鎖複体とホモトピー圏：長完全列・写像錐・非輪状集成補題

0. この記事の要点

この記事は、「加群や Abel 群を並べて矢印でつないだ列」を、元を使わず矢印だけで扱う方法の話です。矢印のつながり方を調べる道具（長完全列）を一般の設定で作り、二つの列が「似ている」とはどういうことかを二通りの意味で比べます。読み終えると、特異ホモロジーや Tor・Ext で使ってきた議論が、加群でない対象にもそのまま通る理由が分かります。

• アーベル圏 $\mathcal{A}$ の複体と鎖写像のなす圏 $\mathrm{C}(\mathcal{A})$ は、核・余核を次数ごとに計算できるアーベル圏です。コホモロジー $H^n$ は $\mathrm{C}(\mathcal{A})$ から $\mathcal{A}$ への加法関手です。
• 複体の短完全列からコホモロジーの長完全列が出ます。証明は蛇の補題を 3 回使うだけで、加群の「元」は使いません。連結射は「持ち上げて微分し、引き戻す」という鎖の水準の記述をもち、そこから自然性が従います。
• 鎖ホモトピックな写像はコホモロジーで同じ写像を誘導します。ホモトピーで割ったホモトピー圏 $\mathrm{K}(\mathcal{A})$ は加法圏で、$H^n$ は $\mathrm{K}(\mathcal{A})$ を経由します。
• 鎖写像 $f$ の写像錐 $\operatorname{Cone}(f)$ について、$f$ が擬同型 $\iff$ 錐が非輪状、$f$ がホモトピー同値 $\iff$ 錐が可縮、が成り立ちます。写像柱を使うと、任意の鎖写像は次数ごとに分裂する単射とホモトピー同値の合成に分解されます。
• 第一象限の二重複体（縦横二方向に微分をもつ格子状の複体）で行（または列）がすべて完全なら全複体は非輪状（コホモロジーがすべて $0$）です（非輪状集成補題）。導来関手の平衡性で使う「各行が分解なら全複体への写像は擬同型」もここで示します。
• アーベル圏の単体的対象（単体の面と退化を表す写像の族）では、Moore 複体と正規化複体（退化部分を捨てた複体）は擬同型です。特異鎖複体を退化した単体を除いて計算してよい理由がこれです。

この記事で使う事前知識

• アーベル圏: 核・余核・像が使え、完全列の議論ができる圏。→ アーベル圏
• 完全列: 各項で、入ってくる射の像と出ていく射の核が一致する列。→ 完全列
• 核・余核: 射を $0$ にする最大の部分対象と、射の像で割った商。→ 余核
• 蛇の補題: 可換図式の核と余核を完全列でつなぐ補題。→ 蛇の補題
• 複体・鎖写像: 微分を 2 回続けると $0$ になる列と、微分と可換な写像。→ 複体
• 射影分解: 加群を射影加群の完全列で置き換えたもの。→ 射影分解

1. 動機

代数的位相幾何では、空間の対 $(X, A)$ から特異鎖複体の短完全列を作り、ホモロジーの長完全列を得ます。可換環論では、加群の短完全列から射影分解の馬蹄補題を経て $\operatorname{Tor}$ と $\operatorname{Ext}$ の長完全列を得ます。どちらも中身は「複体の短完全列からホモロジーの長完全列が出る」という同じ補題で、既存の記事ではそれぞれ Abel 群と加群について、元を使って証明しています。

層のコホモロジーを導来関手として定義するときには、加群ではない対象（Abel 群の層）の複体を扱います。そこで、この補題とその周辺を一般のアーベル圏で、射と完全性だけを使って証明しておく必要があります。加法圏とアーベル圏の章で蛇の補題を元による図式追跡で示したので、この章ではそれを道具として使います。アーベル圏を加群の圏に埋め込む定理には頼りません。

もう一つの主題は、複体を「ホモトピーを除いて」扱うことです。射影分解は比較定理によりホモトピーを除いてしか一意に決まらないので、導来関手を分解によらずに定めるには、ホモトピーで割った圏 $\mathrm{K}(\mathcal{A})$ が自然な置き場所になります。$\mathrm{K}(\mathcal{A})$ は一般にアーベル圏ではなく（この章では証明せず、以後の証明でも使いません）、核や余核の代わりに写像錐を使います。写像錐は「$f$ がどれだけ同型から外れているか」を測る複体で、擬同型の判定（錐の非輪状性）とホモトピー同値の判定（錐の可縮性）を与えます。この性質は三角圏と導来圏の章で公理として抽象化されます。

最後に、二重複体と単体的対象を扱います。二重複体の全複体は、$\operatorname{Ext}$ の平衡性や Koszul 複体、スペクトル系列の出発点です。単体的対象は特異鎖複体の一般化で、Moore 複体と正規化複体の比較は「退化した単体はホモロジーに寄与しない」という事実の抽象版です。

2. 複体の圏

以下、$\mathcal{A}$ はアーベル圏（定義 4.1［加法圏とアーベル圏］）とします。核・余核（定義 2.1［加法圏とアーベル圏］）、双積（定義 3.2［加法圏とアーベル圏］）、完全列（定義 5.1［加法圏とアーベル圏］）の言葉はその章に従います。アーベル圏について次の事実をよく使います（命題 4.3［加法圏とアーベル圏］、定理 4.4［加法圏とアーベル圏］、命題 4.5［加法圏とアーベル圏］）。

• 単射的射（mono）はその余核の核であり、全射的射（epi）はその核の余核である。mono かつ epi な射は同型である。
• 射 $g$ の像 $\operatorname{Im} g = \ker(\operatorname{Coker} g)$ について、$g$ は epi と mono の合成 $g = m e$ に分解する。
• epi の引き戻しは epi である。

また、加法圏で $\ker g = 0$ なら $g$ は mono です（$g a = g b$ なら $g(a-b) = 0$ で、$a - b$ は $\ker g = 0$ を経由するので $a = b$）。

定義 2.1（複体の圏）↗

1. $\mathcal{A}$ の複体 $X$ とは、対象の族 $(X^n)_{n \in \mathbb{Z}}$ と射の族 $d_X^n\colon X^n \to X^{n+1}$（微分）で、すべての $n$ で $d_X^{n+1} d_X^n = 0$ を満たすものをいう。
2. 複体の射（鎖写像）$f\colon X \to Y$ とは、射の族 $f^n\colon X^n \to Y^n$ で $d_Y^n f^n = f^{n+1} d_X^n$ を満たすものをいう。合成は次数ごとの合成で定める。こうして得られる圏を $\mathrm{C}(\mathcal{A})$ と書く。
3. $n \ll 0$ で $X^n = 0$ となる複体を下に有界、$n \gg 0$ で $X^n = 0$ となる複体を上に有界、両方を満たす複体を有界という。それぞれのなす充満部分圏を $\mathrm{C}^+(\mathcal{A})$、$\mathrm{C}^-(\mathcal{A})$、$\mathrm{C}^b(\mathcal{A})$ と書く。
4. 添字を下に書いて $X_n = X^{-n}$、$d_n = d^{-n}\colon X_n \to X_{n-1}$ とした複体を鎖複体と呼ぶことがある。この章では主に上付きの添字（コチェインの流儀）を使う。

鎖写像の和 $(f + g)^n = f^n + g^n$ は再び鎖写像なので、$\operatorname{Hom}_{\mathrm{C}(\mathcal{A})}(X, Y)$ は Abel 群で、合成は双線形です。

命題 2.2（複体の圏はアーベル圏）✓

$\mathrm{C}(\mathcal{A})$ は加法圏であり、次が成り立つ。

1. 鎖写像 $f\colon X \to Y$ の核・余核が存在し、次数ごとの核 $\ker f^n$・余核 $\operatorname{Coker} f^n$ に誘導された微分を入れたものとして与えられる。
2. $f$ が $\mathrm{C}(\mathcal{A})$ で mono（epi、同型）であることと、すべての $n$ で $f^n$ が mono（epi、同型）であることは同値である。
3. $\mathrm{C}(\mathcal{A})$ の mono はその余核の核であり、epi はその核の余核である。余像から像への標準的な射は同型である。したがって $\mathrm{C}(\mathcal{A})$ はアーベル圏である。
4. $\mathrm{C}(\mathcal{A})$ の列が完全であることと、各次数で $\mathcal{A}$ の列として完全であることは同値である。とくに $0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ が短完全列であることと、各 $n$ で $0 \to X'^n \to X^n \to X''^n \to 0$ が短完全列であることは同値である。

$\mathrm{C}^+(\mathcal{A})$、$\mathrm{C}^-(\mathcal{A})$、$\mathrm{C}^b(\mathcal{A})$ も同じ理由でアーベル圏である。

証明（命題 2.2）

加法圏であること。 零複体が零対象です。$X \oplus Y$ を $(X \oplus Y)^n = X^n \oplus Y^n$、微分 $d_X^n \oplus d_Y^n$ で定めると、次数ごとの包含と射影は鎖写像で、双積の等式 $i_1 p_1 + i_2 p_2 = 1$、$p_k i_l = \delta_{kl}$ は次数ごとに成り立つので $\mathrm{C}(\mathcal{A})$ の双積です（定義 3.2［加法圏とアーベル圏］、定義 3.4［加法圏とアーベル圏］）。

1. $k^n\colon K^n \to X^n$ を $f^n$ の核とします。$f^{n+1} d_X^n k^n = d_Y^n f^n k^n = 0$ なので、$d_X^n k^n = k^{n+1} d_K^n$ となる $d_K^n\colon K^n \to K^{n+1}$ がただ一つあります。$k^{n+2} d_K^{n+1} d_K^n = d_X^{n+1} d_X^n k^n = 0$ と $k^{n+2}$ が mono であることから $d_K^{n+1} d_K^n = 0$ で、$K$ は複体、$k$ は鎖写像です。鎖写像 $g\colon W \to X$ が $f g = 0$ を満たせば、各 $n$ で $g^n = k^n w^n$ となる $w^n$ がただ一つあり、$k^{n+1} d_K w^n = d_X k^n w^n = d_X g^n = g^{n+1} d_W = k^{n+1} w^{n+1} d_W$ から $w$ は鎖写像です。よって $k$ は $\mathrm{C}(\mathcal{A})$ での $f$ の核です。余核は双対の議論で同様です。

2. 各 $f^n$ が mono なら、$f g = f h$ から次数ごとに $g^n = h^n$ となり $f$ は mono です。逆に $f$ が mono なら、核 $k\colon K \to X$ について $f k = 0 = f \circ 0$ から $k = 0$ です。$k$ は mono なので $K = 0$、つまり各 $\ker f^n = 0$ で、$f^n$ は mono です。epi も双対です。各 $f^n$ が同型なら、逆射の族 $g^n$ は $g^{n+1} d_Y = g^{n+1} d_Y f^n g^n = g^{n+1} f^{n+1} d_X g^n = d_X g^n$ を満たすので鎖写像で、$f$ の逆射です。

