複素幾何 50 本ノック

修士50 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマの第 1〜7 章（複素多様体、Dolbeault、正則ベクトル束、Kähler、Hodge、層コホモロジー、Kodaira の定理）を学んだ修士課程の人。具体計算で理解を確かめたい人向けです。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 3 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• D. Huybrechts, Complex Geometry: An Introduction, Springer
• P. Griffiths, J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley
• C. Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I, Cambridge University Press
• 小林昭七, 複素幾何, 岩波書店

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜7: 複素多様体と正則写像
• 8〜14: 概複素構造と Dolbeault コホモロジー
• 15〜22: 正則ベクトル束・Chern 接続・因子
• 23〜30: Kähler 多様体と Kähler 恒等式
• 31〜38: Hodge 分解と Lefschetz 分解
• 39〜44: 層コホモロジーと直線束
• 45〜50: Kodaira の消滅定理と埋め込み定理

形式: 単一選択 16・複数選択 10・○× 5・数値 7・並べ替え 3・誤り探し 4・記述 5。難易度 ★〜★★★★: 0 / 15 / 30 / 5。

この冊で使う定義・定理（78）

• 定義 4.1 作用素 ∂ と ∂̄、Nijenhuis テンソル 概複素構造と Dolbeault コホモロジー：(p,q) 形式・可積分性・∂̄ の Poincaré の補題 → 9, 10, 11 番
• 定義 5.1 正則 p 形式・Dolbeault コホモロジー・Hodge 数 概複素構造と Dolbeault コホモロジー：(p,q) 形式・可積分性・∂̄ の Poincaré の補題 → 11 番
• 定義 2.3 (p,q) 型の形式 概複素構造と Dolbeault コホモロジー：(p,q) 形式・可積分性・∂̄ の Poincaré の補題 → 8, 9 番
• 例 9.1 ℂ² ∖ {0} の H^{0,1} は無限次元 概複素構造と Dolbeault コホモロジー：(p,q) 形式・可積分性・∂̄ の Poincaré の補題 → 11 番
• 例 4.5 S⁶ の概複素構造は可積分でない 概複素構造と Dolbeault コホモロジー：(p,q) 形式・可積分性・∂̄ の Poincaré の補題 → 10 番
• 演習 10.4 概複素構造と Dolbeault コホモロジー：(p,q) 形式・可積分性・∂̄ の Poincaré の補題 → 14 番
• 補題 6.1 Cauchy–Pompeiu の公式 概複素構造と Dolbeault コホモロジー：(p,q) 形式・可積分性・∂̄ の Poincaré の補題 → 12, 13 番
• 補題 2.2 複素化の分解と基底 概複素構造と Dolbeault コホモロジー：(p,q) 形式・可積分性・∂̄ の Poincaré の補題 → 8 番
• 命題 2.4 複素構造が定める向き 概複素構造と Dolbeault コホモロジー：(p,q) 形式・可積分性・∂̄ の Poincaré の補題 → 14 番
• 命題 8.1 コンパクト台の ∂̄ 方程式 概複素構造と Dolbeault コホモロジー：(p,q) 形式・可積分性・∂̄ の Poincaré の補題 → 13 番
• 命題 5.2 Dolbeault コホモロジーの基本性質 概複素構造と Dolbeault コホモロジー：(p,q) 形式・可積分性・∂̄ の Poincaré の補題 → 14 番
• 注意 4.6 概複素構造をもたない多様体 概複素構造と Dolbeault コホモロジー：(p,q) 形式・可積分性・∂̄ の Poincaré の補題 → 14 番
• 定理 6.2 1 変数の ∂̄ 方程式の解と径数への依存 概複素構造と Dolbeault コホモロジー：(p,q) 形式・可積分性・∂̄ の Poincaré の補題 → 12, 13 番
• 定理 4.2 可積分性の同値条件 概複素構造と Dolbeault コホモロジー：(p,q) 形式・可積分性・∂̄ の Poincaré の補題 → 10 番
• 定義 8.1 正則関数の芽の環と Weierstrass 多項式 複素多様体と正則写像：逆関数定理・Hartogs の延長・Weierstrass の準備定理 → 5 番
• 定義 2.1 正則写像と複素 Jacobi 行列 複素多様体と正則写像：逆関数定理・Hartogs の延長・Weierstrass の準備定理 → 1 番
• 定義 9.6 有理型関数 複素多様体と正則写像：逆関数定理・Hartogs の延長・Weierstrass の準備定理 → 2 番
• 補題 4.3 複素多様体上の一致の定理 複素多様体と正則写像：逆関数定理・Hartogs の延長・Weierstrass の準備定理 → 2, 20 番
• 補題 8.2 𝒪ₙ は整域で局所環 複素多様体と正則写像：逆関数定理・Hartogs の延長・Weierstrass の準備定理 → 4 番
