層コホモロジーと直線束：Dolbeault の定理・指数完全列・Lefschetz の (1,1) 定理

0. この記事の要点

これまで微分形式で調べてきたコホモロジーを、「各場所で得られる情報を貼り合わせたとき、全体では貼り合わない度合い」を測る道具（層のコホモロジー）の言葉で言い直す、というのがこの記事の話です。たとえば穴あき平面の上の関数 $z$ は、各点の近くでは対数をもちますが、平面全体では対数をもちません。この食い違いを数える仕組みを作り、微分形式の結果との一致を示し、複素多様体上の直線束がどれだけあるかを調べます。読み終えると、直線束の分類と第一 Chern 類が、一つの完全列の中で結びつくことが分かります。

• 多様体上の滑らかな関数の層の加群の層は細層（1 の分割をもつ層）で、細層は大域切断関手について非輪状（補題 3.2）。非輪状な層による分解があれば、層コホモロジーは大域切断の複体のコホモロジーとして計算できます（補題 3.3）。
• 定数層のコホモロジーは特異コホモロジーに、実係数では de Rham コホモロジーに自然に同型で、二つの同型は de Rham の定理の積分写像と両立します（定理 4.1、定理 4.2）。
• Dolbeault の定理 $H^q(X,\Omega^p(E))\cong H^{p,q}(X,E)$ により、前章までの微分形式による結果が層コホモロジーの言葉に移ります（定理 5.1、系 5.2）。
• 正則直線束の同型類の群は変換関数により $H^1(X,\mathcal{O}_X^*)$ と同型です（定理 6.2）。指数完全列の連結準同型は、曲率で定めた第一 Chern 類に符号を除いて一致します（定理 7.2）。
• コンパクト Kähler 多様体では、整係数の 2 次の類が直線束の Chern 類であることと $(1,1)$ 型であることが同値です（Lefschetz の $(1,1)$ 定理、定理 8.2）。Chern 類が $0$ の直線束の群 $\operatorname{Pic}^0(X)$ は $h^{0,1}$ 次元の複素トーラスです（定理 8.4）。
• 応用として $\operatorname{Pic}(\mathbb{P}^n)\cong\mathbb{Z}$（系 9.3）、コンパクト Riemann 面の Riemann–Roch の定理と $\deg K_X=2g-2$（命題 9.4、系 9.5）を得ます。

この記事で使う事前知識

• 層: 開集合ごとに関数のようなものを対応させ、貼り合わせができる仕組み。→ 層：茎・層化・順像と逆像
• 層コホモロジー: 大域切断を取る関手の右導来関手として定まる、層に付くコホモロジー。→ 層コホモロジー
• 完全列: 各段で、入ってくる写像の像と出ていく写像の核が一致する列。→ 完全列
• Dolbeault コホモロジー: $\bar\partial$ 閉形式を $\bar\partial$ 完全形式で割った商。→ Dolbeault コホモロジー
• 曲率: Hermite 計量に付く接続の曲がり具合を表す形式。→ 曲率
• Hodge 分解: コンパクト Kähler 多様体のコホモロジーを型ごとに分ける分解。→ Hodge 分解と Lefschetz 分解

1. 動機

前章までは、コホモロジーをすべて微分形式で書いてきました。Dolbeault コホモロジー $H^{p,q}(X,E)$ は $\bar\partial_E$ 閉形式を $\bar\partial_E$ 完全形式で割った商で、解析（Hodge の定理）にはこの形が適しています。一方、正則直線束を分類する、部分多様体への制限と比べる、点で消える切断を調べる、といった問題は、層の完全列とその長完全列で扱うのが自然です。たとえば、直線束 $L$ の切断で点 $x$ で消えるもの全体は層 $\mathcal{O}(L)\otimes\mathfrak{m}_x$ の大域切断で、「$L$ の切断が $x$ での値を自由に取れるか」は $H^1$ の消滅の問題になります。次章の Kodaira の埋め込み定理はこの形で証明します。

そこでこの記事では、二つの世界をつなぎます。鍵は、滑らかな形式の層が 1 の分割をもつことです。1 の分割があれば局所的な解を貼り合わせて大域的な解にできるので、滑らかな形式の層の高次コホモロジーは消えます。すると $\bar\partial$ の Poincaré の補題（局所的には $\bar\partial$ 閉形式は $\bar\partial$ 完全）が、正則 $p$ 形式の層 $\Omega^p$ の「コホモロジーの消える層による分解」を与え、$H^q(X,\Omega^p)$ が Dolbeault コホモロジーに一致します。同じ仕組みで、定数層 $\underline{\mathbb{R}}$ のコホモロジーが de Rham コホモロジーに一致します。

直線束については、変換関数 $g_{ij}$ がコサイクル条件 $g_{ij}g_{jk}=g_{ik}$ をみたすことが出発点です。これは $\mathcal{O}_X^*$ に値をもつ Čech 1 コサイクルにほかなりません。指数写像 $f\mapsto e^{2\pi if}$ が与える層の完全列 $0\to\underline{\mathbb{Z}}\to\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_X^*\to0$ の長完全列は、直線束の位相的な不変量（Chern 類、$H^2(X,\mathbb{Z})$）と連続的なパラメータ（$H^1(X,\mathcal{O}_X)$）を一つの列に並べます。Hodge 分解をこの列に入れると、どの整係数の類が直線束から来るかが分かります。

2. 準備：ここで使う層

層・茎・層の完全列は 層：茎・層化・順像と逆像 の定義を、層コホモロジー $H^i(X,\mathcal{F})$ は 層コホモロジー の定義（定義 3.1［層コホモロジー］。大域切断関手 $\Gamma(X,-)\colon\mathsf{Ab}(X)\to\mathsf{Ab}$ の右導来関手）を使います。層の短完全列 $E\colon0\to\mathcal{F}'\to\mathcal{F}\to\mathcal{F}''\to0$ には連結射 $\delta_E\colon H^i(X,\mathcal{F}'')\to H^{i+1}(X,\mathcal{F}')$ があって長完全列ができ、$\delta_E$ は短完全列の射について自然です（定理 5.2［導来関手と δ 関手］）。層の列の完全性は茎ごとの完全性と同値です（定理 5.2［層］）。アーベル群 $G$ の定数層（局所定数な $G$ 値関数の層）を $\underline{G}$ と書きます。

$X$ を滑らかな多様体とします。開集合 $U$ に $U$ 上の複素数値の滑らかな $k$ 形式の空間 $A^k(U)$ を対応させる層を $\mathcal{A}^k$、そのうち閉形式のなす部分層を $\mathcal{Z}^k$ と書きます。$\mathcal{A}^0$ は滑らかな関数の環の層です。実数値の形式の層は $\mathcal{A}^k_{\mathbb{R}}$ と書きます。

$X$ が複素多様体のとき、次の層を使います。$E$ は $X$ 上の正則ベクトル束です。

記号	開集合 $U$ 上の切断
$\mathcal{O}_X$	$U$ 上の正則関数
$\mathcal{O}_X^*$	$U$ 上の零点をもたない正則関数（積についての群）
$\mathcal{A}^{p,q}(E)$	$U$ 上の $E$ 係数の滑らかな $(p,q)$ 形式 $A^{p,q}(U,E)$
$\Omega^p(E)$	$\bar\partial_E\alpha=0$ をみたす $\alpha\in A^{p,0}(U,E)$
$\mathcal{O}(E)=\Omega^0(E)$	$U$ 上の $E$ の正則切断
$\Omega^p_X=\Omega^p(\mathcal{O})$	$U$ 上の正則 $p$ 形式

どれも、切断の条件が局所的なので層です。$\Omega^p(E)$ の切断は、正則座標と $E$ の正則な局所枠 $\sigma_a$ で $\sum_{I,a}f_{I,a}\,dz_I\otimes\sigma_a$（$f_{I,a}$ は正則関数）と書けるものです（命題 5.2［概複素構造と Dolbeault コホモロジー］ の 1 と 命題 3.1［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］）。$n=\dim X$ のとき $\Omega^n_X=\mathcal{O}(K_X)$、$\Omega^n(E)=\mathcal{O}(K_X\otimes E)$ です。

3. 細層と非輪状分解

3.1. 細層

定義 3.1（細層）↗

位相空間 $X$ 上のアーベル群の層 $\mathcal{F}$ が細層であるとは、$X$ の任意の局所有限な開被覆 $(U_i)_{i\in I}$ に対して、閉集合 $K_i\subset U_i$ と層の射 $\eta_i\colon\mathcal{F}\to\mathcal{F}$ の族で

1. $\eta_i$ は開集合 $X\setminus K_i$ の上で $0$（$\eta_i|_{X\setminus K_i}=0$）、
2. $\sum_{i\in I}\eta_i=\mathrm{id}_{\mathcal{F}}$

をみたすものが存在することをいう。

2 の和には意味があります。被覆が局所有限なので、各点は有限個の $U_i$ としか交わらない近傍 $W$ をもち、$W$ の上では有限個を除いて $\eta_i|_W=0$ だからです。$(\eta_i)$ は層 $\mathcal{F}$ の「1 の分割」です。

次の補題のねらいは、細層の高次コホモロジーが消えることを示すことです。証明の方針は、各点の近くで得られる局所的な解に 1 の分割を掛けて足し合わせ、大域的な解にすることです（§1 の動機で述べた筋です）。

補題 3.2（細層は非輪状）✓

1. $X$ をパラコンパクトな位相空間、$\mathcal{F}$ を $X$ 上の細層とする。$q\ge1$ で $H^q(X,\mathcal{F})=0$ である。
2. $X$ を滑らかな多様体とする。$X$ の任意の開被覆は局所有限な開細分をもつ。また $\mathcal{A}^0$ 加群の層、$\mathcal{A}^0_{\mathbb{R}}$ 加群の層は細層である。とくに $\mathcal{A}^k$、$\mathcal{A}^k_{\mathbb{R}}$、$\mathcal{A}^{p,q}(E)$ は細層で、$q\ge1$ でそのコホモロジーは $0$ である。

証明（補題 3.2）

1。 $\mathcal{F}$ の関手的な脆弱分解 $0\to\mathcal{F}\to C^0(\mathcal{F})\to C^1(\mathcal{F})\to\cdots$（補題 6.2［層コホモロジー］）を使います。$H^q(X,\mathcal{F})\cong H^q(\Gamma(X,C^\bullet(\mathcal{F})))$ です（定理 4.4［層コホモロジー］ の 2）。

層の射 $\eta\colon\mathcal{F}\to\mathcal{F}$ は鎖写像 $C^\bullet(\eta)$ を誘導します。この対応について二つのことを確かめます。$G(\mathcal{F})(V)=\prod_{x\in V}\mathcal{F}_x$、$G(\eta)=\prod_x\eta_x$ で、$C^n(\mathcal{F})$ は $G$ と余核を繰り返して作られます。(a) $\eta$ が開集合 $W$ の上で $0$ なら、$x\in W$ で $\eta_x=0$ なので $G(\eta)|_W=0$ で、余核に誘導される射も $W$ の各点の茎で $0$、したがって $W$ の上で $0$ です（命題 3.2［層］ の 4）。帰納的にすべての $n$ で $C^n(\eta)|_W=0$ です。(b) $G(\eta+\eta')=G(\eta)+G(\eta')$ で、余核に誘導される射も加法的なので、$C^n(\eta+\eta')=C^n(\eta)+C^n(\eta')$ です。また構成は開集合への制限と両立します。

$q\ge1$、$s\in\Gamma(X,C^q(\mathcal{F}))$、$ds=0$ とします。分解は完全なので、各点 $x$ は開近傍 $U_x$ と $t_x\in C^{q-1}(\mathcal{F})(U_x)$ で $dt_x=s|_{U_x}$ となるものをもちます。$X$ はパラコンパクトなので、被覆 $(U_x)$ の局所有限な開細分 $(U_i)_{i\in I}$ があり、$t_i\in C^{q-1}(\mathcal{F})(U_i)$ で $dt_i=s|_{U_i}$ となるものが取れます。この被覆に対する 定義 3.1 の $K_i$、$\eta_i$ を取り、$\eta_i^n=C^n(\eta_i)$ と書きます。

$\eta_i^{q-1}(t_i)\in C^{q-1}(\mathcal{F})(U_i)$ は (a) により $U_i\setminus K_i$ の上で $0$ なので、$X\setminus K_i$ の上の切断 $0$ と貼り合わせて $\tau_i\in\Gamma(X,C^{q-1}(\mathcal{F}))$ が得られます。各点は有限個を除いて $\tau_i|_W=0$ となる近傍 $W$ をもつので、$t=\sum_i\tau_i\in\Gamma(X,C^{q-1}(\mathcal{F}))$ が定まります。$C^\bullet(\eta_i)$ は鎖写像なので、$U_i$ の上で $d\tau_i=\eta_i^q(dt_i)=\eta_i^q(s)$、$X\setminus K_i$ の上では両辺とも $0$ で、$d\tau_i=\eta_i^q(s)$ です。(b) と $\sum_i\eta_i=\mathrm{id}$ から

$$dt=\sum_i\eta_i^q(s)=C^q\Bigl(\sum_i\eta_i\Bigr)(s)=s$$

です（和は各点の近傍で有限和）。よって $H^q(\Gamma(X,C^\bullet(\mathcal{F})))=0$ です。

2。 $(U_\alpha)$ を $X$ の開被覆とし、従属する 1 の分割 $(\rho_j)_{j\ge1}$ を取ります（定理 6.3［部分多様体と正則値定理］）。開集合 $\lbrace\rho_j\gt0\rbrace$ の族は $X$ を覆い、各々がある $U_\alpha$ に含まれ、局所有限なので、局所有限な開細分です。