3. $f$ が mono なら 2 により各 $f^n$ は mono で、$\mathcal{A}$ では $f^n$ は $\operatorname{Coker} f^n$ の核です（命題 4.3［加法圏とアーベル圏］ の 1）。1 により核と余核は次数ごとに計算されるので、$f$ は $\operatorname{Coker} f$ の核です。epi も双対です。余像 $\operatorname{Coker}(\ker f)$ と像 $\ker(\operatorname{Coker} f)$ も 1 により次数ごとに計算され、標準的な射は各次数で $\mathcal{A}$ の標準的な射（定理 4.4［加法圏とアーベル圏］ の 2 により同型）なので、2 により同型です。

4. 像・核は次数ごとに計算されるので、「$\operatorname{Im} f = \ker g$」は各次数の等式と同値です。

有界な複体の核・余核・双積は再び同じ側に有界なので、最後の主張も従います。

∎

定義 2.3（コサイクル・コホモロジー・非輪状）↗

複体 $X$ と $n \in \mathbb{Z}$ について、$\iota^n\colon Z^n(X) \to X^n$ を $d_X^n$ の核とする。$d_X^n d_X^{n-1} = 0$ なので $\iota^n \bar d^{n-1} = d_X^{n-1}$ となる $\bar d^{n-1}\colon X^{n-1} \to Z^n(X)$ がただ一つある。その余核を

$$q^n\colon Z^n(X) \to H^n(X) = \operatorname{Coker}\bigl(\bar d^{n-1}\colon X^{n-1} \to Z^n(X)\bigr)$$

とし、$H^n(X)$ を $X$ の $n$ 次コホモロジーという（鎖複体の添字では $H_n(X) = H^{-n}(X)$ と書き、ホモロジーという）。すべての $n$ で $H^n(X) = 0$ のとき、$X$ は非輪状（または完全）であるという。

鎖写像 $f\colon X \to Y$ について、$d_Y f^n \iota^n = f^{n+1} d_X \iota^n = 0$ から $\iota^n Z^n(f) = f^n \iota^n$ となる $Z^n(f)\colon Z^n(X) \to Z^n(Y)$ がただ一つ定まり、$q_Y Z^n(f) \bar d_X^{n-1} = q_Y \bar d_Y^{n-1} f^{n-1} = 0$ から $H^n(f) q_X = q_Y Z^n(f)$ となる $H^n(f)\colon H^n(X) \to H^n(Y)$ がただ一つ定まる。

$\iota$ が mono、$q$ が epi であることから、$Z^n(gf) = Z^n(g) Z^n(f)$、$H^n(gf) = H^n(g) H^n(f)$、$H^n(1) = 1$ が一意性で従い、$H^n$ は関手 $\mathrm{C}(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}$ です。$\bar d^{n-1}$ の像を $B^n(X)$ と書けば、$X^{n-1} \to B^n(X)$ は epi なので $H^n(X)$ は $B^n(X) \to Z^n(X)$ の余核でもあります。$\mathcal{A}$ が加群の圏なら、これは通常の $\ker d^n / \operatorname{Im} d^{n-1}$ です。

定義 2.4（擬同型）↗

鎖写像 $f\colon X \to Y$ が擬同型であるとは、すべての $n$ で $H^n(f)\colon H^n(X) \to H^n(Y)$ が同型であることをいう。

$X$ が非輪状であることは、$0 \to X$（または $X \to 0$）が擬同型であることと同じです。擬同型は一般に逆向きの鎖写像をもちません（例 4.5）。導来圏は擬同型を形式的に可逆にした圏です。

定義 2.5（シフト）↗

複体 $X$ と鎖写像 $f$ について、$X[1]^n = X^{n+1}$、$d_{X[1]}^n = -d_X^{n+1}$、$f[1]^n = f^{n+1}$ と定める。これは関手 $[1]\colon \mathrm{C}(\mathcal{A}) \to \mathrm{C}(\mathcal{A})$ で、逆関手 $[-1]$ をもつ。$[k]$ はその $k$ 回の合成である。

微分の符号を変えても核と余核は変わらない（$(-g) u = 0 \iff g u = 0$）ので、$Z^n(X[1]) = Z^{n+1}(X)$、$q^n_{X[1]} = q^{n+1}_X$ で、$H^n(X[1]) = H^{n+1}(X)$、$H^n(f[1]) = H^{n+1}(f)$ です。以下この同一視を断らずに使います。シフトの微分に符号を付けるのは、次の節の写像錐で微分の 2 乗が $0$ になるようにするためです。

次の補題は、コホモロジーを「微分の余核から次の項への写像」の核と余核として読み直すもので、長完全列の証明と切り詰めの計算で使います。直感的には、$X^n$ のサイクル（微分が $0$ の元）を境界（微分の像）で割ったものが $H^n$ ですが、ここでは元を使えません。そこで $X^n$ を $\operatorname{Coker} d^{n-1}$ に送り、さらに次の項のサイクルへ送る射 $e^n$ の核として、$H^n$ を射だけで捉え直します。

補題 2.6（コホモロジーの核・余核による表示）✓

複体 $X$ と $n$ について、$c^n\colon X^n \to Q^n(X) = \operatorname{Coker} d_X^{n-1}$ とし、$e^n c^n = \bar d^n$ を満たす $e^n\colon Q^n(X) \to Z^{n+1}(X)$ をとる。$k\colon \ker e^n \to Q^n(X)$ を核とする。

1. $c^n \iota^n = k \varphi$ となる $\varphi\colon Z^n(X) \to \ker e^n$ がただ一つあり、$\varphi$ は $\bar d^{n-1}$ の余核である。したがって $\varphi = \theta q^n$ となる同型 $\theta\colon H^n(X) \to \ker e^n$ がある。
2. $q^{n+1}\colon Z^{n+1}(X) \to H^{n+1}(X)$ は $e^n$ の余核である。
3. 鎖写像 $f\colon X \to Y$ は $Q^n(f)$ と $\ker e^n_X \to \ker e^n_Y$ を誘導し、1 の $\theta$ と 2 の同一視はこれらと $H^n(f)$、$H^{n+1}(f)$ に関して可換である。

証明（補題 2.6）

$e^n$ は、$\bar d^n d_X^{n-1} = 0$（$\iota^{n+1}$ を合成すれば $d^n d^{n-1} = 0$）から存在します。

1. $e^n c^n \iota^n = \bar d^n \iota^n = 0$（$\iota^{n+1}$ を合成すれば $d^n \iota^n = 0$）なので $\varphi$ が一意に存在します。$k \varphi \bar d^{n-1} = c^n \iota^n \bar d^{n-1} = c^n d^{n-1} = 0$ と $k$ が mono であることから $\varphi \bar d^{n-1} = 0$ です。

$\varphi$ が epi であることを示します。$P = X^n \times_{Q^n(X)} \ker e^n$ を $c^n$ と $k$ の引き戻しとし、射影を $a\colon P \to X^n$、$b\colon P \to \ker e^n$ とします。$c^n$ は余核なので epi で、その引き戻し $b$ は epi です（命題 4.5［加法圏とアーベル圏］ の 2）。$\iota^{n+1} \bar d^n a = d^n a$ かつ $\bar d^n a = e^n c^n a = e^n k b = 0$ なので $d^n a = 0$ で、$a = \iota^n a'$ となる $a'\colon P \to Z^n(X)$ があります。$k \varphi a' = c^n \iota^n a' = c^n a = k b$ から $\varphi a' = b$ で、$b$ が epi なので $\varphi$ も epi です。

$\varphi$ が $\bar d^{n-1}$ の余核であることを示します。$\kappa\colon K \to Z^n(X)$ を $\varphi$ の核とすると、$\varphi$ は epi なので $\kappa$ の余核です（命題 4.3［加法圏とアーベル圏］ の 1）。$w\colon Z^n(X) \to W$ が $w \bar d^{n-1} = 0$ を満たすとき $w \kappa = 0$ を示せば、$w$ は $\varphi$ を一意に経由します。$c^n \iota^n \kappa = k \varphi \kappa = 0$ なので $\iota^n \kappa$ は $\ker c^n = \ker(\operatorname{Coker} d^{n-1}) = \operatorname{Im} d^{n-1}$ を経由します。像分解（定理 4.4［加法圏とアーベル圏］ の 1）で $d^{n-1} = m e'$（$e'\colon X^{n-1} \to I$ は epi、$m = \operatorname{Im} d^{n-1}\colon I \to X^n$ は mono）と分解し、$\iota^n \kappa = m g$ とします。$e'$ と $g$ の引き戻し $P'$ の射影を $a_1\colon P' \to X^{n-1}$、$b_1\colon P' \to K$ とすると、$b_1$ は epi で（再び 命題 4.5［加法圏とアーベル圏］ の 2）、$\iota^n \kappa b_1 = m g b_1 = m e' a_1 = d^{n-1} a_1 = \iota^n \bar d^{n-1} a_1$ から $\kappa b_1 = \bar d^{n-1} a_1$ です。よって $w \kappa b_1 = w \bar d^{n-1} a_1 = 0$ で、$b_1$ が epi なので $w \kappa = 0$ です。$q^n$ も $\bar d^{n-1}$ の余核なので、余核の一意性から同型 $\theta$ が得られます。

2. $c^n$ は epi なので、$Z^{n+1}(X)$ から出る射 $w$ について $w e^n = 0 \iff w e^n c^n = w \bar d^n = 0$ です。よって $e^n$ の余核は $\bar d^n$ の余核 $q^{n+1}$ です。

3. $c_Y f^n d_X^{n-1} = c_Y d_Y^{n-1} f^{n-1} = 0$ から $Q^n(f) c_X = c_Y f^n$ となる $Q^n(f)$ が定まり、$\iota$ を合成して比べると $e_Y Q^n(f) c_X = Z^{n+1}(f) e_X c_X$、$c_X$ が epi なので $e_Y Q^n(f) = Z^{n+1}(f) e_X$ です。したがって $Q^n(f) k_X$ は $\ker e_Y$ を経由します。可換性はどれも、epi の $q$、$c$ を右から、mono の $k$、$\iota$ を左から合成すれば定義の等式に帰着します。

∎

3. ホモロジーの長完全列

定理 3.1（コホモロジーの長完全列）✓

$0 \to X' \xrightarrow{u} X \xrightarrow{v} X'' \to 0$ を $\mathrm{C}(\mathcal{A})$ の短完全列とする。このとき射 $\delta^n\colon H^n(X'') \to H^{n+1}(X')$（連結射）があって、次の列は完全である。

$$\cdots \to H^n(X') \xrightarrow{H^n(u)} H^n(X) \xrightarrow{H^n(v)} H^n(X'') \xrightarrow{\delta^n} H^{n+1}(X') \xrightarrow{H^{n+1}(u)} H^{n+1}(X) \to \cdots$$

