可積分性の同値条件

定理 4.2（「概複素構造と Dolbeault コホモロジー」§4）・ ✓公理まで証明済み

$(M,J)$ を概複素多様体とする。次の条件は同値である。

すべての $k$ で、 $A^k(M)$ 上 $d=\partial+\bar\partial$ が成り立つ。
$(1,0)$ 型の 1 形式 $\alpha$ について、 $d\alpha$ の $(0,2)$ 成分はつねに $0$ である。
$T^{0,1}M$ の切断 $Z,W$ について、 $[Z,W]$ は $T^{0,1}M$ の切断である。
Nijenhuis テンソル $N_J$ は恒等的に $0$ である。
すべての関数 $f\in A^0(M)$ について $\bar\partial\bar\partial f=0$ である。

これらが成り立つとき $J$ は可積分であるといい、 $\partial^2=0$ 、 $\bar\partial^2=0$ 、 $\partial\bar\partial+\bar\partial\partial=0$ が $A^k(M)$ 上で成り立つ。複素多様体の概複素構造は可積分である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 85 件、定義なども含めて 102 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

複素化の分解と基底✓補題 2.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
- $\Lambda^k V^*$ の基底と次元✓定理 5.4・ベクトル場と微分形式
1 形式の外微分の公式✓系 4.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
- 微分形式の Lie 微分の性質✓命題 3.4・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - 引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
  - $L_X Y$ は Lie 括弧✓定理 3.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
- Cartan の公式✓定理 4.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - 内部積は反導分✓補題 4.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    ウェッジ積定義 5.2・ベクトル場と微分形式
  - 外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式
    外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
    外積代数の基本性質✓定理 5.3・ベクトル場と微分形式
    シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分（上で展開済み）
  - 微分形式の Lie 微分の性質✓命題 3.4・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
  - 外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
Lie 括弧の性質✓命題 2.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
- シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分
  - シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分
    極限の一意性✓定理 3.5・極限と連続性この先をたどる →
- ベクトル場の滑らかさの判定✓命題 3.2・ベクトル場と微分形式
(p,q) 型への分解✓命題 3.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
- 複素化の分解と基底✓補題 2.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー（上で展開済み）
- (p,q) 型の形式定義 2.3・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
- 正則写像は滑らかで、微分は複素線型✓補題 2.2・複素多様体と正則写像
  - コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    複素微分可能性定義 3.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    実部と虚部への分解✓命題 2.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題）✓定理 2.3・多変数複素関数論
    多重円板の Cauchy 積分公式✓定理 2.2・多変数複素関数論この先をたどる →
    テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - 多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論
    ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理この先をたどる →
    べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題）✓定理 2.3・多変数複素関数論（上で展開済み）
  - C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    C¹ 級ならば全微分可能✓定理 4.5・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
    コーシー・リーマンの関係式（十分性）✓定理 5.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    正則関数・整関数定義 3.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - ウェッジ積定義 5.2・ベクトル場と微分形式
  - 外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
  - 外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

∂̄_E の形式的随伴✓命題 2.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解
正則ベクトル束の ∂̄ 作用素✓命題 3.1・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子

可積分性の同値条件

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件