$\mathcal{M}$ を $\mathcal{A}^0$ 加群の層、$(U_i)_{i\in I}$ を局所有限な開被覆とします。従属する 1 の分割 $(\rho_j)$ について、$\operatorname{supp}\rho_j\subset U_{i(j)}$ となる $i(j)\in I$ を選び、$\chi_i=\sum_{j:\,i(j)=i}\rho_j$、$K_i=\bigcup_{j:\,i(j)=i}\operatorname{supp}\rho_j$ とおきます。局所有限な閉集合の族の和集合は閉集合なので（各点は有限個としか交わらない近傍をもち、その中では有限個の閉集合の和）、$K_i$ は $U_i$ に含まれる閉集合で、$\chi_i$ は $X\setminus K_i$ の上で $0$ の滑らかな関数、$\sum_i\chi_i=1$ です。$\eta_i$ を $\chi_i$ を掛ける写像とすれば 定義 3.1 の条件をみたします。実数値の場合も同じです。$\mathcal{A}^k$ と $\mathcal{A}^{p,q}(E)$ は関数との積で $\mathcal{A}^0$ 加群の層です。多様体はパラコンパクトなので 1 が使えます。

∎

正則関数の層 $\mathcal{O}_X$ は細層ではありません。正則な 1 の分割は存在しないからです（一致の定理）。実際 $H^1(X,\mathcal{O}_X)$ は一般に $0$ でなく、それがこの記事の主題の一つです。

3.2. 非輪状分解によるコホモロジーの計算

層 $\mathcal{F}$ の非輪状分解とは、層の完全列 $0\to\mathcal{F}\xrightarrow{\varepsilon}\mathcal{K}^0\xrightarrow{d}\mathcal{K}^1\xrightarrow{d}\cdots$ で、各 $\mathcal{K}^j$ が $q\ge1$ で $H^q(X,\mathcal{K}^j)=0$ をみたすもののことです（定義 5.4［導来関手と δ 関手］）。このとき $H^n(X,\mathcal{F})\cong H^n(\Gamma(X,\mathcal{K}^\bullet))$ であることは一般論から分かります（定理 5.6［導来関手と δ 関手］）。この記事では、あとで具体的なコサイクルを追うために、同型を連結射の合成として書いた形を使います。

次の補題のねらいは、分解を短完全列 $E_j$ に切り分け、その連結射を順に合成して、大域切断の複体のコホモロジー類を $H^n(X,\mathcal{F})$ の元に対応させることです。一般論の同型をそのまま使わず作り直すのは、具体的な形式やコサイクルがどの類に行くかを後で追えるようにするためです（直後の注意 注意 3.4 も参照）。

$\mathcal{Z}^j=\operatorname{Ker}(d\colon\mathcal{K}^j\to\mathcal{K}^{j+1})$ とおきます。$\varepsilon$ により $\mathcal{F}\cong\mathcal{Z}^0$ で、分解の完全性から

$$E_j\colon\quad0\to\mathcal{Z}^j\to\mathcal{K}^j\xrightarrow{\ d\ }\mathcal{Z}^{j+1}\to0\qquad(j\ge0)$$

は層の短完全列です。$\Gamma(X,-)$ は左完全なので（命題 6.2［層］）、$\Gamma(X,\mathcal{Z}^n)$ は複体 $\Gamma(X,\mathcal{K}^\bullet)$ の $n$ コサイクルの群です。

補題 3.3（非輪状分解と連結射）✓

$0\to\mathcal{F}\to\mathcal{K}^\bullet$ を層 $\mathcal{F}$ の非輪状分解とし、$n\ge1$ について

$$\Delta_n=\delta_{E_0}\circ\delta_{E_1}\circ\cdots\circ\delta_{E_{n-1}}\colon\Gamma(X,\mathcal{Z}^n)\to H^n(X,\mathcal{F})$$

とおく。

1. $\Delta_n$ は全射で、核は $d\,\Gamma(X,\mathcal{K}^{n-1})$ である。したがって同型 $\bar\Delta_n\colon H^n(\Gamma(X,\mathcal{K}^\bullet))\to H^n(X,\mathcal{F})$ を誘導する。$n=0$ では $\bar\Delta_0$ を $\Gamma(X,\mathcal{Z}^0)=\Gamma(X,\mathcal{F})$ とする。
2. （自然性）$0\to\mathcal{F}'\to\mathcal{K}'^\bullet$ を別の層の非輪状分解、$\varphi\colon\mathcal{F}\to\mathcal{F}'$ と $\varphi^j\colon\mathcal{K}^j\to\mathcal{K}'^j$ を微分および $\varepsilon$ と可換な層の射とすると、$H^n(X,\varphi)\circ\bar\Delta_n=\bar\Delta'_n\circ H^n(\Gamma(X,\varphi^\bullet))$。

証明（補題 3.3）

1。 $\mathcal{K}^j$ は非輪状なので、次元ずらし（補題 5.7［導来関手と δ 関手］）から、$m\ge1$ で $\delta_{E_j}\colon H^m(X,\mathcal{Z}^{j+1})\to H^{m+1}(X,\mathcal{Z}^j)$ は同型で、$\delta_{E_j}\colon\Gamma(X,\mathcal{Z}^{j+1})\to H^1(X,\mathcal{Z}^j)$ は全射、その核は $\Gamma(X,\mathcal{K}^j)\to\Gamma(X,\mathcal{Z}^{j+1})$ の像です。$\Delta_n$ は、$\delta_{E_{n-1}}\colon\Gamma(X,\mathcal{Z}^n)\to H^1(X,\mathcal{Z}^{n-1})$ に同型 $\delta_{E_{n-2}},\dots,\delta_{E_0}$ を合成したものなので、全射で、核は $d\,\Gamma(X,\mathcal{K}^{n-1})$ です。

2。 $\varphi^\bullet$ は $\mathcal{Z}^j\to\mathcal{Z}'^j$ を誘導し、短完全列の射 $E_j\to E'_j$ を与えます。連結射の自然性から $H^{m+1}(X,\varphi)\circ\delta_{E_j}=\delta_{E'_j}\circ H^m(X,\varphi)$（$\varphi$ は $\mathcal{Z}$ の間の誘導された射）で、これを $j=n-1,\dots,0$ について合成すれば主張を得ます。

∎

注意 3.4（一般論の同型との関係）

定理 5.6［導来関手と δ 関手］ の同型と $\bar\Delta_n$ は、どちらも同型 $H^n(\Gamma(X,\mathcal{K}^\bullet))\cong H^n(X,\mathcal{F})$ です。連結射の符号の規約によって二つは符号だけ食い違うことがありえますが、この記事では前者を使わないので、その比較は行いません。コホモロジー類を具体的な形式やコサイクルと結ぶときは、つねに $\bar\Delta_n$ を使います。以下の符号についての主張は、すべてこの $\bar\Delta_n$ に関するものです。

4. 定数層のコホモロジー

4.1. 特異コホモロジーとの比較

$X$ を滑らかな多様体、$G$ をアーベル群とします。特異 $q$ コチェインの群 $C^q(U;G)=\operatorname{Hom}(C_q(U),G)$（定義 2.1［コホモロジーと双対性］）は、$V\subset U$ について包含 $C_q(V)\subset C_q(U)$ への制限により前層 $U\mapsto C^q(U;G)$ をなします。その層化（定理 4.3［層］）を $\mathcal{S}^q_G$ と書きます。余境界 $\delta$ は制限と可換なので層の射 $\delta\colon\mathcal{S}^q_G\to\mathcal{S}^{q+1}_G$ を定め、$\delta\delta=0$ です。局所定数関数 $c$ に 0 コチェイン $x\mapsto c(x)$ を対応させて $\varepsilon\colon\underline{G}\to\mathcal{S}^0_G$ を定めます。

コチェイン $\varphi\in C^q(X;G)$ が局所的に $0$ であるとは、各点 $x$ が開近傍 $U$ で $\varphi|_{C_q(U)}=0$ となるものをもつことをいいます。その全体 $C^q_0(X;G)$ は $\delta$ で保たれる部分群です。

定理 4.1（定数層のコホモロジーと特異コホモロジー）✓

$X$ を滑らかな多様体、$G$ をアーベル群とする。

1. $0\to\underline{G}\xrightarrow{\varepsilon}\mathcal{S}^0_G\xrightarrow{\delta}\mathcal{S}^1_G\xrightarrow{\delta}\cdots$ は細層による $\underline{G}$ の分解である。
2. 自然な写像 $\theta\colon C^q(X;G)\to\Gamma(X,\mathcal{S}^q_G)$ は全射で、核は $C^q_0(X;G)$ である。複体 $C^\bullet_0(X;G)$ のコホモロジーはすべて $0$ である。
3. したがって $\theta$ と 補題 3.3 の $\bar\Delta_k$ の合成

$$H^k(X;G)\xrightarrow{\ H^k(\theta)\ }H^k(\Gamma(X,\mathcal{S}^\bullet_G))\xrightarrow{\ \bar\Delta_k\ }H^k(X,\underline{G})$$

は同型で、係数の準同型 $G\to G'$ について自然である。

滑らかな特異単体だけを使った $C^q_\infty(U;G)$ とその層化 $\mathcal{S}^q_{\infty,G}$ についても 1〜3 が成り立ち、滑らかな単体への制限 $\mathcal{S}^q_G\to\mathcal{S}^q_{\infty,G}$ は分解の射である。

証明（定理 4.1）

$G$ を固定し、添字の $G$ を省きます。前層 $U\mapsto C^q(U;G)$ を $S^q$ と書きます。層化の切断は芽の族 $(s_x)_{x\in U}$ で、局所的に $S^q$ の切断の芽の族になっているものです（補題 4.2［層］）。$\theta(\varphi)=(\varphi_x)_x$ で、$\mathcal{S}^q$ の $x$ での茎は $S^q$ の茎 $\varinjlim_{U\ni x}C^q(U;G)$ です（定理 4.3［層］ の 1）。

完全性。 茎で確かめます（定理 5.2［層］ の 3）。点 $x$ は、座標球体からなる可縮な開近傍の基本系をもちます。$x$ での芽を、座標球体 $W$ 上のコチェイン $\varphi\in C^q(W;G)$ で代表し、$\delta\varphi$ の芽が $0$ とします。より小さい座標球体 $W'$ の上で $\delta\varphi|_{W'}=0$ です。$q\ge1$ なら、$W'$ は可縮なので $H^q(W';G)=0$（命題 2.2［コホモロジーと双対性］ の 1）で、$\varphi|_{W'}=\delta\psi$ となる $\psi\in C^{q-1}(W';G)$ があり、$\varphi$ の芽は $\delta$ の像に入ります。$q=0$ なら、$\varphi|_{W'}$ は $W'$ の点の関数で、$\delta\varphi(\sigma)=\varphi(\sigma(e_1))-\varphi(\sigma(e_0))=0$ がすべての道 $\sigma$ で成り立つので、道連結な $W'$ の上で定数、すなわち $\varepsilon$ の像の芽です。$\varepsilon$ は茎で単射で、$\delta\varepsilon=0$、$\delta\delta=0$ です。

細層であること。 関数 $f\colon X\to\mathbb{Z}$（連続とは限らない）に対し、$\varphi\in C^q(U;G)$ を $(f\cdot\varphi)(\sigma)=f(\sigma(e_0))\,\varphi(\sigma)$ に写す写像は制限と可換で、前層の射 $S^q\to S^q$、したがって層の射 $\eta_f\colon\mathcal{S}^q\to\mathcal{S}^q$ を定めます。$f\mapsto\eta_f$ は加法的で $\eta_1=\mathrm{id}$、$f$ が開集合 $W$ の上で $0$ なら $\eta_f|_W=0$ です。$(U_i)_{i\in I}$ を局所有限な開被覆とし、補題 3.2 の 2 の証明の閉集合 $K_i\subset U_i$ を取ります。$(K_i)$ は $X$ を覆うので、各点 $x$ に $x\in K_{i(x)}$ となる添字 $i(x)$ を一つ選び、$f_i$ を集合 $\lbrace x : i(x)=i\rbrace$ の定義関数とします。$f_i$ は $X\setminus K_i$ の上で $0$ で、$\sum_if_i=1$（各点で 1 項だけが $1$）です。$\eta_i=\eta_{f_i}$ が 定義 3.1 の条件をみたします。以上で 1 が示されました。

$\theta$ の核と全射性。 $\theta(\varphi)=0$ は、すべての点で $\varphi$ の芽が $0$、すなわち $\varphi$ が局所的に $0$ であることです。全射性を示します。$s\in\Gamma(X,\mathcal{S}^q)$ とします。開被覆 $(U_i)$ と $\varphi_i\in C^q(U_i;G)$ で $\theta(\varphi_i)=s|_{U_i}$ となるものがあります。補題 3.2 の 2 により被覆は局所有限としてよく、上の $K_i$ と $i(x)$ を取ります。特異単体 $\sigma\colon\Delta^q\to X$ について、$i=i(\sigma(e_0))$ とおき、$\sigma$ の像が $U_i$ に入れば $\varphi(\sigma)=\varphi_i(\sigma)$、入らなければ $\varphi(\sigma)=0$ として $\varphi\in C^q(X;G)$ を定めます。点 $x$ を取ります。$x$ の開近傍 $W$ を、$W$ と交わる $K_i$ が $x\in K_i$ となる有限個の $i$（その集合を $I_x$ とする）だけで、$W\subset\bigcap_{i\in I_x}U_i$ となるように取れます（$(K_i)$ は局所有限で、$x\notin K_i$ なる閉集合 $K_i$ は避けられる）。$i,j\in I_x$ について $\theta(\varphi_i-\varphi_j)=0$ なので、$W$ をさらに小さくして、すべての $i,j\in I_x$ で $(\varphi_i-\varphi_j)|_{C_q(W)}=0$ とできます。$\sigma$ の像が $W$ に入れば、$i(\sigma(e_0))\in I_x$ で $\sigma$ の像は $U_{i(\sigma(e_0))}$ に入るので、$\varphi(\sigma)=\varphi_{i_0}(\sigma)$（$i_0\in I_x$ は固定した元）です。よって $\varphi|_{C_q(W)}=\varphi_{i_0}|_{C_q(W)}$ で、$x$ の近くで $\theta(\varphi)=\theta(\varphi_{i_0})=s$ です。