証明では蛇の補題（定理 7.1［加法圏とアーベル圏］）を次の形で使います。可換図式

$$\begin{matrix} & & A' & \xrightarrow{u} & A & \xrightarrow{v} & A'' & \to & 0 \\ & & \downarrow f' & & \downarrow f & & \downarrow f'' & & \\ 0 & \to & B' & \xrightarrow{u'} & B & \xrightarrow{v'} & B'' & & \end{matrix}$$

の二つの行が完全なら、射 $\partial\colon \ker f'' \to \operatorname{Coker} f'$ があって $\ker f' \to \ker f \to \ker f'' \xrightarrow{\partial} \operatorname{Coker} f' \to \operatorname{Coker} f \to \operatorname{Coker} f''$ は完全で（その 1）、$u$ が mono なら最初の射は mono、$v'$ が epi なら最後の射は epi です（その 2）。さらに $\partial$ は「持ち上げ」で特徴づけられます（その 3）。すなわち、対象 $T$ と射 $z\colon T \to \ker f''$、$a\colon T \to A$、$b'\colon T \to B'$ が $v a = k'' z$（$k''\colon \ker f'' \to A''$ は核）と $u' b' = f a$ を満たすなら、$\partial z = c' b'$（$c'\colon B' \to \operatorname{Coker} f'$ は余核）です。加群でいえば「$z$ を $A$ に持ち上げ、$f$ で送り、$B'$ に引き戻す」という連結射の定義そのものです。

次の証明の方針は、蛇の補題に渡す図式の縦の射を、前節の補題の $e^n$ にとることです。そうすると蛇の補題の核の項が $H^n$、余核の項が $H^{n+1}$ になり、完全列がそのままコホモロジーの完全列として読めます。

証明（定理 3.1）

命題 2.2 の 4 により、各 $n$ で $0 \to X'^n \to X^n \to X''^n \to 0$ は完全です。

第 1 段: 余核の行と核の行。 縦の射を $d^{n-1}$ とする図式（上の行は $X'^{n-1} \to X^{n-1} \to X''^{n-1} \to 0$、下の行は $0 \to X'^n \to X^n \to X''^n$）に蛇の補題（定理 7.1［加法圏とアーベル圏］ の 1・2）を使うと、$X^n \to X''^n$ が epi なので

$$Q^n(X') \to Q^n(X) \to Q^n(X'') \to 0$$

は完全です。縦の射を $d^{n+1}$ とする図式に使うと、$X'^{n+1} \to X^{n+1}$ が mono なので $0 \to Z^{n+1}(X') \to Z^{n+1}(X) \to Z^{n+1}(X'')$ は完全です。

第 2 段: 主図式。 上の二つの完全列を行とし、縦の射を 補題 2.6 の $e^n_{X'}, e^n_X, e^n_{X''}$ とする図式は、その補題の 3 により可換です。蛇の補題（定理 7.1［加法圏とアーベル圏］ の 1）から

$$\ker e^n_{X'} \to \ker e^n_X \to \ker e^n_{X''} \xrightarrow{\partial} \operatorname{Coker} e^n_{X'} \to \operatorname{Coker} e^n_X \to \operatorname{Coker} e^n_{X''}$$

は完全です。補題 2.6 の 1・2 で $\ker e^n \cong H^n$、$\operatorname{Coker} e^n = H^{n+1}$ と同一視すると、同じ補題の 3 によって $\ker$ どうし・$\operatorname{Coker}$ どうしの射は $H^n(u), H^n(v)$ と $H^{n+1}(u), H^{n+1}(v)$ になり、完全列

$$H^n(X') \to H^n(X) \to H^n(X'') \xrightarrow{\delta^n} H^{n+1}(X') \to H^{n+1}(X) \to H^{n+1}(X'')$$

を得ます。ここで $\delta^n = \partial \circ \theta_{X''}$ です（$\theta$ は 補題 2.6 の 1 の同型）。

第 3 段: つなぐ。 $n$ の列の後半 3 項と $n+1$ の列の前半 3 項は同じ射なので、すべての $n$ についての列をつなげた列はどの項でも完全です。

∎

連結射を計算するときに便利なのは、次の鎖の水準の記述です。

補題 3.2（連結射の鎖の水準の記述）✓

定理 3.1 の状況で、$\iota'' \colon Z^n(X'') \to X''^n$、$q', q''$ をそれぞれ $X', X''$ の射 $Z \to H$ とする。

1. 対象 $T$ と射 $\pi\colon T \to Z^n(X'')$、$\beta\colon T \to X^n$ が $v^n \beta = \iota'' \pi$ を満たすとする。このとき $u^{n+1} \iota' \alpha = d_X^n \beta$ を満たす $\alpha\colon T \to Z^{n+1}(X')$ がただ一つあり、$\delta^n q'' \pi = q' \alpha$ が成り立つ。
2. 各 $n$ で $v^n s^n = 1$ を満たす射 $s^n\colon X''^n \to X^n$ がある（鎖写像である必要はない）とする。このとき $d_X s^n - s^{n+1} d_{X''} = u^{n+1} \tau^n$ を満たす $\tau^n\colon X''^n \to X'^{n+1}$ がただ一つあり、$\tau = (\tau^n)$ は鎖写像 $X'' \to X'[1]$ で、$\delta^n = H^n(\tau)$ である。

証明（補題 3.2）

1. $v^{n+1} d_X \beta = d_{X''} v^n \beta = d_{X''} \iota'' \pi = 0$ で、$u^{n+1}$ は $v^{n+1}$ の核（補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の 2）なので $d_X \beta = u^{n+1} \alpha_0$ となる $\alpha_0$ があります。$u^{n+2} d_{X'} \alpha_0 = d_X u^{n+1} \alpha_0 = d_X d_X \beta = 0$ と $u^{n+2}$ が mono であることから $d_{X'} \alpha_0 = 0$ で、$\alpha_0 = \iota' \alpha$ と書けます。$u^{n+1}\iota'$ は mono なので $\alpha$ は一意です。

蛇の補題の持ち上げによる特徴づけ（定理 7.1［加法圏とアーベル圏］ の 3）を、定理 3.1 の証明の主図式に使います。$a = c_X \beta\colon T \to Q^n(X)$、$z = \varphi_{X''} \pi\colon T \to \ker e^n_{X''}$ とおくと、$Q^n(v) a = c_{X''} v^n \beta = c_{X''} \iota'' \pi = k_{X''} \varphi_{X''} \pi = k_{X''} z$ です。また $\iota_X Z^{n+1}(u) \alpha = u^{n+1} \iota' \alpha = d_X \beta = \iota_X \bar d^n_X \beta$ から $Z^{n+1}(u) \alpha = \bar d^n_X \beta = e^n_X a$ です。したがって $\partial z$ は $\alpha$ の $\operatorname{Coker} e^n_{X'} = H^{n+1}(X')$ での像 $q' \alpha$ に等しく、$\varphi_{X''} = \theta_{X''} q''$ なので $\delta^n q'' \pi = \partial \theta_{X''} q'' \pi = \partial z = q' \alpha$ です。

2. $v(d_X s - s d_{X''}) = d_{X''} v s - v s d_{X''} = 0$ なので、$u$ が $v$ の核であることから $\tau^n$ が一意に存在します。$u^{n+2} d_{X'} \tau^n = d_X u^{n+1} \tau^n = -d_X s^{n+1} d_{X''} = -(s^{n+2} d_{X''} + u^{n+2} \tau^{n+1}) d_{X''} = -u^{n+2} \tau^{n+1} d_{X''}$ なので $d_{X'} \tau^n = -\tau^{n+1} d_{X''}$、つまり $d_{X'[1]} \tau = \tau d_{X''}$ で、$\tau$ は $X'' \to X'[1]$ の鎖写像です。1 を $T = Z^n(X'')$、$\pi = 1$、$\beta = s^n \iota''$ で使うと、$d_X \beta = s^{n+1} d_{X''} \iota'' + u^{n+1} \tau^n \iota'' = u^{n+1} \tau^n \iota''$ なので、$\iota' \alpha = \tau^n \iota''$ です。$Z^n(X'[1]) = Z^{n+1}(X')$ と見れば $\alpha = Z^n(\tau)$ で、$\delta^n q'' = q' Z^n(\tau) = H^n(\tau) q''$、$q''$ が epi なので $\delta^n = H^n(\tau)$ です。

∎

命題 3.3（連結射の自然性）✓

$\mathrm{C}(\mathcal{A})$ の短完全列の射、すなわち可換図式

$$\begin{matrix} 0 & \to & X' & \xrightarrow{u} & X & \xrightarrow{v} & X'' & \to & 0 \\ & & \downarrow g' & & \downarrow g & & \downarrow g'' & & \\ 0 & \to & Y' & \xrightarrow{u_1} & Y & \xrightarrow{v_1} & Y'' & \to & 0 \end{matrix}$$

（行は短完全列）があれば、連結射について $\delta_Y^n H^n(g'') = H^{n+1}(g') \delta_X^n$ が成り立つ。したがって長完全列は短完全列について自然である。

証明（命題 3.3）

$T = X^n \times_{X''^n} Z^n(X'')$ を $v^n$ と $\iota''$ の引き戻しとし、射影を $\beta\colon T \to X^n$、$\pi\colon T \to Z^n(X'')$ とします。$v^n$ は epi なので $\pi$ は epi です（命題 4.5［加法圏とアーベル圏］）。補題 3.2 の 1 の $\alpha$ をとると $\delta_X q_{X''} \pi = q_{X'} \alpha$ です。

$Y$ の側では $\pi_1 = Z^n(g'') \pi$、$\beta_1 = g^n \beta$ とおくと、$v_1 \beta_1 = g'' v \beta = g'' \iota_{X''} \pi = \iota_{Y''} \pi_1$ です。$u_1 \iota_{Y'} Z^{n+1}(g') \alpha = g u \iota_{X'} \alpha = g d_X \beta = d_Y \beta_1$ なので、$\beta_1$ に対する $\alpha$ は $Z^{n+1}(g') \alpha$ です。同じ補題から

$$\delta_Y H^n(g'') q_{X''} \pi = \delta_Y q_{Y''} \pi_1 = q_{Y'} Z^{n+1}(g') \alpha = H^{n+1}(g') q_{X'} \alpha = H^{n+1}(g') \delta_X q_{X''} \pi$$

