写像錐・写像柱

定義 5.1（「鎖複体とホモトピー圏」§5）

鎖写像 $f\colon X \to Y$ について、写像錐 $\operatorname{Cone}(f)$ を

\operatorname{Cone}(f)^n = X^{n+1} \oplus Y^n, \qquad d^n_{\operatorname{Cone}(f)} = \begin{pmatrix} -d_X^{n+1} & 0 \\ f^{n+1} & d_Y^n \end{pmatrix}

で定める（行列は双積の成分で書いた射で、元の記号では $(x, y) \mapsto (-dx,\ f x + dy)$ ）。写像柱 $\operatorname{Cyl}(f)$ を

\operatorname{Cyl}(f)^n = X^n \oplus X^{n+1} \oplus Y^n, \qquad d^n_{\operatorname{Cyl}(f)} = \begin{pmatrix} d_X^n & -1 & 0 \\ 0 & -d_X^{n+1} & 0 \\ 0 & f^{n+1} & d_Y^n \end{pmatrix}

で定める。 $i\colon Y \to \operatorname{Cone}(f)$ 、 $p\colon \operatorname{Cone}(f) \to X[1]$ を次数ごとの包含 $y \mapsto (0, y)$ と射影 $(x, y) \mapsto x$ とする。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。