$C_0^\bullet$ は非輪状。 $\varphi\in C^q_0(X;G)$、$\delta\varphi=0$ とします。$\varphi|_{C_q(U)}=0$ となる開集合 $U$ の全体 $\mathfrak{U}$ は $X$ の開被覆です。$\mathfrak{U}$ のどれかに像が入る単体で生成される部分複体 $C^{\mathfrak{U}}_*(X)\subset C_*(X)$ について、制限 $r\colon C^\bullet(X;G)\to\operatorname{Hom}(C^{\mathfrak{U}}_\bullet(X),G)$ は全射です（$C^{\mathfrak{U}}_q(X)$ は基底の一部で生成される直和因子）。定理 5.2［特異ホモロジー］ の証明は、包含 $\iota$ に対し鎖準同型 $\rho$ と $D$ を構成して $\rho\iota=\mathrm{id}$、$\iota\rho=\mathrm{id}-\partial D-D\partial$ を示しているので、$r=\iota^*$ はコホモロジーの同型を誘導します（命題 2.2［コホモロジーと双対性］ の 1 の議論）。$N^\bullet=\ker r$ とおくと、長完全列（定理 3.1［特異ホモロジー］）から $N^\bullet$ のコホモロジーは $0$ です。$\varphi\in N^q$ なので、$q\ge1$ なら $\varphi=\delta\psi$ となる $\psi\in N^{q-1}$ があります。$\psi$ は $\mathfrak{U}$ の各開集合の上で $0$ なので局所的に $0$ です。$q=0$ なら、すべての点はどれかの $U\in\mathfrak{U}$ に入るので $\varphi=0$ です。

3。 2 から、$0\to C_0^\bullet\to C^\bullet(X;G)\xrightarrow{\theta}\Gamma(X,\mathcal{S}^\bullet)\to0$ は複体の短完全列で、$C_0^\bullet$ が非輪状なので長完全列から $H^k(\theta)$ は同型です。1 と 補題 3.2 から $\mathcal{S}^\bullet$ は非輪状分解で、$\bar\Delta_k$ は同型です（補題 3.3）。$G\to G'$ はすべての構成と可換な射を誘導するので、自然性は 補題 3.3 の 2 から従います。

滑らかな単体の場合。 座標球体は滑らかに可縮で、ホモトピー不変性と小さい鎖の構成は滑らかな特異鎖の上でも成り立つので（補題 2.3［コホモロジーと双対性］）、同じ証明が通ります。滑らかな単体への制限は余境界と $\varepsilon$ と可換です。

∎

4.2. de Rham コホモロジーとの比較

定理 4.2（定数層のコホモロジーと de Rham コホモロジー）✓

$X$ を滑らかな多様体とする。

1. $0\to\underline{\mathbb{R}}\to\mathcal{A}^0_{\mathbb{R}}\xrightarrow{d}\mathcal{A}^1_{\mathbb{R}}\xrightarrow{d}\cdots$ は細層による分解で、補題 3.3 は同型

$$\Phi_{\mathrm{dR}}=\bar\Delta_k\colon H^k_{\mathrm{dR}}(X)\to H^k(X,\underline{\mathbb{R}})$$

を与える。複素数値の形式についても同じで、$H^k(X,\mathbb{C})=H^k_{\mathrm{dR}}(X)\otimes\mathbb{C}\cong H^k(X,\underline{\mathbb{C}})$。 2. 定理 4.1 の同型 $\Phi_{\mathrm{sing}}\colon H^k(X;\mathbb{R})\to H^k(X,\underline{\mathbb{R}})$ について、$\Phi_{\mathrm{sing}}^{-1}\circ\Phi_{\mathrm{dR}}$ は de Rham の定理（定理 5.4［コホモロジーと双対性］）の同型 $(\iota^*)^{-1}\circ I$ に等しい。

証明（定理 4.2）

1。 $\mathcal{A}^k_{\mathbb{R}}$ は細層です（補題 3.2 の 2）。各点は星形な座標近傍の基本系をもち、その上で閉 $k$ 形式（$k\ge1$）は完全で、閉 0 形式は定数です（定理 3.4［de Rham コホモロジー］）。よって列は茎で完全です。$\Gamma(X,\mathcal{A}^\bullet_{\mathbb{R}})$ は de Rham 複体なので、補題 3.3 から主張を得ます。複素数値の場合は実部と虚部に分ければ同じです。

2。 積分写像 $I$（定義 5.1［コホモロジーと双対性］）は制限と可換で、$I(d\omega)=\delta I(\omega)$ をみたし（補題 5.2［コホモロジーと双対性］）、定数関数 $c$ を定数コチェイン $c$ に写します。したがって層の射 $I\colon\mathcal{A}^k_{\mathbb{R}}\to\mathcal{S}^k_{\infty,\mathbb{R}}$ は分解の射です。滑らかな単体への制限 $\iota^*\colon\mathcal{S}^k_{\mathbb{R}}\to\mathcal{S}^k_{\infty,\mathbb{R}}$ も分解の射です（定理 4.1）。$\theta_\infty\colon C^\bullet_\infty(X;\mathbb{R})\to\Gamma(X,\mathcal{S}^\bullet_{\infty,\mathbb{R}})$ とすると、大域切断の上で $\Gamma(I)=\theta_\infty\circ I$、$\Gamma(\iota^*)\circ\theta=\theta_\infty\circ\iota^*$ です。補題 3.3 の 2（$\varphi=\mathrm{id}_{\underline{\mathbb{R}}}$）から

$$\Phi_{\mathrm{dR}}=\bar\Delta^{\mathcal{S}_\infty}_k\circ H^k(\theta_\infty)\circ I,\qquad\Phi_{\mathrm{sing}}=\bar\Delta^{\mathcal{S}}_k\circ H^k(\theta)=\bar\Delta^{\mathcal{S}_\infty}_k\circ H^k(\theta_\infty)\circ\iota^*$$

で、$\bar\Delta^{\mathcal{S}_\infty}_k\circ H^k(\theta_\infty)$ は同型なので $\Phi_{\mathrm{sing}}^{-1}\circ\Phi_{\mathrm{dR}}=(\iota^*)^{-1}\circ I$ です。

∎

以下、$H^k(X,\underline{\mathbb{Z}})$ を $H^k(X,\mathbb{Z})$ とも書き、特異コホモロジーと同一視します。包含 $\underline{\mathbb{Z}}\subset\underline{\mathbb{R}}\subset\underline{\mathbb{C}}$ が誘導する写像 $H^k(X,\mathbb{Z})\to H^k(X,\mathbb{R})\to H^k(X,\mathbb{C})$ は、定理 4.1 の自然性から、特異コホモロジーの係数の拡大に対応します。

5. Dolbeault の定理

定理 5.1（Dolbeault の定理）✓

$X$ を $n$ 次元の複素多様体、$E$ を正則ベクトル束とする。各 $p$ について

$$0\to\Omega^p(E)\to\mathcal{A}^{p,0}(E)\xrightarrow{\bar\partial_E}\mathcal{A}^{p,1}(E)\xrightarrow{\bar\partial_E}\cdots\xrightarrow{\bar\partial_E}\mathcal{A}^{p,n}(E)\to0$$

は細層による $\Omega^p(E)$ の分解で、補題 3.3 は同型

$$\Phi_{\mathrm{Dol}}=\bar\Delta_q\colon H^{p,q}(X,E)\to H^q(X,\Omega^p(E))$$

を与える。とくに $H^q(X,\mathcal{O}(E))\cong H^{0,q}(X,E)$、$H^q(X,\Omega^p_X)\cong H^{p,q}(X)$ で、$q\gt n$ なら $H^q(X,\Omega^p(E))=0$ である。

証明（定理 5.1）

$\mathcal{A}^{p,q}(E)$ は細層です（補題 3.2 の 2）。$\mathcal{A}^{p,0}(E)$ での完全性は $\Omega^p(E)$ の定義です。$q\ge1$ での完全性を茎で確かめます。点 $x$ のまわりに、正則座標の多重円板 $P$ で $E$ の正則枠 $\sigma_1,\dots,\sigma_r$ をもつものを取ります。$P$ 上の $\alpha=\sum_a\alpha^a\otimes\sigma_a$ について $\bar\partial_E\alpha=\sum_a\bar\partial\alpha^a\otimes\sigma_a$ なので（命題 3.1［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］）、$\bar\partial_E\alpha=0$ なら各 $\alpha^a$ は $\bar\partial$ 閉な $(p,q)$ 形式で、Dolbeault–Grothendieck の補題（定理 7.1［概複素構造と Dolbeault コホモロジー］）により、少し小さい多重円板 $P'$ の上で $\alpha^a=\bar\partial\beta^a$ と書けます。$\beta=\sum_a\beta^a\otimes\sigma_a$ について $\bar\partial_E\beta=\alpha|_{P'}$ で、$\alpha$ の芽は $\bar\partial_E$ の像に入ります。大域切断の複体は $(A^{p,\bullet}(E),\bar\partial_E)$ なので、補題 3.3 から主張を得ます。$q\gt n$ では $A^{p,q}(E)=0$ です。

∎

この定理により、前章の結果はそのまま層コホモロジーの定理になります。

系 5.2（層コホモロジーの有限性と Serre 双対）✓

$X$ を $n$ 次元のコンパクト複素多様体、$E$ を正則ベクトル束とする。$H^q(X,\Omega^p(E))$ は有限次元で、

$$H^q(X,\Omega^p(E))\cong H^{n-q}(X,\Omega^{n-p}(E^*))^*$$

である。とくに $H^q(X,\mathcal{O}(E))\cong H^{n-q}(X,\mathcal{O}(K_X\otimes E^*))^*$。

証明（系 5.2）

定理 5.1 により $H^q(X,\Omega^p(E))\cong H^{p,q}(X,E)$、$H^{n-q}(X,\Omega^{n-p}(E^*))\cong H^{n-p,n-q}(X,E^*)$ です。$X$ と $E$ に Hermite 計量を入れれば $H^{p,q}(X,E)$ は有限次元で（定理 3.4［Hodge 分解と Lefschetz 分解］）、Kodaira–Serre 双対（定理 4.1［Hodge 分解と Lefschetz 分解］）から同型を得ます。後半は $p=0$ の場合で、$\Omega^n(E^*)=\mathcal{O}(K_X\otimes E^*)$ です。

∎

コンパクトな複素多様体の連接層のコホモロジーが有限次元であること（Cartan–Serre の定理）の、局所自由層の場合がこれです。代数幾何での対応物は射影スキームの連接層についての Serre の有限性定理と Serre 双対です（Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー）。

6. $H^1$ と Čech コサイクル、Picard 群

6.1. $H^1$ の Čech コサイクルによる記述

$\mathcal{F}$ を位相空間 $X$ 上のアーベル群の層、$\mathfrak{U}=(U_i)_{i\in I}$ を開被覆とし、$U_{ij}=U_i\cap U_j$、$U_{ijk}=U_i\cap U_j\cap U_k$ と書きます。$g_{ij}\in\mathcal{F}(U_{ij})$ の族 $g=(g_{ij})_{i,j\in I}$ で、すべての $i,j,k$ について $U_{ijk}$ の上で

$$g_{ij}+g_{jk}=g_{ik}$$

をみたすものを 1 コサイクルといいます（$g_{ii}=0$、$g_{ji}=-g_{ij}$ が従います）。直観的には、1 コサイクルは各 $U_i$ ごとの局所的なデータを $U_{ij}$ で貼り合わせるときのずれを集めたものです。そのうち、各 $U_i$ 上の切断 $f_i$ の差として説明がつくもの（コバウンダリ）を除いた残りが、$H^1$ が数えるものです。$f_i\in\mathcal{F}(U_i)$ の族から $g_{ij}=f_j-f_i$ と作ったものをコバウンダリといい、1 コサイクルの群をコバウンダリの群で割った商を $\check H^1(\mathfrak{U},\mathcal{F})$ と書きます。添字に全順序を入れて $i\lt j$ の成分だけを見れば、これは 定義 3.1［Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー］ の Čech コホモロジーと同じものです。

$\check H^1(\mathfrak{U},\mathcal{F})$ から $H^1(X,\mathcal{F})$ への単射があることは一般論で示されています（命題 3.3［Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー］）。ここでは、連結射をコサイクルで書く公式が要るので、写像を具体的に作り直します。補題 6.2［層コホモロジー］ の脆弱層 $G(\mathcal{F})$（$G(\mathcal{F})(U)=\prod_{x\in U}\mathcal{F}_x$）と単射 $\varepsilon_{\mathcal{F}}\colon\mathcal{F}\to G(\mathcal{F})$ を使い、$Z(\mathcal{F})=\operatorname{Coker}\varepsilon_{\mathcal{F}}$、

$$E_{\mathcal{F}}\colon\quad0\to\mathcal{F}\xrightarrow{\varepsilon_{\mathcal{F}}}G(\mathcal{F})\xrightarrow{\ \pi\ }Z(\mathcal{F})\to0$$