で、$q_{X''} \pi$ は epi なので $\delta_Y H^n(g'') = H^{n+1}(g') \delta_X$ です。

∎

注意 3.4（加群・Abel 群の場合）

$\mathcal{A}$ が加群の圏のとき、定理 3.1 は可換環論の 加群の長完全列（補題 2.3）［Tor・Ext と深さ］ であり、Abel 群の鎖複体では代数的位相幾何の ホモロジーの長完全列（定理 3.1）［特異ホモロジー］ です（添字の向きは $H_n = H^{-n}$ で読み替えます）。補題 3.2 の 1 で $T$ を 1 点に見立てれば、「サイクル $z''$ を $X^n$ に持ち上げ、微分して $X'^{n+1}$ に引き戻す」という既存の記事の連結準同型の定義になります。この章の証明はそれらを使っておらず、逆にそれらの別証明を与えます。

4. 鎖ホモトピーとホモトピー圏

定義 4.1（鎖ホモトピー）↗

鎖写像 $f, g\colon X \to Y$ について、射の族 $h^n\colon X^n \to Y^{n-1}$ で

$$f^n - g^n = d_Y^{n-1} h^n + h^{n+1} d_X^n \quad (n \in \mathbb{Z})$$

を満たすものを $f$ から $g$ への鎖ホモトピーといい、存在するとき $f$ と $g$ はホモトピックであるといって $f \simeq g$ と書く。$f \simeq 0$ のとき $f$ は零ホモトピックであるという。鎖写像 $f\colon X \to Y$ に対し $g f \simeq 1_X$、$f g \simeq 1_Y$ となる鎖写像 $g\colon Y \to X$ があるとき、$f$ はホモトピー同値であるという。$1_X \simeq 0$ のとき $X$ は可縮であるという。

命題 4.2（ホモトピックな写像はコホモロジーで等しい）✓

1. $H^n\colon \mathrm{C}(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}$ は加法関手である。すなわち $H^n(f + g) = H^n(f) + H^n(g)$。
2. $f \simeq g$ なら、すべての $n$ で $H^n(f) = H^n(g)$ である。
3. ホモトピー同値は擬同型（定義 2.4）である。すなわち各 $H^n(f)$ は同型である。可縮な複体は非輪状である。

証明（命題 4.2）

1. $\iota (Z^n(f) + Z^n(g)) = f \iota + g \iota = (f+g) \iota$ と $\iota$ が mono であることから $Z^n(f+g) = Z^n(f) + Z^n(g)$ です。同様に $q$ を右から合成して比べ、$q$ が epi であることから $H^n(f+g) = H^n(f) + H^n(g)$ です。

2. 1 により、$w = f - g = d h + h d$ について $H^n(w) = 0$ を示せば十分です。$d_X^n \iota^n = 0$ なので $w^n \iota^n = d_Y^{n-1} h^n \iota^n = \iota_Y \bar d_Y^{n-1} h^n \iota^n$ で、$Z^n(w) = \bar d_Y^{n-1} h^n \iota^n$ です。よって $H^n(w) q_X = q_Y Z^n(w) = q_Y \bar d_Y^{n-1} (h^n \iota^n) = 0$ で、$q_X$ が epi なので $H^n(w) = 0$ です。

3. $g f \simeq 1$、$f g \simeq 1$ なら、2 と関手性から $H^n(g) H^n(f) = H^n(1) = 1$、$H^n(f) H^n(g) = 1$ です。$X$ が可縮なら $1_X \simeq 0$ から $1_{H^n(X)} = H^n(0) = 0$ で、$H^n(X) = 0$ です。

∎

定義 4.3（ホモトピー圏）↗

$\mathrm{K}(\mathcal{A})$ を、対象は $\mathrm{C}(\mathcal{A})$ と同じで、射の集合を

$$\operatorname{Hom}_{\mathrm{K}(\mathcal{A})}(X, Y) = \operatorname{Hom}_{\mathrm{C}(\mathcal{A})}(X, Y) / \{\text{零ホモトピックな鎖写像}\}$$

とする圏とし、ホモトピー圏という（合成が代表元によらないことは次の命題で示す）。$\mathrm{C}^+(\mathcal{A})$、$\mathrm{C}^-(\mathcal{A})$、$\mathrm{C}^b(\mathcal{A})$ の対象からなる充満部分圏を $\mathrm{K}^+(\mathcal{A})$、$\mathrm{K}^-(\mathcal{A})$、$\mathrm{K}^b(\mathcal{A})$ と書く。

命題 4.4（ホモトピー圏は加法圏）✓

1. 零ホモトピックな鎖写像 $X \to Y$ の全体は $\operatorname{Hom}_{\mathrm{C}(\mathcal{A})}(X, Y)$ の部分群で、$f$ が零ホモトピックなら、鎖写像 $g, k$ との合成 $g f$、$f k$ も零ホモトピックである。したがって $\simeq$ は和と合成と両立する同値関係で、$\mathrm{K}(\mathcal{A})$ は圏、商関手 $Q\colon \mathrm{C}(\mathcal{A}) \to \mathrm{K}(\mathcal{A})$ は Hom 群の準同型を誘導する。
2. $\mathrm{K}(\mathcal{A})$ は加法圏で、$Q$ は双積を双積に送る。
3. $f \simeq g$ なら $f[1] \simeq g[1]$ である。よってシフトは $\mathrm{K}(\mathcal{A})$ の自己同型 $[1]$ を誘導する。
4. $H^n$ は $Q$ を経由し、加法関手 $H^n\colon \mathrm{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}$ を与える。
5. 鎖写像 $f$ がホモトピー同値であることと、$Q(f)$ が $\mathrm{K}(\mathcal{A})$ の同型であることは同値である。

証明（命題 4.4）

1. $f = dh + hd$、$f' = dh' + h'd$ なら $f - f' = d(h - h') + (h - h')d$ で、零写像のホモトピーは $0$ です。鎖写像 $g$ は $g d = d g$ を満たすので $g f = d(gh) + (gh) d$、同様に $f k = d(hk) + (hk)d$ です。$f \simeq f'$、$g \simeq g'$ なら $g f - g' f' = g(f - f') + (g - g') f'$ は零ホモトピックで、合成は代表元によりません。和についても同様で、合成の双線形性は $\mathrm{C}(\mathcal{A})$ から引き継がれます。

2. 零複体は $\mathrm{K}(\mathcal{A})$ でも零対象です。命題 2.2 の双積 $X \oplus Y$ の包含と射影が満たす等式 $i_1 p_1 + i_2 p_2 = 1$、$p_k i_l = \delta_{kl}$ は $Q$ で送っても成り立つので、$Q(X \oplus Y)$ は $\mathrm{K}(\mathcal{A})$ の双積です（定義 3.2［加法圏とアーベル圏］）。よって $\mathrm{K}(\mathcal{A})$ は加法圏です（定義 3.4［加法圏とアーベル圏］）。

3. $f^n - g^n = d_Y^{n-1} h^n + h^{n+1} d_X^n$ の $n$ を $n+1$ にすると $f[1]^n - g[1]^n = d_{Y[1]}^{n-1}(-h^{n+1}) + (-h^{n+2}) d_{X[1]}^n$ なので、$(-h^{n+1})_n$ が $f[1]$ から $g[1]$ へのホモトピーです。$[-1]$ も同様です。

4. 命題 4.2 の 1・2 から従います。

5. $\mathrm{K}(\mathcal{A})$ で $Q(g) Q(f) = 1$、$Q(f) Q(g) = 1$ であることは、$g f \simeq 1$、$f g \simeq 1$ の言い換えです。

∎

例 4.5（ホモトピー同値でない擬同型）

Abel 群の圏で、$X$ を $X^{-1} = \mathbb{Z} \xrightarrow{2} X^0 = \mathbb{Z}$（他は $0$）、$Y$ を次数 $0$ に $\mathbb{Z}/2$ を置いた複体とし、$f^0\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2$ を射影とします。$f^0 \circ 2 = 0$ なので $f$ は鎖写像です。$H^{-1}(X) = \ker 2 = 0$、$H^0(X) = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ で、$H^0(f)$ は同型なので $f$ は擬同型です。しかし鎖写像 $g\colon Y \to X$ の $g^0\colon \mathbb{Z}/2 \to \mathbb{Z}$ は $0$ しかないので $H^0(g) = 0$ で、$f$ のホモトピー逆は存在しません（存在すれば 命題 4.2 により $H^0(g)$ は同型）。とくに $Y$ から $X$ への擬同型は一つもありません。

例 4.6（可縮でない非輪状複体）

$0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{2} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2 \to 0$ を次数 $-1, 0, 1$ に置いた複体 $X$ は非輪状です。可縮だとすると次数 $1$ で $1_{\mathbb{Z}/2} = d^0 h^1 + h^2 d^1 = d^0 h^1$ ですが、$h^1\colon \mathbb{Z}/2 \to \mathbb{Z}$ は $0$ なので矛盾します。命題 4.2 の 3 の逆は成り立たず、「非輪状」と「可縮」の差は、短完全列が分裂するかどうかの差です。

5. 写像錐と写像柱

写像錐は、$Y$ に、一つ次数をずらした $X$ を $f$ で貼り合わせた複体です。$f$ が同型から外れている度合いが、錐のコホモロジーに現れます。具体的な計算は節末の整数倍写像の例を見てください。

定義 5.1（写像錐・写像柱）↗

鎖写像 $f\colon X \to Y$ について、写像錐 $\operatorname{Cone}(f)$ を

$$\operatorname{Cone}(f)^n = X^{n+1} \oplus Y^n, \qquad d^n_{\operatorname{Cone}(f)} = \begin{pmatrix} -d_X^{n+1} & 0 \\ f^{n+1} & d_Y^n \end{pmatrix}$$

で定める（行列は双積の成分で書いた射で、元の記号では $(x, y) \mapsto (-dx,\ f x + dy)$）。写像柱 $\operatorname{Cyl}(f)$ を

$$\operatorname{Cyl}(f)^n = X^n \oplus X^{n+1} \oplus Y^n, \qquad d^n_{\operatorname{Cyl}(f)} = \begin{pmatrix} d_X^n & -1 & 0 \\ 0 & -d_X^{n+1} & 0 \\ 0 & f^{n+1} & d_Y^n \end{pmatrix}$$

で定める。$i\colon Y \to \operatorname{Cone}(f)$、$p\colon \operatorname{Cone}(f) \to X[1]$ を次数ごとの包含 $y \mapsto (0, y)$ と射影 $(x, y) \mapsto x$ とする。

$d^2 = 0$ は行列の積で確かめられます。錐では左下の成分が $f d_X^{n+1} \cdot(-1) + d_Y f^{n+1} = 0$（$f$ が鎖写像）、対角成分は $d_X^2 = 0$、$d_Y^2 = 0$ です。柱では、1 行 2 列の成分が $d_X \cdot (-1) + (-1)(-d_X) = 0$、3 行 2 列の成分が $f(-d_X) + d_Y f = 0$ で、残りは $d^2 = 0$ です。