• 補題 2.3 複素線型写像の実行列式 複素多様体と正則写像：逆関数定理・Hartogs の延長・Weierstrass の準備定理 → 1, 3 番
• 命題 6.3 複素トーラスとその間の正則写像 複素多様体と正則写像：逆関数定理・Hartogs の延長・Weierstrass の準備定理 → 3, 6 番
• 命題 4.4 複素射影空間 複素多様体と正則写像：逆関数定理・Hartogs の延長・Weierstrass の準備定理 → 6, 7 番
• 命題 5.3 正則値の逆像・階数一定の逆像・射影超曲面 複素多様体と正則写像：逆関数定理・Hartogs の延長・Weierstrass の準備定理 → 7 番
• 定理 5.4 コンパクト複素多様体上の正則関数は定数 複素多様体と正則写像：逆関数定理・Hartogs の延長・Weierstrass の準備定理 → 2, 6, 20 番
• 定理 9.2 𝒪ₙ は Noether な局所環で UFD 複素多様体と正則写像：逆関数定理・Hartogs の延長・Weierstrass の準備定理 → 4 番
• 定理 8.4 Weierstrass の準備定理 複素多様体と正則写像：逆関数定理・Hartogs の延長・Weierstrass の準備定理 → 4, 5 番
• 系 7.3 Hodge 指数定理 Hodge 分解と Lefschetz 分解：∂̄ の Hodge 定理・Serre 双対・Hodge–Riemann の双線形関係式 → 34, 38 番
• 系 5.5 Hodge 数の関係式 Hodge 分解と Lefschetz 分解：∂̄ の Hodge 定理・Serre 双対・Hodge–Riemann の双線形関係式 → 32, 37, 38 番
• 定義 6.3 原始コホモロジー Hodge 分解と Lefschetz 分解：∂̄ の Hodge 定理・Serre 双対・Hodge–Riemann の双線形関係式 → 33, 35 番
• 例 8.2 岩澤多様体：閉でない正則形式 Hodge 分解と Lefschetz 分解：∂̄ の Hodge 定理・Serre 双対・Hodge–Riemann の双線形関係式 → 37 番
• 命題 5.8 射影空間・複素トーラス・Riemann 面の Hodge 数 Hodge 分解と Lefschetz 分解：∂̄ の Hodge 定理・Serre 双対・Hodge–Riemann の双線形関係式 → 31, 43 番
• 定理 6.2 難 Lefschetz 定理 Hodge 分解と Lefschetz 分解：∂̄ の Hodge 定理・Serre 双対・Hodge–Riemann の双線形関係式 → 33, 36 番
• 定理 5.1 Hodge 分解 Hodge 分解と Lefschetz 分解：∂̄ の Hodge 定理・Serre 双対・Hodge–Riemann の双線形関係式 → 31, 32, 35, 36, 49 番
• 定理 7.2 Hodge–Riemann の双線形関係式 Hodge 分解と Lefschetz 分解：∂̄ の Hodge 定理・Serre 双対・Hodge–Riemann の双線形関係式 → 34, 35 番
• 定理 4.1 Kodaira–Serre 双対 Hodge 分解と Lefschetz 分解：∂̄ の Hodge 定理・Serre 双対・Hodge–Riemann の双線形関係式 → 37 番
• 定理 6.4 Lefschetz 分解 Hodge 分解と Lefschetz 分解：∂̄ の Hodge 定理・Serre 双対・Hodge–Riemann の双線形関係式 → 33, 34 番
• 定義 4.4 第一 Chern 形式 正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子 → 21 番
• 定義 2.1 正則ベクトル束と正則切断 正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子 → 20 番
• 例 6.4 射影超曲面の標準束 正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子 → 15, 19, 22, 48 番
• 命題 4.3 Chern 接続の曲率 正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子 → 16, 21 番
• 定理 6.3 随伴公式 正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子 → 15, 19, 22 番
• 定理 6.2 因子と直線束の対応 正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子 → 18 番
• 定理 5.3 Euler 完全列と射影空間の標準束 正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子 → 17, 19 番
• 定理 7.1 Poincaré–Lelong の公式と Riemann 面上の次数 正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子 → 15, 21, 23, 42 番
• 定理 5.2 𝒪(k) の正則切断と Fubini–Study 計量 正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子 → 16, 17, 45 番
• 系 6.4 三つの Laplacian の一致 Kähler 多様体：Kähler 計量・Kähler 恒等式・Ricci 形式 → 24, 29 番
• 定義 2.2 Hermite 計量・基本形式・Kähler 計量 Kähler 多様体：Kähler 計量・Kähler 恒等式・Ricci 形式 → 30 番