とおきます。

補題 6.1（H¹ と Čech 1 コサイクル）✓

$\mathcal{F}$ を位相空間 $X$ 上のアーベル群の層、$\mathfrak{U}=(U_i)_{i\in I}$ を開被覆とする。

1. 1 コサイクル $g$ に対し、$s_i\in G(\mathcal{F})(U_i)$ の族で $U_{ij}$ 上 $s_j-s_i=\varepsilon_{\mathcal{F}}(g_{ij})$ となるものがある。$\pi(s_i)$ は貼り合って $q_g\in\Gamma(X,Z(\mathcal{F}))$ を定め、$\iota_{\mathfrak{U}}[g]=\delta_{E_{\mathcal{F}}}(q_g)$ は $(s_i)$ の取り方によらない単射準同型 $\iota_{\mathfrak{U}}\colon\check H^1(\mathfrak{U},\mathcal{F})\to H^1(X,\mathcal{F})$ を定める。
2. （連結射の公式）$E\colon0\to\mathcal{F}\xrightarrow{u}\mathcal{M}\xrightarrow{v}\mathcal{Q}\to0$ を層の短完全列、$q\in\Gamma(X,\mathcal{Q})$ とし、$t_i\in\mathcal{M}(U_i)$ が $v(t_i)=q|_{U_i}$ をみたすとする。このとき $u(g_{ij})=t_j-t_i$ となる 1 コサイクル $g$ がただ一つあり、$\delta_E(q)=\iota_{\mathfrak{U}}[g]$ である。
3. （自然性）層の射 $\varphi\colon\mathcal{F}\to\mathcal{F}'$ について $H^1(X,\varphi)\,\iota_{\mathfrak{U}}[g]=\iota_{\mathfrak{U}}[\varphi(g)]$。
4. （細分）開被覆 $\mathfrak{V}=(V_k)_{k\in K}$ と写像 $\tau\colon K\to I$ が $V_k\subset U_{\tau(k)}$ をみたすとき、$(\tau^*g)_{kl}=g_{\tau(k)\tau(l)}|_{V_k\cap V_l}$ について $\iota_{\mathfrak{V}}[\tau^*g]=\iota_{\mathfrak{U}}[g]$。また $H^1(X,\mathcal{F})$ の任意の元は、ある開被覆 $\mathfrak{U}$ とその上の 1 コサイクル $g$ により $\iota_{\mathfrak{U}}[g]$ と書ける。

証明（補題 6.1）

$\varepsilon=\varepsilon_{\mathcal{F}}$ と書きます。$G(\mathcal{F})$ は脆弱なので $H^1(X,G(\mathcal{F}))=0$ で（定理 4.4［層コホモロジー］）、長完全列から $\delta_{E_{\mathcal{F}}}\colon\Gamma(X,Z(\mathcal{F}))\to H^1(X,\mathcal{F})$ は全射、その核は $\pi\,\Gamma(X,G(\mathcal{F}))$ です。

1。 各点 $x$ に $x\in U_{i(x)}$ となる添字 $i(x)$ を選び、$s_i=\bigl((g_{i(x)\,i})_x\bigr)_{x\in U_i}\in\prod_{x\in U_i}\mathcal{F}_x$ とおきます。$x\in U_{ij}$ で、コサイクル条件 $g_{i(x)i}+g_{ij}=g_{i(x)j}$ から $(s_j-s_i)_x=(g_{ij})_x$、すなわち $s_j-s_i=\varepsilon(g_{ij})$ です。$\pi\varepsilon=0$ なので $\pi(s_i)$ と $\pi(s_j)$ は $U_{ij}$ で一致し、貼り合って $q_g$ を定めます。別の族 $(s'_i)$ も同じ条件をみたせば、$s'_i-s_i$ は $U_{ij}$ で一致して $w\in\Gamma(X,G(\mathcal{F}))$ に貼り合い、$q'_g-q_g=\pi(w)$ なので $\delta_{E_{\mathcal{F}}}(q'_g)=\delta_{E_{\mathcal{F}}}(q_g)$ です。$g\mapsto\delta_{E_{\mathcal{F}}}(q_g)$ は加法的です（$s_i$ として和を取れる）。$g_{ij}=f_j-f_i$ なら $s_i=\varepsilon(f_i)$ と取れて $q_g=0$ なので、$\iota_{\mathfrak{U}}$ は $\check H^1(\mathfrak{U},\mathcal{F})$ の上で定まります。単射性：$\delta_{E_{\mathcal{F}}}(q_g)=0$ なら $q_g=\pi(w)$、$w\in\Gamma(X,G(\mathcal{F}))$ で、$\pi(s_i-w|_{U_i})=0$ と $\Gamma(U_i,-)$ の左完全性から $s_i-w|_{U_i}=\varepsilon(f_i)$ となる $f_i\in\mathcal{F}(U_i)$ があります。$\varepsilon(g_{ij})=s_j-s_i=\varepsilon(f_j-f_i)$ と $\varepsilon$ の単射性から $g_{ij}=f_j-f_i$ です。

2。 $v(t_j-t_i)=0$ と左完全性から $t_j-t_i=u(g_{ij})$ となる $g_{ij}\in\mathcal{F}(U_{ij})$ がただ一つあり、$u$ の単射性から $g$ は 1 コサイクルです。$\mathcal{F}\to G(\mathcal{M})$ を $\varepsilon_{\mathcal{M}}u$ とし、$\mathcal{Q}'=\operatorname{Coker}(\varepsilon_{\mathcal{M}}u)$、$E'\colon0\to\mathcal{F}\to G(\mathcal{M})\xrightarrow{\pi'}\mathcal{Q}'\to0$ とおきます。$G(u)\varepsilon_{\mathcal{F}}=\varepsilon_{\mathcal{M}}u$ なので、短完全列の射

$$(\mathrm{id}_{\mathcal{F}},\varepsilon_{\mathcal{M}},a)\colon E\to E',\qquad(\mathrm{id}_{\mathcal{F}},G(u),b)\colon E_{\mathcal{F}}\to E'$$

があります（$a\colon\mathcal{Q}\to\mathcal{Q}'$、$b\colon Z(\mathcal{F})\to\mathcal{Q}'$ は余核に誘導される射）。連結射の自然性から $\delta_E(q)=\delta_{E'}(a(q))$、$\iota_{\mathfrak{U}}[g]=\delta_{E_{\mathcal{F}}}(q_g)=\delta_{E'}(b(q_g))$ です。$G(\mathcal{M})(U_i)$ の元 $\varepsilon_{\mathcal{M}}(t_i)$ と $G(u)(s_i)$ は、どちらも $U_{ij}$ での差が $\varepsilon_{\mathcal{M}}u(g_{ij})$ なので、$\varepsilon_{\mathcal{M}}(t_i)-G(u)(s_i)$ は貼り合って $w\in\Gamma(X,G(\mathcal{M}))$ を定めます。$\pi'\varepsilon_{\mathcal{M}}(t_i)=a(v(t_i))=a(q)|_{U_i}$、$\pi'G(u)(s_i)=b(\pi(s_i))=b(q_g)|_{U_i}$ なので $\pi'(w)=a(q)-b(q_g)$ で、$\delta_{E'}\pi'=0$ から $\delta_{E'}(a(q))=\delta_{E'}(b(q_g))$ です。

3。 $(\varphi,G(\varphi),c)\colon E_{\mathcal{F}}\to E_{\mathcal{F}'}$ は短完全列の射です（$c$ は余核に誘導される射）。$G(\varphi)(s_i)$ は差が $\varepsilon_{\mathcal{F}'}(\varphi(g_{ij}))$ なので $q_{\varphi(g)}=c(q_g)$ で、連結射の自然性から $H^1(X,\varphi)\delta_{E_{\mathcal{F}}}(q_g)=\delta_{E_{\mathcal{F}'}}(c(q_g))$ です。

4。 $s_{\tau(k)}|_{V_k}$ は $\tau^*g$ について 1 の条件をみたし、同じ $q_g$ を与えます。後半：$c\in H^1(X,\mathcal{F})$ を $c=\delta_{E_{\mathcal{F}}}(q)$ と書きます。$\pi$ は層の全射なので、開被覆 $\mathfrak{U}$ と $t_i\in G(\mathcal{F})(U_i)$ で $\pi(t_i)=q|_{U_i}$ となるものがあり（命題 3.2［層］ の 2）、2 を $E=E_{\mathcal{F}}$ に使えば $c=\iota_{\mathfrak{U}}[g]$ です。

∎

6.2. Picard 群

$X$ を複素多様体、$L$ を正則直線束とします。開被覆 $\mathfrak{U}=(U_i)$ と、各 $U_i$ 上の零点をもたない正則切断 $e_i$（正則枠）を取ると、$U_{ij}$ 上で

$$e_j=g_{ij}e_i,\qquad g_{ij}\in\mathcal{O}_X^*(U_{ij})$$

と書け、$e_k=g_{jk}e_j=g_{ij}g_{jk}e_i$ から $g_{ij}g_{jk}=g_{ik}$ です。これは $L$ の変換関数で（切断 $s=f_ie_i$ の成分は $f_i=g_{ij}f_j$ をみたす。補題 2.2［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］）、群 $\mathcal{O}_X^*$ を積で書いたときの 1 コサイクルです。

定理 6.2（Picard 群と H¹(X, 𝒪*)）✓

$X$ を複素多様体とする。

1. 正則直線束 $L$ の変換関数 $g=(g_{ij})$ の類 $\lambda(L)=\iota_{\mathfrak{U}}[g]\in H^1(X,\mathcal{O}_X^*)$ は、被覆と正則枠の取り方によらず、$L$ の同型類だけで決まる。
2. $\lambda\colon\operatorname{Pic}(X)\to H^1(X,\mathcal{O}_X^*)$ は群の同型である。

証明（定理 6.2）

1。 同じ被覆の上の別の正則枠 $e'_i=u_ie_i$（$u_i\in\mathcal{O}_X^*(U_i)$）について、$e'_j=g'_{ij}e'_i$ から $u_jg_{ij}=g'_{ij}u_i$、すなわち $g'_{ij}=g_{ij}\,u_j/u_i$ で、$g'$ と $g$ はコバウンダリの差です。被覆 $(U_i)$ と枠 $(e_i)$、被覆 $(U'_k)$ と枠 $(e'_k)$ が与えられたときは、共通の細分 $(U_i\cap U'_k)_{(i,k)}$ に枠を制限すると、補題 6.1 の 4 から類は変わらず、同じ被覆の上の二つの枠の比較に帰着します。同型 $L\to L'$ は正則枠を正則枠に写し、変換関数を変えません。

2。 準同型。 $L$、$L'$ の正則枠 $e_i$、$e'_i$（共通の被覆に取る）について $e_i\otimes e'_i$ は $L\otimes L'$ の正則枠で、変換関数は $g_{ij}g'_{ij}$ です。

単射。 $\lambda(L)=0$ とします。$\iota_{\mathfrak{U}}$ は単射なので（補題 6.1 の 1）、$g_{ij}=u_j/u_i$ となる $u_i\in\mathcal{O}_X^*(U_i)$ があります。$U_{ij}$ 上で $u_j^{-1}e_j=u_j^{-1}g_{ij}e_i=u_i^{-1}e_i$ なので、$u_i^{-1}e_i$ は貼り合って零点をもたない大域的な正則切断を定め、$L$ は自明です（補題 2.2［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 3）。

全射。 $c\in H^1(X,\mathcal{O}_X^*)$ は、ある開被覆 $\mathfrak{U}$ と 1 コサイクル $g$ で $c=\iota_{\mathfrak{U}}[g]$ と書けます（補題 6.1 の 4）。$g$ は正則なコサイクルなので、これを変換関数とする正則直線束 $L$ があり（補題 2.2［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 1）、$\lambda(L)=c$ です。

∎

以下 $\operatorname{Pic}(X)$ と $H^1(X,\mathcal{O}_X^*)$ を $\lambda$ で同一視します。

7. 指数完全列と第一 Chern 類

命題 7.1（指数完全列）✓

複素多様体 $X$ の上で、層の列

$$0\to\underline{\mathbb{Z}}\longrightarrow\mathcal{O}_X\xrightarrow{\ \exp(2\pi i\,\cdot)\ }\mathcal{O}_X^*\to0$$

は完全である（$\mathcal{O}_X^*$ は積についての群）。したがって長完全列

$$\cdots\to H^1(X,\mathbb{Z})\to H^1(X,\mathcal{O}_X)\to H^1(X,\mathcal{O}_X^*)\xrightarrow{\ \delta_{\exp}\ }H^2(X,\mathbb{Z})\to H^2(X,\mathcal{O}_X)\to\cdots$$

がある。

証明（命題 7.1）

茎で確かめます（定理 5.2［層］ の 3）。$f\mapsto e^{2\pi if}$ は和を積に写します（定義 6.2［正則関数とコーシー・リーマンの関係式］）。連結な開集合の上の正則関数 $f$ が $e^{2\pi if}=1$ をみたせば、$f$ は整数値の連続関数なので定数で、核は $\underline{\mathbb{Z}}$ です。全射性：$g$ を点 $x$ の近傍で正則で零点をもたない関数とします。$x$ の連結な開近傍 $W$ を $|g/g(x)-1|\lt1$ となるように取ると、$g/g(x)$ は対数の主枝 $\operatorname{Log}$ の定義域（負の実軸の補集合）に値を取るので、$\operatorname{Log}(g/g(x))$ は $W$ 上の正則関数です（定義 6.7［正則関数とコーシー・リーマンの関係式］）。$g(x)=e^{2\pi ic}$ となる $c\in\mathbb{C}$ を取り、$f=c+\frac1{2\pi i}\operatorname{Log}(g/g(x))$ とおけば $e^{2\pi if}=g$ です。長完全列は 定理 5.2［導来関手と δ 関手］ です。