写像錐の微分。上の段は符号を変えた X の微分、下の段は Y の微分で、斜めの矢印 f が二つの段をつなぐ。

命題 5.2（写像錐の基本性質）✓

鎖写像 $f\colon X \to Y$ について次が成り立つ。

1. $i, p$ は鎖写像で、$0 \to Y \xrightarrow{i} \operatorname{Cone}(f) \xrightarrow{p} X[1] \to 0$ は $\mathrm{C}(\mathcal{A})$ の短完全列で、各次数で分裂する。
2. $p i = 0$ で、$i f \simeq 0$、$f[1] p \simeq 0$ である。
3. $f \simeq f'$ なら、$i$ と $p$ に関して可換な鎖写像の同型 $\operatorname{Cone}(f) \cong \operatorname{Cone}(f')$ がある。
4. 鎖写像 $a\colon X \to X_1$、$b\colon Y \to Y_1$、$f_1\colon X_1 \to Y_1$ が $b f = f_1 a$ を満たせば、$(x, y) \mapsto (a x, b y)$ は鎖写像 $\operatorname{Cone}(f) \to \operatorname{Cone}(f_1)$ で、$i$・$p$ と可換である。

証明（命題 5.2）

以下、双積の成分を元のように書きますが、各式は成分ごとの射の等式です。

1. $d(0, y) = (0, dy)$ なので $i$ は鎖写像、$p\,d(x, y) = -dx = d_{X[1]} p(x, y)$ なので $p$ も鎖写像です。各次数で $0 \to Y^n \to X^{n+1} \oplus Y^n \to X^{n+1} \to 0$ は双積の分裂完全列です。実際、双積の包含・射影を $i_1, i_2, p_1, p_2$ とすると、$p_1 w = 0$ なら $w = (i_1 p_1 + i_2 p_2) w = i_2 (p_2 w)$ で、$i_2$ は mono（$p_2 i_2 = 1$）なので $i_2$ は $p_1$ の核、$p_1$ は epi（$p_1 i_1 = 1$）です。よって 補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の 2 によりこの列は完全で、命題 2.2 の 4 により $\mathrm{C}(\mathcal{A})$ の短完全列です。

2. $p i = 0$ は明らかです。$\sigma^n\colon X^n \to \operatorname{Cone}(f)^{n-1}$、$x \mapsto (x, 0)$ とおくと $d \sigma x + \sigma d x = (-dx, f x) + (dx, 0) = (0, f x) = i f x$ なので $i f \simeq 0$ です。$\rho^n\colon \operatorname{Cone}(f)^n \to Y[1]^{n-1} = Y^n$、$(x, y) \mapsto y$ とおくと $d_{Y[1]} \rho(x, y) + \rho\, d(x, y) = -dy + (f x + dy) = f x = f[1] p (x, y)$ なので $f[1] p \simeq 0$ です。

3. $f - f' = d h + h d$ とし、$\Phi(x, y) = (x, y + h x)$ とおきます（$x \in X^{n+1}$、$h x \in Y^n$）。$d' \Phi(x,y) = (-dx,\ f' x + dy + d h x)$、$\Phi\, d(x, y) = (-dx,\ f x + dy - h d x)$ で、$f' + dh = f - hd$ なので両者は等しく、$\Phi$ は鎖写像です。$(x, y) \mapsto (x, y - hx)$ が逆で、$\Phi i = i$、$p \Phi = p$ です。

4. $d(a x, b y) = (-a dx,\ f_1 a x + b dy) = (-a dx,\ b f x + b dy)$ は $d(x, y) = (-dx, fx + dy)$ の像に等しくなります。

∎

定理 5.3（写像錐の長完全列）✓

鎖写像 $f\colon X \to Y$ について、次の列は完全である。

$$\cdots \to H^n(X) \xrightarrow{H^n(f)} H^n(Y) \xrightarrow{H^n(i)} H^n(\operatorname{Cone}(f)) \xrightarrow{H^n(p)} H^{n+1}(X) \xrightarrow{H^{n+1}(f)} H^{n+1}(Y) \to \cdots$$

証明（定理 5.3）

命題 5.2 の 1 の短完全列に 定理 3.1 を使うと、$H^n(X[1]) = H^{n+1}(X)$ と同一視して、連結射 $\delta^n\colon H^{n+1}(X) \to H^{n+1}(Y)$ をもつ長完全列が得られます。連結射を 補題 3.2 の 2 で計算します。次数ごとの切断 $s(x) = (x, 0)$ について $d s x - s\, d_{X[1]} x = (-dx, f x) - (-dx, 0) = (0, f x) = i f x$ なので $\tau = f[1]$ で、$\delta^n = H^n(f[1]) = H^{n+1}(f)$ です。

∎

系 5.4（擬同型と錐の非輪状性）✓

鎖写像 $f$ が擬同型であることと、$\operatorname{Cone}(f)$ が非輪状であることは同値である。

証明（系 5.4）

定理 5.3 の列の一部 $H^n(X) \xrightarrow{H^n(f)} H^n(Y) \xrightarrow{a} H^n(\operatorname{Cone}(f)) \xrightarrow{b} H^{n+1}(X) \xrightarrow{H^{n+1}(f)} H^{n+1}(Y)$ を使います。

$f$ が擬同型なら、$a H^n(f) = 0$ と $H^n(f)$ が epi であることから $a = 0$、$H^{n+1}(f) b = 0$ と $H^{n+1}(f)$ が mono であることから $b = 0$ です。$H^n(\operatorname{Cone}(f))$ での完全性から $\ker b = \operatorname{Im} a$ ですが、$b = 0$ なので左辺は全体、$a = 0$ なので右辺は $0$ で、$H^n(\operatorname{Cone}(f)) = 0$ です。

逆に錐が非輪状なら、$0 \to H^{n+1}(X) \to H^{n+1}(Y) \to 0$ が完全なので $H^{n+1}(f)$ は mono かつ epi（補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の 2）で、同型です（命題 4.3［加法圏とアーベル圏］ の 2）。

∎

とくに $X$ が非輪状であることは、$0 \to X$ の錐 $X$ が非輪状であることなので、この系は「擬同型の判定を、一つの複体の非輪状性の判定に帰着する」道具です。導来圏の章では、擬同型が乗法系をなすことの証明でこの形が使われます。ホモトピー同値についても同じ形の判定があります。

命題 5.5（ホモトピー同値と錐の可縮性）✓

鎖写像 $f\colon X \to Y$ がホモトピー同値であることと、$\operatorname{Cone}(f)$ が可縮であることは同値である。

証明（命題 5.5）

錐が可縮なら $f$ はホモトピー同値。 $1 = d s + s d$ となる $s^n\colon \operatorname{Cone}(f)^n \to \operatorname{Cone}(f)^{n-1}$ を成分で $s^n = \begin{pmatrix} a & g \\ b & k \end{pmatrix}$（$a\colon X^{n+1} \to X^n$、$g\colon Y^n \to X^n$、$b\colon X^{n+1} \to Y^{n-1}$、$k\colon Y^n \to Y^{n-1}$）と書きます。$d s + s d$ を計算すると

$$d s + s d = \begin{pmatrix} -da - ad + gf & -dg + gd \\ fa + db - bd + kf & fg + dk + kd \end{pmatrix}$$

で、これが単位行列なので、右上の成分から $g d = d g$（$g\colon Y \to X$ は鎖写像）、右下から $1_Y - f g = dk + kd$、左上から $g f - 1_X = d a + a d$ です。よって $f g \simeq 1$、$g f \simeq 1$ です。

$f$ がホモトピー同値なら錐は可縮。 $g$ をホモトピー逆とします。命題 5.2 の 2 より $f[1] p \simeq 0$ で、命題 4.4 の 3 より $g[1] f[1] = (gf)[1] \simeq 1$ なので、$p \simeq g[1] f[1] p \simeq 0$ です（同じ命題の 1）。そこで $p = d_{X[1]} t + t d$ となる $t^n\colon \operatorname{Cone}(f)^n \to X^n$ をとり、$\sigma^n(x, y) = (t(x, y), 0)$ とおきます。

$$(d \sigma + \sigma d)(x, y) = \bigl(-d t(x,y) + t\, d(x,y),\ f t(x, y)\bigr) = \bigl(x,\ f t(x,y)\bigr)$$

なので、$1 - (d\sigma + \sigma d) = i v$、$v(x, y) = y - f t(x, y)$ です。左辺は鎖写像で $i$ は次数ごとに mono なので、$v\colon \operatorname{Cone}(f) \to Y$ も鎖写像です。$f g \simeq 1$ と $i f \simeq 0$（命題 5.2 の 2）から $i v \simeq i f g v \simeq 0$ で、$1 \simeq i v \simeq 0$、すなわち $\operatorname{Cone}(f)$ は可縮です。

∎

写像柱は、任意の鎖写像を「扱いやすい単射」に取り替える道具です。

命題 5.6（写像柱による分解）✓

鎖写像 $f\colon X \to Y$ について、$\alpha(x) = (x, 0, 0)$、$\beta(x, x', y) = f x + y$、$\gamma(y) = (0, 0, y)$ とおく。

1. $\alpha\colon X \to \operatorname{Cyl}(f)$、$\beta\colon \operatorname{Cyl}(f) \to Y$、$\gamma\colon Y \to \operatorname{Cyl}(f)$ は鎖写像で、$\beta \alpha = f$、$\beta \gamma = 1_Y$、$\gamma \beta \simeq 1$ である。とくに $\beta$ はホモトピー同値である。
2. $\varpi(x, x', y) = (x', y)$ は鎖写像 $\operatorname{Cyl}(f) \to \operatorname{Cone}(f)$ で、$0 \to X \xrightarrow{\alpha} \operatorname{Cyl}(f) \xrightarrow{\varpi} \operatorname{Cone}(f) \to 0$ は各次数で分裂する短完全列である。

証明（命題 5.6）

1. $d(x, 0, 0) = (dx, 0, 0)$、$d(0, 0, y) = (0, 0, dy)$ なので $\alpha, \gamma$ は鎖写像です。$\beta\, d(x, x', y) = f(dx - x') + (f x' + dy) = d(f x + y)$ なので $\beta$ も鎖写像です。$\beta\alpha = f$、$\beta\gamma = 1$ は定義から従います。$\sigma^n(x, x', y) = (0, -x, 0) \in \operatorname{Cyl}(f)^{n-1}$ とおくと

$$(d\sigma + \sigma d)(x, x', y) = (x,\ dx,\ -f x) + (0,\ -(dx - x'),\ 0) = (x,\ x',\ -f x)$$

