写像錐の基本性質

命題 5.2（「鎖複体とホモトピー圏」§5）・ ✓公理まで証明済み

鎖写像 $f\colon X \to Y$ について次が成り立つ。

$i, p$ は鎖写像で、 $0 \to Y \xrightarrow{i} \operatorname{Cone}(f) \xrightarrow{p} X[1] \to 0$ は $\mathrm{C}(\mathcal{A})$ の短完全列で、各次数で分裂する。
$p i = 0$ で、 $i f \simeq 0$ 、 $f[1] p \simeq 0$ である。
$f \simeq f'$ なら、 $i$ と $p$ に関して可換な鎖写像の同型 $\operatorname{Cone}(f) \cong \operatorname{Cone}(f')$ がある。
鎖写像 $a\colon X \to X_1$ 、 $b\colon Y \to Y_1$ 、 $f_1\colon X_1 \to Y_1$ が $b f = f_1 a$ を満たせば、 $(x, y) \mapsto (a x, b y)$ は鎖写像 $\operatorname{Cone}(f) \to \operatorname{Cone}(f_1)$ で、 $i$ ・ $p$ と可換である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 11 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏
- 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏
  - 核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
- 加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏
- 双積定義 3.2・加法圏とアーベル圏
- 加法圏定義 3.4・加法圏とアーベル圏
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）