∎

穴あき平面 $\mathbb{C}\setminus\lbrace0\rbrace$ の上の関数 $z$ は大域的な対数をもたないので、$\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_X^*$ は切断の水準では全射とは限りません。そのずれを測るのが $\delta_{\exp}$ です。

$\delta_{\exp}$ を曲率と比べます。定理 4.2 の同型 $\Phi_{\mathrm{dR}}\colon H^2(X,\mathbb{C})\to H^2(X,\underline{\mathbb{C}})$ は、複素数値の de Rham 分解に 補題 3.3 を使ったもので、閉 2 形式 $\Theta$ について

$$\Phi_{\mathrm{dR}}[\Theta]=\delta_{E_0}\delta_{E_1}(\Theta),\qquad E_0\colon0\to\underline{\mathbb{C}}\to\mathcal{A}^0\xrightarrow{d}\mathcal{Z}^1\to0,\quad E_1\colon0\to\mathcal{Z}^1\to\mathcal{A}^1\xrightarrow{d}\mathcal{Z}^2\to0$$

です。$j\colon\underline{\mathbb{Z}}\to\underline{\mathbb{C}}$ を包含とします。

次の定理のねらいは、指数完全列の連結射 $\delta_{\exp}$ が、曲率で定めた第一 Chern 形式と同じ類を与えることを示すことです。証明の方針は三段です。まず $\mathcal{O}_X^*$ の元 $g$ に $\frac1{2\pi i}\frac{dg}{g}$ を対応させて指数完全列を de Rham 側の短完全列へ移します。次に、Hermite 計量から作る 1 形式 $\theta_i$ の各 $U_i$ 上の差が変換関数のこの形式になることを見ます。最後に $d\theta_i$ が曲率に当たることから、連結射の公式で二つの類を結びます。

定理 7.2（指数完全列の連結準同型と第一 Chern 類）✓

$X$ を複素多様体、$L$ を正則直線束、$h$ を $L$ の Hermite 計量、$c_1(L,h)=\frac{i}{2\pi}F_h$ を第一 Chern 形式（$F_h$ は Chern 接続の曲率）とする。このとき $H^2(X,\underline{\mathbb{C}})$ の中で

$$H^2(X,j)\bigl(\delta_{\exp}(\lambda(L))\bigr)=-\Phi_{\mathrm{dR}}\bigl[c_1(L,h)\bigr].$$

すなわち、$\delta_{\exp}(\lambda(L))\in H^2(X,\mathbb{Z})$ の de Rham コホモロジーでの像は $-c_1(L)$ である。

証明（定理 7.2）

開被覆 $\mathfrak{U}=(U_i)$ と正則枠 $e_i$、変換関数 $g_{ij}$（$e_j=g_{ij}e_i$）を取り、$h_i=h(e_i,e_i)\gt0$ とおきます。$U_{ij}$ 上で $h_j=|g_{ij}|^2h_i$ です。

短完全列の射。 層の射 $\kappa\colon\mathcal{O}_X^*\to\mathcal{Z}^1$ を $\kappa(g)=\frac1{2\pi i}\frac{dg}{g}$ で定めます。$\kappa(gg')=\kappa(g)+\kappa(g')$ で、値は閉形式です（局所的に $\frac{dg}g=d\log g$）。正則関数 $f$ について $\kappa(e^{2\pi if})=df$ なので、包含 $\mathcal{O}_X\to\mathcal{A}^0$ と合わせて

$$(j,\ \mathcal{O}_X\hookrightarrow\mathcal{A}^0,\ \kappa)\colon\quad\bigl(0\to\underline{\mathbb{Z}}\to\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_X^*\to0\bigr)\longrightarrow E_0$$

は短完全列の射です。連結射の自然性から $H^2(X,j)\,\delta_{\exp}(\lambda(L))=\delta_{E_0}\bigl(H^1(X,\kappa)\lambda(L)\bigr)$ で、補題 6.1 の 3 から $H^1(X,\kappa)\lambda(L)=\iota_{\mathfrak{U}}[a]$、$a_{ij}=\kappa(g_{ij})=\frac1{2\pi i}\frac{dg_{ij}}{g_{ij}}$ です。

コサイクル $a$ を 1 形式の差に書く。 $g_{ij}$ は正則なので $\partial g_{ij}=dg_{ij}$、$\partial\overline{g_{ij}}=0$ で、$\log h_j=\log h_i+\log(g_{ij}\overline{g_{ij}})$ から

$$\partial\log h_j-\partial\log h_i=\frac{\partial(g_{ij}\overline{g_{ij}})}{g_{ij}\overline{g_{ij}}}=\frac{dg_{ij}}{g_{ij}}$$

です。$\theta_i=\frac1{2\pi i}\partial\log h_i\in\mathcal{A}^1(U_i)$ とおくと $\theta_j-\theta_i=a_{ij}$ です。$d\theta_i=\frac1{2\pi i}\bar\partial\partial\log h_i$ で、直線束の Chern 接続の曲率は $F_h=\bar\partial\partial\log h_i$ なので（命題 4.3［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 2）、

$$d\theta_i=\frac1{2\pi i}F_h=-\frac i{2\pi}F_h=-c_1(L,h)$$

です。右辺は $X$ 上の閉 2 形式 $\Theta=-c_1(L,h)$ の制限です。

連結射の公式。 短完全列 $E_1$ と $q=\Theta\in\Gamma(X,\mathcal{Z}^2)$ について、$\theta_i\in\mathcal{A}^1(U_i)$ は $d\theta_i=\Theta|_{U_i}$ をみたし、差は $\theta_j-\theta_i=a_{ij}$ です。補題 6.1 の 2 から $\delta_{E_1}(\Theta)=\iota_{\mathfrak{U}}[a]$ です。以上を合わせて

$$H^2(X,j)\,\delta_{\exp}(\lambda(L))=\delta_{E_0}\bigl(\iota_{\mathfrak{U}}[a]\bigr)=\delta_{E_0}\delta_{E_1}(\Theta)=\Phi_{\mathrm{dR}}[\Theta]=-\Phi_{\mathrm{dR}}[c_1(L,h)]$$

です。

∎

定義 7.3（整係数の第一 Chern 類・Néron–Severi 群・Pic⁰）↗

正則直線束 $L$ に対し

$$c_1(L)=-\delta_{\exp}(\lambda(L))\in H^2(X,\mathbb{Z})$$

を $L$ の（整係数の）第一 Chern 類という。$c_1\colon\operatorname{Pic}(X)\to H^2(X,\mathbb{Z})$ は群準同型で、その像を Néron–Severi 群 $\operatorname{NS}(X)$、核を $\operatorname{Pic}^0(X)$ と書く。$\operatorname{NS}(X)$ の階数を Picard 数という。

定理 7.2 により、この $c_1(L)$ の $H^2(X,\mathbb{C})$ での像は、曲率で定めた第一 Chern 類 $[c_1(L,h)]$ に等しくなります。とくに $[c_1(L,h)]$ は整係数コホモロジーの像に入る実の類です。

注意 7.4（符号について）

定理 7.2 の符号 $-1$ は、(i) 変換関数の向き（$e_j=g_{ij}e_i$、すなわち成分について $f_i=g_{ij}f_j$）、(ii) 指数写像 $f\mapsto e^{2\pi if}$、(iii) de Rham コホモロジーと層コホモロジーの同一視 $\bar\Delta_2=\delta_{E_0}\delta_{E_1}$、の三つの規約の下でのものです。変換関数を逆数に取り替えるか、Čech–de Rham の同一視に次数ごとの符号を入れる流儀では、$\delta_{\exp}$ の像がそのまま $c_1$ になります。文献を比べるときはこの三点を確かめてください（Huybrechts の 4.4 節、Griffiths–Harris の第 1 章 1 節）。この記事の以後の結果は、$\delta_{\exp}$ の像と核だけに関わるので、符号によりません。

8. Lefschetz の $(1,1)$ 定理と $\operatorname{Pic}^0$

8.1. 定数層から構造層への写像

長完全列の $H^k(X,\mathbb{Z})\to H^k(X,\mathcal{O}_X)$ は、包含 $\underline{\mathbb{Z}}\subset\underline{\mathbb{C}}\subset\mathcal{O}_X$ が誘導する写像です。これを微分形式で書きます。

補題 8.1（定数層から構造層への写像は (0,k) 成分への射影）✓

$X$ を複素多様体、$\iota\colon\underline{\mathbb{C}}\to\mathcal{O}_X$ を包含とする。複素数値の閉 $k$ 形式 $\alpha$ の $(0,k)$ 成分 $\alpha^{0,k}$ は $\bar\partial$ 閉で、

$$H^k(X,\iota)\bigl(\Phi_{\mathrm{dR}}[\alpha]\bigr)=\Phi_{\mathrm{Dol}}\bigl[\alpha^{0,k}\bigr]\in H^k(X,\mathcal{O}_X).$$

証明（補題 8.1）

$(0,k)$ 成分への射影 $\Pi\colon\mathcal{A}^k\to\mathcal{A}^{0,k}$ を考えます。$d=\partial+\bar\partial$ で、$\partial$ は第 1 の次数を上げるので、$d\beta$ の $(0,k+1)$ 成分は $\bar\partial(\beta^{0,k})$ です。すなわち $\Pi d=\bar\partial\Pi$ で、$\Pi$ は de Rham 分解 $\underline{\mathbb{C}}\to\mathcal{A}^\bullet$ から Dolbeault 分解 $\mathcal{O}_X\to\mathcal{A}^{0,\bullet}$ への、$\iota$ の上の分解の射です（次数 $0$ では恒等写像で、定数を定数関数に写す）。$d\alpha=0$ なら $\bar\partial\alpha^{0,k}=\Pi d\alpha=0$ で、補題 3.3 の 2 から主張を得ます。

∎

8.2. Lefschetz の $(1,1)$ 定理

定理 8.2（Lefschetz の (1,1) 定理）✓

$X$ をコンパクト Kähler 多様体とする。$a\in H^2(X,\mathbb{Z})$ について、次は同値である。

1. $a=c_1(L)$ となる正則直線束 $L$ が存在する。
2. $a$ の $H^2(X,\mathbb{C})$ での像は $(1,1)$ 型である。すなわち 定理 5.1［Hodge 分解と Lefschetz 分解］ の $K^{1,1}$ に入る。

したがって $\operatorname{NS}(X)$ は、$H^2(X,\mathbb{Z})$ の元で $H^2(X,\mathbb{C})$ での像が $(1,1)$ 型であるもの全体に等しい。

証明（定理 8.2）

指数完全列の長完全列（命題 7.1）から、$a$ が $\delta_{\exp}$ の像に入ることと、$a$ の $H^2(X,\mathcal{O}_X)$ での像が $0$ であることは同値です。$c_1=-\delta_{\exp}\circ\lambda$ で $\lambda$ は全単射（定理 6.2）なので、前者は 1 と同値です。

$a$ の $H^2(X,\underline{\mathbb{C}})$ での像を $\Phi_{\mathrm{dR}}[\alpha]$ と書きます。$a$ は $H^2(X,\underline{\mathbb{R}})$ を経由するので、実の de Rham 分解から複素の de Rham 分解への包含に 補題 3.3 の 2 を使えば、$\alpha$ は実の閉形式に取れます。Kähler 計量を一つ固定し、$\alpha$ をその類の調和代表元に取り替えます（定理 4.4［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］）。$\alpha$ は実の調和形式で、

$$\alpha=\alpha^{2,0}+\alpha^{1,1}+\alpha^{0,2},\qquad\alpha^{2,0}=\overline{\alpha^{0,2}}$$

の各成分は $\bar\partial$ 調和です（定理 5.1［Hodge 分解と Lefschetz 分解］ の 1）。補題 8.1 から、$a$ の $H^2(X,\mathcal{O}_X)$ での像は $\Phi_{\mathrm{Dol}}[\alpha^{0,2}]$ で、$\Phi_{\mathrm{Dol}}$ は同型、調和形式 $\alpha^{0,2}$ の Dolbeault 類が $0$ であることは $\alpha^{0,2}=0$ と同値です（定理 3.4［Hodge 分解と Lefschetz 分解］ の 3）。$\alpha^{0,2}=0$ なら $\alpha=\alpha^{1,1}$ で $[\alpha]\in K^{1,1}$ です。逆に $[\alpha]\in K^{1,1}$ なら、調和代表元は $(1,1)$ 型なので（定理 5.1［Hodge 分解と Lefschetz 分解］ の 2 と調和代表元の一意性）$\alpha^{0,2}=0$ です。

∎

2 ⇒ 1 が定理の中身です。$(1,1)$ 型の整係数の類は、必ずある正則直線束の Chern 類になります。$X$ が射影多様体のとき、さらにその直線束は因子から来ることが言えて（次章の埋め込み定理の帰結）、$(1,1)$ 型の整係数の類は因子の類で表されます。これは Hodge 予想の、証明されている唯一の一般的な場合です。

8.3. 整係数コホモロジーは格子を定める

補題 8.3（コンパクト多様体の整係数コホモロジー）✓

$X$ をコンパクトな滑らかな多様体とする。

1. 各 $q$ について特異ホモロジー群 $H_q(X)$ は有限生成アーベル群である。
2. 各 $k$ について、$H^k(X,\mathbb{Z})\to H^k(X,\mathbb{R})$ の核は有限群で、像は $H^k(X,\mathbb{R})$ の $\mathbb{R}$ 上の基底が生成する部分群（階数 $b_k$ の格子）である。