で、これは $(1 - \gamma\beta)(x, x', y) = (x, x', y - f x - y)$ に等しいので、$\gamma\beta \simeq 1$ です。

2. $\varpi\, d(x, x', y) = (-dx', f x' + dy) = d_{\operatorname{Cone}(f)}(x', y)$ なので鎖写像です。各次数で $0 \to X^n \to X^n \oplus (X^{n+1} \oplus Y^n) \to X^{n+1} \oplus Y^n \to 0$ は双積の分裂完全列です（命題 5.2 の 1 の証明と同じ議論）。

∎

こうして $f = \beta \alpha$ は、次数ごとに分裂する単射 $\alpha$ とホモトピー同値 $\beta$ の合成になり、$\alpha$ の余核は $\operatorname{Cone}(f)$ です。三角圏の章では、この分解を使って「錐の三角形」と「短完全列の三角形」を比べます。

例 5.7（整数倍の錐）

$m \ge 1$ とし、次数 $0$ に $\mathbb{Z}$ を置いた複体の自己写像 $f = m$ を考えます。$\operatorname{Cone}(f)$ は $\operatorname{Cone}^{-1} = \mathbb{Z} \xrightarrow{m} \operatorname{Cone}^0 = \mathbb{Z}$ で、$H^{-1} = 0$、$H^0 = \mathbb{Z}/m$ です。定理 5.3 の列は $0 \to H^{-1}(\operatorname{Cone}) \to H^0(X) \xrightarrow{m} H^0(Y) \to H^0(\operatorname{Cone}) \to 0$、つまり $0 \to 0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{m} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/m \to 0$ で、確かに完全です。$m = 1$ のときだけ錐は非輪状で、$f$ は擬同型（実際には同型）です。

6. 切り詰め

定義 6.1（切り詰め）↗

複体 $X$ と $n \in \mathbb{Z}$ について、

$$\tau^{\le n} X:\ \cdots \to X^{n-2} \to X^{n-1} \xrightarrow{\bar d^{n-1}} Z^n(X) \to 0 \to \cdots, \qquad \tau^{\ge n} X:\ \cdots \to 0 \to Q^n(X) \xrightarrow{\iota e^n} X^{n+1} \to X^{n+2} \to \cdots$$

と定める（$Q^n(X) = \operatorname{Coker} d^{n-1}$、$e^n$ は 補題 2.6 の射）。$\iota^n$ と $\mathrm{id}$ からなる鎖写像 $\tau^{\le n} X \to X$ と、$c^n$ と $\mathrm{id}$ からなる鎖写像 $X \to \tau^{\ge n} X$ がある。これらは $X$ について関手的である。

命題 6.2（切り詰めのコホモロジー）✓

$k \le n$ で $H^k(\tau^{\le n} X) \to H^k(X)$ は同型で、$k > n$ で $H^k(\tau^{\le n} X) = 0$ である。双対に、$k \ge n$ で $H^k(X) \to H^k(\tau^{\ge n} X)$ は同型で、$k < n$ で $H^k(\tau^{\ge n} X) = 0$ である。

証明（命題 6.2）

$\tau^{\le n} X$ について。$k > n$ では項が $0$ です。$k \le n - 1$ では、次数 $k$ の微分の核は $X^k \to Z^{k+1}$（$k = n-1$ のとき）でも $X^k \to X^{k+1}$ でも同じ（$\iota^n$ が mono）で、$X^{k-1} \to Z^k$ も同じなので、$H^k$ は文字どおり同じ対象で、写像は恒等射です。$k = n$ では次の微分が $0$ なので $Z^n(\tau^{\le n} X) = Z^n(X)$ で、$H^n = \operatorname{Coker}(X^{n-1} \to Z^n(X)) = H^n(X)$ です。

$\tau^{\ge n} X$ について。$k < n$ では項が $0$ です。$k = n$ では $H^n(\tau^{\ge n} X) = \ker(\iota e^n) = \ker e^n$ で、補題 2.6 の 1 により $H^n(X) \to \ker e^n$ は同型 $\theta$ です（$c^n$ が誘導する写像が $\varphi = \theta q^n$ だから）。$k = n+1$ では $Z^{n+1}$ は同じで、$H^{n+1}(\tau^{\ge n} X) = \operatorname{Coker}(Q^n(X) \to Z^{n+1}(X)) = H^{n+1}(X)$ です（同じ補題の 2）。$k \ge n+2$ では項と微分が同じです。

∎

切り詰めは、導来圏で複体を「コホモロジーの低い部分と高い部分」に分けるときの基本操作です。たとえば $H^k(X) = 0$（$k > n$）なら $\tau^{\le n} X \to X$ は擬同型で（演習 9.3）、上に有界な複体の議論に帰着できます。

7. 二重複体と全複体

定義 7.1（二重複体・全複体）↗

1. $\mathcal{A}$ の二重複体 $C$ とは、対象の族 $(C^{p,q})_{p, q \in \mathbb{Z}}$ と射 $d_h\colon C^{p,q} \to C^{p+1,q}$、$d_v\colon C^{p,q} \to C^{p,q+1}$ で、$d_h d_h = 0$、$d_v d_v = 0$、$d_v d_h = d_h d_v$ を満たすものをいう。$q$ を固定した複体 $(C^{\bullet, q}, d_h)$ を第 $q$ 行、$p$ を固定した複体 $(C^{p, \bullet}, d_v)$ を第 $p$ 列という。$p < 0$ または $q < 0$ で $C^{p,q} = 0$ のとき第一象限の二重複体という。
2. 各 $n$ で $p + q = n$ を満たす $C^{p,q} \ne 0$ が有限個のとき（たとえば第一象限のとき）、全複体 $\operatorname{Tot}(C)$ を

$$\operatorname{Tot}(C)^n = \bigoplus_{p+q=n} C^{p,q}, \qquad d|_{C^{p,q}} = d_h + (-1)^p d_v$$

で定める。すなわち $d$ の $C^{p,q}$ から $C^{p+1,q}$ への成分が $d_h$、$C^{p,q+1}$ への成分が $(-1)^p d_v$ で、他の成分は $0$ である。

$C^{p,q}$ の上で $d^2 = d_h d_h + (-1)^{p+1} d_v d_h + (-1)^p d_h d_v + d_v d_v = 0$ なので、$\operatorname{Tot}(C)$ は複体です。符号 $(-1)^p$ は可換な正方形を「反可換」にして $d^2 = 0$ を保証するためのものです。

定理 7.2（非輪状集成補題）✓

$C$ を第一象限の二重複体とする。すべての行 $C^{\bullet, q}$ が非輪状なら $\operatorname{Tot}(C)$ は非輪状である。すべての列 $C^{p, \bullet}$ が非輪状な場合も同じである。

証明の方針は、全複体を「$q$ が大きい部分」から順に積み重なった層に分けることです。各層は行の複体を一つずらしたものになるので非輪状で、長完全列を使って、層を一枚足すたびに非輪状性が保たれることを下から順に示します。

証明（定理 7.2）

行の場合を示します。$k \ge 0$ について $G^k \subset \operatorname{Tot}(C)$ を $(G^k)^n = \bigoplus_{p+q=n,\ q \ge k} C^{p,q}$（双積の直和因子）とします。$d$ は $q$ を減らさないので $G^k$ は部分複体で、$G^0 = \operatorname{Tot}(C)$、また $p \ge 0$ なので $k > n$ では $(G^k)^n = 0$ です。

包含 $G^{k+1} \to G^k$ は各次数で双積の直和因子の包含なので、命題 2.2 により余核 $R_k = G^k / G^{k+1}$ は各次数で残りの因子 $R_k^n = C^{n-k, k}$ で、微分は $d$ の $C^{n-k,k} \to C^{n-k+1,k}$ 成分、つまり $d_h$ です（$(-1)^p d_v$ の成分は $G^{k+1}$ に入るので消えます）。したがって $R_k$ は第 $k$ 行の添字を $k$ だけずらした複体で、$H^n(R_k) = H^{n-k}(C^{\bullet,k}) = 0$ です。

$n$ を固定し、$k$ について下向きの帰納法で $H^n(G^k) = 0$ を示します。$k \ge n+2$ では $G^k$ の次数 $n-1, n, n+1$ の項が $0$ なので $H^n(G^k) = 0$ です。短完全列 $0 \to G^{k+1} \to G^k \to R_k \to 0$ の長完全列（定理 3.1）の一部 $H^n(G^{k+1}) \to H^n(G^k) \to H^n(R_k)$ で両端が $0$ なので $H^n(G^k) = 0$ です。$k = 0$ として $H^n(\operatorname{Tot}(C)) = 0$ を得ます。

列の場合は $F^k$ を $p \ge k$ の部分とすれば、$F^k/F^{k+1}$ は第 $k$ 列に微分 $(-1)^k d_v$ を入れた複体で、符号は核と像を変えないので同じ議論が通ります。

∎

導来関手の章では、この補題を次の形で使います。

系 7.3（各行が分解なら全複体への写像は擬同型）✓

$C$ を第一象限の二重複体、$K$ を $q < 0$ で $K^q = 0$ の複体とし、射 $\varepsilon^q\colon K^q \to C^{0,q}$ が $d_v \varepsilon^q = \varepsilon^{q+1} d_K$ を満たし、各 $q$ で

$$0 \to K^q \xrightarrow{\varepsilon^q} C^{0,q} \xrightarrow{d_h} C^{1,q} \xrightarrow{d_h} C^{2,q} \to \cdots$$

が完全であるとする。このとき $\varepsilon\colon K \to \operatorname{Tot}(C)$（$K^n \to C^{0,n} \subset \operatorname{Tot}(C)^n$）は擬同型である。列についても同様である。

証明（系 7.3）

完全性から $d_h \varepsilon = 0$ なので、$d \varepsilon = d_h \varepsilon + d_v \varepsilon = \varepsilon d_K$ で、$\varepsilon$ は鎖写像です。$K$ を第 $0$ 列に、$C$ を一つ右にずらして置いた第一象限の二重複体 $D$（$D^{0,q} = K^q$、$p \ge 1$ で $D^{p,q} = C^{p-1,q}$、横の微分は $\varepsilon$ と $d_h$、縦の微分は $d_K$ と $d_v$）を考えます。仮定から $D$ の行はすべて非輪状なので、定理 7.2 により $\operatorname{Tot}(D)$ は非輪状です。

