数学 › 多様体論 › ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
Frobenius の定理
を 次元多様体 上の 次元分布とする。次は同値である。
- は involutive である。
- 各点 に対し、 を含む に平坦なチャートが存在する。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 63 件、定義なども含めて 79 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
Lie 括弧の性質✓命題 2.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分
シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分
- ベクトル場の滑らかさの判定✓命題 3.2・ベクトル場と微分形式
流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性
- ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値 この先をたどる →
解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
- 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性 この先をたどる →
- 積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
- Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性 この先をたどる →
Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性
- 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束 この先をたどる →
- 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束 この先をたどる →
- 縮小写像の原理（Banach の不動点定理）✓定理 6.2・距離空間
- 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性 この先をたどる →
初期値への 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性
- 初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性 この先をたどる →
- 初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性 この先をたどる →
- 初期時刻での微分✓系 8.2・解の存在と一意性 この先をたどる →
- C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
- 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
- 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性 この先をたどる →
- C¹ 級ならば全微分可能✓定理 4.5・多変数関数の微分と偏微分 この先をたどる →
- 連鎖律（曲線に沿った微分）✓定理 6.1・多変数関数の微分と偏微分 この先をたどる →
パラメータへの 依存性と滑らかな流れ✓系 8.5・解の存在と一意性
多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理
- 多様体間の 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
- 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
これを使っている定理
証明で明示的に参照している定理は、まだありません。