証明（補題 8.3）

1。 $X$ 上の Morse 関数 $f$ を取り（定理 4.1［Morse 理論］）、$X^a=f^{-1}((-\infty,a])$ とおきます。臨界点は有限個で（系 3.3［Morse 理論］）、臨界値を $c_1\lt\dots\lt c_r$ とし、$a_0\lt c_1\lt a_1\lt\dots\lt c_r\lt a_r$ を $X^{a_0}=\varnothing$、$X^{a_r}=X$ となるように取ります。十分小さい $\varepsilon\gt0$ について $H_q(X^{c_i+\varepsilon},X^{c_i-\varepsilon})$ は有限階数の自由アーベル群です（系 6.3［Morse 理論］）。臨界値を含まない区間では包含 $X^{a_{i-1}}\subset X^{c_i-\varepsilon}$、$X^{c_i+\varepsilon}\subset X^{a_i}$ がホモロジーの同型を誘導するので（定理 5.1［Morse 理論］）、対の長完全列（系 3.2［特異ホモロジー］）と五項補題（補題 3.3［特異ホモロジー］）から $H_q(X^{a_i},X^{a_{i-1}})\cong H_q(X^{c_i+\varepsilon},X^{c_i-\varepsilon})$ も有限階数の自由アーベル群です。

$i$ についての帰納法で $H_q(X^{a_i})$ が有限生成であることを示します。$i=0$ では $0$ です。完全列 $H_q(X^{a_{i-1}})\to H_q(X^{a_i})\to H_q(X^{a_i},X^{a_{i-1}})$ において、左の写像の像 $A$ は有限生成群の商なので有限生成、右の写像の像 $B$ は有限階数の自由アーベル群の部分群なので有限生成です（定理 3.1［加群と PID 上の構造定理］）。$0\to A\to H_q(X^{a_i})\to B\to0$ は完全で、$A$ の生成元と $B$ の生成元の持ち上げが $H_q(X^{a_i})$ を生成します。

2。 定理 4.1 の自然性から、特異コホモロジーの $H^k(X;\mathbb{Z})\to H^k(X;\mathbb{R})$ について示せば十分です。普遍係数定理（定理 3.4［コホモロジーと双対性］）の写像 $h_G\colon H^k(X;G)\to\operatorname{Hom}(H_k(X),G)$、$h_G[\varphi]([z])=\varphi(z)$ は係数 $G$ について自然な全射で、核は $\operatorname{Ext}(H_{k-1}(X),G)$ です。1 と有限生成アーベル群の基本定理（系 6.1［加群と PID 上の構造定理］）から $H_k(X)\cong\mathbb{Z}^b\oplus T$、$H_{k-1}(X)\cong\mathbb{Z}^{b'}\oplus T'$（$T,T'$ は有限群）で、$\operatorname{Ext}(H_{k-1}(X),\mathbb{R})=0$、$\operatorname{Ext}(H_{k-1}(X),\mathbb{Z})\cong T'$ です（系 3.5［コホモロジーと双対性］）。よって $h_{\mathbb{R}}$ は同型で、可換図式

$$\begin{array}{ccc}H^k(X;\mathbb{Z})&\xrightarrow{\ h_{\mathbb{Z}}\ }&\operatorname{Hom}(H_k(X),\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}^b\\\downarrow&&\downarrow\\H^k(X;\mathbb{R})&\xrightarrow{\ h_{\mathbb{R}}\ }&\operatorname{Hom}(H_k(X),\mathbb{R})\cong\mathbb{R}^b\end{array}$$

の右の縦の写像は標準的な包含 $\mathbb{Z}^b\subset\mathbb{R}^b$ です（$T$ からの準同型は $0$）。したがって左の縦の写像の核は $\ker h_{\mathbb{Z}}\cong T'$ で有限、像は $h_{\mathbb{R}}^{-1}(\mathbb{Z}^b)$ で、$\mathbb{R}^b$ の標準基底に対応する基底で生成されます。$b=\dim H^k(X;\mathbb{R})=b_k$ です。

∎

8.4. $\operatorname{Pic}^0$ は複素トーラス

定理 8.4（Pic⁰ は複素トーラス）✓

$X$ を連結なコンパクト Kähler 多様体とする。

1. $H^1(X,\mathbb{Z})\to H^1(X,\mathcal{O}_X)$ は単射で、その像 $\Gamma$ は複素ベクトル空間 $H^1(X,\mathcal{O}_X)\cong H^{0,1}(X)$ の格子（$\mathbb{R}$ 上の基底が生成する部分群）である。
2. $\operatorname{Pic}^0(X)\cong H^1(X,\mathcal{O}_X)/\Gamma$ で、これは $h^{0,1}=b_1/2$ 次元の複素トーラスである。

証明（定理 8.4）

指数完全列。 $X$ は連結でコンパクトなので $H^0(X,\mathcal{O}_X)=\mathbb{C}$、$H^0(X,\mathcal{O}_X^*)=\mathbb{C}\setminus\lbrace0\rbrace$ で（定理 5.4［複素多様体と正則写像］）、$c\mapsto e^{2\pi ic}$ は全射です。長完全列

$$H^0(X,\mathcal{O}_X)\to H^0(X,\mathcal{O}_X^*)\to H^1(X,\mathbb{Z})\to H^1(X,\mathcal{O}_X)\to H^1(X,\mathcal{O}_X^*)\xrightarrow{\delta_{\exp}}H^2(X,\mathbb{Z})$$

から $H^1(X,\mathbb{Z})\to H^1(X,\mathcal{O}_X)$ は単射で、$\ker\delta_{\exp}\cong H^1(X,\mathcal{O}_X)/\Gamma$ です。$\operatorname{Pic}^0(X)=\ker c_1$ は $\lambda$ で $\ker\delta_{\exp}$ に対応します。

格子であること。 $H^1(X,\mathbb{Z})\to H^1(X,\mathcal{O}_X)$ は $H^1(X,\mathbb{Z})\to H^1(X,\underline{\mathbb{R}})\to H^1(X,\underline{\mathbb{C}})\to H^1(X,\mathcal{O}_X)$ と分解します。補題 8.3 から、$H^1(X,\mathbb{Z})$ の像は $H^1(X,\underline{\mathbb{R}})$ の $\mathbb{R}$ 上の基底で生成されます。したがって、$\mathbb{R}$ 線形写像

$$\rho\colon H^1_{\mathrm{dR}}(X)\to H^{0,1}(X),\qquad[\alpha]\mapsto[\alpha^{0,1}]$$

（補題 8.1 により、$\Phi_{\mathrm{dR}}$ と $\Phi_{\mathrm{Dol}}$ を通して $H^1(X,\underline{\mathbb{R}})\to H^1(X,\mathcal{O}_X)$ に対応する）が同型であることを示せば十分です。Kähler 計量を固定し、実の類を実の調和 1 形式 $\alpha=\alpha^{1,0}+\alpha^{0,1}$ で代表します。$\alpha^{1,0}=\overline{\alpha^{0,1}}$ で、$\alpha^{0,1}$ は $\bar\partial$ 調和です（定理 5.1［Hodge 分解と Lefschetz 分解］ の 1）。$\rho[\alpha]=0$ なら調和形式 $\alpha^{0,1}$ の Dolbeault 類が $0$ なので $\alpha^{0,1}=0$、したがって $\alpha=0$ です。$\rho$ は単射で、$\dim_{\mathbb{R}}H^1_{\mathrm{dR}}(X)=b_1=2h^{0,1}=\dim_{\mathbb{R}}H^{0,1}(X)$（系 5.5［Hodge 分解と Lefschetz 分解］）なので同型です。

複素トーラス。 $H^1(X,\mathcal{O}_X)$ の基底を選んで $\mathbb{C}^{h^{0,1}}$ と同一視すれば、$\Gamma$ は格子で、商は $h^{0,1}$ 次元の複素トーラスです（命題 6.3［複素多様体と正則写像］ の 1）。基底を取り替えても線形同型で移るので、複素多様体の構造は基底によりません。

∎

$\operatorname{Pic}(X)$ は離散的な部分 $\operatorname{NS}(X)\subset H^2(X,\mathbb{Z})$ と連続的な部分 $\operatorname{Pic}^0(X)$ からなり、$0\to\operatorname{Pic}^0(X)\to\operatorname{Pic}(X)\to\operatorname{NS}(X)\to0$ が完全です。Kähler 性は格子であることの証明に使いました。Hopf 曲面では $H^1(X,\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ の像は $H^1(X,\mathcal{O}_X)\cong\mathbb{C}$ の格子にならず、$\operatorname{Pic}^0$ はコンパクトではありません（例 10.2）。

定義 8.5（Jacobi 多様体・Albanese トーラス）↗

1. 連結なコンパクト Riemann 面 $X$ について、複素トーラス $\operatorname{Jac}(X)=\operatorname{Pic}^0(X)=H^1(X,\mathcal{O}_X)/H^1(X,\mathbb{Z})$ を $X$ の Jacobi 多様体という。
2. 連結なコンパクト Kähler 多様体 $X$ について、正則 1 形式の空間 $H^0(X,\Omega^1_X)$ の双対空間を、閉曲線 $\gamma$ に沿う積分 $\alpha\mapsto\int_\gamma\alpha$ の全体が生成する部分群で割った商 $\operatorname{Alb}(X)$ を $X$ の Albanese トーラスという。

注意 8.6（Albanese トーラスについて）

コンパクト Kähler 多様体では正則 1 形式は閉形式なので（系 5.5［Hodge 分解と Lefschetz 分解］ の 5）、$\int_\gamma\alpha$ は $\gamma$ のホモロジー類だけで決まります。定理 8.4 と同じ議論（実の類と $(1,0)$ 成分の対応、および 補題 8.3）で、積分の全体は $H^0(X,\Omega^1_X)^*$ の格子になり、$\operatorname{Alb}(X)$ は $h^{1,0}$ 次元の複素トーラスです。基点 $x_0$ を決めると $x\mapsto\bigl(\alpha\mapsto\int_{x_0}^x\alpha\bigr)$ は正則写像 $X\to\operatorname{Alb}(X)$ を定めます（Albanese 写像）。Riemann 面では Abel–Jacobi 写像と呼ばれ、$\operatorname{Alb}(X)\cong\operatorname{Jac}(X)$ です。これらは以後の証明には使いません。詳細は Griffiths–Harris の第 2 章にあります。

9. 射影空間と Riemann 面

9.1. 多重円板と射影空間の直線束

命題 9.1（多重円板上の直線束は自明）✓

$P\subset\mathbb{C}^n$ を多重円板（半径は $\infty$ でもよい。とくに $P=\mathbb{C}^n$）とする。$q\ge1$ で $H^q(P,\mathcal{O}_P)=0$ であり、$P$ 上の正則直線束はすべて自明である。

証明（命題 9.1）

$H^q(P,\mathcal{O}_P)\cong H^{0,q}(P)=0$ です（定理 5.1、定理 7.2［概複素構造と Dolbeault コホモロジー］）。$P$ は可縮なので $H^2(P,\mathbb{Z})\cong H^2(P;\mathbb{Z})=0$ です（定理 4.1、命題 2.2［コホモロジーと双対性］ の 1）。指数完全列の $H^1(P,\mathcal{O}_P)\to H^1(P,\mathcal{O}_P^*)\to H^2(P,\mathbb{Z})$ から $H^1(P,\mathcal{O}_P^*)=0$ で、定理 6.2 により直線束は自明です。

∎

補題 9.2（射影空間の 1 次ホモロジー）✓

$n\ge0$ について $H_1(\mathbb{P}^n)=0$ である。したがって $H^2(\mathbb{P}^n,\mathbb{Z})\to H^2(\mathbb{P}^n,\mathbb{C})$ は単射である。

証明（補題 9.2）

$n$ についての帰納法で示します。$\mathbb{P}^0$ は 1 点です。$n\ge1$ とし、$U=\mathbb{P}^n\setminus\lbrace[1:0:\dots:0]\rbrace$、$V=\lbrace z_0\ne0\rbrace\cong\mathbb{C}^n$ とおきます。$U\cap V\cong\mathbb{C}^n\setminus\lbrace0\rbrace$ は空でなく道連結で、$H_0(U\cap V)\to H_0(U)\oplus H_0(V)$ は単射です（命題 2.4［特異ホモロジー］）。Mayer–Vietoris 完全列（定理 5.4［特異ホモロジー］）

$$H_1(U)\oplus H_1(V)\to H_1(\mathbb{P}^n)\xrightarrow{\ \partial\ }H_0(U\cap V)\to H_0(U)\oplus H_0(V)$$

から $\partial=0$ で、$H_1(U)\oplus H_1(V)\to H_1(\mathbb{P}^n)$ は全射です。$V$ は可縮なので $H_1(V)=0$ です。$U$ は超平面 $\lbrace z_0=0\rbrace\cong\mathbb{P}^{n-1}$ にホモトピー同値なので（$F_t([z_0:z'])=[tz_0:z']$。補題 5.7［Hodge 分解と Lefschetz 分解］ の証明と同じホモトピー）、$H_1(U)\cong H_1(\mathbb{P}^{n-1})=0$ です（系 4.2［特異ホモロジー］）。よって $H_1(\mathbb{P}^n)=0$ です。

後半：補題 8.3 の証明の図式（係数を $\mathbb{C}$ にしても同じ）で、$\ker h_{\mathbb{Z}}\cong\operatorname{Ext}(H_1(\mathbb{P}^n),\mathbb{Z})=0$ なので $h_{\mathbb{Z}}$ は同型で、$\operatorname{Hom}(H_2,\mathbb{Z})\to\operatorname{Hom}(H_2,\mathbb{C})$ は単射です。よって $H^2(\mathbb{P}^n;\mathbb{Z})\to H^2(\mathbb{P}^n;\mathbb{C})$ は単射で、定理 4.1 の自然性から層コホモロジーでも同じです。

