数学 › 多様体論 › ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

Lie 括弧の性質

命題 2.2（「ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理」§2）・ ✓公理まで証明済み

$[X,Y]$ は滑らかなベクトル場であり、チャート $(x^1,\dots,x^n)$ 上で

[X,Y]=\sum_{j}\Bigl(\sum_iX^i\frac{\partial Y^j}{\partial x^i}-Y^i\frac{\partial X^j}{\partial x^i}\Bigr)\frac{\partial}{\partial x^j}

と書ける。 2. $[X,Y]=-[Y,X]$ 、 $\mathbb{R}$ 双線形、ヤコビ恒等式 $[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0$ 。 3. $f,g$ を滑らかな関数とすると $[fX,gY]=fg[X,Y]+f(Xg)Y-g(Yf)X$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 7 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分
- シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分
  - 極限の一意性✓定理 3.5・極限と連続性
    背理法の正当性✓命題 6.2・証明の技術
    関数の極限定義 3.1・極限と連続性
    近傍・除外近傍・集積点定義 2.1・極限と連続性
ベクトル場の滑らかさの判定✓命題 3.2・ベクトル場と微分形式

これを使っている定理証明で参照している 3 件

可積分性の同値条件✓定理 4.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
曲率はテンソル場✓命題 2.2・曲率テンソル
Frobenius の定理✓定理 6.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

関連するノック 2 問