• 定義 5.1 Lefschetz 作用素・次数作用素・原始形式 Kähler 多様体：Kähler 計量・Kähler 恒等式・Ricci 形式 → 28, 29 番
• 定義 7.1 Ricci 形式と Kähler–Einstein 計量 Kähler 多様体：Kähler 計量・Kähler 恒等式・Ricci 形式 → 25, 27 番
• 例 8.2 Fubini–Study 計量は Kähler–Einstein Kähler 多様体：Kähler 計量・Kähler 恒等式・Ricci 形式 → 26, 27 番
• 補題 5.3 型の直交性と sl(2) の関係式 Kähler 多様体：Kähler 計量・Kähler 恒等式・Ricci 形式 → 24, 28 番
• 命題 4.1 Fubini–Study 計量 Kähler 多様体：Kähler 計量・Kähler 恒等式・Ricci 形式 → 23 番
• 命題 3.2 Kähler ポテンシャル Kähler 多様体：Kähler 計量・Kähler 恒等式・Ricci 形式 → 26 番
• 定理 3.1 Kähler 条件の同値条件 Kähler 多様体：Kähler 計量・Kähler 恒等式・Ricci 形式 → 30 番
• 定理 6.3 Kähler 恒等式 Kähler 多様体：Kähler 計量・Kähler 恒等式・Ricci 形式 → 24, 29 番
• 定理 7.2 Ricci 形式と第一 Chern 類 Kähler 多様体：Kähler 計量・Kähler 恒等式・Ricci 形式 → 25, 27 番
• 定理 4.3 Wirtinger の定理とその帰結 Kähler 多様体：Kähler 計量・Kähler 恒等式・Ricci 形式 → 23 番
• 系 7.1 コンパクト Riemann 面は射影的 Kodaira の消滅定理と埋め込み定理：正の直線束が射影多様体を特徴づける → 47 番
• 定義 2.1 正の直線束・Hodge 多様体 Kodaira の消滅定理と埋め込み定理：正の直線束が射影多様体を特徴づける → 46, 47, 48 番
• 例 7.5 Hopf 曲面は正の直線束をもたない Kodaira の消滅定理と埋め込み定理：正の直線束が射影多様体を特徴づける → 47 番
• 例 7.4 射影空間上の直線束のコホモロジー Kodaira の消滅定理と埋め込み定理：正の直線束が射影多様体を特徴づける → 45 番
• 演習 8.1 Kodaira の消滅定理と埋め込み定理：正の直線束が射影多様体を特徴づける → 40 番
• 演習 8.3 Kodaira の消滅定理と埋め込み定理：正の直線束が射影多様体を特徴づける → 50 番
• 命題 2.2 正の直線束と Kähler 類 Kodaira の消滅定理と埋め込み定理：正の直線束が射影多様体を特徴づける → 49 番
• 定理 6.4 Kodaira の埋め込み定理 Kodaira の消滅定理と埋め込み定理：正の直線束が射影多様体を特徴づける → 49, 50 番
• 定理 4.1 Kodaira–Nakano の消滅定理 Kodaira の消滅定理と埋め込み定理：正の直線束が射影多様体を特徴づける → 46, 48 番
• 系 9.3 射影空間の Picard 群とコホモロジー 層コホモロジーと直線束：Dolbeault の定理・指数完全列・Lefschetz の (1,1) 定理 → 41, 43 番
• 系 9.5 Riemann 面の種数 層コホモロジーと直線束：Dolbeault の定理・指数完全列・Lefschetz の (1,1) 定理 → 18, 25, 39, 42 番
• 系 5.2 層コホモロジーの有限性と Serre 双対 層コホモロジーと直線束：Dolbeault の定理・指数完全列・Lefschetz の (1,1) 定理 → 45 番
• 定義 7.3 整係数の第一 Chern 類・Néron–Severi 群・Pic⁰ 層コホモロジーと直線束：Dolbeault の定理・指数完全列・Lefschetz の (1,1) 定理 → 40 番
• 例 10.2 Hopf 曲面：Chern 類が消えても直線束は自明でない 層コホモロジーと直線束：Dolbeault の定理・指数完全列・Lefschetz の (1,1) 定理 → 44 番
• 演習 11.4 層コホモロジーと直線束：Dolbeault の定理・指数完全列・Lefschetz の (1,1) 定理 → 44 番
• 命題 7.1 指数完全列 層コホモロジーと直線束：Dolbeault の定理・指数完全列・Lefschetz の (1,1) 定理 → 39, 41 番
• 命題 9.1 多重円板上の直線束は自明 層コホモロジーと直線束：Dolbeault の定理・指数完全列・Lefschetz の (1,1) 定理 → 41 番
• 命題 9.4 Riemann 面の Riemann–Roch の定理 層コホモロジーと直線束：Dolbeault の定理・指数完全列・Lefschetz の (1,1) 定理 → 18, 42, 50 番
• 定理 5.1 Dolbeault の定理 層コホモロジーと直線束：Dolbeault の定理・指数完全列・Lefschetz の (1,1) 定理 → 43 番
• 定理 8.2 Lefschetz の (1,1) 定理 層コホモロジーと直線束：Dolbeault の定理・指数完全列・Lefschetz の (1,1) 定理 → 40 番
• 定理 8.4 Pic⁰ は複素トーラス 層コホモロジーと直線束：Dolbeault の定理・指数完全列・Lefschetz の (1,1) 定理 → 39, 41, 44 番