$\operatorname{Cone}(\varepsilon)^n = K^{n+1} \oplus \operatorname{Tot}(C)^n$ と $\operatorname{Tot}(D)[1]^n = \operatorname{Tot}(D)^{n+1} = K^{n+1} \oplus \operatorname{Tot}(C)^n$ は同じ対象です。$\Phi(k, c) = (k, \sigma c)$、ただし $\sigma$ は $C^{p,q}$ の上で $(-1)^{p+1}$ 倍、とおきます。$c \in C^{p,q}$ について、$\sigma d_{\operatorname{Tot}(C)} c = (-1)^p d_h c - d_v c$ で、$D$ での $c$（位置 $(p+1, q)$）の微分は $d_h c + (-1)^{p+1} d_v c$ なので $-d_{\operatorname{Tot}(D)}(\sigma c) = (-1)^p d_h c - d_v c$ と一致します。$K$ の成分では $\Phi\, d_{\operatorname{Cone}}(k, 0) = (-d_K k,\ -\varepsilon k)$、$d_{\operatorname{Tot}(D)[1]}(k, 0) = -(d_K k + \varepsilon k)$ で一致します。よって $\Phi$ は複体の同型 $\operatorname{Cone}(\varepsilon) \cong \operatorname{Tot}(D)[1]$ で、錐は非輪状です。系 5.4 により $\varepsilon$ は擬同型です。

列の場合（$\varepsilon^p\colon K^p \to C^{p,0}$ が $d_h \varepsilon^p = \varepsilon^{p+1} d_K$ を満たし、各列 $0 \to K^p \to C^{p,0} \xrightarrow{d_v} C^{p,1} \to \cdots$ が完全な場合）は転置に帰着します。$C'^{q,p} = C^{p,q}$、$d'_h = d_v$、$d'_v = d_h$ とおくと $C'$ は第一象限の二重複体で、$c \in C^{p,q}$ を $(-1)^{pq} c$ に送る射 $\psi\colon \operatorname{Tot}(C) \to \operatorname{Tot}(C')$ は複体の同型です。実際 $\psi d c = (-1)^{(p+1)q} d_h c + (-1)^{p + p(q+1)} d_v c = (-1)^{pq}\bigl((-1)^q d_h c + d_v c\bigr)$ で、これは $d' \psi c = (-1)^{pq}\bigl(d_v c + (-1)^q d_h c\bigr)$ に等しくなります。$\psi$ は $C^{p,0}$ の上で恒等射なので $\psi \varepsilon = \varepsilon'$（$\varepsilon'$ は $C'$ の第 $0$ 列への同じ射）で、$\varepsilon'$ は行の場合の仮定を満たします。よって $\varepsilon = \psi^{-1} \varepsilon'$ は擬同型です。

∎

例 7.4（Koszul 複体を全複体として読む）

可換環 $A$ の元 $x$ について $K(x)$ を次数 $-1, 0$ に $A \xrightarrow{x} A$ を置いた複体とします。$x_1, x_2 \in A$ について、$C^{p,q} = A$（$p, q \in \{-1, 0\}$）、$d_h = x_1$、$d_v = x_2$ とする二重複体（$x_1 x_2 = x_2 x_1$ なので可換）の全複体は

$$A \xrightarrow{\ a \mapsto (-x_2 a,\ x_1 a)\ } A \oplus A \xrightarrow{\ (b, c) \mapsto x_1 b + x_2 c\ } A$$

（次数 $-2, -1, 0$。$A \oplus A$ の成分は $C^{-1,0}$、$C^{0,-1}$）で、$e_1 \leftrightarrow C^{-1,0}$、$e_2 \leftrightarrow C^{0,-1}$ と対応させると $d(e_{12}) = x_1 e_2 - x_2 e_1$、$d(e_i) = x_i$ となり、Tor・Ext と深さの Koszul 複体（定義 8.1）［Tor・Ext と深さ］ $K(x_1, x_2)$ に一致します。一般に $K(x_1, \ldots, x_n)$ は $K(x_1, \ldots, x_{n-1})$ と $K(x_n)$ の二重複体の全複体で、Koszul 複体の帰納的な扱いはこの見方から来ています。

8. 単体的対象と Moore 複体

定義 8.1（単体的対象・Moore 複体・正規化複体）↗

1. $\Delta$ を、対象が $[n] = \{0, 1, \ldots, n\}$（$n \ge 0$）、射が広義単調増加な写像である圏とする。$\delta^i\colon [n-1] \to [n]$（$0 \le i \le n$）を $i$ を飛ばす単射（$x < i$ で $x$、$x \ge i$ で $x + 1$）、$\sigma^j\colon [n+1] \to [n]$（$0 \le j \le n$）を $j$ に 2 点を送る全射（$x \le j$ で $x$、$x > j$ で $x - 1$）とする。
2. 圏 $\mathcal{C}$ の単体的対象とは関手 $X\colon \Delta^{\mathrm{op}} \to \mathcal{C}$（定義 4.1［圏・関手・自然変換］、定義 3.5［圏・関手・自然変換］）のことで、$X_n = X([n])$、$d_i = X(\delta^i)\colon X_n \to X_{n-1}$（面写像）、$s_j = X(\sigma^j)\colon X_n \to X_{n+1}$（退化写像）と書く。単体的対象の射は自然変換である。$\mathcal{C}$ が集合の圏なら単体的集合（定義 7.1［特異ホモロジー］）、Abel 群の圏なら単体的 Abel 群である。
3. $\mathcal{A}$ をアーベル圏、$X$ を $\mathcal{A}$ の単体的対象とする。Moore 複体 $C(X)$ を、$n \ge 0$ で $C(X)_n = X_n$、$n < 0$ で $0$、微分 $\partial_n = \sum_{i=0}^{n} (-1)^i d_i\colon X_n \to X_{n-1}$ とする鎖複体と定める。正規化複体 $N(X)$ を、$N(X)_0 = X_0$、$n \ge 1$ で $N(X)_n$ を射 $(d_1, \ldots, d_n)\colon X_n \to X_{n-1}^{\oplus n}$ の核（$d_1, \ldots, d_n$ の核の共通部分）とし、微分を $d_0$ の制限とする鎖複体と定める。

これらが実際に複体であることは次の補題で確かめます。

補題 8.2（単体的恒等式）✓

1. $\Delta$ で次が成り立つ: $i < j$ なら $\delta^j \delta^i = \delta^i \delta^{j-1}$ かつ $\sigma^j \delta^i = \delta^i \sigma^{j-1}$、$\sigma^j \delta^j = \sigma^j \delta^{j+1} = 1$、$i > j + 1$ なら $\sigma^j \delta^i = \delta^{i-1} \sigma^j$。
2. したがって単体的対象で、$i < j$ なら $d_i d_j = d_{j-1} d_i$ かつ $d_i s_j = s_{j-1} d_i$、$d_j s_j = d_{j+1} s_j = 1$、$i > j+1$ なら $d_i s_j = s_j d_{i-1}$。
3. Moore 複体で $\partial_{n-1} \partial_n = 0$ である。正規化複体 $N(X)$ は $C(X)$ の部分複体で、その上で $\partial$ は $d_0$ に一致する。

証明（補題 8.2）

1. 両辺の値を比べます。$\delta^j\delta^i = \delta^i\delta^{j-1}$（$i < j$）: $x < i$ ではどちらも $x$、$i \le x < j - 1$ ではどちらも $x + 1$、$x \ge j - 1$ ではどちらも $x + 2$ です。$\sigma^j\delta^i = \delta^i\sigma^{j-1}$（$i < j$）: $x < i$ ではどちらも $x$、$i \le x \le j-1$ ではどちらも $x + 1$、$x \ge j$ ではどちらも $x$ です。$\sigma^j\delta^j$ と $\sigma^j\delta^{j+1}$ は、$x \le j$ を $x$ に、$x > j$ を $\sigma^j(x+1) = x$ に送るので恒等写像です（$x = j$ では $\delta^j(j) = j+1$、$\sigma^j(j+1) = j$）。$\sigma^j\delta^i = \delta^{i-1}\sigma^j$（$i > j+1$）: $x \le j$ ではどちらも $x$、$j < x < i$ ではどちらも $x - 1$、$x \ge i$ ではどちらも $x$ です。

2. $X$ は反変なので $X(\theta\varphi) = X(\varphi) X(\theta)$ で、1 の各等式に $X$ を施すと得られます。たとえば $d_i s_j = X(\sigma^j \delta^i) = X(\delta^i \sigma^{j-1}) = s_{j-1} d_i$ です。

3. $\partial\partial = \sum_{i,j} (-1)^{i+j} d_i d_j$ を $i < j$ の項と $i \ge j$ の項に分けると、$(i, j) \mapsto (j - 1, i)$ が前者から後者への全単射で、2 から $d_i d_j = d_{j-1} d_i$、符号は反対なので打ち消し合います（単体的集合での 命題 7.3［特異ホモロジー］ と同じ計算）。$\nu\colon N(X)_n \to X_n$ を核とすると $d_i \nu = 0$（$i \ge 1$）なので $\partial \nu = d_0 \nu$ です。$i \ge 1$ について 2 から $d_i d_0 = d_0 d_{i+1}$ なので $d_i d_0 \nu = d_0 d_{i+1} \nu = 0$ で、$d_0 \nu$ は $N(X)_{n-1}$ を経由します。

∎

命題 8.3（Moore 複体と正規化複体）✓

アーベル圏 $\mathcal{A}$ の単体的対象 $X$ について、包含 $N(X) \to C(X)$ は擬同型である。

証明の方針は、$N(X)$ から $C(X)$ まで、条件「$d_i = 0$」を一つずつ外した中間の複体 $A^{(j)}$ を並べ、各包含 $A^{(j+1)} \subset A^{(j)}$ がホモトピー同値であることを示し、各次数のホモロジーについてそれらをつなぐことです。

証明（命題 8.3）

中間の部分複体。 $j \ge 0$ と $n \ge 0$ について、$I(n, j) = \{ i : \max(1, n - j + 1) \le i \le n \}$ とし、$A^{(j)}_n \subset X_n$ を $d_i$（$i \in I(n,j)$）の核の共通部分とします（$I(n,j)$ が空なら $A^{(j)}_n = X_n$）。$\nu\colon A^{(j)}_n \to X_n$ を包含とすると、射 $w\colon T \to X_n$ が $A^{(j)}_n$ を経由することと、$i \in I(n,j)$ で $d_i w = 0$ であることは同値です。$A^{(0)} = C(X)$ で、$n \le j$ なら $I(n, j) = \{1, \ldots, n\}$ なので $A^{(j)}_n = N(X)_n$ です。

$A^{(j)}$ が部分複体であることを示します。$k = n - j$ とおくと、$A^{(j)}_n$ の条件は「$i > k$、$i \ge 1$ で $d_i \nu = 0$」です。$m > k - 1$、$m \ge 1$ について 補題 8.2 の 2 を使うと

$$d_m \partial \nu = \sum_{i \le m} (-1)^i d_i d_{m+1} \nu + \sum_{i > m} (-1)^i d_{i-1} d_m \nu$$