∎

系 9.3（射影空間の Picard 群とコホモロジー）✓

1. $H^q(\mathbb{P}^n,\Omega^p)$ は $0\le p=q\le n$ のとき $\mathbb{C}$、それ以外は $0$ である。とくに $q\ge1$ で $H^q(\mathbb{P}^n,\mathcal{O})=0$。
2. $\ell=\lbrace z_2=\dots=z_n=0\rbrace\subset\mathbb{P}^n$ を直線とする。$d(L)=\int_\ell c_1(L,h)$ は $L$ の Hermite 計量 $h$ によらない整数で、$d\colon\operatorname{Pic}(\mathbb{P}^n)\to\mathbb{Z}$ は群の同型、$d(\mathcal{O}(1))=1$ である。したがって $\operatorname{Pic}(\mathbb{P}^n)\cong\mathbb{Z}$ は $\mathcal{O}(1)$ で生成され、任意の正則直線束はただ一つの $k\in\mathbb{Z}$ について $\mathcal{O}(k)$ と同型である。

証明（系 9.3）

1。 定理 5.1 と 命題 5.8［Hodge 分解と Lefschetz 分解］ の 1 です。

2。 $d$ は準同型。 計量を取り替えると $c_1(L,h)$ は完全形式だけ変わり、テンソル積と制限について加法的・自然です（定理 4.5［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］）。$\ell$ はコンパクトな 1 次元複素多様体なので、Stokes の定理から $d(L)$ は $h$ によらず、$d(L\otimes L')=d(L)+d(L')$ です。$\mathcal{O}(1)$ に Fubini–Study 計量 $h_{FS}$ を入れると $c_1(\mathcal{O}(1),h_{FS})=\omega_{FS}$ で、$\int_\ell\omega_{FS}=1$ です（定理 5.2［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 2・3）。

$d(L)$ は整数。 $L$ を $\ell\cong\mathbb{P}^1$ に制限して、$\mathbb{P}^1$ 上の正則直線束 $L$ について $\int_{\mathbb{P}^1}c_1(L,h)\in\mathbb{Z}$ を示します。$U_0=\lbrace z_0\ne0\rbrace$（座標 $z=z_1/z_0$）、$U_1=\lbrace z_1\ne0\rbrace$ はどちらも $\mathbb{C}$ と双正則なので、命題 9.1 から正則枠 $e_0$、$e_1$ があり、$U_0\cap U_1=\lbrace z\ne0\rbrace$ 上で $e_1=g\,e_0$、$g$ は零点をもたない正則関数です。$h_i=h(e_i,e_i)$ とおくと $F_h=\bar\partial\partial\log h_i=d(\partial\log h_i)$（$U_i$ 上）で、定理 7.2 の証明の計算から $\partial\log h_1-\partial\log h_0=dg/g$ です。$D_0=\lbrace|z|\le1\rbrace\subset U_0$、$D_1=\mathbb{P}^1\setminus\lbrace|z|\lt1\rbrace\subset U_1$ に分けて Stokes の定理（定理 6.1［ストークスの定理］）を使うと、$D_1$ の境界は円周 $|z|=1$ に $D_0$ の境界と逆の向きを入れたものなので

$$\int_{\mathbb{P}^1}F_h=\oint_{|z|=1}\partial\log h_0-\oint_{|z|=1}\partial\log h_1=-\oint_{|z|=1}\frac{dg}{g}$$

です（円周は反時計回り）。$\phi(t)=\int_0^t\frac{g'(e^{is})}{g(e^{is})}ie^{is}ds$ とおくと $\frac{d}{dt}\bigl(g(e^{it})e^{-\phi(t)}\bigr)=0$ なので $e^{\phi(2\pi)}=g(1)/g(1)=1$、すなわち $\oint dg/g=\phi(2\pi)=2\pi im$、$m\in\mathbb{Z}$ です。よって $\int_{\mathbb{P}^1}c_1(L,h)=\frac{i}{2\pi}(-2\pi im)=m$ です。

$d$ は単射。 $d(L)=0$ とします。$H^2_{\mathrm{dR}}(\mathbb{P}^n)$ は 1 次元で（補題 5.7［Hodge 分解と Lefschetz 分解］）、$\int_\ell$ は Fubini–Study 形式の類の上で $1$ なので、$\int_\ell\colon H^2_{\mathrm{dR}}(\mathbb{P}^n)\to\mathbb{R}$ は同型です。よって $[c_1(L,h)]=0$ で、定理 7.2 から $c_1(L)\in H^2(\mathbb{P}^n,\mathbb{Z})$ の $H^2(\mathbb{P}^n,\mathbb{C})$ での像は $0$、補題 9.2 から $c_1(L)=0$ です。1 から $H^1(\mathbb{P}^n,\mathcal{O})=0$ なので、指数完全列により $\delta_{\exp}$ は単射で、$\lambda(L)=0$、すなわち $L$ は自明です。

結論。 $d$ は単射な準同型で $d(\mathcal{O}(1))=1$ なので全射でもあり、同型です。$d(L)=k$ なら $d(L\otimes\mathcal{O}(-k))=0$ から $L\cong\mathcal{O}(k)$ です。

∎

整数 $m$ は $g$ の原点のまわりの回転数です。変換関数 $g=z^k$ の直線束は $d=k$ で、$\mathcal{O}(k)$ と同型です（演習 11.1）。代数幾何では、$\mathbb{P}^n$ の座標環が UFD であることから同じ結論が出ます。

9.2. Riemann 面の Riemann–Roch の定理

$X$ を連結なコンパクト Riemann 面とします。$X$ は Kähler 多様体で、$g=h^{1,0}(X)$ がその種数です（命題 5.8［Hodge 分解と Lefschetz 分解］ の 3）。正則直線束 $L$ について

$$\deg L=\int_Xc_1(L,h),\qquad h^q(L)=\dim H^q(X,\mathcal{O}(L)),\qquad\chi(L)=h^0(L)-h^1(L)$$

とおきます。$\deg L$ は計量によらず、$h^q(L)$ は有限で、$q\ge2$ では $H^q(X,\mathcal{O}(L))=0$ です（定理 5.1、系 5.2）。因子 $D=\sum n_ip_i$ に伴う直線束 $\mathcal{O}(D)$ について $\deg\mathcal{O}(D)=\deg D=\sum n_i$ です（定理 7.1［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］）。

命題 9.4（Riemann 面の Riemann–Roch の定理）✓

$X$ を種数 $g$ の連結なコンパクト Riemann 面、$L$ を正則直線束とする。

1. $L$ は、ある因子 $D$ について $\mathcal{O}(D)$ と同型である。とくに $\deg L$ は整数である。
2. $h^0(L)-h^1(L)=\deg L+1-g$。

証明（命題 9.4）

点を足す。 $p\in X$ とします。$\mathcal{O}(p)$ は、$p$ に 1 位の零点をもち他に零点をもたない正則切断 $s_p$ をもちます（定理 6.2［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］）。$L(p)=L\otimes\mathcal{O}(p)$ と書き、層の射 $\mu\colon\mathcal{O}(L)\to\mathcal{O}(L(p))$、$t\mapsto t\otimes s_p$ を考えます。$p$ の外では $s_p$ は零点をもたないので $\mu$ は同型です。$p$ を中心とする座標 $z$ の近傍 $W$ で、$L$ の正則枠 $e$ と、$s_p=z\,\epsilon$ となる $\mathcal{O}(p)$ の正則枠 $\epsilon$ を取ると、$\mu(fe)=zf\,e\otimes\epsilon$ です。よって $\mu$ は単射で、余核 $\mathcal{C}$ の茎は $p$ で $\mathcal{O}_p/z\mathcal{O}_p\cong\mathbb{C}$（$f\mapsto f(p)$）、他の点で $0$ です。$p$ の外で茎が $0$ の層 $\mathcal{C}$ では、$p$ を含む開集合 $U$ 上の切断は $p$ での芽で決まり、逆に $p$ での芽は $p$ の近傍上の切断で代表され、$U\setminus\lbrace p\rbrace$ 上の $0$ と貼り合って $U$ 上の切断になります。したがって $\mathcal{C}(U)$ は $p\in U$ のとき $\mathbb{C}$、そうでないとき $0$ で、$\mathcal{C}$ は脆弱です。$H^0(X,\mathcal{C})=\mathbb{C}$、$H^1(X,\mathcal{C})=0$（定理 4.4［層コホモロジー］）と短完全列 $0\to\mathcal{O}(L)\to\mathcal{O}(L(p))\to\mathcal{C}\to0$ の長完全列から、有限次元ベクトル空間の完全列

$$0\to H^0(X,\mathcal{O}(L))\to H^0(X,\mathcal{O}(L(p)))\to\mathbb{C}\to H^1(X,\mathcal{O}(L))\to H^1(X,\mathcal{O}(L(p)))\to0$$

を得ます。次元の交代和は $0$ なので（補題 7.1［Morse 理論］ の 2）

$$\chi(L(p))=\chi(L)+1,\qquad\deg L(p)=\deg L+\deg\mathcal{O}(p)=\deg L+1$$

です（後者の加法性は 定理 4.5［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 2、$\deg\mathcal{O}(p)=1$ は 定理 7.1［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 2）。

不変量。 $r(L)=\chi(L)-\deg L$ とおくと $r(L(p))=r(L)$ です。$L$ を $L\otimes\mathcal{O}(-p)$ に替えれば $r(L\otimes\mathcal{O}(-p))=r(L)$ も得られます。$D\mapsto\mathcal{O}(D)$ は準同型なので（定理 6.2［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］）、任意の因子 $D$ について $r(L\otimes\mathcal{O}(D))=r(L)$ です。

1。 $k\gt-\chi(L)$ なる正の整数 $k$ を取ると $h^0(L\otimes\mathcal{O}(kp))\ge\chi(L\otimes\mathcal{O}(kp))=\chi(L)+k\gt0$ で、$L\otimes\mathcal{O}(kp)$ は $0$ でない正則切断 $t$ をもちます。零でない切断をもつ直線束はその因子の直線束と同型なので（定理 6.2［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］）$L\otimes\mathcal{O}(kp)\cong\mathcal{O}(\operatorname{div}t)$、したがって $L\cong\mathcal{O}(D)$、$D=\operatorname{div}t-kp$ です。$\deg L=\deg D\in\mathbb{Z}$ です。

2。 1 と不変性から $r(L)=r(\mathcal{O}(D))=r(\mathcal{O})$ です。$h^0(\mathcal{O})=1$（定理 5.4［複素多様体と正則写像］）、$h^1(\mathcal{O})=h^{0,1}=g$、$\deg\mathcal{O}=0$ なので $r(\mathcal{O})=1-g$ です。

∎

系 9.5（Riemann 面の種数）✓

$X$ を連結なコンパクト Riemann 面、$g=h^{1,0}(X)$ とする。

1. $g=\dim H^0(X,\Omega^1_X)=\dim H^1(X,\mathcal{O}_X)=b_1(X)/2$。
2. $\deg K_X=2g-2$。
3. $\operatorname{Pic}^0(X)=\operatorname{Jac}(X)$ は $g$ 次元の複素トーラスである。

証明（系 9.5）

1。 定理 5.1 から $H^0(X,\Omega^1_X)\cong H^{1,0}(X)$、$H^1(X,\mathcal{O}_X)\cong H^{0,1}(X)$ で、命題 5.8［Hodge 分解と Lefschetz 分解］ の 3 から主張を得ます。

2。 $\mathcal{O}(K_X)=\Omega^1_X$ なので $h^0(K_X)=g$、$h^1(K_X)=\dim H^1(X,\Omega^1_X)=h^{1,1}=1$ です。命題 9.4 から $g-1=\deg K_X+1-g$ です。

3。 定理 8.4 と 1 です。

∎

2 から、種数 $g$ の Riemann 面の Euler 数が $-\deg K_X=2-2g$ であること（Gauss–Bonnet の定理）と整合します。代数幾何での対応する定理は 代数曲線の Riemann–Roch の定理 にあります。そこでは Serre 双対から $h^1(L)=h^0(K_X\otimes L^{-1})$ と書き直した形で述べています。ここでも 系 5.2 から同じ書き直しができます。

10. 例

例 10.1（ℂ² から原点を除いた空間の H¹(𝒪)）

$X=\mathbb{C}^2\setminus\lbrace0\rbrace$ を $U_1=\lbrace z_1\ne0\rbrace$、$U_2=\lbrace z_2\ne0\rbrace$ で覆う。$U_1\cap U_2$ 上の正則関数 $f$ は 1 コサイクル（$g_{12}=f$）で、補題 6.1 の 1 により $\check H^1(\mathfrak{U},\mathcal{O})\to H^1(X,\mathcal{O}_X)$ は単射である。$f$ がコバウンダリ $f_2-f_1$（$f_i$ は $U_i$ 上正則）になるとする。$U_1=(\mathbb{C}\setminus\lbrace0\rbrace)\times\mathbb{C}$ 上の正則関数の Laurent 展開 $\sum a_{jk}z_1^jz_2^k$ には $k\ge0$ の項だけが現れ、$U_2$ 上では $j\ge0$ の項だけが現れる。したがって $f=z_1^{-a}z_2^{-b}$（$a,b\ge1$）はコバウンダリでなく、これらの類は 1 次独立である。よって $H^1(X,\mathcal{O}_X)$ は無限次元である。$\mathbb{C}^2$ では $H^1=0$ なので（命題 9.1）、1 点を除くだけでコホモロジーが現れる。これは Hartogs の延長定理（$H^0$ は変わらない）と対になる現象で、$\mathbb{C}^2\setminus\lbrace0\rbrace$ が正則凸でないことの表れである。

