ベクトル場の滑らかさの判定

$X$ を（滑らかさを仮定しない）$TM$ の切断、すなわち各 $p\in M$ に $X_p \in T_pM$ を与える対応とする。このとき次の 3 条件は同値である。

1. $X\colon M \to TM$ は滑らかな写像である（つまり $X \in \mathfrak{X}(M)$）。
2. $M$ のあるアトラスに属する各チャート $(U,x)$ 上で、成分 $X^1,\dots,X^n$ はすべて $C^\infty(U)$ に属する。
3. 任意の開集合 $V \subset M$ と任意の $f \in C^\infty(V)$ に対し、関数 $(Xf)(p) := X_p f$ は $C^\infty(V)$ に属する。