1・ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系

関連するノック 2 問