で、$m + 1 > k$ なので第 1 の和は $0$ です。第 2 の和は $d_{i-1} d_m = d_m d_i$（$m < i$）と $i > m \ge k$ から $0$ です。

一段ずつのホモトピー同値。 $A^{(j+1)} \subset A^{(j)}$ の包含 $\nu'$ がホモトピー同値であることを示します。$t_n\colon A^{(j)}_n \to X_{n+1}$ を、$k = n - j \ge 0$ なら $t_n = (-1)^{k+1} s_k \nu$、$k < 0$ なら $0$ とします。$k \ge 0$ のとき、$m \ge k + 2$ について $d_m s_k = s_k d_{m-1}$ で $m - 1 > k$ なので $d_m t_n = 0$ となり、$t_n$ は $A^{(j)}_{n+1}$ を経由します。$r = 1 - (\partial t + t \partial)$ は $A^{(j)}$ の自己鎖写像で $r \simeq 1$ です。$k \ge 1$ のとき、補題 8.2 の 2 と $A^{(j)}$ の条件から

$$\partial t_n \nu = (-1)^{k+1} \sum_{i < k} (-1)^i s_{k-1} d_i \nu, \qquad t_{n-1} \partial \nu = (-1)^{k} \sum_{i \le k} (-1)^i s_{k-1} d_i \nu$$

（前者では $i = k, k+1$ の項 $\pm\nu$ が打ち消し合い、$i > k+1$ の項 $s_k d_{i-1} \nu$ は $0$）なので、$r \nu = \nu - s_{k-1} d_k \nu$ です。$k = 0$ のときは $\partial t_n \nu = -(d_0 s_0 - d_1 s_0) \nu - \sum_{i \ge 2} (-1)^i s_0 d_{i-1} \nu = 0$、$t_{n-1} = 0$ なので $r = 1$、$k < 0$ でも $r = 1$ です。

$r$ が $A^{(j+1)}$ を経由すること: $k \le 0$ では $A^{(j+1)}_n = A^{(j)}_n$ です。$k \ge 1$ では $I(n, j+1) = I(n, j) \cup \{k\}$ で、$d_k r \nu = d_k \nu - d_k s_{k-1} d_k \nu = 0$、$i > k$ では $d_i s_{k-1} = s_{k-1} d_{i-1}$ と $d_{i-1} d_k = d_k d_i$ から $d_i r \nu = - s_{k-1} d_k d_i \nu = 0$ です。よって $r = \nu' \rho$ となる鎖写像 $\rho\colon A^{(j)} \to A^{(j+1)}$ があります。$A^{(j+1)}$ の上では $d_k = 0$ なので $r \nu' = \nu'$、$\nu'$ が mono なので $\rho \nu' = 1$ です。$\nu' \rho = r \simeq 1$ と合わせて、$\nu'$ はホモトピー同値で、命題 4.2 により $H_n(\nu')$ は同型です。

結論。 $n$ を固定します。$A^{(n+1)}$ と $N(X)$ は次数 $n + 1$ 以下で同じ部分対象と同じ微分をもつので、$H_n(N(X)) \to H_n(A^{(n+1)})$ は恒等射です。$H_n(A^{(n+1)}) \to H_n(A^{(n)}) \to \cdots \to H_n(A^{(0)}) = H_n(C(X))$ は同型の合成で、関手性からこの合成は包含 $N(X) \to C(X)$ が誘導する写像です。

∎

証明の各段は「$k$ 番目の面を $s_{k-1} d_k$ で補正して消す」という操作で、加群なら $x \mapsto x - s_{k-1} d_k x$ です。各次数で有限回しか補正しないことから、これらのホモトピーをつないで $N(X) \to C(X)$ がホモトピー同値であることも示せますが、この章では証明しません。以後の証明で使うのは擬同型であることだけです。

例 8.4（特異鎖複体は Moore 複体）

位相空間 $X$ の特異単体的集合 $\operatorname{Sing} X$ の各 $\operatorname{Sing}_n X$ を基底とする自由 Abel 群をとると、面写像・退化写像が誘導する準同型で単体的 Abel 群 $\mathbb{Z}[\operatorname{Sing} X]$ が得られます。その Moore 複体は、微分が $\sum_i (-1)^i d_i$ なので、特異ホモロジーの 特異鎖複体（定義 2.1）［特異ホモロジー］ $C_*(X)$ そのものです（命題 7.3［特異ホモロジー］ の最後の主張）。命題 8.3 によれば、特異ホモロジーは「どの $d_i$（$i \ge 1$）でも $0$ になる鎖」だけで計算できます。$C(X)$ と $N(X)$ の差は退化した単体（$s_j$ の像）から来る部分で、それがホモロジーに寄与しないというのがこの命題の幾何的な意味です。

注意 8.5（Dold–Kan 対応）

さらに強く、正規化複体の関手 $N$ は、アーベル圏 $\mathcal{A}$ の単体的対象の圏と、$\mathcal{A}$ の非負次数の鎖複体の圏との圏同値を与えます（Dold–Kan 対応）。逆関手は複体から単体的対象を組み立てる明示的な構成で、単体的ホモトピーと鎖ホモトピーも対応します。証明は長く、この章とテーマの以後の証明では使わないので、主張の紹介にとどめます。証明は Weibel の第 8 章、Goerss–Jardine の第 III 章にあります。

9. 演習

演習 9.1易

$m \ge 2$ とし、$\mathbb{Z}/m^2$ を次数 $0$ に置いた複体の自己写像 $f$ を $m$ 倍写像とする。$H^n(\operatorname{Cone}(f))$ をすべての $n$ について求め、定理 5.3 の列が完全であることを確かめよ。

解答

$\operatorname{Cone}(f)$ は $\operatorname{Cone}^{-1} = \mathbb{Z}/m^2 \xrightarrow{m} \operatorname{Cone}^0 = \mathbb{Z}/m^2$ です（定義の行列で $d^{-1} = f^0$）。$H^{-1} = \ker m = m\mathbb{Z}/m^2\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/m$、$H^0 = \operatorname{Coker} m = (\mathbb{Z}/m^2)/(m\mathbb{Z}/m^2) \cong \mathbb{Z}/m$、他は $0$ です。

長完全列のうち $0$ でない部分は

$$0 \to H^{-1}(\operatorname{Cone}) \xrightarrow{H^{-1}(p)} H^0(X) \xrightarrow{m} H^0(Y) \xrightarrow{H^0(i)} H^0(\operatorname{Cone}) \to 0$$

です。$H^{-1}(p)$ は $\ker m \subset \mathbb{Z}/m^2$ の包含で、その像は $m$ 倍写像の核に一致し、$H^0(i)$ は射影 $\mathbb{Z}/m^2 \to \operatorname{Coker} m$ で、その核は $m$ 倍写像の像に一致します。よって列は完全です。$f$ は擬同型でなく、錐も非輪状でないので、系 5.4 とも整合します。

演習 9.2標準

鎖写像 $f\colon X \to Y$ が零ホモトピックなら $\operatorname{Cone}(f) \cong X[1] \oplus Y$（複体の同型）であることを示せ。さらに、零ホモトピックな擬同型 $f$ があれば $X$ と $Y$ はともに非輪状であることを示せ。

解答

命題 5.2 の 3 を $f' = 0$ に使うと $\operatorname{Cone}(f) \cong \operatorname{Cone}(0)$ です。$\operatorname{Cone}(0)$ の微分は $(x, y) \mapsto (-dx, dy)$ で、これは $X[1] \oplus Y$ の微分そのものです。

$f \simeq 0$ なら 命題 4.2 により $H^n(f) = H^n(0) = 0$ です。これが同型なら、$1_{H^n(X)} = H^n(f)^{-1} H^n(f) = 0$ から $H^n(X) = 0$、同様に $1_{H^n(Y)} = H^n(f) H^n(f)^{-1} = 0$ から $H^n(Y) = 0$ です。

演習 9.3標準

複体 $X$ について $k > n$ で $H^k(X) = 0$ なら、$\tau^{\le n} X \to X$ は擬同型であることを示せ。また、Abel 群の複体でこの状況にあり、$\tau^{\le n} X$ と $X$ が $\mathrm{C}(\mathcal{A})$ で同型でない例を挙げよ。

解答

命題 6.2 により、$k \le n$ では $H^k(\tau^{\le n} X) \to H^k(X)$ は同型、$k > n$ では両辺が $0$ なので同型です。よって擬同型です（定義 2.4）。

例: $X$ を $X^0 = \mathbb{Z} \xrightarrow{1} X^1 = \mathbb{Z}$（他は $0$）とし、$n = 0$ とします。$X$ は非輪状なので仮定を満たします。$Z^0(X) = \ker 1 = 0$ なので $\tau^{\le 0} X = 0$ ですが、$X \ne 0$ なので同型ではありません。擬同型は同型よりずっと弱い条件です。

演習 9.4標準

アーベル圏の対象 $M$ について、すべての $X_n = M$、すべての $d_i, s_j$ を恒等射とする単体的対象（定数単体的対象）の Moore 複体と正規化複体を求め、命題 8.3 を直接確かめよ。

解答

すべての単調写像に恒等射を対応させるので関手です。Moore 複体の微分は $\partial_n = \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \cdot 1$ で、$n$ が偶数（$n \ge 2$）なら $1$、奇数なら $0$ です。したがって

$$M \xleftarrow{0} M \xleftarrow{1} M \xleftarrow{0} M \xleftarrow{1} M \leftarrow \cdots$$

（左端が次数 $0$）で、$H_0 = M / \operatorname{Im} 0 = M$、奇数 $n$ では $H_n = \ker 0 / \operatorname{Im} 1 = 0$、偶数 $n \ge 2$ では $H_n = \ker 1 = 0$ です。正規化複体は $n \ge 1$ で $N_n = \ker 1 = 0$、$N_0 = M$ なので $H_0 = M$、他は $0$ です。包含 $N \to C$ は $H_0$ で恒等射なので、擬同型であることが確かめられます。

参考文献

• C. A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994 — 第 1 章（複体・長完全列・写像錐と写像柱・切り詰め）、§2.7（非輪状集成補題）、第 8 章（単体的方法と Dold–Kan 対応）。
• M. Kashiwara, P. Schapira, Categories and Sheaves, Springer, 2006 — 第 11 章・第 12 章（加法圏・アーベル圏での複体とホモトピー圏）。
• S. I. Gelfand, Yu. I. Manin, Methods of Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 2003 — 第 III 章（ホモトピー圏と写像錐）。
• S. Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, 2nd ed., Springer, 1998 — 第 VIII 章（アーベル圏での図式追跡）。
• P. G. Goerss, J. F. Jardine, Simplicial Homotopy Theory, Birkhäuser, 1999 — 第 III 章（単体的 Abel 群と正規化複体）。