Dolbeault の定理

定理 5.1（「層コホモロジーと直線束」§5）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を $n$ 次元の複素多様体、 $E$ を正則ベクトル束とする。各 $p$ について

0\to\Omega^p(E)\to\mathcal{A}^{p,0}(E)\xrightarrow{\bar\partial_E}\mathcal{A}^{p,1}(E)\xrightarrow{\bar\partial_E}\cdots\xrightarrow{\bar\partial_E}\mathcal{A}^{p,n}(E)\to0

は細層による $\Omega^p(E)$ の分解で、補題 3.3 は同型

\Phi_{\mathrm{Dol}}=\bar\Delta_q\colon H^{p,q}(X,E)\to H^q(X,\Omega^p(E))

を与える。とくに $H^q(X,\mathcal{O}(E))\cong H^{0,q}(X,E)$ 、 $H^q(X,\Omega^p_X)\cong H^{p,q}(X)$ で、 $q\gt n$ なら $H^q(X,\Omega^p(E))=0$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 190 件、定義なども含めて 229 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

細層は非輪状✓補題 3.2・層コホモロジーと直線束
- 関手的な脆弱分解✓補題 6.2・層コホモロジー
- 脆弱層は Γ 非輪状✓定理 4.4・層コホモロジー
  - 入射的な加群の層は脆弱✓命題 4.3・層コホモロジー
    0 による延長と完全列✓命題 7.2・層この先をたどる →
  - 脆弱層の基本性質✓補題 4.2・層コホモロジー
  - 非輪状分解による計算✓定理 5.6・導来関手と δ 関手
    比較定理✓定理 3.1・導来関手と δ 関手この先をたどる →
    ホモトピックな写像はコホモロジーで等しい✓命題 4.2・鎖複体とホモトピー圏
    完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
    擬同型と錐の非輪状性✓系 5.4・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
    加法関手と双積✓命題 3.7・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
    非輪状対象の完全複体✓補題 5.5・導来関手と δ 関手この先をたどる →
    写像錐・写像柱定義 5.1・鎖複体とホモトピー圏
- 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 細層定義 3.1・層コホモロジーと直線束
- 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
  - コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
正則ベクトル束の ∂̄ 作用素✓命題 3.1・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
- 可積分性の同値条件✓定理 4.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
  - 複素化の分解と基底✓補題 2.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
    $\Lambda^k V^*$ の基底と次元✓定理 5.4・ベクトル場と微分形式
  - 1 形式の外微分の公式✓系 4.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    微分形式の Lie 微分の性質✓命題 3.4・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
    Cartan の公式✓定理 4.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - Lie 括弧の性質✓命題 2.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
    ベクトル場の滑らかさの判定✓命題 3.2・ベクトル場と微分形式
  - (p,q) 型への分解✓命題 3.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
- Dolbeault コホモロジーの基本性質✓命題 5.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
  - 関係式の複素形✓命題 4.5・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - 正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - 引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - (p,q) 型への分解✓命題 3.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
  - 複素構造が定める向き✓命題 2.4・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
  - ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理この先をたどる →
Dolbeault–Grothendieck の補題✓定理 7.1・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
- 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
- 1 変数の ∂̄ 方程式の解と径数への依存✓定理 6.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
  - 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - Cauchy–Pompeiu の公式✓補題 6.1・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
  - C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
非輪状分解と連結射✓補題 3.3・層コホモロジーと直線束
- 次元ずらし✓補題 5.7・導来関手と δ 関手
  - 導来関手は δ 関手をなす✓定理 5.2・導来関手と δ 関手この先をたどる →
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 7 件

Kodaira–Nakano の消滅定理✓定理 4.1・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理
高い冪をかけたときの消滅✓系 4.2・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理
非特異な超曲面への制限の完全列✓補題 4.3・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理
層コホモロジーの有限性と Serre 双対✓系 5.2・層コホモロジーと直線束
多重円板上の直線束は自明✓命題 9.1・層コホモロジーと直線束
射影空間の Picard 群とコホモロジー✓系 9.3・層コホモロジーと直線束
Riemann 面の種数✓系 9.5・層コホモロジーと直線束

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前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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