例 10.2（Hopf 曲面：Chern 類が消えても直線束は自明でない）

Hopf 曲面 $X\cong S^1\times S^3$ では $H^2(X,\mathbb{Z})=0$、$H^1(X,\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ である（Künneth の公式）。したがってすべての正則直線束について $c_1(L)=0$ で、指数完全列から

$$\operatorname{Pic}(X)=\operatorname{Pic}^0(X)\cong H^1(X,\mathcal{O}_X)/H^1(X,\mathbb{Z})$$

である。$h^{0,1}(X)=1$（例 8.1［Hodge 分解と Lefschetz 分解］）なので右辺は $\mathbb{C}/\mathbb{Z}\cong\mathbb{C}\setminus\lbrace0\rbrace$ で、自明でない正則直線束が 1 径数の族をなす。そのような直線束の例として、$\mu\in\mathbb{C}\setminus\lbrace0\rbrace$ に対し $(\mathbb{C}^2\setminus\lbrace0\rbrace)\times\mathbb{C}$ を $(z,v)\sim(2z,\mu v)$ で割った直線束 $L_\mu$ がある。$L_\mu$ の正則切断は $f(2z)=\mu f(z)$ をみたす $\mathbb{C}^2$ 上の正則関数（Hartogs の延長）で、$f$ の斉次成分を比べると、$\mu=2^k$（$k\ge0$）のときは $k$ 次斉次多項式、それ以外では $0$ だけである。$\operatorname{Pic}^0$ がコンパクトでないのは、$X$ が Kähler でなく、$H^1(X,\mathbb{Z})$ の像が $H^1(X,\mathcal{O}_X)$ の格子にならないためである（階数 $1$ の群は実 $2$ 次元の空間を張れない）。

例 10.3（楕円曲線の Pic⁰ は自分自身と同型）

$E=\mathbb{C}/\Lambda$、$\Lambda=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$（$\operatorname{Im}\tau\gt0$）とする。$H^{0,1}(E)=\mathbb{C}\,d\bar z$ である（命題 5.8［Hodge 分解と Lefschetz 分解］ の 2）。実の調和 1 形式は $\alpha=a\,dz+\bar a\,d\bar z$（$a\in\mathbb{C}$）で、その類が整係数コホモロジーの像に入るのは、周期 $\int_0^1\alpha=2\operatorname{Re}a$ と $\int_0^\tau\alpha=2\operatorname{Re}(a\tau)$ がともに整数のときである（de Rham の定理の同型は積分で与えられ、$H_1(E)$ は二つの閉曲線の類で生成される）。$2\operatorname{Re}a=m$、$2\operatorname{Re}(a\tau)=n$ を解くと

$$a=\frac{n-m\bar\tau}{\tau-\bar\tau}\qquad(m,n\in\mathbb{Z})$$

である（$\tau-\bar\tau=2i\operatorname{Im}\tau$ を使って実部を計算すれば確かめられる）。定理 8.4 の格子 $\Gamma$ は $(0,1)$ 成分 $\bar a\,d\bar z$ の全体なので、$d\bar z$ を基底として

$$\Gamma=\Bigl\lbrace\frac{n-m\tau}{\bar\tau-\tau}\Bigr\rbrace=\frac1{\bar\tau-\tau}\,\Lambda$$

である。$0$ でない複素数を掛ける写像は複素トーラスの同型を与えるので（命題 6.3［複素多様体と正則写像］ の 2）、$\operatorname{Pic}^0(E)=\mathbb{C}/\Gamma\cong\mathbb{C}/\Lambda=E$ である。次数 $0$ の直線束 $\mathcal{O}(p-p_0)$ に点 $p$ を対応させるのがこの同型の幾何的な意味で、楕円曲線の群構造と結びつく。

注意 10.4（複素トーラスの直線束）

複素トーラス $X=V/\Lambda$（$V\cong\mathbb{C}^n$）では、$\operatorname{Pic}(X)$ が完全に記述できます。$H^2(X,\mathbb{Z})$ は $\Lambda$ 上の整数値の交代形式の群と同一視でき、定理 8.2 により、$\operatorname{NS}(X)$ はそのうち $E(iu,iv)=E(u,v)$ をみたすもの（Hermite 形式 $H$ の虚部になるもの）の全体です。直線束は、このような $H$ と、$\chi(\lambda+\mu)=\chi(\lambda)\chi(\mu)e^{\pi iE(\lambda,\mu)}$ をみたす $\chi\colon\Lambda\to U(1)$ の組に一対一に対応します（Appell–Humbert の定理。Mumford『Abelian Varieties』第 I 章、Griffiths–Harris の第 2 章 6 節）。$\operatorname{Pic}^0(X)$ は $H=0$ の部分で、指標 $\chi$ の群、すなわち双対トーラスです。この定理は以後使いません。次章では、$X$ が射影的になる条件（$H$ が正定値に取れること）だけを証明します。

11. 演習

演習 11.1標準

$\mathbb{P}^1$ を $U_0$（座標 $z$）と $U_1$（座標 $w=1/z$）で覆い、整数 $k$ について、変換関数 $e_1=z^ke_0$ で定まる正則直線束を $L_k$ とします。(1) $h_0=(1+|z|^2)^{-k}$ が $L_k$ の Hermite 計量を定めることを確かめ、$\int_{\mathbb{P}^1}c_1(L_k,h)=k$ を直接計算してください。(2) $H^0(\mathbb{P}^1,L_k)$ を求め、$L_k\cong\mathcal{O}(k)$ を結論してください。

解答

(1) $h_1=h(e_1,e_1)=|z|^{2k}h_0=\bigl(|z|^2/(1+|z|^2)\bigr)^k=(1+|w|^2)^{-k}$ は $U_1$ 上で（$w=0$ も含めて）正の滑らかな関数なので、$h$ は Hermite 計量です。$F_h=\bar\partial\partial\log h_0=k\,\partial\bar\partial\log(1+|z|^2)$ で、

$$\partial\bar\partial\log(1+|z|^2)=\partial\Bigl(\frac{z\,d\bar z}{1+|z|^2}\Bigr)=\frac{dz\wedge d\bar z}{(1+|z|^2)^2}$$

です。$dz\wedge d\bar z=-2i\,dx\wedge dy$ なので $c_1(L_k,h)=\frac{i}{2\pi}F_h=\frac k\pi\frac{dx\wedge dy}{(1+|z|^2)^2}$ で、極座標で $\int_{\mathbb{C}}\frac{dx\,dy}{(1+r^2)^2}=2\pi\int_0^\infty\frac{r\,dr}{(1+r^2)^2}=\pi$ から積分は $k$ です（$U_0$ の補集合は 1 点で積分に寄与しない）。これは 系 9.3 の証明の公式（$g=z^k$ の回転数）と一致します。

(2) 切断 $s=f_0e_0=f_1e_1$ の成分は $f_0=z^kf_1$ をみたします。$f_0$ は $z$ の整関数、$f_1(w)=w^kf_0(1/w)$ は $w=0$ で正則です。$f_0=\sum_{j\ge0}a_jz^j$ とすると $f_1=\sum_ja_jw^{k-j}$ で、正則になるのは $j\gt k$ で $a_j=0$ のときです。よって $H^0(\mathbb{P}^1,L_k)$ は $k\ge0$ なら次数 $k$ 以下の多項式の空間（$k+1$ 次元）、$k\lt0$ なら $0$ です。系 9.3 から $L_k\cong\mathcal{O}(d)$、$d=d(L_k)=k$ です。

演習 11.2易

$\mathbb{P}^1$ の指数完全列の長完全列を書き下し、$H^1(\mathbb{P}^1,\mathbb{Z})=0$ と $\operatorname{Pic}(\mathbb{P}^1)\cong H^2(\mathbb{P}^1,\mathbb{Z})$ を導いてください。

解答

$H^0(\mathbb{P}^1,\mathcal{O})=\mathbb{C}$、$H^0(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}^*)=\mathbb{C}\setminus\lbrace0\rbrace$、$H^1(\mathbb{P}^1,\mathcal{O})=H^2(\mathbb{P}^1,\mathcal{O})=0$（系 9.3 の 1）なので、長完全列は

$$0\to\mathbb{Z}\to\mathbb{C}\xrightarrow{\exp(2\pi i\cdot)}\mathbb{C}\setminus\lbrace0\rbrace\to H^1(\mathbb{P}^1,\mathbb{Z})\to0\to\operatorname{Pic}(\mathbb{P}^1)\xrightarrow{\delta_{\exp}}H^2(\mathbb{P}^1,\mathbb{Z})\to0$$

です。指数写像は全射なので $H^1(\mathbb{P}^1,\mathbb{Z})=0$、$\delta_{\exp}$ は同型です。$\operatorname{Pic}(\mathbb{P}^1)\cong\mathbb{Z}$（系 9.3）なので $H^2(\mathbb{P}^1,\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ も分かります。

演習 11.3標準

$\mathbb{P}^1$ の被覆 $U_0,U_1$（演習 11.1 の記号）について、$U_0\cap U_1$ 上の正則 1 形式 $dz/z$ を $\Omega^1$ 係数の 1 コサイクル（$g_{01}=dz/z$）とみなします。その類 $\iota_{\mathfrak{U}}[g]\in H^1(\mathbb{P}^1,\Omega^1)$ に、Dolbeault の同型 $\Phi_{\mathrm{Dol}}$ で対応する $(1,1)$ 形式を一つ求め、類が $0$ でないことを示してください。

解答

定理 5.1 の分解（$p=1$）の短完全列 $E_0\colon0\to\Omega^1\to\mathcal{A}^{1,0}\xrightarrow{\bar\partial}\mathcal{Z}\to0$（$\mathcal{Z}$ は $\bar\partial$ 閉な $(1,1)$ 形式の層で、$n=1$ なので $\mathcal{A}^{1,1}$ 全体）について、$\Phi_{\mathrm{Dol}}[\Theta]=\delta_{E_0}(\Theta)$ です。補題 6.1 の 2 から、$\beta_i\in A^{1,0}(U_i)$ が $\beta_1-\beta_0=dz/z$ をみたせば、$\Theta=\bar\partial\beta_i$ は大域的な $(1,1)$ 形式で $\delta_{E_0}(\Theta)=\iota_{\mathfrak{U}}[g]$ です。演習 11.1 の $k=1$ の計量で $\beta_i=\partial\log h_i$ とおくと $\beta_1-\beta_0=\partial\log|z|^2=dz/z$ で、

$$\Theta=\bar\partial\partial\log h_0=\frac{dz\wedge d\bar z}{(1+|z|^2)^2}$$

です。$\int_{\mathbb{P}^1}\Theta=-2i\pi\ne0$ で、$\bar\partial$ 完全な $(1,1)$ 形式 $\bar\partial\gamma=d\gamma$（$\gamma$ は $(1,0)$ 形式）の積分は Stokes の定理から $0$ なので、$[\Theta]\ne0$ です。$H^1(\mathbb{P}^1,\Omega^1)\cong H^{1,1}(\mathbb{P}^1)$ は 1 次元なので、$dz/z$ の類はその基底です。

演習 11.4標準

$X$ をコンパクト Kähler 多様体とします。Picard 数 $\rho(X)=\operatorname{rank}\operatorname{NS}(X)$ について $\rho(X)\le h^{1,1}(X)$ を示してください。また複素 2 次元トーラスでは $\rho\le4$ であることを確かめてください。

解答

補題 8.3 から、$H^2(X,\mathbb{Z})\to H^2(X,\mathbb{R})$ の核は有限で、像 $\Gamma$ は $H^2(X,\mathbb{R})$ の基底 $v_1,\dots,v_b$ で生成されます。$\operatorname{NS}(X)$ の像 $N\subset\Gamma$ の階数は $\rho(X)$ です（有限群で割っても階数は変わらない）。定理 8.2 から $N$ は実部分空間 $H^{1,1}(X,\mathbb{R})=K^{1,1}\cap H^2(X,\mathbb{R})$ に入り、その実次元は $h^{1,1}$ です（$K^{1,1}$ は共役で不変なので、実の類の空間の複素化）。$N$ の $\mathbb{Z}$ 上 1 次独立な元は、$v_i$ についての整数係数の座標ベクトルが $\mathbb{Q}$ 上 1 次独立で、したがって $\mathbb{R}$ 上でも 1 次独立です。よって $\rho(X)\le\dim_{\mathbb{R}}H^{1,1}(X,\mathbb{R})=h^{1,1}$ です。複素 2 次元トーラスでは $h^{1,1}=\binom21\binom21=4$ です（命題 5.8［Hodge 分解と Lefschetz 分解］ の 2）。

参考文献

• D. Huybrechts, Complex Geometry: An Introduction, Universitext, Springer, 2005 — 第 2 章（複素多様体上の層とベクトル束、指数完全列）、第 3 章 3 節（Lefschetz の $(1,1)$ 定理）、第 4 章 4 節（Chern 類）。
• P. Griffiths, J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley, 1978 — 第 0 章（層とコホモロジー、de Rham の定理と Dolbeault の定理）、第 1 章（因子と直線束、Chern 類）、第 2 章（Riemann 面と Jacobi 多様体）。
• F. W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Graduate Texts in Mathematics 94, Springer, 1983 — 第 5 章（層、細層による分解、特異コホモロジー・de Rham コホモロジーとの比較）。
• C. Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 76, Cambridge University Press, 2002 — 第 4 章（層とコホモロジー）。
• R. Godement, Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Hermann, 1958 — 関手的な脆弱分解と細層・軟層。
• D. Mumford, Abelian Varieties, Oxford University Press, 1970 — 第 I 章（複素トーラス上の直線束）。